δ函數(shù)的物理性質(zhì)分析.doc

山西師范大學(xué)本科畢業(yè)論文函數(shù)的物理性質(zhì)分析姓 名陳曉林院 系物理與信息工程學(xué)院專 業(yè)物理學(xué)班 級(jí)0901學(xué) 號(hào)0952010142指導(dǎo)教師楊虎答辯日期成 績 函數(shù)的物理性質(zhì)分析內(nèi)容摘要研究函數(shù)在物理學(xué)中的作用是應(yīng)用用數(shù)學(xué)方式處理問題的一個(gè)典型。這個(gè)函數(shù)作為奇函數(shù)之中的一種，其所特有的優(yōu)越性也在解決物理方面問題的同時(shí)顯示了出來。這篇文章在介紹函數(shù)的定義及其性質(zhì)的同時(shí)，同樣也分析了函數(shù)的物理意義，而且主要分析了函數(shù)在物理學(xué)中的作用。并且也舉例函數(shù)在物理的各個(gè)學(xué)科中的不同的應(yīng)用，從而對(duì)函數(shù)有了特別全面的了解，同時(shí)能夠?qū)τ脭?shù)學(xué)的方法處理物理問題時(shí)有更高層次的理解和認(rèn)識(shí)?！娟P(guān)鍵詞】函數(shù) 安培環(huán)路定理 勢(shì)阱Analysis of physical properties of Dirac functionAbstractDelta function is a typical example solving physical problems by mathematical method. As a singular function, in solving physics problems it demonstrated unique advantages. This paper introduces the definition and properties of Delta function, based on analyzed the physical meaning of Delta function, focusing on the Delta function in the application of physical. It cited the application of different physical disciplines, and thus Delta function has a more comprehensive understanding to the mathematical treatment of physical problems have a higher level of understanding and awareness. 【key words】: function Amperes cycle law Potential well目錄引言 （1）一、函數(shù)的定義（definition of Delta Function）（1）1.1類似于初等函數(shù)形式的定義（1）1.2普通函數(shù)序列極限形式的定義式（2）1.3廣義函數(shù)形式的定義（3）1.4comb(x)梳狀函數(shù)（4）二、函數(shù)的物理性質(zhì)及其解釋（4）2.1函數(shù)的篩選性（4）2.2函數(shù)的積分性（5）2.3函數(shù)坐標(biāo)的縮放性（5）2.4函數(shù)的乘積性質(zhì)（6）2.5函數(shù)的傅里葉變換（8）三、函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用（8）3.1函數(shù)在電磁學(xué)中兩大定理證明中的應(yīng)用（8）3.2函數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用（11）3.3函數(shù)在光學(xué)中的應(yīng)用（11）3.4勢(shì)在勢(shì)阱中的穿透作用（12）參考文獻(xiàn)（14）致謝（15）3函數(shù)的物理性質(zhì)分析學(xué)生姓名：陳曉林 指導(dǎo)教師：楊虎引言 函數(shù)作為一個(gè)為了描述一些寬度極為窄小，而幅度趨于無窮大的物理量而被引入到物理中1，例如：質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源或者其他一些高度集中的物理量，所以函數(shù)又叫做脈沖函數(shù)。近現(xiàn)代的物理學(xué)中對(duì)函數(shù)有著很廣泛的應(yīng)用，而且函數(shù)是作為一個(gè)描述物理學(xué)中物理模型的數(shù)學(xué)工具，因此，我們學(xué)習(xí)物理的過程中就不可避免的要用到數(shù)學(xué)方面的知識(shí)，所以函數(shù)對(duì)于我們學(xué)習(xí)物理學(xué)有很大的幫助。在國內(nèi)外的物理學(xué)家里面對(duì)函數(shù)也有很多的研究，并且還在不斷的探尋它對(duì)于物理學(xué)的應(yīng)用。本篇文章主要研究了函數(shù)的一些基礎(chǔ)性的應(yīng)用，函數(shù)的幾種定義方法，函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用等等。其他的文章雖然也是研究的這幾個(gè)方面的知識(shí)，但是這篇文章主要研究了函數(shù)性質(zhì)中的物理性質(zhì)的解釋以及它在物理學(xué)的各個(gè)學(xué)科中有著怎樣的應(yīng)用，并且給舉出了一些例子。一、函數(shù)的定義（definition of Delta Function）1.1類似于初等函數(shù)形式的定義對(duì)于自變量一維的狄拉克函數(shù)-（x）來說，它滿足于下面的條件：(x)= （1）并且(x)dx=1 （2）這說明，函數(shù)在處全部為零，且在x=0處出現(xiàn)無窮大的極值，因此x=0處的點(diǎn)又稱為奇異點(diǎn)。但是不管是否趨近于無窮大，對(duì)于它的積分卻總是等于1.即對(duì)應(yīng)的函數(shù)的“面積”或“強(qiáng)度”是1，所以又稱為單位脈沖函數(shù)。上述函數(shù)是一維的函數(shù)表達(dá)式（見圖一（a），也是經(jīng)典定義下的傳統(tǒng)表達(dá)式，即函數(shù)必須同時(shí)滿足（1）和（2）式。函數(shù)，對(duì)于=1,2,4， 每一條曲線下方總面積為1函數(shù)除了一維的形式，還有二維（見圖一（b）、三維等多維的形式，如下是二維函數(shù)表達(dá)式： （1）或 （2）對(duì)于函數(shù)給出了類似普通函數(shù)形式的定義，然而定義式所描述的圖象并不普通，這個(gè)函數(shù)是一個(gè)在原點(diǎn)以外處處為零，而在原點(diǎn)出現(xiàn)無窮型跳躍的函數(shù)。表面上看（2）式避開了“”這個(gè)問題，但函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸積分上等于1的規(guī)定，同樣包含了它在原點(diǎn)處存在無窮型跳躍這一奇異性態(tài)。因此，對(duì)于函數(shù)的定義式（1）和（2）實(shí)質(zhì)相同。它們都為函數(shù)建立了一個(gè)“非正統(tǒng)的普通函數(shù)”圖象，如一所示，一維函數(shù)是一個(gè)高度無限、寬度為零而“面積”為1的“脈沖”（見圖一（a）。 （a）一維函數(shù) （b）二維函數(shù)圖一 函數(shù)1.2普通函數(shù)序列極限形式的定義式 如果有一個(gè)序列，n=1，2，3，那么這個(gè)序列中的任何一個(gè)函數(shù)都滿足： 則 常用的函數(shù)有g(shù)aus函數(shù)、sinc函數(shù)以及rect函數(shù)等，即： 例如：，當(dāng)n逐漸增大時(shí)的圖形為：（b）又例如：，當(dāng)n逐漸增大時(shí)的圖形為：（a）（a）矩形脈沖序列 （b）高斯脈沖序列1.3廣義函數(shù)形式的定義或者 其中：是一個(gè)在（0,0）或處連續(xù)的任一函數(shù)。有一個(gè)函數(shù)只要這個(gè)函數(shù)在積分中的作用與上式一樣，那么就可以認(rèn)為它是函數(shù)?？傊?，函數(shù)不是一般的函數(shù)，它不像普通函數(shù)一樣完全由數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系來確定的。它是一個(gè)廣義函數(shù)，它的屬性完全由它在積分中的作用體現(xiàn)出來的。1.4comb(x)梳狀函數(shù)定義:是間隔為1的無窮多個(gè)函數(shù)的和（圖如下）。梳狀函數(shù)圖象 = =二、函數(shù)的物理性質(zhì)及其解釋2.1函數(shù)的篩選性函數(shù)的篩選性質(zhì)，根據(jù)一般的廣義的形式的定義就可以得到。篩選性單位脈沖函數(shù)與一個(gè)在t=0處連續(xù)且有界的信號(hào)f(t)相乘，它的乘積只有在x=0處得到f（0），其余各點(diǎn)的乘積都為零。 = = = =比如，在時(shí)，得到：2.2函數(shù)的積分性研究積分. 且由函數(shù)的定義可得,當(dāng)積分上限,積分值是0；當(dāng)，積分值是1.稱為階躍函數(shù)。即是的原函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，2.3函數(shù)坐標(biāo)的縮放性設(shè)n維常熟，且不為0，則有：=（n0）根據(jù)函數(shù)的坐標(biāo)縮放性質(zhì)，還得到了兩個(gè)推論，推論如下：推論1：= 說明函數(shù)具有對(duì)稱的性質(zhì)，它為偶函數(shù)，在幾何上表示函數(shù)圖形前后左右是對(duì)稱的，且它的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。推論2：例如：證明：由函數(shù)定義式可得： = =(x)(y) (1)同理可得 (2)根據(jù)使=,那么上式可以變?yōu)椋?= = (3) 同理可得， (4)把（3），（4）式的結(jié)果帶入到（2）式，能夠得出： =2.4函數(shù)的乘積性質(zhì)函數(shù)的這個(gè)特性也叫做函數(shù)的抽樣特性。它表示任何一個(gè)連續(xù)的函數(shù)和函數(shù)相乘，它的結(jié)果只能抽取此函數(shù)在函數(shù)所在點(diǎn)的函數(shù)值，這個(gè)離散點(diǎn)為，這樣就把一個(gè)連續(xù)函數(shù)與離散點(diǎn)聯(lián)系起來，可以對(duì)離散點(diǎn)進(jìn)行分析運(yùn)算2若f(x)在點(diǎn)處連續(xù)，就有：f(x)f(x) 由此得出推論： x=0和x=0例如：comb（ax）comb（by）=證明如下：由梳狀函數(shù)定義式comb（x）= (1)則有comb（ax）comb(by) = = (2)利用以及=（2）式變?yōu)閏omb（ax）comb（by） = =梳狀函數(shù)圖象2.5函數(shù)的傅里葉變換設(shè) f（x）；由卷積定理可知： 給等號(hào)兩邊同時(shí)作傅里葉變換，并利用卷積的性質(zhì)，若，則 式，可得： （1）所以 （2）也就是 推論： （3）（3）式表明了：常量的傅里葉變換（頻譜）是脈沖。三、函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用在物理學(xué)中經(jīng)常用Delta函數(shù)來描述某種極限狀態(tài)和高度集中的物理量。比如在電學(xué)里面經(jīng)常要用函數(shù)來表示點(diǎn)電荷、電脈沖；而在光學(xué)里面，函數(shù)則表示的是點(diǎn)光源或一個(gè)單位面積的空間脈沖。3.1函數(shù)在電磁學(xué)中兩大定理證明中的應(yīng)用3電磁學(xué)里面的兩個(gè)重要的定理：（1）Gauss定理；（2）安培環(huán)路定理。 3.1.1用函數(shù)證明安培環(huán)路定理 如下面圖中所示，在有電流的閉合回路中任一點(diǎn)處的電流密度為，則由畢奧-薩伐爾定律5知，這條回路中的電流在空間點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 （1） B沿回路L的積分曲線示意圖式中是源點(diǎn)位矢; ,為源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的位矢,把對(duì)任意一閉合回路求線積分,可得 （2）根據(jù)（1）式可只 （3）又因?yàn)?由于算符是對(duì)的微分算符,和沒關(guān)系,所以上式右面第一、四項(xiàng)是0,所以 上式右邊第一項(xiàng)是0，因?yàn)?上面式子中，因?yàn)榉e分區(qū)域包括所有的電流在內(nèi)，沒有電流流過的區(qū)域的界面，所以上面式子中面積分是0；因?yàn)樗惴蛔饔糜?，所以上式右面的體積分也是0.故， 根據(jù)上面綜合得出：這正是安培環(huán)路定理。3.1.2用函數(shù)證明高斯定理。如下圖2所表示的，是空間位置中處的點(diǎn)電荷，假設(shè)是空間任意一個(gè)閉合曲面，為上面的定向面元，以外法線方向?yàn)檎?，通過閉合曲面的電通量則是，那么得出 （注意：如果為空間中某一點(diǎn)處的位矢，是到空間上任意一點(diǎn)處的距離，知道）在此可以得到，若是空間上分布有許多個(gè)電荷，則電場(chǎng)通過任意一個(gè)閉合的曲面的電通量等于面內(nèi)的總電荷數(shù)除以，是這個(gè)就是高斯定理，證明結(jié)束。圖2電通量圖173.2函數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用例如：表示某質(zhì)點(diǎn)的密度4某一個(gè)位于y處于處的質(zhì)點(diǎn)，它的質(zhì)量為m，則該質(zhì)點(diǎn)的線分布密度可視為。證明：，且3.3函數(shù)在光學(xué)中的應(yīng)用例子：試用函數(shù)來描述線光源。解：用二維函數(shù)和分別表示在點(diǎn)x=0、y=0處和點(diǎn)、處的點(diǎn)官員；而或可以分別表示與y軸重合或者與y軸平行的線光源。式x軸方向上的一維函數(shù)，對(duì)每一個(gè)y值s（x，y）都是一個(gè)位于點(diǎn)的、面積為1的函數(shù)。它在x方向高度集中，在y方向均勻分布，所以，式一個(gè)位于直線上、具有強(qiáng)度的線光源。當(dāng)然，實(shí)際線光源不一定沿坐標(biāo)軸方向放置，在xoy坐標(biāo)軸面上可呈任意方位，此時(shí)就能夠用更為普通的函數(shù)表式為 （1）其中a、b、c式常數(shù)只有ax+by+c=0，即平面上的點(diǎn)（x，y）位于該方位直線上時(shí)，才能有。式（1）可以表示成一個(gè)線光源的光強(qiáng)度。由函數(shù)的性質(zhì)，得 = （2）該線光源在x軸方向和在y軸方向上分別有不同的強(qiáng)度密度 和 （3）由此可見，沿著該條直線的強(qiáng)度密度是 （4）更一般的情況是，線光源不是平面上的直線，而是一個(gè)曲線。這時(shí)，是一個(gè)位于曲線上的線強(qiáng)度。若沿曲線的弧長增量為，并令 和 （5）于是 從而 （6）若對(duì)x解，并且用表示第n個(gè)根，則有 3.4勢(shì)在勢(shì)阱中的穿透作用設(shè)與質(zhì)量為m的粒子（能量E0）從左射入，撞到勢(shì)壘（見下圖1） ，（常數(shù)0） （1）勢(shì)的穿透定態(tài)薛定諤方程表為： （2）x=0是方程的奇點(diǎn)，在此點(diǎn)不存在，表示為x=0點(diǎn)為不連續(xù)，對(duì)于方程（2）積分可得 （3）所以在x=0點(diǎn)處，一般是不連續(xù)的（除了）。（3）式稱作式中的躍變條件。在x0處，方程（2）化為， （4）它的兩個(gè)線性獨(dú)立的解的形式是，并且考慮到從左面射入的假設(shè)，和方勢(shì)壘的穿透相似，這道題的解依舊可表示為 （5）但是邊界的條件有所不一樣，由x=0點(diǎn)連續(xù)和躍變條件（3），得： （6） （7）消去，得 （8）而 （9）因?yàn)槿肷洳ǖ牟ǚ褏^(qū)是1，可以得知透射系數(shù) （10）反射系數(shù) （11）顯然 （12）討論：（一）假設(shè)勢(shì)壘變成為勢(shì)阱（），透射和反射系數(shù)的數(shù)值不會(huì)改變，依然像（10）和（11）所示；（二）勢(shì)的特征長度5是，特征能量是。透射波的振幅（見8式）只依賴于，就是入射粒子波長與勢(shì)的特征長度的比。而透射系數(shù)只依靠在時(shí)，即高能極限下粒子將全部穿透勢(shì)壘。四、總結(jié) 通過這篇文章我們更加了解了函數(shù)在物理學(xué)中的重要性，也知道了數(shù)學(xué)工具對(duì)于學(xué)習(xí)物理的重要，數(shù)學(xué)與物理相輔相成，相互發(fā)展。隨著函數(shù)的日益完善，它在物理學(xué)中的應(yīng)用也會(huì)不斷擴(kuò)大，那么它可以解決的問題也會(huì)隨之增加。參考文獻(xiàn)1王仕璠，朱自強(qiáng)，現(xiàn)代光學(xué)原理，電子科技大學(xué)出版社，72卞松玲，傅里葉光學(xué)（第一版），兵器工業(yè)出版社，1989，503劉金世，趙志杰，利用函數(shù)證明電磁學(xué)的兩個(gè)基本定理，大慶高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1997年12月第17卷第4期。4趙凱華，陳熙謀，電磁學(xué)上冊(cè)（第二版），北京：高等教育出版社，1985，377-3805陳秀武，關(guān)于“函數(shù)”的教學(xué)討論，甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2005年1月第19卷第1期。6曾進(jìn)言，量子力學(xué)導(dǎo)論（第二版），北京：北京大學(xué)出版社，1998。7呂乃光，傅里葉光學(xué)，北京：機(jī)械工程出版社，1998，374-375致謝：歷時(shí)將近兩個(gè)月的