求下列微分方程的通解.doc

習題12-4 1. 求下列微分方程的通解: (1); 解 . (2)xy+y=x2+3x+2; 解 原方程變?yōu)? . (3)y+ycos x=e-sin x; 解 . (4)y+ytan x=sin 2x; 解 =cos x(-2cos x+C)=C cos x-2cos2x . (5)(x2-1)y+2xy-cos x=0; 解 原方程變形為. . (6); 解 . (7); 解 . (8)yln ydx+(x-ln y)dy=0; 解 原方程變形為. . (9); 解 原方程變形為. =(x-2)(x-2)2+C=(x-2)3+C(x-2). (10). 解 原方程變形為. . 2. 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: (1), y|x=0=0; 解 . 由y|x=0=0, 得C=0, 故所求特解為y=xsec x . (2), y|x=p=1; 解 . 由y|x=p=1, 得C=p-1, 故所求特解為. (3), ; 解 . 由, 得C=1, 故所求特解為. (4), y|x=0=2; 解 . 由y|x=0=2, 得, 故所求特解為. (5), y|x=1=0. 解 . 由y|x=1=0, 得, 故所求特解為. 3. 求一曲線的方程, 這曲線通過原點, 并且它在點(x, y)處的切線斜率等于2x+y . 解 由題意知y=2x+y, 并且y|x=0=0. 由通解公式得 =ex(-2xe-x-2e-x+C)=Cex-2x-2. 由y|x=0=0, 得C=2, 故所求曲線的方程為y=2(ex-x-1). 4. 設有一質量為m的質點作直線運動, 從速度等于零的時刻起, 有一個與運動方向一至、大小與時間成正比(比例系數為k1)的力作用于它, 此外還受一與速度成正比(比例系數為k2)的阻力作用. 求質點運動的速度與時間的函數關系. 解 由牛頓定律F=ma, 得, 即. 由通解公式得 . 由題意, 當t=0時v=0, 于是得. 因此 即 . 5. 設有一個由電阻R=10W、電感L=2h(亨)和電源電壓E=20sin5t V(伏)串聯(lián)組成的電路. 開關K合上后, 電路中有電源通過. 求電流i與時間t的函數關系. 解 由回路電壓定律知 , 即. 由通解公式得 . 因為當t=0時i=0, 所以C=1. 因此 (A). 6. 設曲在右半平面(x0)內與路徑無關, 其中f(x)可導, 且f(1)=1, 求f(x). 解 因為當x0時, 所給積分與路徑無關, 所以 , 即 f(x)=2f(x)+2xf(x)-2x, 或 . 因此 . 由f(1)=1可得, 故. 7. 求下列伯努利方程的通解: (1); 解 原方程可變形為 , 即. , 原方程的通解為. (2); 解 原方程可變形為 , 即. , 原方程的通解為. (3); 解 原方程可變形為 , 即. , 原方程的通解為. (4); 解 原方程可變形為 , 即. , 原方程的通解為. (5)xdy-y+xy3(1+ln x)dx=0. 解 原方程可變形為 , 即. , 原方程的通解為. 8. 驗證形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分方程, 可經變量代換v=xy化為可分離變量的方程, 并求其通解. 解 原方程可變形為 . 在代換v=xy下原方程化為 , 即 , 積分得 , 對上式求出積分后, 將v=xy代回, 即得通解. 9. 用適當的變量代換將下列方程化為可分離變量的方程, 然后求出通解: (1); 解 令u=x+y, 則原方程化為 , 即. 兩邊積分得 x=arctan u+C. 將u=x+y代入上式得原方程的通解 x=arctan(x+y)+C, 即y=-x+tan(x-C). (2); 解 令u=x-y, 則原方程化為 , 即dx=-udu. 兩邊積分得 . 將u=x+y代入上式得原方程的通解 , 即(x-y)2=-2x+C(C=2C1). (3)xy+y=y(ln x+ln y); 解 令u=xy, 則原方程化為 , 即. 兩邊積分得 ln x+ln C=lnln u, 即u=eCx. 將u=xy代入上式得原方程的通解 xy=eCx, 即. (4)y=y2+2(sin x-1)y+sin2x-2sin x-cos x+1; 解 原方程變形為 y=(y+sin x-1)2-cos x. 令u=y+sin x-1, 則原方程化為 , 即. 兩邊積分得 . 將u=y+sin x-1代入上式得原方程的通解 , 即. (5)y(xy+1)dx+x(1+xy+x2y2)dy=0