基于小波變換的腦電信號去噪方法論文初稿.doc

本科畢業(yè)設計 論文 本科畢業(yè)設計 論文 基于小波變換的腦電信號去噪方法 燕山大學畢業(yè)設計 論文 任務書 學院 系級教學單位 學 號 學生 姓名 專 業(yè) 班 級 題目名稱 題目性質(zhì) 1 理工類 工程設計 工程技術實驗研究型 理論研究型 計算機軟件型 綜合型 2 管理類 3 外語類 4 藝術類 題目類型1 畢業(yè)設計 2 論文 題 目 題目來源科研課題 生產(chǎn)實際 自選題目 主 要 內(nèi) 容 基 本 要 求 參 考 資 料 周 次第 周第 周第 周第 周第 周 應 完 成 的 內(nèi) 容 指導教師 職稱 年 月 日 系級教學單位審批 年 月 日 表題黑體小三號字 內(nèi)容五號字 行距 18 磅 此行文字閱后刪除 摘要 I 摘要 腦電信號 EEG 是腦神經(jīng)細胞電生理活動在大腦皮層或頭皮表面的總 體反映 其中包含了大量的生理和病理信息 并可以用許多特征量來描述其 特征信號 通過腦電分析來認識腦的活動是一種有效的無創(chuàng)手段 人體腦 電信號非常微弱 為了提高腦電信號的性能和檢測效率 必須對腦電信號 進行去噪處理 小波理論的形成是數(shù)學家 物理學家和工程師們多學科共同努力的結(jié) 果 現(xiàn)在小波分析正運用在眾多自然科學領域 已經(jīng)成為當前最強有力的 分析工具之一 而且還在繼續(xù)蓬勃向前發(fā)展著 研究小波的新理論 新方 法以及新應用具有重要的理論意義和實用價值 在噪聲中如何準確地檢測 到信號一直是信號處理領域所關心的內(nèi)容 小波變換由于具有良好的時頻 局部化特性 能夠?qū)Ω鞣N時變信號進行有效的分解 從而較好地將信號與 噪聲加以分離 獲得滿意的去噪效果 本文對小波分析在腦電信號去噪中 的應用進行了較為深入研究和討論 本文首先介紹了小波基本理論和基于傳統(tǒng)小波分析的信號去噪原理以 及幾種常用的方法 在幾種方法中 因小波閉值去噪法 原理簡單易行 效果較好且是本文研究的其他幾種小波分析方法去噪處理的基礎 所以本 文在基于MATLAB實驗平臺上選取實驗效果較好的小波函數(shù) 在不同闡值 和闡值函數(shù)的情況下對這種方法做了較為詳細地腦電信號去噪比較研究 小波變換是一種信號的時間一尺度分析方法 具有多分辨率分析的特 點 對信號具有自適應性 本文提出了一種基于正交小波變換的腦電信號 去噪方法 試驗表明 該方法具有很好的有效性 關鍵詞 腦電信號 小波變換 去噪 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 II Abstract The Electroencephalograph EEG is the total reflenction of brain nerve cells through the electric signal record electrode from scalp It contains a great deal of physiology and pathologic information and we can use many characteristics quantity to describe its specificity EEG analysis is an effective noninvasive approach for us to understand the mechanism of brain activity The EEG signal is one of mini voltage In order to improve the performance of EEG and increase the measure efficiency we must eliminate the noise in EEG The theory of the wavelet originates with mathematicians physicists and engineers together and now the wavelet analysis is very popular in many fields of science as one of the most efficient tool to analysis or deal the problem furthermore it will still progress forward in the future To study the new theory methods and applications of wavelets is of great theoretical significance and practical value Estimating the original signals from noise has always been an important part in the field of signal processing Because of it s fine time frequency localization characteristic wavelet transform can effectively discriminate signals from noise and achieves pretty good performance This paper chiefly studying the application of wavelet analysisin EEG signalde noising Firstly this paper introduce the theory of wavelet and principle of signal denoising based on wavelet and then studying several denoising methods Because threshold denoising has simple algorithm and good denoising result moreover it is the base of other denoising methods discussed in this paper this paper make a comparison study of EEG signal denoising based on MATLAB platform using diferent threshold functions and threshold value but using one wavelet function Wavelet transform is a kind of analytical tool in time scale domain It has the feature of multi resolution analysis and the adaptaion characteristic for signal A noise rejection method with positive join wavelet transform was 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 III proposed here Experiments show that the proposed method has good efficiency Key words EEG wavelet transform noise rejection IV 摘要摘要 I ABSTRACT II 第第 1 章章 緒論緒論 1 1 1 引言 1 1 2 小波變換的背景 2 1 3 信號處理的背景 4 1 4 腦電信號去噪 5 第第 2 章章 小波變換小波變換 6 2 1 時頻分析方法 6 2 1 1 短時傅立葉變換 STFT 6 2 1 2 Wigner Ville 分布 8 2 1 3 小波變換的思想 9 2 2 連續(xù)小波基函數(shù) 11 2 3 小波變換 12 2 3 1 連續(xù)小波變換 12 2 3 2 離散小波變換 13 2 3 3 二進小波變換 14 2 4 多分辨率分析與離散小波快速算法 14 2 4 1 多分辨率分析 14 2 4 2 離散小波變換的快速算法 16 2 5 MALLAT 的快速算法 17 2 6 本章小結(jié) 18 第第 3 章章 基于小波變換去噪方法的研究基于小波變換去噪方法的研究 19 3 1 經(jīng)典的濾波去噪方法 19 3 2 基于小波變換模極大值去噪方法的研究 20 3 2 1 小波變換模極大值的定義 20 3 2 2 模極大值隨著尺度的變化規(guī)律 21 V 3 2 3 一種新的子波域濾波算法 24 3 3 小波閾值去噪方法的研究 26 3 3 1 小波閾值去噪處理的方法 26 3 3 2 軟閾值的選擇方法 28 3 3 3 噪聲在小波分解下的特性 29 3 3 4 小波函數(shù)的選擇 30 3 4 利用小波包進行信號消噪處理 34 3 4 1 小波包變換的基本原理 34 3 4 2 小波包的定義 35 3 4 3 運用小波包消噪 36 3 5 本章小結(jié) 37 第四章第四章 腦電信號去噪腦電信號去噪 37 4 1 腦電信號 37 4 1 1 腦電信號背景 37 4 1 2 腦電信號的特征與采集 38 4 1 3 腦電信號預處理 41 4 2 小波去噪的 MATLAB 仿真 44 4 2 1 Matlab 的小波分析 44 4 2 2 Matlab 仿真去噪 45 4 3 本章小結(jié) 49 結(jié)論結(jié)論 49 參考文獻參考文獻 50 致致 謝謝 51 附錄附錄 1 51 附錄附錄 2 51 第 1 章 緒論 1 第 1 章 緒論 1 1 引言 腦電信號EEG Electroencephalograph 是人體一種基本生理信號 蘊涵 著豐富的生理 心理及病理信息 腦電信號的分析及處理無論是在臨床上 對一些腦疾病的診斷和治療 還是在腦認知科學研究領域都是十分重要的 由于腦電信號存在非平穩(wěn)性且極易受到各種噪聲干擾 特別是工頻干擾 因此消除原始腦電數(shù)據(jù)中的噪聲 以更好地獲取反映大腦活動和狀態(tài)的有 用信息是進行腦電分析的一個重要前提 近年來 隨著電子技術的迅猛發(fā)展 信息獲取的手段 精度 速度都 有了很大的提高 特別是在非平穩(wěn)信號分析理論上的一系列重大進展為非 平穩(wěn)信號提供了新的處理與分析手段 小波分析理論則是這一系列重大進 展中的一個 小波變換對于信號的高頻成分使用逐漸尖銳的時間分辨率以 便移近觀察信號的快變成分 對于低頻成分使用逐漸尖銳的頻率分辨率以 便移遠觀察信號的慢變成分 整體變化趨勢 小波這種 既見樹木又見森 林 的信號分析表示特征對分析非平穩(wěn)信號是非常有效的 利用小波變換的 多分辨率特性 將含有噪聲的腦電信號進行多尺度分解 得到不同頻帶的 子帶信號 然后對含有工頻干擾的子帶信號進行處理 以達到去除工頻干 擾及其它噪聲的目的 與傳統(tǒng)的傅里葉變換相比較 小波變換是一種多尺度信號分析方法 具有良好的時頻局部化特性 非常適合分析非平穩(wěn)信號的瞬態(tài)特性和時變 特性 這正是分析EEG所需要的 EEG中許多病變都是以瞬態(tài)形式表現(xiàn)的 只有結(jié)合時間和頻率進行處理 才能取得更好效果 但小波分解每次只分 解上次分解的低頻部分 而不分解高頻部分 所以高頻段分辨率較差 而 小波包分解是一種從小波分解延伸出的更細致的分解和重構(gòu)信號的方法 它不但分解低頻部分 而且還能二次分解高頻部分 能夠很好地將頻率分 辨率調(diào)整到與腦電節(jié)律特性相一致 因此小波包分解具有更好的濾波特性 若將小波包方法引入腦電信號分析 不僅可以克服傳統(tǒng)腦電分析的不 足 還可以改進Mallat算法分析實際腦電中的不足 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 2 小波變換在腦電信號處理中將具有更廣闊的應用前景 有關資料表明 國內(nèi)外一些科研人員正從事用小波分析理論進行腦電信息處理和提取方面 的研究工作 1 2 小波變換的背景 雖然小波的發(fā)展歷史不長 然而小波的思想可以追溯到1910 年Harr 的工作 Harr 首先提出一種緊支結(jié)構(gòu)的小波規(guī)范正交基 Harr 基 由 于Harr 基的不連續(xù)性 而未能得到廣泛的應用 1982 年法國地球物理學 家J Morlet在分析處理地震信號時 首次引入了 小波 Wavelet 的概念 并 應用一種無限支集的非正交小波將信號分解在時間與尺度域 對于大小不 同的尺度成分采用相應粗細的時域或空域取樣步長 從而可以聚焦到信號 的任意細節(jié) 之后 他與理論物理學家A Grossmann一起開創(chuàng)性的提出了連 續(xù)小波變換的幾何體系 然而 真正的小波熱開始于1986 年 法國著名數(shù) 學家Y Weyer在知道了J Morlet 和A Grossmann 的工作以后 從理論上對小 波分析作了一系列研究工作 構(gòu)造了具有一定衰減性質(zhì)的光滑函數(shù) 它的 二進伸縮和平移系 2 2 2 jj j k xxkj kZyy 構(gòu)成了空間的規(guī)范正交基 一舉打破了長期以來人們認為這樣的函數(shù) 2 L R 不能存在的設想 從而激起了人們對小波研究的極大熱情 1988 年 I Daubechies完善了由Harr 開頭的工作 構(gòu)造了一系列具有 有限支集 即緊支集 的小波正交基 被譽為Daubechies 基 有機的將信號處 理的概念與范函分析理論聯(lián)系了起來 成為目前小波理論研究的最重要的 文獻之一 Daubechies 基提供的比Harr 基更有效的分析和綜合效果 證明 它們無可爭辯的成功 1989 年從事信號處理的S Mallat發(fā)現(xiàn)Crossier Esteban 和Calandde正 交鏡像濾波器 Burt 和Adelson 的金字塔算法 Stromberg 和他的正交小 波基之間有密切關系 進而得出多分辨率分析 他用這一概念建立了小波 理論的統(tǒng)一體系 首次將小波理論與多分辨率分析聯(lián)系起來 并給出了小 波變換快速分解和重構(gòu)的塔式 后被人們稱為Mallat 算法 Mallat 算法在 第 1 章 緒論 3 小波分析中的地位相當于快速傅立葉變換在傅立葉分析中的地位 之后 Mallat 和Daubechies 合作研究發(fā)現(xiàn)尺度函數(shù) 小波函數(shù)與其對應的共軛濾 波器之間有著一一對應的關系 不僅從尺度函數(shù)和小波函數(shù)可以得到對應 的共軛濾波器組 而且 也可以從一組共軛濾波器出發(fā) 得到他們對應的 尺度函數(shù)和小波函數(shù) 將數(shù)學上的多分辨分析和數(shù)字信號處理中的多采樣 濾波器緊密的聯(lián)系起來了 進入九十年代以后 小波理論和方法有了許多新進展 1990 年 J Kovacevic M Vetterli提出了雙正交小波理論 根據(jù)這一理論 分析小波 和重構(gòu)小波函數(shù)可以采用兩種不同的函數(shù)系 同年崔錦泰和王建忠將其推 廣為FIR 和IIR 互對偶的非正交濾波器組形式 從而構(gòu)造了基于樣條函數(shù) 的所謂單正交小波函數(shù) 另外一個重要的進展是R R Coifman 和 M V Wickerhauser提出的 小波包 理論 給出了最佳小波基準則 其全局的 頻率細化估計突破了小波分析等Q 結(jié)構(gòu)和STFT 頻帶等寬的限制 為信號 自適應頻帶劃分提供了可能 目前 美國聯(lián)邦調(diào)查局 FBI 發(fā)布的基于線性 相位雙正交子波分解的指紋圖像壓縮方法已經(jīng)形成國際標準建議 并成功 的應用于圖象處理的其他領域 近年來 D L Donoho提出了內(nèi)差小波的概 念 Gernimo Hardin 和Massopust 設計了一種具有分形結(jié)構(gòu)的小波函數(shù) 后人將其引申為高維小波函數(shù) 目前 這些已成為小波分析研究的新熱點 經(jīng)過十幾年的發(fā)展 小波分析不僅在理論和方法上不斷取得突破性進 展 而且已經(jīng)深入到非線性逼近 分形與混沌學 計算機圖形學 數(shù)字通 信 地震勘測 雷達成像 圖象處理 計算機視覺與編碼 生物醫(yī)電 時 變估計和檢測 以及語音合成等諸多領域 其涉及面之廣 影響之大 發(fā) 展之迅猛是空前的 目前 小波分析已成為一門多學科綜合 交叉發(fā)展的 技術領域 從理論上 我們把小波變換可以分為連續(xù)小波變換 CWT 連續(xù)信號 離散參數(shù)的小波級數(shù)變換 WST 以及離散信號離散參數(shù)的離散小波 包 DWT 變換等 作為一種數(shù)學工具 每一種小波變換都有一定的適用范圍 實際應用時一定要結(jié)合小波變換的固有特點 面向更能發(fā)揮小波函數(shù)時頻 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 4 局部性特點的問題 只有這樣才能得到好的結(jié)果 為此本文將結(jié)合實際應 用問題 對小波變換的理論和方法在實際中的性能進行仔細的研究 給出 切合實際的算法 1 3 信號處理的背景 Fourier 法國數(shù)學家 于1822 年提出了Fourier 理論 Fourier 分析方法的應用使科學和技術領域發(fā)生了極大的變化 目前在 信號處理方面Fourier 變換是不可缺少的分析工具 但傅里葉變換只是一種 純頻域的分析方法 它在頻域的定位是完全準確的 即頻域分辨率最高 而在時域無任何定位 或分辨能力 即傅里葉變換所反映的是整個信號全 部時間下的整體頻域特征 而不能提供任何局部時間段上的頻域信息 只 適用于平穩(wěn)信號的分析 相反 當一個函數(shù)用 函數(shù) 1 2 0 t x t t t t t t 展開的時候 它在時間域的定位是完全準確的 而在頻域卻無任何定位性 或分辨能力 即 函數(shù)分析所反映的是信號在全部頻率上的整體時域特性 而不能提供任何頻率段所對應的時間信息 實際中 一些常見的非平穩(wěn)信號的頻域特性都隨時間而變換 因此也 可稱為時變信號 對時變信號的分析通常需要提取某一時間段的頻域信息 或某一頻率段所對應的時間信息 因此 信號處理人士長期以來努力尋求 一種介于傅里葉分析和 分析之間的 并具有一定的時間和頻率分辨率的 基函數(shù)來分析時變信號 為了研究信號在局部時間范圍的特性 1946 年Gabor提出了著名的 Gabor 變換 之后又進一步發(fā)展為短時傅里葉變換 STFT 目前 STFT exp F jf tj t dtww 第 1 章 緒論 5 變換已在許多領域得到了廣泛的應用 但由于STFT 的定義決定了其窗函 數(shù)的大小和形狀均與時間和頻率無關而保持固定不變 這對于分析時變信 號來說是不利的 高頻信號一般持續(xù)時間短 而低頻信號持續(xù)時間長 因 此 我們期望對于高頻信號采用小時間窗 對低頻信號則采用大時間窗分 析 在進行信號分析時 這種變時間窗的要求同STFT 的固定時窗的特性 是相矛盾的 這些不足之處恰恰是小波變換的特長之所在 小波變換不僅 繼承和發(fā)展了STFT 的局部化的思想 而且克服了窗口大小不隨頻率變化 缺乏離散正交基的特點 是一種理想的進行信號處理的數(shù)學工具 但是 需要指出小波理論的思想來源于Fourier 分析 它不能代替傅立 葉分析 它是傅立葉分析的新發(fā)展 Fourier 分析和小波分析分別適用于不 同的應用場合 在實際應用中 將兩者結(jié)合起來才能取得理想的效果 1 4 腦電信號去噪 腦電 EEG 中蘊涵著豐富的生理 心理及病理信息 腦電信號的分析 及處理無論是在臨床上對一些腦疾病的診斷和治療 還是在腦認知科學研究 領域都是十分重要的 由于腦電信號存在非平穩(wěn)性且極易受到各種噪聲干 擾 特別是工頻干擾 因此如何消除原始腦電數(shù)據(jù)中的噪聲以更好地獲取 反映大腦活動和狀態(tài)的有用信息是進行腦電分析的一個重要前提 幾十年 來 人們已積累了大量腦電信息處理與提取方面的經(jīng)驗 提出了一系列電 腦信息處理理論和方法 但很少有突破性進展 近年來 隨著電子技術的迅猛發(fā)展 信息獲取的手段 精度 速度都 有了很大的提高 特別是在非平穩(wěn)信號分析理論上的一系列重大進展為非 平穩(wěn)信號提供了新的處理與分析手段 小波分析理論則是這一系列重大進 展中的一個 小波變換對于信號的高頻成分使用逐漸尖銳的時間分辨率以 便移近觀察信號的快變成分 對于低頻成分使用逐漸尖銳的頻率分辨率以 便移遠觀察信號的慢變成分 整體變化趨勢 小波這種 既見樹木又見森 林 的信號分析表示特征對分析非平穩(wěn)信號是非常有效的 利用小波變換的 多分辨率特性 將含有噪聲的腦電信號進行多尺度分解 得到不同頻帶的 子帶信號 然后對含有工頻干擾的子帶信號進行處理 以達到去除工頻干 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 6 擾及其它噪聲的目的 隨著小波變換的不斷發(fā)展 國內(nèi)外許多研究者將小波分析用于生物醫(yī)學 信號的提取及去噪處理 小波變換是一種把時間和頻率兩域結(jié)合起來的時 頻分析方法 在時頻域都具有表征信號局部特征的能力 小波變換具有以 下幾個特點 1 多分辨率 多尺度 2 品質(zhì)因素 即相對帶寬 中心頻率與帶寬之比 恒定 3 選擇適當?shù)幕拘〔?可使小波在時 頻兩域都具有表征信號局部特征的 能力 利用小波變換的多分辨率特性 將含有噪聲的腦電信號進行多尺度 分解 得到不同頻帶的子帶信號 然后對含有工頻干擾的子帶信號進行處 理 以達到去除工頻干擾的目的 第 2 章 小波變換 2 1 時頻分析方法 信號分析的主要目的就是尋求一種簡單而有效的方法來描述信號 以 便讓信號所包含的主要信息顯示出來 經(jīng)典的表示方法是采用三角函數(shù)系 和Haar 系 Haar 系中函數(shù)的時域是完全局部化的 可它在頻域局部性極 差 三角函數(shù)系在頻域里完全局部化 但無任何時間 空間 局部性 上述 兩種方法說明不可能同時獲得時域和頻域局部化最佳 如果頻率分辨率提 高 時域分辨率將下降 反之亦然 任何能量有限信號可由其Fourier 變換 來表示 并且有其明確的物理意義 因而決定了Fourier 分析成為信號分析 的主要工具 然而 Fourier 變換反映的是信號整個時域?qū)︻l率的貢獻 如 果一個信號在某一刻的一個小的鄰域中發(fā)生了變化 信號的整個頻率就會 受到影響 本質(zhì)上說是由于Fourier 變換中的積分和平滑了信號的突變部分 無法確定信號發(fā)生變化的時間位置和變化的劇烈程度 即不能刻畫信號的 局部奇異性 在實際問題處理中 卻常常需要刻畫局部時間范圍內(nèi)信號的 頻譜信息 也就是我們常說的局部化時 頻分析 經(jīng)過人們的共同探索 在時頻分析方法上取得顯著的成效 其主要方法有 短時Fourier 變換 W V 分布和小波分析 第 1 章 緒論 7 2 1 1 短時傅立葉變換 STFT 短時傅立葉變換亦稱加窗傅立葉變換 它起初是在一九四六年 D Gabor為了對信號實現(xiàn)時頻局部化分析而提出來的 其基本思想是 用一 個有限區(qū)間外恒等于零的光滑函數(shù) 稱之為窗函數(shù) 去截取所要研究的信號 然后對其進行傅立葉變換 從而可以對信號進行時頻局部化分析 它的這 一思想本質(zhì)上是將所研究的信號分解成一系列短時信號的疊加 每一短時 信號是通過窗函數(shù)的不同位置作用所研究信號而得到 且通過窗函數(shù)的選 取 每一短時信號可以認為是平穩(wěn)信號 可用傅立葉變換進行分析 從而 實現(xiàn)了信號的時頻局部化分析 對信號 其加窗傅立葉變換定義為 2 f tLR j Fff t g tedt w t wtwtt 其中g t 為窗函數(shù) 為瞬時角頻率 直觀上講 如果要求信號f t 在時域和頻域上都是局部的 那么f t 與它的 傅立葉變換F 應該都具有緊支集 然而我們根據(jù)解析函數(shù)理論可知 不 存在這樣的能量有限信號 因而僅能在概率分布定義上去劃刻信號的時頻 局部性 為此人們引入時 相平面來分析信號的時頻局部性 式 3 1 表明 隨著參數(shù) 的變化 加窗傅立葉變換F 實現(xiàn)了 信號f t 的時間頻率局部化 但其頻率與所選擇的窗口有關 而窗的分辨率 可用窗的面積大小來衡量 面積越小 窗的時 頻局部化能力越強 然而受 Heisenberg 測不準原理影響 窗口不可能任意的小 因而限制了加窗傅立 葉變換的應用 測不準原理 如果 且為一個窗函數(shù) 則 2 g tLR 2 GLRw 且等號成立的充分必要條件是 1 2g GD D 1 22 1 2exp 2 jat g tceatbap 式中 且 0 0ca a bR 測不準原理認為時間 頻率局部化是一對基本矛盾 如果時域分辨率提 高 頻域分辨率就會下降 反之亦然 時域局部化的最佳窗為高斯窗 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 8 加窗傅立葉變換從純時域分析和純頻域分析向時 頻局部化分析大大 邁進了一步 實現(xiàn)信號的時 頻局部化分析 然而加窗傅立葉變換存在其 固有的缺點 其一 在加窗傅立葉變換中 窗函數(shù)一旦取定 窗口的大小 就隨之而確定下來 而與窗口的位置無關 因此 加窗傅立葉變換不適于 分析同時包括低頻和高頻信息的信號 其二 在具體實際處理中 常采用 離散加窗傅立葉變換 離散加窗傅立葉變換的局部化特性在整個時 相平 面上是均勻分布的 為此在對頻域?qū)?頻率變化劇烈的信號進行處理時 要正確獲得信號的高頻信息 時間局部化參數(shù)要取得很小 即窗口選的很 小 要取得相當多的樣本點 這樣將大大加大計算的耗時 并且窗口太小 時 會降低低頻信號的分辨率 不適于低頻信號的分析 其三 無論采用 什么樣的方案對加窗傅立葉變換進行離散化 均得不到一組離散正交基 因而不能用快速算法給予實現(xiàn) 鑒于上述理由 加窗傅立葉變換未能得到 廣泛的應用 只適合分析所有特征大致相同的信號 對奇異信號和非平穩(wěn) 信號不是很有效 因而需求一種新的時頻分析工具來適于信號時 頻分析 的要求 2 1 2 Wigner Ville 分布 Wigner Ville 分布 簡稱W V 是一種二次型非線性子時 頻分析方法對連續(xù) 時間數(shù)值函數(shù) 其W V 變換定義為 2 x tLR 11 22 j W tx txtedt w t wtt 如果記 則W t 是 對的傅立 2 2 x tx txtgttt x tgtt 葉變換 從而有 j x W tted w t wgtw 并且有 3 4 2 W tdtdx tdtww W V 變換是信號在時 頻二維空間上的分布 可解釋為信號在 W tw 時頻相平面的 能量密度 但W V 變換未必總為正的 為此在解釋W V變 第 1 章 緒論 9 換的含義過程中遇到了困難 W V 變換有許多優(yōu)良的性質(zhì) 在時頻分析中起了很大的積極作用 然 而它是在全實軸上定義的 不便于實時分析處理 實際問題僅能對短數(shù)據(jù) 進行分析處理 為此人們引入了偽W V 變換 相當于對信號加一個隨時間 移動的窗函數(shù) W V 變換的優(yōu)良性質(zhì)在許多領域都有人研究 如雷達 聲 納 地震和圖像處理等方面 但還不很成熟 原因在于W V 變換存在一些 難以克服的問題 如交叉問題 目前解決交叉項人們提出了許多方法 例 如 時頻兩軸卷積法 采用原始信號的解析信號進行分析等 但未能找到 一種比較好的解決交叉項的方法 雖然W V 變換提供了信號能量在時間 頻率相平面上的分布 但給出的信息不完整 并且W V 變換與加窗傅立葉 變換一樣 在時間 頻率相平面上的頻率分辨率是相同的 不隨信號頻率 的變化而改變 因而在處理非平穩(wěn)信號和突變信號時造成困難 人們尋求 一種新的時頻分析工具 以滿足信號時頻分析的要求 小波變換正是在這 種環(huán)境下產(chǎn)生的一種新的時頻分析方法 2 1 3 小波變換的思想 小波變換繼承和發(fā)展了Gabor 的加窗傅立葉變化的局部化思想 并克 服了加窗傅立葉變換窗口大小不能隨頻率變化的不足 其基本思想來源于 可變窗口的伸縮和平移 小波變換利用一個具有快速衰減性和振蕩性的函數(shù) 成為母子波 然 后將其伸縮和平移得到了一個函數(shù)族 稱之為小波基函數(shù) 以便在一定的 條件下 任一能量有限信號可按其函數(shù)族進行時 頻分解 基函數(shù)在時 頻 相平面上具有可變的時間 頻率窗 以適應不同分辨率的需求 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 10 圖2 1 小波變換的時頻平面的劃分 在加窗傅立葉變換中 一旦窗函數(shù)選定 在時頻相平面中窗口的大小 是固定不變的 不隨時頻位置 t f 而變化 所以加窗傅立葉變換的時 頻分 辨率是固定不變的 小波變換的時頻相平面如圖2 1 所示 窗函數(shù)在時頻 相平面中隨中心頻率變換而改變 在高頻處時窗變窄 在低頻處頻窗變窄 因而滿足對信號進行時 頻分析的要求 它非常適合于分析突變信號和不平 穩(wěn)信號 況且小波變換具有多分辨率分析的特點和帶通濾波器的特性 并 且可用快速算法實現(xiàn) 因而常用于濾波 降噪 基頻提取等 但對平穩(wěn)信 號來說 小波分析的結(jié)果不如傅立葉變換直觀 而且母小波的不唯一性給 實際應用帶來了困難 小波分析屬于時頻分析的一種 傳統(tǒng)的信號分析是建立在傅立葉變換 的基礎之上的 由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換 只提供信號的 頻域信息 而不提供信號的任何時域信息 因此無法表述信號的時頻局域 性質(zhì) 而這性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號最根本和最關鍵的性質(zhì) 第 1 章 緒論 11 2 2 連續(xù)小波基函數(shù) 小波函數(shù)的確切定義為 設為一平方可積函數(shù) 也即 tf 若其傅立葉變換滿足 2 tLRf 2 R d w w w Y 稱 為依賴于參數(shù)a 的小波基函數(shù) 由于尺度因子a 平移因子 a t t ftt 是取連續(xù)變化的值 因此稱為連續(xù)小波基函數(shù) 它們是由同一母函 a t t f 數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列 tf 定義小波母函數(shù)窗口寬度為 窗口中心為 則相應可求得 tft D 0 t 連續(xù)小波 的窗口中心為 窗口寬度為 a t t f 0a tat t t a ta t t D D 同樣 設為的傅立葉變換 其頻域窗口中心為 窗口寬度 wY tf 0 w 為 設的傅立葉變換為 則有wD a t t f a t t Y 1 2 j a a ea w t t ww Y Y 所以 其頻域窗口中心為 0 1 a a t ww 窗口寬度為 1 a a t wwD D 可見 連續(xù)小波 的時 頻域窗口中心及寬度均隨尺度a 的變化而伸 a t t f 縮 若我們稱為窗口函數(shù)的窗口面積 由于twD D 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 12 1 aa ta tt a tt wwwD D DD DD 所以連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積不隨參數(shù)a 而變 這正是海森堡測不準t 原理證明的 大小是相互制約的 乘積 且只有當twD D1 2twD D 為 tf Gaussian 函數(shù)時 等式才成立 由此可得到如下幾點結(jié)論 1 尺度的倒數(shù)1 a在一定意義上對應于頻率 即尺度越小 對應頻率越w 高 尺度越大 對應頻率越低 如果我們將尺度理解為時間窗口的話 則 小尺度信號為短時間信號 大尺度信號為長時間信號 2 在任何值上 小波的時 頻窗口的大小和都隨頻率 或者1 a tt DwDw 的變化而變化 這是與STFT 的基的不同之處 3 在任何尺度a 時間上 窗口面積保持不變 也即時間 尺度分ttwD D 辨率是相互制約的不可能同時提的很高 4 由于小波母函數(shù)在頻域具有帶通特性 其伸縮和平移系列就可以看作是 一組帶通濾波器 通常將通帶寬度與中心頻率的比值稱為帶通濾波器的品 質(zhì)因數(shù) 通過計算可以發(fā)現(xiàn) 小波基函數(shù)作為帶通濾波器 其品質(zhì)因數(shù)不 隨尺度a 而變化 是一組頻率特性等Q的帶通濾波器組 2 3 小波變換 2 3 1 連續(xù)小波變換 將任意 空間中的函數(shù)f t 在小波基下進行展開 稱這種展開為函數(shù)f 2 LR t 的連續(xù)小波變換 Continue Wavelet Transform 簡記為CWT 其表達 式為 1 fa R t WTaf ttf tdt aa t t tff 由CWT的定義可知 小波變換同傅立葉變換一樣 都是一種積分變換 同傅立葉變換相似 稱為小波變換系數(shù) 由于小波基不同于傅立 f WTat 第 1 章 緒論 13 葉基 因此小波變換和傅立葉變換有許多不同之處 其中最重要的是 小 波基具有尺度a 平移 兩個參數(shù) 因此 將函數(shù)在小波基下展開就意味著 將一個時間函數(shù)投影到二維的時間 尺度相平面上 并且 由于小波基本身 所具有的特點 將函數(shù)投影到小波變換域后 有利于提取函數(shù)的某些本質(zhì) 特征 與STFT不同的是 小波變換是一種變分辨率的時頻聯(lián)合分析方法 當 分析低頻 對應大尺度 信號時 其時間窗很大 而當分析高頻 對應小尺度 信號時 其時間窗減小 這恰恰符合實際問題中高頻信號的持續(xù)時間短 低頻信號持續(xù)時間較長的規(guī)律 2 3 2 離散小波變換 由連續(xù)小波的概念知道 在連續(xù)變化的尺度a及時間值下 小波基函t 數(shù)具有很大的相關性 體現(xiàn)在不同點上的CWT系數(shù)滿足重建核方程 at f 因此信號f t 的連續(xù)小波變換系數(shù) 的信息量是冗余的 雖然在某 f WTat 些情況下 其冗余性是有益的 例如在去噪 進行數(shù)據(jù)恢復及特征提取時 常采用CWT 以犧牲計算量 存儲量為代價來獲得最好的結(jié)果 但在很多 情況下 我們希望在不丟失原信號f t 信息的情況下 盡量減小小波變換 系數(shù)的冗余度 減小小波變換系數(shù)冗余度的作法是將小波基函數(shù)的a 限定在一些離t 散點上取值 一種最通常的離散方法就是將尺度按冪級數(shù)進行離散化 即 取 m 為整數(shù) 一般取 0 m m aa 0 1a 0 2a 關于位移的離散化 當時 通常對進行 0 21a a tt t fft t 均勻離散取值 以覆蓋整個時間軸 為了不丟失信息 要求采樣間隔滿t 足Nyquist采樣定理 即采樣頻率大于等于該尺度下頻率通常的2 倍 每當 m增加1 尺度a 增加一倍 對應的頻帶減小一半 可見采樣率可以降低一 半 也就是采樣間隔可以增大一倍 因此 如果尺度m 0時的間隔為 t s T 則在尺度為時 間隔可取為 此時可表示為2m2m s T a t t f 2 22 m m m n ttnff m nZ 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 14 任意函數(shù)f t 的離散小波變換為 2 10 fm n R WTm nf tt dtf 2 3 3 二進小波變換 對于尺度及位移均離散變化的小波序列 若取離散柵格的 0 2a 即相當于連續(xù)小波只在尺度上進行了二進制離散 而位移仍取連0tD 續(xù)變化 我們稱這類小波為二進小波 表示為 2 11 2 2 2 2 k k k t t t ff 二進小波介于連續(xù)小波和離散小波之間 它只是對尺度參量進行了離 散化 而在時間域上的平移量仍保持連續(xù)變化 因此二進小波仍具有連續(xù) 小波變換的時移共變性 這是它較之離散小波變換所具有的獨特優(yōu)點 2 4 多分辨率分析與離散小波快速算法 2 4 1 多分辨率分析 多分辨率分析 Multi Resolution Analysis MRA 又稱為多尺度分析 是建立在函數(shù)空間 22 概念上的理論 但其思想的形成來源于工程 其創(chuàng)建 者S mallat 是在研究圖像處理問題時建立這套理論 當時研究圖像的一種 很普遍的方法是將圖像在不同尺度下分解 并將結(jié)果進行比較 以取得有 用的信息 Meyer正交小波基的提出 使得Mallat 想到是否用正交小波基 的多尺度特性將圖像展開 以得到圖像不同尺度間的 信息增量 這種想 法導致了多分辨率分析理論的建立 MRA不僅為正交小波基的構(gòu)造提供了 一種簡單的方法 而且為正交小波變換的快速算法提供了理論依據(jù) 其思 想又同多采樣濾波器組不謀而合 可將小波變換同數(shù)字濾波器的理論結(jié)合 起來 因此多分辨率分析在正交小波變換理論中具有非常重要的地位 3 4 1 1 尺度函數(shù)和尺度空間 若一個函數(shù) 它的的整數(shù)平移系 2 tLRf 列滿足 k ttkff kkk k ttk kZffd 2 12 第 1 章 緒論 15 則可定義為尺度函數(shù) scale function tf 定義由在 空間張成的閉子空間為稱為零尺度空間 k tf 2 LR 0 V 2 13 0 k k VspantkZf 則對于任意 有 0 f tV 2 14 kk k f tatf 同小波函數(shù)相似 假設尺度函數(shù)在平移的同時又進行了尺度的伸 tf 縮 得到了一個尺度和位移均可變化的函數(shù)集合 2 15 2 222 j jj j kk ttktfff 則稱每一固定尺度j上的平移系列所張成的空間為尺度為j 的尺度 2 jt f j V 空間 2 j jk k VspantkZf 對于任意 有 j f tV 2 16 2 222 j jj kkk kk f tatatkff 由此 尺度函數(shù)在不同尺度上其平移系列張成了一系列的尺度空 tf 間 由式 2 15 隨著尺度j的增大 函數(shù)的定義域變大 且實 j j Z V j k tf 際的平移間隔也變大 則它的線性組合式 2 16 不能表示函數(shù) 小于 2 j tD 該尺度 的細微變化 因此其張成的尺度空間只能包括大尺度的緩變信號 相反隨著尺度j 的減小 線性組合便能表示函數(shù)的更細微 小尺度范圍 變化 因此其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多 包括小尺度信號的大尺度緩變信 號 尺度空間變大 也即隨著尺度的減小 其尺度空間增大 2 4 1 2 多分辨率分析的概念的引入 若把尺度理解為照相機的鏡頭的話 當尺度由大到小變化時 就相當于將照相機由遠及近的接近目標 在大尺 度空間里 對應遠鏡頭下觀察到的目標 可觀測到目標的細微部分 因此 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 16 隨著尺度由大到小的變化 在各尺度上可以由粗及精的觀察目標 這就是 多尺度 即多分辨率 的思想 圖2 2 小波空間和尺度空間的包含關系 多分辨率分析是指滿足下列性質(zhì)的一系列閉子空間 j VjZ 1 一致單調(diào)性 21012 VVVVV 2 漸近完全性 2 0 jj j Zj Z VY VLR I 3 伸縮規(guī)則性 0 2 j j f tVftVjZ 4 平移不變性 對所有 0 0 f tVf tnV nZ 5 正交基存在性 存在 使得是的正交基 即 0 Vf n Z tnf 0 V 0 m n R n Vspantttntm dtfffd 小波空間和尺度空間的包含關系如圖2 2 所示 2 4 2 離散小波變換的快速算法 對于任意函數(shù) 可以將它分解為細節(jié)部分和大尺度逼近部 0 f tV 1 W 分 然后將大尺度逼近部分進一步分解 如此重復就可以得到任意尺 1 V 1 V 第 1 章 緒論 17 度 或分辨率 上的逼近部分和細節(jié)部分 這就是多分辨率分析的框架 設為函數(shù)向不同尺度空間投影后所得到的j 尺度下的概 j s ft f t j V 貌信號 2 17 2 jj sj kkj kj k kk ftctctkZ F F 其中稱為尺度展開系數(shù) j kj k cf tt F 若將函數(shù)向不同尺度的小波空間投影 則可得到不同尺度下的細 f t j W 節(jié)信號 j d ft 2 18 2 jj dj kkj kj k kk ftdtdtkZff 其中稱為小波展開系數(shù) j kj k df tt F 若將按以下空間組合展開 2 f tLR 2 19 2 J jj j LRWV 其中J為任意設定的尺度 則 2 20 J j kj kj kj k jkk f tdtctf F 當時 上式變?yōu)镴 2 21 j kj k jk f tdtf 即對應于時的離散小波變換綜合公式 或逆小波變換 時1AB 1AB 的小波框架為正交小波基 所以常稱式 2 20 2 21 為離散正交小波變換 綜合公式 由此可知 離散正交小波變換同多分辨率分析的思想是一致的 多分 辨率分析理論為正交小波變換提供了數(shù)學上的理論基礎 2 5 Mallat 的快速算法 Mallat 在Burt 和Adelson 圖象分解和重構(gòu)的拉普拉斯塔形算法的基礎 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 18 上 基于多分辨率框架理論 提出了塔式多分辨分解與綜合算法 巧妙的 將多分辨分析與小波分析結(jié)合在一起 Mallat 塔式算法在小波分析中的地 位頗似FFT 在經(jīng)典傅立葉變換中的地位 信號序列的Mallat 塔式分解算法 即序列的離散小波變換算法如 s n 圖2 3 所示 其中表示二次采樣 即刪掉奇次編號的樣本 如果 2 g n 為共軛鏡像濾波器對 QMF 則實現(xiàn)正交小波變換 此時濾波器組是 h n 非線性相位的 如果和為線性相位濾波器 則實現(xiàn)雙正交小波 g n h n 變換 設 則Mallat 塔式算法用下列迭代方程表示 0 cns n 1 2 0 1 2 jj k dnck gnkj 2 22 1 2 0 1 2 jj k cnck hnkj 圖2 3 3 階Mallat 塔式算法 序列的離散小波變換 從式 2 22 可以看出 Mallat 塔式算法實際上是通過低通和高通濾波 把 信號分解為低頻和高頻部分 2 6 本章小結(jié) 小波變換是一種信號的時間 尺度 時間 頻率 分析方法 它具有多分辨 率的特點 而且在時頻兩域都有表征信號局部特征的能力 是一種時頻窗 口面積大小固定不變但其形狀可以改變 即時間窗和頻率窗都可以改變的 時頻局部化分析方法 在低頻部分有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨 率 很適合于探測正常信號中夾帶的順態(tài)反常現(xiàn)象并展示其成分 因此有 利于把噪聲從正常信號中分離出來 達到去噪聲的目的 在傳統(tǒng)的基于傅立葉變換的信號處理方法中 要使信號和噪聲的頻帶 重疊部分盡可能的小 這樣 在頻域就可以通過時不變?yōu)V波方法將信號同 第 1 章 緒論 19 噪聲區(qū)分開 而當它們的頻域重疊時 這種方法就無能為力了 但如果采 用線性小波分析法 是可以通過選擇不同的基的方法 使得在相位坐標系 統(tǒng)內(nèi)的信號同噪聲的重疊盡可能的小 這樣就可以通過抑制不需的頻帶的 信號 而達到去噪的目的 但對大多數(shù)信號來說 合適的基的選擇本身就 是一個難題 因此這種方法的應用受到了限制 第 3 章 基于小波變換去噪方法的研究 3 1 經(jīng)典的濾波去噪方法 對隨時間變化的信號 通常采用兩種最基本的描述形式 即時域或頻 域形式 時域描述信號強度隨時間的變化 頻域描述在一定時間范圍內(nèi)信 號的頻率分布 信號的變化率大的部分對應高頻分量 變化率緩慢的部分 則主要含低頻分量 信號源送出的攜帶著我們希望傳送的有用信息 然而在信號變換及傳 送過程中 由于噪聲和干擾的疊加 使信號的辨認產(chǎn)生困難 要恢復原信 號攜帶的有用信號 必須去除信號中疊加的噪聲或干擾成份 如果噪聲的 頻率高于或低于有用信號 通常采用濾波方法去除噪聲 也可以通過使信 號平滑的方法抑制干擾帶來的毛刺 經(jīng)典的濾波去噪方法一般都是頻域低通濾波法 經(jīng)常使用的低通濾波 器只要有以下幾種 理想的低通濾波器 巴特沃斯低通濾波器 指數(shù)低通 濾波器 梯形低通濾波器 圖形如圖3 1 所示 圖中F0 為截止頻率 H 為 濾波器的傳遞函數(shù) 當用經(jīng)典的濾波法去對非平穩(wěn)信號進行去噪時 可以 想象其結(jié)果必然是在降低噪聲的同時也展寬了波形 平滑了信號中的銳變 尖峰成分 損失了這些突變點可能攜帶著重要信息 燕山大學本科生畢業(yè)設計 論文 20 a 理想低通濾波器 b 巴特沃斯低通濾波器 c 指數(shù)低通濾波器 d 梯形低通濾波器 圖3 1 幾種頻域低通濾波器 3 2 基于小波變換模極大值去噪方法的研究 目前利用小波變換消除噪聲的方法很多 但總結(jié)起來 比較成熟的是 Mallat 提出的一種多尺度小波變換模極大值的去噪方法 3 2 1 小波變換模極大值的定義 定義在尺度s下 若 成立 則稱為 0 xxd 0 Wfs xWfs x 0 x 模極大值點 稱為模極大值 小波變換極大模是由信號中奇異點 0 Wfs x 和噪聲產(chǎn)生的 根據(jù)理論分析 知道以平滑函數(shù)的一階導數(shù)為母小波作小波變換 其 小波變換在各個尺度下的模極大值對應于信號突變點的位置 小波分析尺 度越小 平滑函數(shù)的平滑區(qū)域小 小波系數(shù)模極大值點與突變點位置的對 應就越準確 但是小尺度下小波變換隨噪聲影響非常大 產(chǎn)生許多偽極值 第 1 章 緒論 21 點 往往只憑一個尺度不能定位突變點的位置 相反 在大尺度下對噪聲 進行了一定的平滑 極值點相對穩(wěn)定 但由于平滑作用使其定位又產(chǎn)生了 偏差 同時 只有在適當尺度下各突變點引起的小波