高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.2綜合法與分析法課件

1 2綜合法與分析法 1 綜合法從命題的條件出發(fā) 利用定義 公理 定理及運(yùn)算法則 通過演繹推理 一步一步地接近要證明的結(jié)論 直到完成命題的證明 我們把這樣的思維方法稱為綜合法 名師點(diǎn)撥綜合法的特點(diǎn) 1 綜合法的特點(diǎn)是從 已知 看 未知 2 用P表示已知條件 已有的定義 公理 定理等 用Q表示所要證的結(jié)論 則綜合法的思維過程可表示如下 3 用綜合法證明題目 具有步驟嚴(yán)謹(jǐn) 逐層遞進(jìn) 條理清晰 易于表達(dá)的特點(diǎn) 做一做1 已知x y z 1 求證 x2 y2 z2 證明 x2 y2 2xy y2 z2 2yz z2 x2 2xz x2 y2 y2 z2 z2 x2 2xy 2yz 2xz 3 x2 y2 z2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz 即3 x2 y2 z2 x y z 2 1 2 分析法從求證的結(jié)論出發(fā) 一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條件 直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件 或者歸結(jié)為定義 公理 定理等 我們把這種思維方法稱為分析法 名師點(diǎn)撥分析法的特點(diǎn) 1 分析法的特點(diǎn)是從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 2 用分析法書寫證明過程的格式為 要證 只需證 只需證 由于 顯然成立 已知 已證等 所以原結(jié)論成立 其中的關(guān)聯(lián)詞語不能省略 做一做2 將下面用分析法證明 ab的步驟 補(bǔ)充完整 要證 ab 只需證a2 b2 2ab 也就是證 即證 由于顯然成立 因此原不等式成立 答案 a2 b2 2ab 0 a b 2 0 a b 2 0 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫 錯(cuò)誤的畫 1 綜合法是由因?qū)Ч捻樛谱C法 2 分析法是執(zhí)果索因的逆推證法 3 分析法的推理過程要比綜合法優(yōu)越 4 所有證明的題目均可使用分析法證明 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 綜合法的應(yīng)用 例1 在 ABC中 a b c分別為內(nèi)角A B C的對邊 且2asinA 2b c sinB 2c b sinC 1 求證 A的大小為60 2 若sinB sinC 證明 ABC為等邊三角形 分析 1 要證A的大小為60 可先從已知條件出發(fā) 利用正弦定理 將角化為邊 再利用余弦定理得出角A的大小 2 要證 ABC為等邊三角形 可從 1 的證明出發(fā) 將sinB sinC 轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)角的三角函數(shù)值的等式 進(jìn)而求出角B或角C的大小也為60 命題得證 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 證明 1 2asinA 2b c sinB 2c b sinC 2a2 2b c b 2c b c 即bc b2 c2 a2 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 2 由 1 知A 60 且A B C 180 B C 120 0 B 120 30 B 30 150 B 30 90 即B 60 A B C 60 因此 ABC為等邊三角形 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 反思感悟綜合法證明問題的思路 1 分析條件 選擇方向 即分析題目的已知條件及已知與結(jié)論之間的聯(lián)系 選擇相關(guān)的定理 公式等 確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法 2 轉(zhuǎn)化條件 組織過程 即把已知條件轉(zhuǎn)化成所需要的語言 主要是文字 符號(hào) 圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化 3 適當(dāng)調(diào)整 回顧反思 即回顧解題過程 對部分步驟進(jìn)行調(diào)整 并對一些語言進(jìn)行適當(dāng)修飾 反思總結(jié)解題方法的選取 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 分析法的應(yīng)用 分析 本題從正面入手很難找到思路與方法 可從結(jié)論入手 利用分析法 尋找結(jié)論成立的充分條件 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 而上述不等式顯然成立 故原不等式成立 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 反思感悟利用分析法證明不等式 1 適用范圍 常用于一些條件簡單 結(jié)論復(fù)雜的不等式的證明 2 證明思路 從要證明的不等式出發(fā) 逐步尋求它成立的充分條件 最后得到充分條件是已知 或已證 的不等式 3 格式要求 用分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí) 一定要恰當(dāng)?shù)赜煤?要證 只需證 即證 等詞語 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 只需證xy x y 1 y x xy 2 只需證 xy 2 1 x y xy x y 0 只需證 xy 1 xy 1 x y 0 只需證 xy 1 x 1 y 1 0 因?yàn)閤 1 y 1 所以上式顯然成立 所以原不等式成立 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 例3 已知a b c是不全相等的正數(shù) 且0 x 1 求證 分析 解決本題的關(guān)鍵是利用對數(shù)的運(yùn)算法則和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為證明整式不等式 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 反思感悟綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 1 在實(shí)際解題過程中 常常是先用分析法尋找解題思路 即從結(jié)論入手 逐步縮小范圍 進(jìn)而確定我們所需要的 因 再用綜合法有條理地表述解題過程 2 對于較復(fù)雜的問題 在解題過程中 把分析法和綜合法有機(jī)地統(tǒng)一起來 一方面從問題的已知條件出發(fā) 用綜合法經(jīng)邏輯推理導(dǎo)出中間結(jié)果 另一方面從問題的結(jié)論出發(fā) 用分析法回溯到中間 即推出同一個(gè)中間結(jié)果 從而溝通思路使問題得到解決 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 變式訓(xùn)練3設(shè)f x ax2 bx c a 0 若f x 1 與f x 的圖像關(guān)于y軸對稱 求證 f為偶函數(shù) 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 用分析法證明不等式成立 典例 12分 在某兩個(gè)正數(shù)m n之間插入一個(gè)數(shù)x 使m x n成等差數(shù)列 插入兩個(gè)數(shù)y z 使m y z n成等比數(shù)列 求證 x 1 2 y 1 z 1 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 即證y3 z3 yz y z 成立 9分只需證y2 yz z2 yz 即證 y z 2 011分因?yàn)?y z 2 0顯然成立 所以 x 1 2 y 1 z 1 12分 解題反思實(shí)際解題時(shí) 綜合使用分析法與綜合法 即從 未知 想 需知 分析 從 已知 推 可知 綜合 雙管齊下 兩面夾擊 找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑 本例中若得不出2x 就無法實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化 另外在應(yīng)用分析法解題時(shí) 語言 步驟要完整 規(guī)范 避免邏輯性混亂 減少失分 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 變式訓(xùn)練如圖 在四面體P ABC中 PA PB PC兩兩垂直 且PH 底面ABC于點(diǎn)H 求證 H是 ABC的垂心 證明 連接AH BH 要證H是 ABC的垂心 只需證BC AH 且AC HB 只需證BC 平面PHA 且AC 平面PHB 只需證BC PH 且BC PA AC PH 且AC PB 因?yàn)镻H 底面ABC 所以PH BC PH AC成立 故只需證BC PA 且AC PB即可 只需證PA 平面PBC PB 平面PAC 只需證PA PB 且PA PC PB PA 且PB PC 因?yàn)镻A PB PC兩兩垂直 上式顯然成立 所以原結(jié)論成立 即H是 ABC的垂心 12345 1 對于任意角 都有cos4 sin4 cos2 的證明過程 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 應(yīng)用了 A 分析法B 綜合法C 綜合法與分析法結(jié)合使用D 間接證法解析 證明過程是利用已有的公式順推得到要證明的等式 因此是綜合法 答案 B 12345 2 已知f x ax 1 0 a 1 若x1 x2 R 且x1 x2 則 答案 D 12345 A aB bC cD 不能確定 答案 C 12345 12345 只需證 x2