湖南省株洲市2016年高考數學一模試卷（理科）含答案解析

湖南省株洲市 2016 年高考數學一模試卷（理科） （解析版） 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知全集 U=R， A=y|y=2x+1， B=x|0，則 AB=（ ） A x|0 x 1 B x| x 1 C x|x 1 D 2已知復數 （其中 i 是虛數單位，滿足 1），則 z 的共軛復數是（ ） A 1 2i B 1+2i C 1 2i D 1+2i 3已知命題 p： R，（ f（ f（ （ 0，則 p 是（ ） A R，（ f（ f（ （ 0B R，（ f（ f（ （ 0 C R，（ f（ f（ （ 0D R，（ f（ f（ （ 0 4若 （ ， ），則 3 ），則 值為（ ） A B C D 5在如圖所示的程序框圖中，若輸出 i 的值是 3，則輸入 x 的取值范圍是（ ） A（ 4， 10 B（ 2， +） C（ 2， 4 D（ 4， +） 6有關以下命題： 用相關指數 刻畫回歸效果， 小，說明模型的擬合效果越好； 已知隨機變量 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2）， P（ 4） = P（ 2） = 采用系統抽樣法從某班按學號抽取 5 名同學參加活動，學號為 5， 16， 27， 38， 49 的同學均被選出，則該班學生人數可能為 60； 其中正確的命題的個數為（ ） A 3 個 B 2 個 C 1 個 D 0 個 7一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為（ ） A 2+2 + B 16+2 C 8+2 D 8+ 8若 x， y 滿足約束條件 ，則目標函數 z=x+y 的最大值為 2，則實數 a 的值為（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 9已知等差數列 公差 d 0，且 等比數列，若 ， 數列 （ n N+）的最小值為（ ） A 4 B 3 C 2 2 D 10過雙曲線 =1（ a 0， b 0）的右焦點 D 作直線 y= x 的垂線，垂足為 A，交雙曲線左支于 B 點，若 =2 ，則該雙曲線的離心率為（ ） A B 2 C D 11我國南北朝數學家何承 天發(fā)明的 “調日法 ”是程序化尋求精確分數來表示數值的算法，其理論依據是：設實數 x 的不足近似值和過剩近似值分別為 和 （ a， b， c， d N*），則是 x 的更為精確的不足近似值或過剩近似值我們知道 =若令 ，則第一次用 “調日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值，即 ，若每次都取最簡分數，那么第四次用 “調日法 ”后可得 的近似分數為（ ） A B C D 12已知函數 f（ x） = ， g（ x） = x 3， 3時，方程 f（ x） =g（ x）根的個數是（ ） A 8 B 6 C 4 D 2 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，請將答案填在答題卡的相應位置 13二項式 的展開式中的常數項為 14（ 5 分）（ 2004 上海）圓心在直線 2x y 7=0 上的圓 C 與 y 軸交于兩點 A（ 0， 4）、B（ 0， 2），則圓 C 的方程為 15（ 5 分）（ 2016 嘉定區(qū)一模）已知直角梯形 0 ， P 是腰 的動點，則 的最小值為 16設函數 y= 的圖象上存在兩點 P， Q，使得 以 O 為直角頂點的直角三角形（其中 O 為坐標原點），且斜邊的中點恰好在 y 軸上，則實數 a 的取值范圍是 三、解答題：本大 題共 70 分 明過程或演算步驟 . 17 已知數列 公差不為零的等差數列， 0，且滿足 （ 1）求數列 通項公式； （ 2）若數列 足 ，且 ，求數列 的前 n 項和 18（ 12 分）（ 2016 株洲一模） 2015 年 7 月 31 日，國際奧委會在吉隆坡正式宣布 2022 年奧林匹克冬季奧運會（簡稱冬奧會） 在北京和張家口兩個城市舉辦某中學為了普及奧運會知識和提高學生參加體育運動的積極性，舉行了一次奧運知識競賽隨機抽取了 30 名學生的成績，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定成績在 75 分以上（包括 75 分）的學生定義為甲組，成績在 75 分以下（不包括 75 分）定義為乙組 （ 1）在這 30 名學生中，甲組學生中有男生 7 人，乙組學生中有女生 12 人，試問有沒有 90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關； （ 2） 如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取 5 人，再從這 5 人中隨機抽取 2 人，那么至少有 1 人在甲組的概率是多少？ 用樣本估計 總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學（人數很多）中隨機選取 3人，用 表示所選 3 人中甲組的人數，試寫出 的分布列，并求出 的數學期望附：；其中 n=a+b+c+d 獨立性檢驗臨界表： P（ 9（ 12 分）（ 2016 株洲一模）如圖，已知 平面 正三角形， E=2 F 是 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求證：平面 平面 （ 3）求平面 平面 成銳二面角的大小 20（ 12 分）（ 2016 株洲一模）在平面直角坐標系 ，動點 P 到定點 F（ 1， 0）的距離與 P 到定直線 x= 4 的距離之比為 （ 1）求動點 P 的軌跡 C 的方程； （ 2）設點 A、 B 是軌跡 C 上兩個動點，直線 的另一交點分別為 直 線 斜率之積等于 ，問四邊形 面積 S 是否為定值？請說明理由 21（ 12 分）（ 2016 株洲一模）已知函數 f（ x） =2a R （ 1）當 a=1 時，求 f（ x）在點（ 0， f（ 0）處的切線方程； （ 2）求函數 f（ x）的單調區(qū)間； （ 3）若 x 0 時， f（ x） 3 恒成立，求實數 a 的取值范圍 四 22）、（ 23）題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目 選修 4標系與參數方程 22（ 10 分）（ 2016 江西校級二模）在極坐標系中，圓 C 的方程為 =2 a 0）以極點為坐標原點，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標系，設直線 l 的參數方程為（ t 為參數） （ ）求圓 C 的標準方程和直線 l 的普通方程； （ ）若直線 l 與圓 C 交于 A， B 兩點，且 求實數 a 的取值范圍？ 選修 4等式選講 23（ 2016 唐山一模）已知函數 f（ x） =|x+1| a|x l| （ ） 當 a= 2 時，解不等式 f（ x） 5； （ ）若（ x） a|x+3|，求 a 的最小值 2016 年湖南省株洲市高考數學一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知全集 U=R， A=y|y=2x+1， B=x|0，則 AB=（ ） A x|0 x 1 B x| x 1 C x|x 1 D 【分析】 求解函數的值域化簡 A，求 解對數不等式化簡 B，然后取交集得答案 【解答】 解： A=y|y=2x+1=R， B=x|0=（ 0， 1）， AB=（ 0， 1） 故選： A 【點評】 本題考查交集及其運算，考查了函數值域的求法，訓練了對數不等式的解法，是基礎題 2已知復數 （其中 i 是虛數單位，滿足 1），則 z 的共軛復數是（ ） A 1 2i B 1+2i C 1 2i D 1+2i 【分析】 由 1 化簡分母，然后再由復數代數形式的乘除運算化簡復數 z，則 z 的共軛復數可求 【解答】 解： = ， 則 故選： A 【點評】 本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題 3已知命題 p： R，（ f（ f（ （ 0，則 p 是（ ） A R，（ f（ f（ （ 0B R，（ f（ f（ （ 0 C R，（ f（ f（ （ 0D R，（ f（ f（ （ 0 【分析】 由題意，命題 p 是一個全稱命題，把條件中的全稱量詞改為存在量詞，結論的否定作結論即可得到它的否定，由此規(guī)則寫出其否定，對照選項即可得出正確選項 【解答】 解：命題 p： R，（ f（ f（ （ 0 是一個全稱命題，其否定是一個特稱命題， 故 p： R，（ f（ f（ （ 0 故選： C 【點評】 本題考查命題否定，解題的關鍵是熟練掌握全稱命題的否定的書寫規(guī)則，本題易因為沒有將全稱量詞改為存在量詞而導致錯誤，學習時要注意準確把握規(guī)律 4若 （ ， ），則 3 ），則 值為（ ） A B C D 【分析】 直接利用兩角和與差的三角函數以及二倍角的余弦函數化簡函數的表達式，利用平方關系式求出結果即可 【解答】 解： 3 ）， 可得 3（ 3（ = （ （ ， ）， 0， 上式化為： ， 兩邊平方可得 1+ 故選： D 【點評】 本題主要考查二倍角的余弦函數，同角三角函數的基本關系的應用，屬于中檔題 5在如圖所示的程序框圖中，若輸出 i 的值是 3，則輸入 x 的取值 范圍是（ ） A（ 4， 10 B（ 2， +） C（ 2， 4 D（ 4， +） 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量 i 的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：設輸入 x=a， 第一次執(zhí)行循環(huán)體后， x=3a 2， i=1，不滿足退出循環(huán)的條件； 第二次執(zhí)行循環(huán)體后， x=9a 8， i=2，不滿足退出循環(huán)的條件； 第三次執(zhí)行循環(huán)體后， x=27a 26， i=3，滿足退出循環(huán)的條件； 故 9a 8 82，且 27a 26 82， 解得： a （ 4， 10， 故選： A 【點評】 本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答 6有關以下命題： 用相關指數 刻畫回歸效果， 小，說明模型的擬合效果越好； 已知隨機變量 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2）， P（ 4） = P（ 2） = 采用系統抽樣法從某班按學號抽取 5 名同學參加活動，學號為 5， 16， 27， 38， 49 的同學均被選出，則該班學生人數可能為 60； 其中正確的命題的個數為 （ ） A 3 個 B 2 個 C 1 個 D 0 個 【分析】 根據相關指數的性質進行判斷， 根據正態(tài)分布的性質進行判斷， 根據系統抽樣的定義進行判斷 【解答】 解： 相關指數 刻畫回歸的效果， 越大，說明模型的擬合效果越好，因此 不正確 已知隨機變量 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2）， P（ 4） = P（ 4） =1 則 P（ 2） =成立，故 錯誤； 學號為 5， 16， 27， 38， 49 的同學，樣本間隔為 16 5=11，則人數為 11 5=55，應該是55 人， 故 錯誤， 故正確的命題的個數為 0 個， 故選： D 【點評】 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大 7一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為（ ） A 2+2 + B 16+2 C 8+2 D 8+ 【分析】 由題意作圖，從而求各個三角形的面積即可 【解答】 解：由題意作圖如右， 全等的直角三角形， 其中 =3， ， 故 S 2 3=3， 等腰直角三角形， D=2， 故 S 2 2=2， 等腰三角形， D=3， ， 故點 A 到 距離 d= = ， 故 S 2 = ， 故表面積 S=3+3+2+ =8+ ， 故選： D 【點評】 本題考查了學生的空間想象力與數形結合的思想應用 8（ 5 分）（ 2016 洛陽二模）若 x， y 滿足約束條件 ，則目標函數 z=x+，則實數 a 的值為（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【分析】 先作出不等式組 的圖象，利用目標函數 z=x+y 的最大值為 2，求出交點坐標，代入 3x y a=0 即可 【解答】 解：先作出不等式組 的圖象如圖， 目標函數 z=x+y 的最大值為 2， z=x+y=2，作出直線 x+y=2， 由圖象知 x+y=2 如平面區(qū)域相交 A， 由 得 ，即 A（ 1， 1）， 同時 A（ 1， 1）也在直線 3x y a=0 上， 3 1 a=0， 則 a=2， 故選： A 【點評】 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數形結合以及目標函數的意義是解決本題的關鍵 9（ 5 分）（ 2016 天津二模）已知等差數列 公差 d 0，且 等比數列，若 ， 數列 n 項的和，則 （ n N+）的最小值為（ ） A 4 B 3 C 2 2 D 【分析】 由題意得（ 1+2d） 2=1+12d，求出公差 d 的值，得到數列 通項公式，前 n 項和，從而可得 ，換元，利用基本不等式，即可求出函數的最小值 【解答】 解： ， 等比數列， （ 1+2d） 2=1+12d 得 d=2 或 d=0（舍去）， n 1， = = 令 t=n+1，則 =t+ 2 6 2=4 當且僅當 t=3，即 n=2 時， 的最小值為 4 故選： A 【點評】 本題主要考查等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，考查基本不等式，屬于中檔題 10過雙曲線 =1（ a 0， b 0）的右焦點 D 作直線 y= x 的垂線，垂足為 A，交雙曲線左支于 B 點，若 =2 ，則該雙曲線的離心率為（ ） A B 2 C D 【分析】 根據題意直線 方程為 y= （ x c）代入雙曲線漸近線方程，求出 A 的坐標，進而求得 B 的表達式，代入雙曲線方程整理求得 a 和 c 的關系式，進而求得離心率 【解答】 解：設 F（ c， 0），則直線 方程為 y= （ x c）代入雙曲線漸近線方程 y= x 得 A（ ， ）， 由 =2 ，可得 B（ ， ）， 把 B 點坐標代入雙曲線方程 =1， 即 =1，整理可得 c= a， 即離心率 e= = 故選： C 【點評】 本題主要考查了雙曲線的簡單性質解題的關鍵是通過分析題設中的信息，找到雙曲線方程中 a 和 c 的關系 11我國南北朝數學家何承天發(fā)明的 “調日法 ”是程序化尋求精確分數來表示數值的算法，其理論依據是：設實數 x 的不足近似值和過剩近似值分別為 和 （ a， b， c， d N*），則是 x 的更為精確的不足近似值或過剩近似值我們知道 =若令 ，則第一次用 “調日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值，即 ，若每次都取最簡分數，那么第四次用 “調日法 ”后可得 的近似分數為（ ） A B C D 【分析】 利用 “調日法 ”進行計算，即可得出結論 【解答】 解：第一次用 “調日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值，即 ， 第二次用 “調日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值，即 ； 第三次用 “調日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值，即 ， 第四次用 “調日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值，即 ， 故選： A 【點評】 本題考查 “調日法 ”，考查學生的計算能力，比較基礎 12已知函數 f（ x） = ， g（ x） = x 3， 3時，方程 f（ x） =g（ x）根的個數是（ ） A 8 B 6 C 4 D 2 【分析】 先對兩個函數分析可知，函數 f（ x）與 g（ x）都是奇函數，且 f（ x）是反比例函數， g（ x）在 0， 上是減函數，在 ， 2上是增函數，在 2， 3上是減函數，且 g（ 0）=0， g（ ） = ； g（ 2） =2； g（ 3） = 3；從而作出函數的圖象，由圖象求方程的根的個數即可 【解答】 解：由題意知， 函數 f（ x） = 在 3， 3是奇函數且是反比例函數， g（ x） = 3， 3是奇函數； g（ x） = 故 g（ x）在 0， 上是減函數，在 ， 2上是增函數，在 2， 3上是減函數， 且 g（ 0） =0， g（ ） = ； g（ 2） =2； g（ 3） = 3； 故作函數 f（ x）與 g（ x）在 3， 3上的圖象如下， 結合圖象可知，有 6 個交點； 故選： B 【點評】 本題考查了導數的綜 合應用及函數的圖象的性質應用，同時考查了函數的零點與方程的根的關系應用，屬于中檔題 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，請將答案填在答題卡的相應位置 13二項式 的展開式中的常數項為 24 【分析】 先求出二項式展開式的通項公式，再令 x 的系數等于 0，求得 r 的值，即可求得展開式中的常數項的值 【解答】 解：二項式 的展開式的通項公式為 = r= 2r 令 x 的冪指數 4 2r=0，解得 r=2，故展開式中的常數項為 =4 6=24， 故答案為 24 【點評】 本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題 14（ 5 分）（ 2004 上海）圓心在直線 2x y 7=0 上的圓 C 與 y 軸交于兩點 A（ 0， 4）、B（ 0， 2），則圓 C 的方程為 （ x 2） 2+（ y+3） 2=5 【分析】 由垂徑定理確定圓心所在的直線，再由條件求出圓心的坐標，根據圓的定義求出半徑即可 【解答】 解： 圓 C 與 y 軸交于 A（ 0， 4）， B（ 0， 2）， 由垂徑定理得圓心在 y= 3 這條直線上 又 已知圓心在直線 2x y 7=0 上， 聯立 ，解得 x=2， 圓心 C 為（ 2， 3）， 半徑 r=| = 所求圓 C 的方程為（ x 2） 2+（ y+3） 2=5 故答案為（ x 2） 2+（ y+3） 2=5 【點評】 本題考查了如何求圓的方程，主要用了幾何法來求，關鍵確定圓心的位置；還可用待定系數法 15（ 5 分）（ 2016 嘉定區(qū)一模）已知直角梯形 0 ， P 是腰 的動點，則 的最小值為 3 【分析】 先建立坐標系，以直線 別為 x， y 軸建立平面直角坐標系，設 P（ 0， b）（ 0 b 1），根據向量的坐標運算和模的計算得到 ， = 3，問題得以解決 【解答】 解：如圖，以直線 別為 x， y 軸建立平面直角坐標系， 則 A（ 0， 0）， B（ 0， 1）， C（ 1， 1）， D（ 2， 0） 設 P（ 0， b）（ 0 b 1） 則 =（ 1， 1 b）， =（ 2， b）， + =（ 3， 1 2b）， = 3，當且僅當 b= 時取等號， 的最小值為 3， 故答案為： 3 【點評】 此題是個基礎題考查向量在幾何中的應用，以及向量模的求法，同時考查學生靈活應用知 識分析解決問題的能力 16設函數 y= 的圖象上存在兩點 P， Q，使得 以 O 為直角頂點的直角三角形（其中 O 為坐標原點），且斜邊的中點恰好在 y 軸上，則實數 a 的取值范圍是 （ 0， 【分析】 曲線 y=f（ x）上存在兩點 P、 Q 滿足題設要求，則點 P、 Q 只能在 y 軸兩側設 P（ t， f（ t）（ t 0），則 Q（ t， t3+運用向量垂直的條件：數量積為 0，構造函數h（ x） =（ x+1） x e），運用導數判斷單調性，求得最值，即可得到 a 的范圍 【解答】 解：假設曲線 y=f（ x）上存在兩點 P、 Q 滿足題設要求， 則點 P、 Q 只能在 y 軸兩側 不妨設 P（ t， f（ t）（ t 0）， 則 Q（ t， t3+ 以 O 為直角頂點的直角三角形， =0， 即 t2+f（ t）（ t3+=0（ *） 若方程（ *）有解，存在滿足題設要求的兩點 P、 Q； 若方程（ *）無解，不存在滿足題設要求的 兩點 P、 Q 若 0 t e，則 f（ t） = t3+入（ *）式得： t3+ t3+=0 即 =0，而此方程無解，因此 t e，此時 f（ t） = 代入（ *）式得： t3+=0， 即 =（ t+1） *） 令 h（ x） =（ x+1） x e）， 則 h（ x） =+ 0， h（ x）在 e， +）上單調遞增， t e h（ t） h（ e） =e+1， h（ t）的取值范圍是 e+1， +） 對于 0 a ，方程（ *）總有解，即方程（ *）總有解 故答案為：（ 0， 【點評】 本題考查分段函數的運用，注意向量垂直條件的運用和中點坐標公式，考查構造法和函數的單調性運用，屬于中檔題 三、解答題：本大題共 70 分 明過程或演算步驟 . 17（ 12 分）（ 2016 株洲一模）已知數列 公差不為 零的等差數列， 0，且滿足 （ 1）求數列 通項公式； （ 2）若數列 足 ，且 ，求數列 的前 n 項和 【分析】 （ 1）通過設等差數列 公差為 d，利用 0、 計算可知首項、公差，進而可得結論； （ 2）通過 bn=知 1=1（ n 2， n N*），利用 1） +（ 1 2） +（ +算可知當 n 2 時 bn=n（ n+2），驗證 也適合，裂項可知= （ ），進而并項相加即得結論 【解答】 解：（ 1）設等差數列 公差為 d，則 ， 解得 ， n+3； （ 2）由 bn= 1=1（ n 2， n N*）， 當 n 2 時， 1） +（ 1 2） +（ +1+2+a1+（ n 1）（ n 2+5） +3 =n（ n+2）， 又 也適合， bn=n（ n+2）， = （ ）， 【點評】 本題考查數列的通項及前 n 項和，考查裂項相消法，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題 18（ 12 分）（ 2016 株洲一模） 2015 年 7 月 31 日，國際奧委會在吉隆坡正式宣布 2022 年奧林匹克冬季奧運會（簡稱冬奧會）在北京和張家口兩個城市舉辦某中學為了普及奧運會知識和提高學生參加體育運動的積極性 ，舉行了一次奧運知識競賽隨機抽取了 30 名學生的成績，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定成績在 75 分以上（包括 75 分）的學生定義為甲組，成績在 75 分以下（不包括 75 分）定義為乙組 （ 1）在這 30 名學生中，甲組學生中有男生 7 人，乙組學生中有女生 12 人，試問有沒有 90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關； （ 2） 如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取 5 人，再從這 5 人中隨機抽取 2 人，那么至少有 1 人在甲組的概率是多少？ 用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學（人數很多）中隨機選取 3人，用 表示所選 3 人中甲組的人數，試寫出 的分布列，并求出 的數學期望附：；其中 n=a+b+c+d 獨立性檢驗臨界表： P（ 分析】 （ 1）作出 2 2 列聯表，由列聯表數據代入公式求出 而得到沒有 90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關 （ 2） 用 A 表示 “至少有 1 人在甲組 ”，利用對立事 件概率計算公式能求出至少有 1 人在甲組的概率 由題意知， ，由此能求出 的分布列和數學期望 【解答】 解：（ 1）作出 2 2 列聯表： 甲組 乙組 合計 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合計 12 18 30 由列聯表數據代入公式得 ，因為 沒有 90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關（ 6 分） （ 2） 用 A 表示 “至少有 1 人在甲組 ”，則 （ 8 分） 由題知，抽取的 30 名學生中有 12 名學生是甲組學生，抽取 1 名學生是甲組學生的概率為 ，那么從所有的中學生中抽取 1 名學生是甲組學生的概率是 ，又因為所取總體數量較多，抽取 3 名學生可以看出 3 次獨立重復實驗，于是 服從二項分布 顯然 的取值為 0， 1， 2， 3且 所以得分布列為： 0 1 2 3 P 數學期望 （ 12 分） 【點評】 本題考查莖葉圖的應用，考查概率的求法，考查二項分布的性質的合理運用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題 19（ 12 分）（ 2016 株洲一模）如圖，已知 平面 正三角形， E=2 F 是 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求證：平面 平面 （ 3）求平面 平面 成銳二面角的大小 【分析】 （ 1）取 點 P，連接 據中位線定理可知 ，而 則 平行四邊形，則 面 平面足線面平行的判定定理，從而證得結論； （ 2）根據 平面 平面 平面 據線面垂直的性質可知 E=D，滿足線面垂直的判定定理，證得 平面 平面 平面 據面面垂直的判定定理可證得結論； （ 3）由（ 2），以 F 為坐標原點， 在的直線分別為 x， y， z 軸建立空間直角坐標系 F ，根據線面垂直求出平面 法向量 n，而 m=（ 0， 0， 1）為平面 法向量，設平面 平面 成銳二面角為 ，根據 可求出所求 【解答】 （ 1）證：取 點 P，連接 F 為 中點， 又 P， 平行四邊形， （ 2 分） 又 面 平面 平面 （ 4 分） （ 2） 正三角形， 平面 平面 平面 E=D， 平面 （ 6 分） 又 平面 平面 平面 平面 （ 8 分） （ 3）由（ 2），以 F 為坐標原點， 在的直線分別為 x， y， z 軸（如圖）， 建立空間直角坐標系 F ， 則 C（ 0， 1， 0）， （ 9 分） 設 n=（ x， y， z）為平面 法向量， 則 令 z=1，則 n=（ 0， 1， 1） （ 10 分） 顯然， m=（ 0， 0， 1）為平面 法向量 設平面 平面 成銳二面角為 ，則 =45，即平面 平面 成銳二面角為 45 （ 12 分） 【點評】 本題主要考查了線面平行的判定，以及面面垂直的判定和利用空間向量定理二面角的平面角，同時考查了空間想象能力和推理論證的能力，屬于中檔題 20（ 12 分）（ 2016 株洲一模）在平面直角坐標系 ，動點 P 到定點 F（ 1， 0）的距離與 P 到定直線 x= 4 的距離之比為 （ 1）求動點 P 的軌跡 C 的方程； （ 2）設點 A、 B 是軌跡 C 上兩個動點，直線 的另一交點分別為 直線 斜率之積等于 ，問四邊形 面積 S 是否為定值？請說明理由 【分析】 （ 1）設 P（ x， y），由點到直線的距離公式和兩點的距離公式，可得， ，化簡即可得到所求軌跡方程； （ 2）設 A（ B（ 運用兩點的距離公式和斜率公式，結合點 A、 B 在橢圓 C 上，可得 ， 討論 當 x1=，則四邊形 矩形； 當 ，通過三角形的面積公式和橢圓的對稱性，即可得到所求面積為定值 【解答】 解：（ 1）設 P（ x， y），由題意可得， ， 化簡得 32， 所以，動點 P 的軌跡 C 的方程為 （ 2）設 A（ B（ 由 ，得 ， ， 因為點 A、 B 在橢圓 C 上， 所以 ， ， 所以， = ， 化簡得 當 x1=，則四邊形 矩形， ， 由 ，得 ， 解得 ， ， S=|4| ； 當 ，直線 方向向量為 ， 直線 方程為（ x（ y+， 原點 O 到直線 距離為 ， 所以 面 積 ， 根據橢圓的對稱性，四邊形 面積 S=4S | 所以， = ， 所以 所以，四邊形 面積為定值 【點評】 本題考查軌跡方程的求法，注意運用點到直線的距離公式，考查直線的斜率公 式和兩點的距離公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題 21（ 12 分）（ 2016 株洲一模）已知函數 f（ x） =2a R （ 1）當 a=1 時，求 f（ x）在點（ 0， f（ 0）處的切線方程； （ 2）求函數 f（ x）的單調區(qū)間； （ 3）若 x 0 時， f（ x） 3 恒成立，求實數 a 的取值范圍 【分析】 （ 1）先由所給函數的表達式，求導數 x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，問題得以解決， （ 2）先求導，再分類討論，根據導數和函數的單調性的關系即可求出單調區(qū)間， （ 3）先構造函 數 g（ x） =f（ x） ，求導后再構造函數 h（ x） =2（ 1），根據導數和函最值關系，分類討論，當 a 1 時，求出 a 的范圍， 當 a 1 時， 0，使 h（ =0， x （ 0， ， g（ x）單調遞減， x （ +）時， g（ x）單調遞增，求出函數的最值， 再構造函數 M（ x） =x 0 x 導，即可求出 a 的范圍 【解答】 解：（ 1）當 a=1 時， f（ x） =2x 1， f（ x） =2， f（ 0） =21=1 k=f（ 0） =2=4， f（ x）在點（ 0， f（ 0）處的切線方程為 y 1=4x，即 4x y+1=0， （ 2） f（ x） =2a， 當 a 0 時， f（ x） 0 恒成立， f（ x）在 R 上單調遞增， 當 a 0 時，當 f（ x） 0，即 x a）時，函數單調遞增， 當 f（ x） 0，即 x a）時，函數單調遞減， 綜上所述：當 a 0 時， f（ x）在 R 上單調遞增， 當 a 0 時， f（ x）在（ ， a）上單調遞減，在（ a）， +）單調遞增， （ 3）令 g（ x） =f（ x） =2 x a） 2+3， x 0， g（ x） =2（ x+a）， 再令 h（ x） =2（ 1） 0， h（ x）在 0， +）單調遞增，且 h（ 0）