利用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器.doc

畢 業(yè) 論 文（設 計）利用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器 學生姓名 學號 000000000000 指導教師 學 院 專 業(yè) 電子信息工程 年級 2199級 答辯日期 2148 年 13 月 32 日 利用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器 完成日期： 指導教師簽字： 答辯小組成員簽字： 摘 要數(shù)字濾波技術是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分，濾波器的設計是信號處理的核心問題之一。數(shù)字濾波器是具有一定傳輸特性的數(shù)字信號處理裝置，其輸入輸出都是離散的數(shù)字信號，借助于數(shù)字器件或一定的數(shù)值計算方法，對輸入信號進行處理，改變輸入信號的波形或頻譜，達到保留信號中有用成分去除無用成分的目的。實際應用中，數(shù)字濾波器往往作為模擬濾波器的一個組成部分。本文介紹了有限沖激響應（FIR）數(shù)字濾波器的設計、結構以及原理，根據(jù)FIR濾波器的原理，著重介紹了FIR濾波器的窗函數(shù)設計法，給出了在MATLAB環(huán)境下，用FIR濾波器的過程和設計實例。仿真結果表明，設計的FIR濾波器的各項性能指標均達到了指定要求，設計過程簡便易行。該方法為快速、高效地設計FIR濾波器提供了一個可靠而有效的途徑。關鍵詞：數(shù)字濾波器；有限沖激響應FIR；窗函數(shù)設計法；MATLABAbstractDigital filtering technique is an important component of digital signal processing.The design of filter is one of the core problems in signal processing. Summary digital filter is a certain transport characteristics of digital signal processing electronics, its input and output are discrete digital signal, with the help of digital device or certain numerical calculation methods, on the input signal processing, changing the input signal waveform or spectrum, reaches a retention signal removal of unwanted in useful component composition. Real applications, digital filters are often used as an integral part of the analog filter.This paper introduces the devision ,structure and principle of FIR digital filters.According to the principle of FIR filters, window function design method and frequency sampling method Park-McClellan of the FIR filters are introduced.In the environment of MATLAB ,design process of FIR filters and design examples are introduced with three methods. The simulation results show that, the design of FIR filters of various performance indicators have reached specified requirements, design process is simple and easy. This method is rapid and efficient which provides a reliable and efficient way for FIR filter.Key words：digital filter；FIR；window；MATLAB目 錄1.緒論11.1.數(shù)字濾波器11.2.數(shù)字濾波器的概述11.3.研究目的和意義12.FIR數(shù)字濾波器的簡介32.1.FIR數(shù)字濾波器的概念32.2.FIR數(shù)字濾波器的工作原理32.3.FIR數(shù)字濾波器的種類32.4.FIR數(shù)字濾波器的特點32.5.FIR數(shù)字濾波器的設計原理43.FIR數(shù)字濾波器的設計53.1.頻率抽樣設計法設計FIR濾波器簡介53.2.等波紋最佳逼近法設計簡介53.3.窗函數(shù)法設計FIR濾波器介紹64.利用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器94.1.基本原理分析94.2.窗函數(shù)設計方法94.3.設計實例124.4.窗函數(shù)法計算中的主要問題135.MATLAB簡介與數(shù)字濾波器的MATLAB實現(xiàn)155.1.MATLAB軟件及其公司簡介155.1.1. MATLAB簡介155.1.2. MATLAB發(fā)展歷程155.1.3. MATLAB 2012b 版新增功能155.2.MATLAB實現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器155.2.1. MATLAB實現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的設計過程155.2.2. 程序流程圖及程序165.2.3. 程序運行結果圖205.3. Sumilink仿真235.4. 結果與分析285.4.1. MATLAB的“.m”文件實現(xiàn)窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器285.4.2. MATLAB的Simulink仿真實現(xiàn)窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器286.總結29參考文獻30致 謝3131利用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器1. 緒論1.1. 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器是一種對信號進行過濾的過濾裝置。數(shù)字濾波器的功能是處理輸入的離散信號，以及改變信號的頻譜。數(shù)字濾波器在60年代中期是一個術語。隨著計算機技術和大規(guī)模集成電路的飛速發(fā)展，數(shù)字濾波器可以實現(xiàn)計算機軟件和大規(guī)模集成數(shù)字硬件6。數(shù)字濾波器是一個針對離散時間進行處理的系統(tǒng)。它的功能通俗地講，就是根據(jù)預定的算法，將輸入的離散時間信號進行處理、過濾，輸出為要求的離散時間信號。模擬信號的數(shù)字濾波處理對應的模擬頻率，我們必須限制帶，采樣和輸入的模擬信號的模擬數(shù)字轉換1。數(shù)字頻率的數(shù)字濾波器的輸入信號（2* F / FS，F(xiàn)為模擬信號的頻率，F(xiàn)S的采樣頻率，在模擬頻率差），根據(jù)奈奎斯特采樣定理，使光譜采樣信號不重疊，應小于折疊頻率（WS / 2 =）2，在的周期重復特性折區(qū)間其頻率響應，和頻率=對稱點。數(shù)字輸出信號的數(shù)字濾波處理，數(shù)字模擬轉換，平滑處理，可以模擬信號。數(shù)字濾波器具有精度高，可靠性高的特點，可編程的變化特征或重復使用，易于集成。數(shù)字濾波器被廣泛應用于語音信號處理，圖像信號處理，生物醫(yī)學信號處理等方面的應用。數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。也可以分為時不變的，時變的，因果的，非因果的、線性的和非線性的。1.2. 數(shù)字濾波器的概述數(shù)字濾波一般使用于語音和圖像處理，模式識別，高清晰度電視，光譜分析應用程序的領域。在和模擬濾波器相比之下，數(shù)字濾波器可以滿足濾波器對幅度和相位特性的嚴格要求。數(shù)字濾波器可以避免電壓漂移，溫度漂移和噪聲等問題，而模擬濾波器卻無法克服上述問題。有限脈沖響應（FIR）濾波，由于FIR系統(tǒng)為零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，容易實現(xiàn)的FFT算法，運算速度快，功能和設計線性相位更靈活，所以FIR數(shù)字濾波器廣泛應用于工程實踐5。提到FIR數(shù)字濾波器，不得不提到分布算法。分布式算法是一種實現(xiàn)乘加運算的方法，與傳統(tǒng)算法相比，乘加不同的是不同的執(zhí)行部分產品的操作順序。簡單的說，在完整的乘法和添加劑的作用是部分產品各相應位置輸入數(shù)據(jù)之前添加到表格的繪制出相應的部分分布式算法，然后對產品的每一部分都積累形成的最終結果，但傳統(tǒng)的算法是在所有的產品已添加到完成乘法添加操作。分布式的優(yōu)點是減少了硬件電路的體積，實現(xiàn)流水線處理，從而提高執(zhí)行速度。1.3. 研究目的和意義在數(shù)字信號處理中，數(shù)字濾波器是一種最常用的單位。它是用于輸入信號x N頻率特性的具體變化，為Y N輸出序列。與IIR濾波器相比，F(xiàn)IR濾波器的設計實現(xiàn)具有以下優(yōu)點：:1，相位響應可以是嚴格線性的，所以它沒有延遲失真，只有固定的時間延遲。2，由于不存在穩(wěn)定性問題，所以設計比較簡單。3，只含有真正的算法，不涉及復雜的算法，而不需要遞歸的。 此外，我們也應該看到，IIR濾波器由于其簡單的設計，它主要是用來設計如低通，高通，帶通和帶阻濾波器的分段恒定的性質，而不是從模擬濾波器模式10。但是，F(xiàn)IR濾波器是更靈活的，尤其是他易于適應某些特殊應用，如數(shù)字微分器或希爾伯特變換器，所以，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有更大的適應性和廣泛的應用領域。2. FIR數(shù)字濾波器的簡介2.1. FIR數(shù)字濾波器的概念FIR(Finite Impulse Response)濾波器：有限脈沖響應濾波器，是數(shù)字信號處理系統(tǒng)中最基本的元素，它可以保證所有的幅頻特性和嚴格的線性相位頻率特性，與單位取樣響應是有限的，所以該濾波器是穩(wěn)定系統(tǒng)。因此，F(xiàn)IR濾波器被廣泛用于通信領域，圖像處理，模式識別，等等。2.2. FIR數(shù)字濾波器的工作原理在FIR濾波器，首先將信號通過A/D模數(shù)轉換裝置，使得數(shù)字信號的8位逐次逼近型，在A / D轉換器一般可用高的速度，無論是Mac或分布式算法設計的FIR濾波器，濾波器的輸出數(shù)據(jù)是一個序列，以使它的直覺反應，還需要通過數(shù)字模擬轉換，所以由FPGA的FIR濾波器的輸出應當與D/A模塊連接。FPGA的內部邏輯陣列的結構和豐富的互連資源，特別適合于數(shù)字信號處理任務，與一般的DSP芯片的串行操作為主，更好的并行性和可擴展性，使用FPGA MAC的快速算法，可以高速FIR數(shù)字濾波器的設計。2.3. FIR數(shù)字濾波器的種類目前，F(xiàn)IR濾波器的硬件實現(xiàn)具有以下幾個方面：一是使用一個通用的數(shù)字濾波電路，該電路雖然簡單易用，但其缺陷是長度和秩序不規(guī)范，所以在實際應用時不易完全滿足實際需要。但由于多個擴展可以滿足使用要求，可這樣又會增加體積和功耗。因此在實際應用中有一定的局限性。另一個是DSP芯片。隨著數(shù)字信號處理功能的DSP芯片可以被調用，可以實現(xiàn)相對簡單的FIR濾波器，缺點是芯片的程序順序執(zhí)行，所以速度限制。即使是同一家公司，如果不同系統(tǒng)的DSP芯片，其編程指令也不同，需要較長的開發(fā)周期。還有一種是可編程邏輯器件的使用，F(xiàn)PGACPLD。FPGA具有規(guī)則塊陣列和豐富的互連資源的內在邏輯，特別適用于細粒度和實現(xiàn)的并行FIR濾波器結構的高度，與通用DSP芯片的串行操作龍頭相比，并行性和可擴展性更好。2.4. FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字信號處理的主要目的是研究數(shù)字或符號的序列表示的信號波形，并用數(shù)字的方式來處理這些序列，將其轉變成在一個形式感多大希望，為了估計信號的特征參數(shù)，或削弱冗余分量信號和增強信號中的有用成分。有限脈沖響應（FIR）數(shù)字濾波器可以用嚴格的線性相位，振幅特征也可以有任意的。此外，F(xiàn)IR濾波器的單位取樣響應是有限的，所以過濾器必須是穩(wěn)定的。再次，只要有一定的延遲后，任何非因果序列的有限長度可以變成一個有限長度的序列的因果關系，所以總是用因果系統(tǒng)。最后，F(xiàn)IR濾波器的單位脈沖響應是有限的，通過傅立葉變換，對信號進行濾波，從而可以大大提高計算效率。然而，為了獲得良好的衰減特性的FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器H(z)的階次比IIR濾波器的要高。2.5. FIR數(shù)字濾波器的設計原理一個截止頻率為(rad/s)的理想數(shù)字低通濾波器，其傳遞函數(shù)的表達式是： (2.5-1)由式2.5-1可得，此沖激響應具有無限性和因果性，所以這樣的濾波器在實際中是不可能實現(xiàn)的。為了產生有限長度的沖激響應函數(shù)，我們取樣響應為，長度為N，其系數(shù)函數(shù)為： (2.5-2)用表示截取后沖激響應，即，式子中為窗函數(shù)，長度為N。當=(N-1)/2時，截取的一段對(N-1)/2對稱，可以設計出有線性相位的濾波器。一般來說，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器輸出的Z變換形式Y(z)與輸入的Z變換形式之間的關系如下： (2.5-3)根據(jù)上述的Z變換和結構圖可得出FIR濾波器的差分方程表示形式。對式2.5-3進行反Z變換，可得： (2.5-4)圖2.5-1卷積型濾波器式(2.5-4)為FIR數(shù)字濾波器的時域表示方法，其中是在時間n的濾波器的輸入抽樣值。根據(jù)式(2.5-4)即可對濾波器進行設計。從上面可以看出，根據(jù)濾波器的設計方法，使整個設計過程的運算量將是巨大的。設計完成后對已設計的濾波器的頻率響應進行校核，運算量也很大。在數(shù)字濾波器的設計過程中，需要與設計要求的變化和過濾效果，繼續(xù)調整，以達到優(yōu)化設計。在這種情況下，應進行計算機輔助設計，利用MATLAB工具，可以快速和有效的數(shù)字濾波器的設計，大大減少了計算量。 3. FIR數(shù)字濾波器的設計3.1. 頻率抽樣設計法設計FIR濾波器簡介頻率采樣法是根據(jù)頻域采樣定理，從頻域出發(fā),對給定的理想濾波器的頻率響應加以等間隔的抽樣 ，得到： k=0,1,N-1 （3.1-1）再利用可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應。在每個采樣點的頻率響應的加權內疊加插值功能擴展的結果。但對于一個無窮序列，頻率采樣法必須有一個給定的近似誤差，誤差取決于理想的形狀的頻率響應曲線，轉換更溫和的理想的頻率響應特性，插值函數(shù)值越接近理想值，誤差越小。在相應的過渡頻帶的插入連續(xù)采樣點，擴展過渡帶上連續(xù)，使通帶和阻帶之間的轉換是比較緩慢，可以提高近似的質量。 選取w0,2內N個采樣點的約束條件為： （3.1-2）其中，增大阻帶的衰減的主要方法有兩種：1）過渡帶的優(yōu)化設計2）加寬過渡帶寬如果要進一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點數(shù)N。其代價是濾波器階數(shù)增加，運算量增加。直接從頻域進行設計，物理概念清楚，直觀方便；適合于窄帶濾波器設計，這時頻率響應少有幾個難以控制截止頻率的非零值。3.2. 等波紋最佳逼近法設計簡介通常線性相位濾波在不同的頻帶內逼近的最大容許誤差要求不同。等波紋切比雪夫逼近準則就是通過通帶和阻帶使用不同的加權函數(shù),從而實現(xiàn)其最大誤差達到最小值，即使得 和之間的最大絕對誤差最小。等波紋切比雪夫逼近是采用加權逼近誤差，它可以表示為： (3.2-1)其中，為逼近誤差加權函數(shù)在誤差要求高的頻段上，可以取較大的加權值，否則，應當取較小的加權值。 盡管按照 FIR 數(shù)字濾波器單位取樣響應 h(n)的對稱性和 N的奇、偶性，F(xiàn)IR 數(shù)字濾波器可以分為 4 種類型，但濾波器的頻率響應可以寫成統(tǒng)一的形式： (3.2-2)式3.2-2中，k的范圍是0 ,1 , 其中式中的H()是純實數(shù)，代表幅度，表達式的統(tǒng)一的形式是： (3.2-3)其中，為的固定函數(shù)，為M個余弦函數(shù)的線性組合。3.3. 窗函數(shù)法設計FIR濾波器介紹實際應用的窗函數(shù)，可分為以下主要類型：1、冪窗-采用時間變量t為某種冪次的函數(shù)，矩形窗、三角形窗、梯形窗都是冪窗；2、三角函數(shù)窗-正弦或余弦函數(shù)等組合成復合函數(shù)，如漢寧窗、海明窗等；3、指數(shù)窗-采用指數(shù)時間函數(shù)，如形式，例如高斯窗等。下面介紹幾種常用窗函數(shù)的性質和特點。（1）矩形窗矩形窗屬于時間變量的零次冪窗，函數(shù)形式為: (3.3-1)相應的窗譜為： (3.3-2)矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點是主瓣比較集中，可是同時使旁瓣較高，并有負旁瓣，還使變換中摻雜了高頻干擾和泄漏，出現(xiàn)負譜2。圖3.3-1矩形窗的時域及頻域波形（2）三角窗亦稱費杰(Fejer)窗，是冪窗的一次方形式，其函數(shù)形式是： (3.3-3)三角窗的主瓣寬約等于矩形窗的主瓣寬的兩倍。但三角窗旁瓣小，而且無負旁瓣，如下圖所示。圖3.3-2三角窗的時域及頻域波形（3）漢寧(Hanning)窗漢寧窗又稱升余弦窗，其時域表達式為： (3.3-4)相應的窗譜為： (3.3-5)由此式可以看出，漢寧窗的時間窗的頻譜是3個矩形窗之和，或者說是 3個 sin(t)型函數(shù)之和，而括號中的兩項是為了讓旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能，于是向左、右各移動了 /T個單位。由此可知，漢寧窗主瓣加寬、降低，旁瓣則減小，所以漢寧窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當于降低頻率的分辨率，加寬分析帶寬。（4）海明(Hamming)窗海明窗是余弦窗的，也可以稱為改進的升余弦窗，它的時間函數(shù)表達式： (3.3-6)其窗譜為： (3.3-7)海明窗與漢寧窗都是余弦窗，只是加權系數(shù)不同。海明窗加權的系數(shù)能使旁瓣達到更小。有上述分析可得知，海明窗比漢寧窗衰減速度慢。海明窗與漢寧窗都是很有用的窗函數(shù)。（5）高斯窗高斯窗是一種指數(shù)窗。其時域函數(shù)為： (3.3-8)式中a為常數(shù)，決定了函數(shù)曲線衰減的快慢。選取適當?shù)腶值，則截斷造成的影響就比較小。高斯窗譜無負的旁瓣，第一旁瓣衰減達一55 dB。高斯窗的頻率分辨率低，故而主瓣較寬。所以高斯窗函數(shù)可以用與截斷指數(shù)衰減信號等一些非周期信號根據(jù)不同的窗函數(shù)的特點,恰當?shù)倪x擇窗函數(shù)可以抑制信號的截斷產生的能量泄漏和柵欄效應。圖3.3-3是窗函數(shù)的時域和頻域波形。矩形窗的特點是主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低；布萊克曼窗的特點是主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高。圖3.3-3幾種常用的窗函數(shù)的時域和頻域波形對于窗函數(shù)，還有一些要求：1）主瓣歸一化的幅度下降到-3dB。2）最大邊瓣峰值A(dB)。3）邊瓣譜峰漸進衰減速度D(dB/cot)。所以，有最小的A、B，和最大的D是理想的窗函數(shù)應當具有的條件。4. 利用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器4.1. 基本原理分析設數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為,是與其對應的單位脈沖響應, 為系統(tǒng)函數(shù)。 (4.1-1) (4.1-2) (4.1-3) 一般說來, 是無限長的,需要求對的一個逼近。故，當采用窗函數(shù)設計法時,可加窗設計濾波器 (4.1-4)其中, 的窗長度有限,在區(qū)間0 n N外值為0 ,且關于中間點對稱 (4.1-5)頻率響應根據(jù)(4.1-5) ,由卷積定理得出 (4.1-6)理想的頻率響應被窗函數(shù)的離散時間傅立葉變換“平滑”了。采用窗函數(shù)設計法設計出來的濾波器的頻率響應對理想響應的逼近程度,由兩個因素決定:即,主瓣的寬度和旁瓣的幅度大小。理想的情況是主瓣的寬度窄,旁瓣的幅度小。但長度固定的窗函，不能獨立地將主瓣的寬度變窄,旁瓣的幅度變小。窗函數(shù)的性質為:1、窗函數(shù)隨著長度N的增加,主瓣的寬度減小,過渡帶也隨之變小。關系為:NB = C其中:B是過渡帶的寬度; C是一個參數(shù)，且取決于窗函數(shù)。如矩形窗為4。調整N只能控制過渡帶的寬度,但改變不了主瓣和旁瓣的相對比例。2、窗函數(shù)的旁瓣的幅度大小取決于窗函數(shù)的選擇。減小旁瓣的幅度，可以增加主瓣的能量含量,可以減少通帶和阻帶的波動,使通帶趨近水平,阻帶盡量達到最大衰減。旁瓣幅度的減小會使過渡帶會變寬。3、取不同的窗函數(shù)對幅度特性的整形效果。4.2. 窗函數(shù)設計方法窗函數(shù)設計方法也叫傅里葉級數(shù)法。一般是先給出所要求的理想的濾波器的頻率響應，要求設計一個FIR濾波器頻率響應來逼近。設計是在時域進行的，因而先由的傅里葉反變換導出，即 (4.2-1)由于是矩形頻率響應特性，故一定是無限長序列，且是非因果的，而FIR濾波器的必然是有限長的，所以要用有限長的來逼近無限長的，最有效的方法是截斷或者說用一個有限長度的窗口函數(shù)序列來截取，即 (4.2-2)所以，選擇的關鍵就是窗函數(shù)序列的長度及形狀的。我們以一個截止頻率為的線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波器為例來討論。設低通特性的群延時為，即 (4.2-3)這表明，在通帶范圍內，的幅度是均勻的，其值為1，相位是。利用(1)式可得 (4.2-4)是中心點在的偶對稱無限長非因果序列，取矩形窗，得到有限長的，即。但是按照線形相位濾波器的約束，必須是偶對稱的，對稱中心應為長度的一半(N-1)/2，因而必須=(N-1)/2，所以有 (4.2-5)將(4.2-4)代入(4.2-5)，可得 (4.2-6)此時，一定滿足這一線性相位的條件。下面求的傅里葉變換，也就是找出待求FIR濾波器的頻率特性，以便能看出加窗處理后究竟對頻率響應有何影響。按照復卷積公式，在時域是相乘、頻域上是周期性卷積關系，即 (4.2-7)因而逼近的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特性。窗函數(shù)的頻率特性為 (4.2-8)對矩形窗，則有 (4.2-9)也可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù) (4.2-10)其中 (4.2-11)就是頻域抽樣內插函數(shù)，其幅度函數(shù)在之內為一個主瓣，兩側形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應也寫成 (4.2-12)則其幅度函數(shù)為 (4.2-13)4.3. 設計實例線性相位FIR低通濾波器的設計(用窗函數(shù)法)。指標要求:通帶截止頻率:0.2,阻帶起始頻率:0.4,阻帶最小衰減:-50dB。(1)設為理想線性相位濾波器 （4.3-1）通過所需低通濾波器的過渡帶的值，可求出理想低通濾波器的截止數(shù)字頻率=0.3,得出:（4.3-2）(2)由阻帶衰減確定窗函數(shù),由過渡帶寬確定N值。阻帶最小衰減50dB,比對6種窗函數(shù)基本參數(shù)選定窗函數(shù)為海明窗。所要求的過渡帶寬:=0.4-0.2=0.2N=6.6/0.2=33,=(N-1)/2=16(3)由海明窗函數(shù)確定FIR濾波器的h(n)。 （4.3-3）得出： （4.3-4）(4)仿真檢驗各項指標,得出結論:滿足設計要求。取N=33,偶對稱,得:過渡帶寬:0.3476563,第一通帶波紋:0.020837dB,第一阻帶最小衰減:60.9159dB。圖4.3-1 例中設計的線性相位FIR低通濾波器幅度響應曲線(海明窗)4.4. 窗函數(shù)法計算中的主要問題首先當很復雜時，或者條件不符合直接計算積分時，則須用求和來代替積分，以方便計算。換句話說，就是要計算離散傅里葉反變換，即采用FFT來計算。將積分限分成M段，也就是令抽樣頻率為（1，2，M-1） （4.4-1）則有 （4.4-2）頻域的抽樣造成時域序列的周期延拓，延拓周期是M，即 （4.4-3）由于有可能是無限長的序列，因而嚴格的說，必須時才能等于而不產生混疊現(xiàn)象，即 （4.4-4）實際上，由于隨著n的值得增加，其衰減很快，所以只要M足夠大，即MN，才可以滿足條件。另外，窗函數(shù)設計法為滿足給定的頻率響應指標，應該先確定點數(shù)N和形狀。不過這一問題可利用計算機采用累試法加以解決。一般在設計凱澤窗時，則零階變形貝塞爾函數(shù)可采用無窮級數(shù)來表達 （4.4-5）可以用有限項級數(shù)去近似公式中的無窮級數(shù)，而項數(shù)的多少，是由要求精度來確定的。窗函數(shù)法的優(yōu)點是很實用，因為它簡單，又有閉合形式的公式可循。但其缺點是通帶、阻帶的截止頻率不易控制。這就需要對FIR濾波器進行優(yōu)化設計。5. MATLAB簡介與數(shù)字濾波器的MATLAB實現(xiàn)5.1. MATLAB軟件及其公司簡介5.1.1. MATLAB簡介MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環(huán)境3。MATLAB和Mathematica、Maple、MathCAD并稱為四大數(shù)學軟件。它在數(shù)學類科技應用軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指。MATLAB主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等諸多領域。5.1.2. MATLAB發(fā)展歷程20世紀70年代，美國新墨西哥大學計算機科學系主任Cleve Moler用FORTRAN編寫了最早的MATLAB。1984年，Little、Moler、Steve Bangert合作成立了MathWorks公司，把MATLAB推向市場。到20世紀90年代，MATLAB已成為國際控制界的標準計算軟件4。5.1.3. MATLAB 2012b 版新增功能桌面方面：在 MATLAB Desktop 中，工具條取代了菜單和工具欄；單一文件應用程序打包為一個 MATLAB 應用軟件安裝程序文件，包含在應用程序庫中，重新設計的“幫助”改進了瀏覽、搜索和篩選功能；通過點擊選項卡來進行瀏覽，可同時查看多個文檔頁面；在命令行窗口中鍵入函數(shù)和變量出錯時得到建議的更正；Mac 操作系統(tǒng)上的全屏查看模式7。語言和編程方面：Abstract 屬性可將 MATLAB 類聲明為抽象類；嘗試創(chuàng)建抽象類的實例時出現(xiàn)的診斷消息得到了改進。數(shù)學方面：airy, psi 和 Bessel 函數(shù)的性能得到改進，并實現(xiàn)多線程；ddensd 函數(shù)通過狀態(tài)相關延遲可以求解中立型延遲微分方程。數(shù)據(jù)導入和導出方面：增加了可從分隔符文本文件和固定寬度文本文件的功能；使用導入工具以列向量的方式將電子表格中的數(shù)字、文本和日期單步導入；可讀取和寫入 MP3、MPEG-4 AAC、WAVE 等音頻文件；讀寫超過 4 GB 的 BigTIFF 圖像文件；使用 xlsread 函數(shù)在所有平臺上讀取 XLSM、XLTX 和 XLTM 文件。5.2. MATLAB實現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器5.2.1. MATLAB實現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的設計過程窗函數(shù)法由于簡單、物理意義清晰，因而得到了較為廣泛的應用。用MATLAB實現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)法設計的思路是：首先為使其幅頻特性逼近理想濾波器幅頻特性的技術指標要求，選取合適的階數(shù)N和窗函數(shù)的類型8。從數(shù)學上講，窗函數(shù)法就是將無限長的hd(n) 進行截斷。簡而言之，用窗函數(shù)法設計FIR濾波器是在時域進行的，先用傅里葉變換求出理想濾波器單位抽樣相應hd(n)，然后加時間窗w(n)對其進行截斷，以求得FIR 濾波器的單位抽樣響應h(n)。窗函數(shù)通過截短和平滑的作用，提高濾波器的性能，或減少濾波器階數(shù)。選窗標準：1. 較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣；2. 旁瓣幅度要下降得快，以利于增加阻帶衰減；3. 主瓣寬度要窄，這樣濾波器過渡帶較窄。如果這三點不能同時滿足時，有兩種選擇方式。一，選用較窄的主瓣寬度，得到較陡峭的幅頻特性。不過通帶、阻帶波動會明顯增加。二，選用的旁瓣幅度較低，得到平緩勻滑的幅頻特性較，過渡帶變的比較寬。因此，實際的選擇往往是取折衷9。利用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器，就是根據(jù)不同窗函數(shù)的特性來做出折中的選擇方案，根據(jù)其參數(shù)特點來優(yōu)化設計出的FIR數(shù)字濾波器的。根據(jù)過渡帶寬及阻帶衰減要求，選擇窗函數(shù)的類型并估計窗口長度N設定為33，截止頻率wc=/4，利用矩形窗、漢寧窗、哈明窗和布萊克曼函數(shù)設計低通濾波器，并對比幅度譜和損耗特性。5.2.2. 程序流程圖及程序開始讀入窗口長度N計算hd(n)調用窗函數(shù)子程序求w(n)調用子程序（函數(shù)）計算H(k)=DFTh(n)調用繪圖子程序（函數(shù)）繪制H(k)幅度相位曲線結束計算h(n)= hd(n) w(n)圖5.2.2-1：主程序框圖程序一：N=33; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m);wn=boxcar(N);hn=hdn.*(wn);H,w=freqz(hn,1,1024,whole);dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figure(1);subplot(1,3,1);stem(n,hn,.);xlabel(n);ylabel(h(n);title(N=33h(n);subplot(1,3,2);plot(w,abs(H);xlabel(w);ylabel(H(jw);title(h(n);axis(0,3,0,1.5);subplot(1,3,3);plot(w/pi,dbH);xlabel(w/pi);ylabel(dB);title();axis(0,1,-110,0);N=33; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m);wn=hanning(N);hn=hdn.*(wn);H,w=freqz(hn,1,1024,whole);dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figure(2);subplot(1,3,1);stem(n,hn,.);xlabel(n);ylabel(h(n);title(h(n);subplot(1,3,2);plot(w,abs(H);xlabel(w);ylabel(H(jw);title(h(n);axis(0,3,0,1.5);subplot(1,3,3);plot(w/pi,dbH);xlabel(w/pi);ylabel(dB);title();axis(0,1,-110,0);N=33; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m);wn=hamming(N);hn=hdn.*(wn);H,w=freqz(hn,1,1024,whole);dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figure(3);subplot(1,3,1);stem(n,hn,.);xlabel(n);ylabel(h(n);title(h(n);subplot(1,3,2);plot(w,abs(H);xlabel(w);ylabel(H(jw);title(h(n);axis(0,3,0,1.5);subplot(1,3,3);plot(w/pi,dbH);xlabel(w/pi);ylabel(dB);title();axis(0,1,-60,0);N=33; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m);wn=blackman(N);hn=hdn.*(wn);H,w=freqz(hn,1,1024,whole);dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figure(4);subplot(1,3,1);stem(n,hn,.);xlabel(n);ylabel(h(n);title(h(n);subplot(1,3,2);plot(w,abs(H);xlabel(w);ylabel(H(jw);title(h(n);axis(0,3,0,1.5);subplot(1,3,3);plot(w/pi,dbH);xlabel(w/pi);ylabel(dB);title();axis(0,1,-100,0);程序二：N=15; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m);wn=hanning(N);hn=hdn.*(wn);H,w=freqz(hn,1,1024,whole);dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figure(1);subplot(2,2,1);stem(n,hn,.);xlabel(n);ylabel(h(n);title(N=15h(n);subplot(2,2,2);plot(w,abs(H);xlabel(w);ylabel(H(jw);title(h(n);axis(0,3,0,1.5);subplot(2,2,3);plot(w,angle(H);xlabel(w);ylabel(w);title(h(n);axis(0,3,-4,4);subplot(2,2,4);plot(w/pi,dbH);xlabel(w/pi);ylabel(dB);title();axis(0,1,-110,0);N=33; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m);wn=hanning(N);hn=hdn.*(wn);H,w=freqz(hn,1,1024,whole);dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figure(2);subplot(2,2,1);stem(n,hn,.);xlabel(n);ylabel(h(n);title(N=33h(n);subplot(2,2,2);plot(w,abs(H);xlabel(w);ylabel(H(jw);title(h(n);axis(0,3,0,1.5);subplot(2,2,3);plot(w,angle(H);xlabel(w);ylabel(w);title(h(n);axis(0,3,-4,4);subplot(2,2,4);plot(w/pi,dbH);xlabel(w/pi);ylabel(dB);title();axis(0,1,-110,0);上傳前我特意把兩個程序的完整版替換過來了，MATLAB的“.m”文件可以直接運行出結果圖的。5.2.3. 程序運行結果圖圖5.2.3-1 用矩形窗函數(shù)設計FIR濾波器圖5.2.3-2 用漢寧窗函數(shù)設計FIR濾波器圖5.2.3-3 用哈明窗函數(shù)設計FIR濾波器圖5.2.3-4 用布萊克曼函數(shù)設計FIR濾波器窗函數(shù)類型確定后，其計算公式也確定了，不過這些公式是近似的，得出的窗口長度還要在計算中逐步修正。將N分別為15和33時，用漢寧窗函數(shù)設計FIR低通濾波