4.1圓的對稱性 1 ppt課件

4 1 2 圓的對稱性 弧弦圓心角 圓的相關(guān)概念 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧 簡稱弧 arc 直徑將圓分成兩部分 每一部分都叫做半圓 如弧 連接圓上任意兩點間的線段叫做弦 chord 如弦AB 經(jīng)過圓心的弦叫做直徑 diameter 如直徑AC 同心圓 圓心相同 半徑不相等的兩個圓叫做同心圓 弓形 由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形 等圓 等弧 能夠重合的兩個圓叫做等圓 在同圓或等圓中 能夠互相重合的弧叫做等弧 1 如右圖 在 O中弦是 直徑是 半徑是 其中弦AB所對的優(yōu)弧是 劣弧是 2 如果一個圖形沿一條直線對折 直線兩旁的部分能夠互相重合 那么這個圖形叫 這條直線叫這個圖形的 實驗與探究 1 把一個圓沿著它的任意一條直徑所在的直線對折 重復(fù)幾次 你發(fā)現(xiàn)了什么 由此你能得到什么結(jié)論 2 圓是圖形 任何一條 都是它的對稱軸 完全重合 軸對稱 直徑所在的直線 如圖 AB是 O的一條弦 作直徑CD 使CD AB 垂足為E 1 我發(fā)現(xiàn)這個圖形是 圖形 它的對稱軸是 2 圖中相等的線段有 相等的弧有 3 以上發(fā)現(xiàn)可以表示為 4 題目當(dāng)中有哪些條件 得到了哪些結(jié)論 用文字敘述為 5 用幾何語言表示垂徑定理為 做一做 C 疊合法 合作與探究 O A B C D E 如圖 AB是 O的一條弦 作直徑CD 使CD AB 垂足為E 垂徑定理的幾何語言敘述 AE BE AC BC AD BD 2 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧 為什么 1 這個圖形是軸對稱圖形嗎 如果是 它的對稱軸是什么 AE BE AC BC AD BD 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分弦 并且平分弦所對的兩條弧 CD AB 交流與發(fā)現(xiàn) 下列圖形是否具備垂徑定理的條件 是 不是 是 不是 深化 垂徑定理的幾個基本圖形 CD過圓心 CD AB于E AE BE 在下列哪個圖中有AE BE A B C D 1 2 3 D C A B C A B E E E 找一找 D AE BE嗎 A B C D E A B D C AC BC AD BD CD AB CD AB AE BE 平分弦的直徑垂直于弦 并且平分弦所對的兩條弧 不是直徑 垂徑定理的推論 CD AB嗎 E 交流與發(fā)現(xiàn) 1 4 5 2 3 1 5 2 3 4 1 3 2 4 5 1 4 2 3 5 1 過圓心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所對優(yōu)弧 5 平分弦所對的劣弧 3 5 3 4 1 2 5 2 4 1 3 5 2 5 1 3 4 1 2 4 4 5 1 2 3 每條推論如何用語言表示 根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說 如果具備 1 過圓心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所對的優(yōu)弧 5 平分弦所對的劣弧 上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論 結(jié)論 一 判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中 如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦 必平分此弦所對的弧 分別過弦的三等分點作弦的垂線 將弦所對的兩條弧分別三等分 3 半徑為2cm的圓中 過半徑中點且垂直于這條半徑的弦長是 8cm 1 半徑為4cm的 O中 弦AB 4cm 那么圓心O到弦AB的距離是 2 O的直徑為10cm 圓心O到弦AB的距離為3cm 則弦AB的長是 二 填空 4 O的半徑為10cm 弦AB CD AB 16 CD 12 則AB CD間的距離是 2cm 或14cm 趙州橋的主橋拱是圓弧形 它的跨度 弧所對的弦的長 為37 4米 拱高 弧的中點到弦的距離 為7 2米 你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎 O A B 垂徑定理的應(yīng)用 垂徑定理的應(yīng)用 趙州橋主橋拱的跨度 弧所對的弦的長 37 4m 拱高 弧的中點到弦的距離 為7 2m 你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎 1 用AB表示主橋拱 設(shè)AB所在的圓的圓心為O 半徑為R 經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC D為垂足 OC與AB交于點C 則趙州橋主橋拱的半徑就是 2 如右圖 D是 的中點 C是 的中點 就是拱高 所以題目中的條件有 3 OD可以看成是 的一部分 它與半徑R的關(guān)系是 由垂徑定理知AD 4 AOD是 它的三邊滿足關(guān)系 5 本題可列方程 解 如圖 設(shè)半徑為R 有題意知 在 t AOD中 由勾股定理 得 解得R 27 9 m 答 趙州橋的主橋拱半徑約為27 9m 解決問題 例1 趙州橋主橋拱的跨度 弧所對的弦的長 為37 4m 拱高 弧的中點到弦的距離 為7 2m 你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎 AB 37 4 CD 7 2 反思 在本題里 作垂直于弦的半徑 構(gòu)建直角三角形 運用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵 例2 如圖 M為 O內(nèi)的一點 利用尺規(guī)作一條弦AB 使AB過點M 并且AM BM 例3 一條排水管的截面如圖所示 已知排水管的半徑OB 10 水面寬AB 16 求截面圓心O到水面的距離 解 作OC AB于C 由垂徑定理得 AC BC AB 16 8由勾股定理得 答 截面圓心O到水面的距離為6 排水管最深4米 12 12 排水管中水最深是多少 D C 10 8 8 6 CD OD OC 10 6 4 變式一 若已知排水管的半徑OB 10 截面圓心O到水面的距離OC 6 求水面寬AB 變式二 若已知排水管的水面寬AB 16 截面圓心O到水面的距離OC 6 求排水管的半徑OB D C 強化練習(xí)1 一條排水管的截面如圖所示 已知排水管的半徑OB 10 水面寬AB 16 求截面圓心O到水面的距離 若弦心距為d 半徑為R 弦長為a 則這三者之間有怎樣的關(guān)系 d R a2 d2 2 R2 2 a C D A B E 例4 平分已知弧AB 已知 弧AB 作法 連結(jié)AB 作AB的垂直平分線CD 交弧AB于點E 點E就是所求弧AB的中點 求作 弧AB的中點 C D A B E F G 變式一 求弧AB的四等分點 m n C A B E 變式二 你能確定弧AB的圓心嗎 m n D C A B E m n O 1 如圖 ABC的三個頂點在 O上 OE AB于E OF AC于F 求證 EF BC EF 練習(xí) OE AB E為AB的中點 OF AC F為AC的中點 EF為三角形ABC的中位線 2 已知 如圖 在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中 大圓的弦AB交小圓于C D兩點 求證 AC BD 證明 過O作OE AB 垂足為E 則AE BE CE DE AE CE BE DE 所以 AC BD E 實際上 往往只需從圓心作一條與弦垂直的線段 就可以利用垂徑定理來解決有關(guān)問題了 3 已知 O中弦AB CD 求證 AC BD 證明 作直徑MN AB AB CD MN CD AM BM CM DM 垂直于弦的直徑平分弦所對的弧 AM CM BM DM AC BD 夾在兩條平行弦間的弧相等 你能有一句話概括一下嗎 4 如圖 在 O中 弦AB的長為8cm 圓心O到AB的距離為3cm 求 O的半徑 O A B E 解 答 O的半徑為5cm 在Rt AOE中 5 如圖 P為 O的弦BA延長線上一點 PA AB 2 PO 5 求 O的半徑 輔助線 關(guān)于弦的問題 常常需要過圓心作弦的垂線段 這是一條非常重要的輔助線 圓心到弦的距離 半徑 弦長構(gòu)成直角三角形 便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題 A 6 已知 AB和CD是 O內(nèi)的兩條平行弦 AB 6cm CD 8cm O的半徑為5cm 1 請根據(jù)題意畫出符合條件的圖形 2 求出AB 與CD間的距離 1 2 7 在直徑是20cm的 O中 AOB的度數(shù)是60 那么弦AB的弦心距是 圓的圓心到圓上弦的距離叫做弦心距 8 如圖 在 O中 AB AC為互相垂直且相等的兩條弦 OD AB于D OE AC于E 求證 四邊形ADOE是正方形 證明 四邊形ADOE為矩形 又 AC AB AE AD 四邊形ADOE為正方形 OE AC OD AB AC AB OEA ODA BAC 90 小結(jié) 解決有關(guān)弦的問題 經(jīng)常是過圓心作弦的垂線 或作垂直于弦的直徑 連結(jié)半徑等輔助線 為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件 M N E 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí) 你學(xué)到了哪些知識 課堂