第13講巧解弦圖與面積

1、 才子教育 小學(xué)奧數(shù)系列第13講 巧解“弦圖”與面積巧點(diǎn)睛方法和技巧三國(guó)時(shí)期，吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在為數(shù)學(xué)巨著周髀算經(jīng)注釋時(shí)，就得用“弦圖”對(duì)勾股定理作出了嚴(yán)格而簡(jiǎn)捷的證明?！跋覉D”是由八個(gè)完全一樣的直角三角形拼成四個(gè)相同的長(zhǎng)方形圍成的，中間空出一個(gè)小下方形，如圖所示?！跋覉D”的特點(diǎn)：（1）小長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之各=大正方形邊長(zhǎng)；（2）小長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之差=小正方形邊長(zhǎng)。根據(jù)“弦圖”中大、小正方形與長(zhǎng)方形的關(guān)系，我們可以得到一些面積問(wèn)題的解題思路。巧指導(dǎo)例題精講A級(jí) 沖刺名?；A(chǔ)點(diǎn)睛【例1】 如右圖，正方形與陰影長(zhǎng)方形的邊分別平行，正方形邊長(zhǎng)為10，陰影長(zhǎng)方形的面積為6，那么圖中四邊形ABCD的面積是 。解 由

2、題給條件“正方形與陰影長(zhǎng)方形的邊分別平行”（或直觀上觀察）知，正方形四角處的四個(gè)四邊形都為長(zhǎng)方形，而四邊形ABCD的各邊都分別平分這四個(gè)長(zhǎng)方形，所以，四邊形ABCD的面積=四角處四個(gè)長(zhǎng)方形面積和的一半+6=（1010-6）2+6=47+6=53。做一做1 四個(gè)一樣的長(zhǎng)方形和一個(gè)小正方形拼成了一個(gè)大正方形（如右圖），大正方形的面積是49平方米，小正方形的面積是4平方米。問(wèn)：長(zhǎng)方形的短邊是幾米？【例2】如圖1，有一大一小兩個(gè)正方形，對(duì)應(yīng)邊之間的距離都是1厘米。如果夾在兩正方形之間的面積是12平方厘米，那么大正方形的面積是多少？分析 要求出大正方形的面積，只要先求出大正方形或小正方形的邊長(zhǎng)即可。圖1

3、下面設(shè)法求這兩個(gè)量中的某個(gè)量。圖2與圖1有類(lèi)似之處，添輔助線將圖1變成圖2，就成了一人“弦圖”。圖2中小正方形外圍的四個(gè)長(zhǎng)方形的形狀和面積都一樣，這樣其中一個(gè)的面積為124=3（厘米2）。又因?yàn)檫@個(gè)長(zhǎng)方形的寬為1厘米，所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為31=3（厘米）。大正方形的邊長(zhǎng)為4厘米，這樣就可以求出面積了。解法1 一個(gè)長(zhǎng)方形的面積：124=3（厘米2），長(zhǎng)方形的長(zhǎng)：31=3（厘米），圖2大下正方形的邊長(zhǎng)：3+1=4（厘米），大正方形的面積：44=16（厘米2）。采用與解法1類(lèi)似的想法還可以找到下面的一此解法。解法2 添輔助線，將圖2變成圖3，先求出圖3中長(zhǎng)方形A的面積。因?yàn)榇笳叫嗡慕嵌际沁呴L(zhǎng)為1厘米的

4、正方形，而剩下的四個(gè)長(zhǎng)方形的形狀和面積都一樣，所以A的面積為AA圖3（12-14）4=2（厘米2）又因?yàn)殚L(zhǎng)方形A的寬為1厘米，它的長(zhǎng)為21=2（厘米），所以大正方形的為12+22=16（厘米2）解法3 添輔助線，將圖2變?yōu)閳D4。圖4中4個(gè)梯形的形狀和面積都一樣，所以每個(gè)梯形的面積為124=3（厘米2）。圖4梯形面積等于上、下底之和乘以高再除以2，每個(gè)梯形上、下底（即大、小正方形的兩個(gè)邊長(zhǎng)）之和為321=6（厘米），而大、小正方形的邊長(zhǎng)差為2厘米，所以大正方形的邊長(zhǎng)為4厘米。大正方形的面積為44=16（厘米2）。解法4 適當(dāng)移動(dòng)小正方形后，再添輔助線，將圖2變?yōu)閳D5。因圖5中兩個(gè)梯形的面積與形狀

5、都一樣，所以一個(gè)梯形的面積為122=6（厘米2）。和解法3類(lèi)似，可求出梯形上、圖5下底之和與差分別為6厘米和2厘米。故梯形的上底（即大正方形的邊長(zhǎng)）為4厘米，大正文武有的面積為44=16（厘米2）。答：大正方形的面積是16平方厘米。小結(jié) 以上解法各有千秋，你還有其他的解法嗎？做一做2 計(jì)劃修一個(gè)正方形的花壇，并在花壇的周?chē)伾蠈?米的草坪，草坪的面積是40平方米，問(wèn)：修建花壇需占地多少平方米？【例3】 2002年在北京如開(kāi)了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形拼成的（直角邊長(zhǎng)為2和3）。問(wèn)：大正方形的面積是多少？解 一個(gè)直角三角形的面積為32=3。中間空出來(lái)的一塊恰好是

6、正方形，它的邊長(zhǎng)為3-2=1。所以，大正方形的面積為34+11=13。小結(jié) 利用此圖可以作出極具中國(guó)特色的勾股定理證明。設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a和b（ab，勾和股），斜邊為c（弦），則4個(gè)直角三角形的面積等于4ab=2 ab，中間小正方形的邊長(zhǎng)為a-b，從而有c2=2ab+（a-b）2，c2=a2+b2。這就是著名的勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。做一做3 如圖，如果長(zhǎng)方形ABCD的面積是56平方厘米，那么四邊形MNPQ的面積是多少平方厘米？【例4】同樣大小的22個(gè)小紙片擺成如圖所示的圖形，已知小紙片的長(zhǎng)是18厘米，求圖中陰影部分的面積之和。分析與解 仔細(xì)觀察圖形，

7、可發(fā)現(xiàn)中間三個(gè)圖形的形狀一樣，且小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和愉好是大正方形的邊長(zhǎng)。由于5個(gè)小紙片的長(zhǎng)等于3個(gè)小紙片的長(zhǎng)加上3個(gè)小紙片的寬，所以3個(gè)小紙片的寬等于2個(gè)小紙片的長(zhǎng)。每個(gè)小紙片的長(zhǎng)為18厘米，所以3個(gè)小紙片的寬為36厘米，每個(gè)小紙片的寬為12厘米。一個(gè)陰影小正方形的邊長(zhǎng)等于箍方形長(zhǎng)與寬的差，即小正方形的邊長(zhǎng)為18-12=6（厘米）。因此，一個(gè)陰影小正方形的面積為66=36（厘米2），3個(gè)陰影部分的面積之和為363=108（厘米2）答：圖中陰影部分的面積之和為108平方厘米。做一做4 38個(gè)長(zhǎng)為4厘米的小紙片擺成如右圖的所示的圖形。求圖中陰影部分面積的和。B級(jí) 培優(yōu)競(jìng)賽更上層樓【例5】從一個(gè)正

8、方形的木板上鋸下寬0.5米的一個(gè)長(zhǎng)方形木條后，剩下的長(zhǎng)方形的面積為5平方米。問(wèn)：鋸下的長(zhǎng)方形的面積等于多少？分析與解 先瘵題目中的已知條件畫(huà)成圖1同，我們先看圖1中下面剩下的那個(gè)長(zhǎng)方形已知它的面積等于5平方，它的長(zhǎng)與寬的差為0.5米。根據(jù)“弦圖”的啟示，我們可以將這樣形狀的四個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)如圖2那樣的“弦圖”。圖2是一個(gè)正方形，它的邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和。中間那個(gè)小正方形的這長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬之差，即等于0.5米。這樣，小正方形的面積為0.50.5=0.25（米2）那么，大正方形的面積為（54+0.25）=20.25（米2）所以，大正方形的邊為為4.5米，即長(zhǎng)與寬的和為4.5米。而長(zhǎng)與寬

9、的差為0.5米，又已知公式：（和+差）2=大數(shù)，根據(jù)這兩個(gè)公式中的任一個(gè)，可求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。原正方形的邊長(zhǎng)為（4.5+0.5）2=2.5（米）鋸下的小長(zhǎng)方形木條的面積為2.50.5=1.25（米2）答：鋸下的小長(zhǎng)方形木條的面積為1.25平方米。做一做5 做一塊正方形玻璃上裁下寬為16分米的一個(gè)長(zhǎng)方形條后，剩下的那塊長(zhǎng)方形面積為336平方分米。求：原正方形的面積是多少平方分米？【例6】 在下圖的長(zhǎng)方形內(nèi)，有四對(duì)正方形（符號(hào)相同的兩個(gè)正方形為一對(duì)），每一對(duì)都是相同的正方形，那么中間正方形的面積是多少？分析與解 觀察圖形知：大長(zhǎng)方形的寬是兩個(gè)正方形一、二的邊長(zhǎng)之和國(guó)；大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是正方形地、二、三的

10、三邊之和。長(zhǎng)-寬=15-11=4是正方形三的邊長(zhǎng)，寬是兩個(gè)正方形三與中間小正方形的邊之和，可以求出中間小正方形的邊長(zhǎng)為11-42=3，最后求出面積。長(zhǎng)-寬=15-11=4，中間正方形的邊長(zhǎng)為11-42=3，中間正方形的面積為33=9。答：中間正方形的面積為9。做一做6 如右圖，一個(gè)長(zhǎng)方形的紙盒內(nèi)，放著9張正方形的紙片，其中正方形A和B的邊長(zhǎng)分別為4和7，那么長(zhǎng)方形（紙盒）的面積是多少？C級(jí)（選學(xué)）決勝總決賽勇奪冠軍【例7】 用尺寸為99的正方形紙片一張，剪成34和25的兩種長(zhǎng)方形。為使余料最少，那么，應(yīng)剪成多少個(gè)34的長(zhǎng)方形？分析與解 列表枚舉，可得 剪法編號(hào)34長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)25長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)余

11、 料160925213433434552576169從上表中知第2種剪法的余料為1（最少）。借助弦圖的知識(shí)，剪法如右上圖所示。做一做7 一張長(zhǎng)14厘米、寬11的長(zhǎng)方形紙片，最多能剪出多少個(gè)長(zhǎng)4厘米、寬1厘米的紙條？怎樣剪？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明。巧練習(xí)溫故知新（十三）A級(jí) 沖刺名校基礎(chǔ)點(diǎn)睛123456789101112131415161718192021222324251.一張55的方絡(luò)紙，每個(gè)方格都編了號(hào)碼（如右圖）。挖去一個(gè)方格后，可以剪成8個(gè)13的長(zhǎng)方形，那么應(yīng)挖去的方格是編號(hào)是幾？2.用同樣的長(zhǎng)方形條磚，在一叢花的周?chē)偝梢粋€(gè)正方形邊框（見(jiàn)右圖）。邊框的外周長(zhǎng)為264厘米，里面小正方形的面積為90

12、0平方厘米。問(wèn)：每塊長(zhǎng)方形條磚的長(zhǎng)與寬各是多少厘米？3.大、小兩個(gè)長(zhǎng)方形擺成如右圖所示的形狀，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍。如果大、小兩個(gè)長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)邊之間的距離是1厘米，夾在大、小兩個(gè)長(zhǎng)方形之間那部分圖形的面積是40厘米，那么大、小長(zhǎng)方形的面積各是多少平方厘米？4.一個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)為9，兩直角邊之差為1，求這個(gè)直角三角形的面積。5.如右圖，正方形與陰影長(zhǎng)方形的邊分別平行，正方形邊長(zhǎng)為10，陰影長(zhǎng)方形的面積為6，那么圖中四邊形ABCD的面積是多少？B級(jí) 培優(yōu)競(jìng)賽更上層樓6.已知右圖所示的長(zhǎng)方形是由若干個(gè)相同的長(zhǎng)方形拼成的，它的長(zhǎng)比寬多30厘米。求陰影小正方形的總周長(zhǎng)。7.用6張大小不同的小正方形紙

13、片拼成如右圖所示的圖形。已知最小的正方形面積是1，問(wèn)：圖中紅色正方形的面積是多少？8.如右圖，四邊形ABCD與四邊形DEFG是邊長(zhǎng)分別為3和5的下文形，且G在BA的延長(zhǎng)線上。求 CDE的面積是多少？9.如圖，一張邊長(zhǎng)為20厘米的正方形紙片，從頂點(diǎn)起5厘米處，沿45O角剪開(kāi)，中間形成一個(gè)小正方形。問(wèn)：小正方形的面積是多少平方厘米？A10.如圖，P是正方形ABCD外面一點(diǎn)，PB=12厘米， APB的面積是90平方厘米， CPB的面積是48平方厘米。請(qǐng)問(wèn)：正方形ABCD的面積是多少平方厘米？BBCPC級(jí) （選學(xué)）決勝總決賽勇奪冠軍8厘米A11.如右圖，一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為18厘米，斜邊長(zhǎng)為8厘米，求它的面積。CB12