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文檔簡介

1 相似矩陣 第二節(jié) 2 一 相似矩陣的概念和性質(zhì) 定義 對于n階方陣A和B 若存在n階可逆方陣P 使得 則稱A與B相似 記為 矩陣的 相似 關(guān)系具有以下特性 1 反身性 2 對稱性 證 3 傳遞性 證 3 相似矩陣的性質(zhì) 定理 相似矩陣有相同的特征多項式 從而特征值相同 證 推論1相似矩陣的行列式相等 推論2相似矩陣的跡相等 4 注意 特征值相同的矩陣不一定相似 但它們不相似 因為對任意可逆陣P 即與E相似的矩陣只有它自己 相似矩陣的其它性質(zhì) 相似矩陣的秩相等 5 A B同為可逆或不可逆 可逆時它們的逆矩陣及伴隨矩陣也分別相似 只證 3 其余證明留作練習(xí) 1 2 3 4 5 6 6 例1 解 另解 相似矩陣有相同的特征多項式 由 得 7 計算上面兩個行列式 得到 比較等式兩邊同次冪的系數(shù) 得 8 n階矩陣A與一個對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量 二 矩陣可相似對角化的條件 定理 如果一個矩陣能與一個對角陣相似 稱該矩陣可以 相似 對角化 證 必要性 設(shè)A與一個對角陣相似 即存在一個可逆 陣P 使 9 即 即 即得 必要性得證 上述步驟倒過來寫 即得充分性證明 10 推論1如果矩陣A的特征值互不相同 則A必可對角化 因為屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的 注意 這個條件是充分的而不是必要的 如果A的特征方程有重根 此時不一定有n個線性無關(guān)的特征向量 從而矩陣A不一定能對角化 但如果能找到n個線性無關(guān)的特征向量 A還是能對角化 即齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含的向量個數(shù)等于特征根的重數(shù) 11 解 例2 12 特征向量 特征向量 13 特征向量 特征向量 特征向量 14 令 則 15 解 特征向量 求可逆陣P 16 特征向量 可對角化 17 解 只有一個線性無關(guān)的特征向量 所以不能對角化 求可逆陣P 18 例5 解 得A的特征值為 19 20 例6 解 21 從而A可相似對角化 秩為1 22 從而A不可相似對角化 秩為2 23 一般來說 求矩陣的高次冪比較困難 但若矩陣A能對角化 即存在

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