《理論力學(xué)》第五章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 習(xí)題全解.doc

第五章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 習(xí)題全解習(xí)題5-1 一點(diǎn)按的規(guī)律沿直線動(dòng)動(dòng)(其中要計(jì),以計(jì)).試求:(1)最初內(nèi)的位移;(2)改變動(dòng)動(dòng)方向的時(shí)刻和所在位置;(3)最初內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程;(4)時(shí)的速度和加速度;(5)點(diǎn)在哪段時(shí)間作加速度,哪段時(shí)間作減速運(yùn)動(dòng).解:(1)求最初內(nèi)的位移. (動(dòng)點(diǎn)的位移為9m,位移的方向?yàn)樨?fù)x方向).(2)求改變動(dòng)動(dòng)方向的時(shí)刻和所在位置. 改變方向時(shí),動(dòng)點(diǎn)的速度為零.即: ,亦即:當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)改變運(yùn)動(dòng)方向.此時(shí)動(dòng)點(diǎn)所在的位置為: (3)求最初內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程. (4)求時(shí)的速度和加速度 (5)求動(dòng)點(diǎn)在哪段時(shí)間作加速度,哪段時(shí)間作減速運(yùn)動(dòng). 若與同號(hào),則動(dòng)點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng); 若與異號(hào),則動(dòng)點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng).即: 同號(hào)時(shí)有:.即當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)作加速動(dòng)動(dòng).異號(hào)時(shí)有:即當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng).習(xí)題5-2 已知圖示機(jī)構(gòu)中,求出時(shí),點(diǎn)的動(dòng)動(dòng)方程和軌跡方程。解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則由圖中的幾何關(guān)系可知,運(yùn)動(dòng)方程為: 把上式兩邊分別平方后相加,得到軌跡方程: 習(xí)題5-3 跨過(guò)滑輪C的繩子一端掛有重物B,另一端A被人拉著沿水平方向運(yùn)動(dòng),其速度為,A點(diǎn)到地面的距離保持常量.滑輪離地面的高度,其半徑忽略不計(jì).當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí),重物在地面上處,繩AC段在鉛直位置處.求重物B上升的運(yùn)動(dòng)方程和速度方程,以及重物B到達(dá)滑輪處所需的時(shí)間.解:從圖中可知,繩子的原長(zhǎng)約為16m.在任一瞬時(shí),繩子的長(zhǎng)度為:.即:B點(diǎn)的y坐標(biāo),即重物B上升的運(yùn)動(dòng)方程為:重物B上升的速度方程為:重物到達(dá)滑輪時(shí),所走過(guò)的路程為8m,即:當(dāng)時(shí),故:,依題意:,解得:習(xí)題5-4 偏心輪半徑為,轉(zhuǎn)動(dòng)軸到輪心的偏心距,坐標(biāo)軸如圖所示.求桿AB的運(yùn)動(dòng)方程,已知,為常量.解:AB桿作豎向平動(dòng).A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代表AB桿的運(yùn)動(dòng).由圖中的幾何關(guān)系可知,A點(diǎn)的坐標(biāo),即AB桿的運(yùn)動(dòng)方程為:習(xí)題5-5 半圓形凸輪以勻速沿水平方向向左運(yùn)動(dòng),活塞桿AB長(zhǎng)沿鉛直方向運(yùn)動(dòng).擋運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí),活塞桿A端在凸輪的最高點(diǎn)上.如凸輪的半徑,求活塞B的運(yùn)動(dòng)方程和速度方程.解:活塞桿AB作豎向平動(dòng).以凸輪圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),鉛垂向上方向?yàn)檩S的正向,則由圖中的幾何關(guān)系可知,任一時(shí)刻,B點(diǎn)的坐標(biāo),即活塞B的運(yùn)動(dòng)方程為: 活塞B的速度方程為:習(xí)題5-6 已知桿與鉛直線夾角(以rad計(jì),以計(jì)),小環(huán)套在桿OA,CD上,如圖所示.鉸O至水平桿CD的距離.求小環(huán)的速度方程與加速度方程,并求時(shí)小環(huán)的速度及加速度.解:以O(shè)A鉛垂時(shí)小環(huán)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),水平向右方向?yàn)閤軸的正向.任一瞬時(shí), 的坐標(biāo),即運(yùn)動(dòng)方程為: 小環(huán)的速度方程為:小環(huán)加速度方程為: 習(xí)題5-7 滑道連桿機(jī)構(gòu)如圖所示,曲柄OA長(zhǎng),按規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)(以rad計(jì),以計(jì)),為一常量.求滑道上B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,速度方程及加速度方程.解:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB方向?yàn)閤軸的正向,則B點(diǎn)的坐標(biāo),即運(yùn)動(dòng)方程為: B點(diǎn)的速度方程為: B點(diǎn)的加速度方程為: 習(xí)題5-8 動(dòng)點(diǎn)A和B在同一直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程分別為, 其中,以計(jì), 以計(jì).試求:(1)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡;(2)兩點(diǎn)相遇的時(shí)刻;(3)兩點(diǎn)相遇時(shí)刻它們各自的速度;(4)兩點(diǎn)相遇時(shí)刻它們各自的加速度.解: (1)求兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡 A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡: B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡:(2)求兩點(diǎn)相遇的時(shí)刻 兩點(diǎn)相遇時(shí),它們的坐標(biāo)相同. , , .即當(dāng)時(shí),兩點(diǎn)相遇.(3)求兩點(diǎn)相遇時(shí)刻它們各自的速度 , , 兩點(diǎn)相遇時(shí),A點(diǎn)的速度為: 大小:.方向:, , 兩點(diǎn)相遇時(shí),B點(diǎn)的速度為: 大小:.方向:(4)求兩點(diǎn)相遇時(shí)刻它們各自的加速度 , 兩點(diǎn)相遇時(shí),A點(diǎn)的加速度為:大小:,方向:沿y軸正向., 兩點(diǎn)相遇時(shí),B點(diǎn)的加速度為:大小:方向:習(xí)題5-9 點(diǎn)以勻速率在直管OA內(nèi)運(yùn)動(dòng),直管OA又按規(guī)律繞O轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)時(shí), 在O點(diǎn),求其在任一瞬時(shí)的速度及加速度的大小.解: , 設(shè)任一瞬時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為:, 速度方程為: 任一瞬時(shí),速度的大小為:加速度方程為: 任一瞬時(shí),速度的大小為:習(xí)題5-10 一圓板在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).已知圓板中心C的運(yùn)動(dòng)方程為,(其中以m計(jì), 以計(jì)).板上一點(diǎn)M與C的距離,直線段CM與x軸的夾角(以rad計(jì), 以計(jì)),試求時(shí)M點(diǎn)的速度及加速度.解: 設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x,y),則M點(diǎn)的坐標(biāo),即運(yùn)動(dòng)方程為:速度方程: 時(shí)M點(diǎn)的速度為: ()加速度方程:時(shí)M點(diǎn)的加速度為:習(xí)題5-11 一段凹凸不平的路面可近似地用下列正弦曲線表示:,其中x,y均以m計(jì).設(shè)有一汽車沿x方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為(x以m計(jì),t以s 計(jì)).問(wèn)汽車經(jīng)過(guò)該段路面時(shí),在什么位置加速度的絕對(duì)值最大?最大的加速度值是多少?解: 當(dāng),即時(shí), 加速度的絕對(duì)值最大, .此時(shí)汽車的位置在: ,習(xí)題5-12 一點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),其速度方程為,其中以計(jì),t以s計(jì).已知在初瞬時(shí)該點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),求該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程。解：（）求運(yùn)動(dòng)方程由邊界條件，代入上式得：，故由邊界條件，代入上式得：，故，因此，該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：；。（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡由得代入得：，這就是動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。習(xí)題5-13 一動(dòng)點(diǎn)之加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影為：，。已知當(dāng)時(shí)，（長(zhǎng)度以計(jì)，時(shí)間以計(jì)），試求其運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程。解：（）求運(yùn)動(dòng)方程把當(dāng)時(shí)，的邊界條件代入上式得：，故把當(dāng)時(shí)，的邊界條件代入上式得：，故把當(dāng)時(shí)，的邊界條件代入上式得：，故把當(dāng)時(shí)，的邊界條件代入上式得：，故。因此，該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：；。（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程由得：(a) 由得：(b) (a)+(b)得：這就是動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。習(xí)題5-14 定向爆破開(kāi)山筑壩。爆破物從爆處至散落處的運(yùn)動(dòng)可以近似地作為拋射運(yùn)動(dòng)，設(shè)、兩處高差為，水平距離為，初速與水平線夾角為，試推證的大小應(yīng)為。證：(a)（點(diǎn)高于點(diǎn)，故前有個(gè)負(fù)號(hào)）(b)(a)代入(b)得：故，本題得證。習(xí)題5-1 重力壩溢流段和鼻坎挑流。鼻坎與下游水位高差為，設(shè)挑流角為，水流射出鼻坎的速度為，試求射程。解：，取 習(xí)題5-16 噴水槍的仰角，水流以的速度射至傾角為的斜坡上，欲使水流射到斜坡上的速度與斜面垂直，試求水流噴射在斜坡上的高度及水槍放置的位置與坡腳的距離。解：到達(dá)點(diǎn)時(shí)，習(xí)題5-17 點(diǎn)沿曲線動(dòng)動(dòng)。曲線由、兩段圓弧組成，段曲率半徑，段曲率半徑，取圓弧交接處為原點(diǎn)，規(guī)定正方向如圖所示。已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：，以計(jì)，以計(jì)。求：（）點(diǎn)由至所經(jīng)過(guò)的路程；（）時(shí)的加速度。解：（）求點(diǎn)由至所經(jīng)過(guò)的路程令得；當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)改變運(yùn)動(dòng)方向。點(diǎn)由至所經(jīng)過(guò)的路程點(diǎn)由至所經(jīng)過(guò)的路程點(diǎn)由至所經(jīng)過(guò)的路程（）求時(shí)的加速度習(xí)題5-18搖桿滑道機(jī)構(gòu)如題5-1附圖所示，滑塊同時(shí)在固定圓弧槽中和在搖桿的滑道中滑動(dòng)。BC弧的半徑為，搖桿OA的轉(zhuǎn)軸在BC弧所在的圓周上。搖桿繞O軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，搖桿在水平位置。試分別用直角坐標(biāo)法和自然法求滑塊的運(yùn)動(dòng)方程，并求其速度及加速度。 解:(1) 直角坐標(biāo)法設(shè)滑塊的坐標(biāo)為，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：（2）自然坐標(biāo)法建立如圖所示的自然坐標(biāo)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程（即弧坐標(biāo)）為：習(xí)題5-19 某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：，及的單位為，的單位為。求它的速度、切向加速度與法向加速度。解：（）求動(dòng)點(diǎn)的速度（）求動(dòng)點(diǎn)的切向加速度（）求動(dòng)點(diǎn)的法向加速度習(xí)題5-20 已知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：，及的單位為，的單位為。求其軌跡及時(shí)的速度、加速度。并分別求切向加速度、法向加速度與曲率半徑。解：（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡及時(shí)的速度、加速度由得：，即該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線。時(shí)的速度時(shí)的加速度（）求切向加速度、法向加速度與曲率半徑時(shí)的切向加速度習(xí)題5-21 點(diǎn)沿給定的拋物線運(yùn)動(dòng)（其中均以計(jì)）。在處時(shí)，速度，切向加速度。求點(diǎn)在該位置時(shí)的加速度。解：把在處時(shí)，速度，的邊界條件代入以上二式得： 習(xí)題5-22 已知一點(diǎn)的加速度方程為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并用簡(jiǎn)捷的方法求時(shí)點(diǎn)所在處軌跡的曲率半徑。解：（）求運(yùn)動(dòng)軌跡方程把時(shí)，代入上式得：。故把時(shí)，代入上式得：。故 (把時(shí)，)把時(shí)，代入上式得：。故。故動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：，。消去得動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡：（拋物線）（）求曲率半徑高等數(shù)學(xué)法：當(dāng)時(shí)，故運(yùn)動(dòng)學(xué)法：切向加速度：法向加速度：曲率半徑：當(dāng)時(shí)，故： 習(xí)題5-23 已知某動(dòng)點(diǎn)用極坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程為。求時(shí)點(diǎn)的速度與加速度。的單位為，的單位為，的單位。解：，即時(shí)，習(xí)題5-24 試用極坐標(biāo)表示法求題的運(yùn)動(dòng)方程以及速度和加速度。解：（）求運(yùn)動(dòng)方程（）求速度，（）求加速度習(xí)題5-25 桿繞軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)滑塊在半徑為的固定圓弧形槽內(nèi)滑動(dòng)。已知，試