2018版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十三章推理與證明算法復(fù)數(shù)13.3數(shù)學(xué)歸納法教師用書(shū)理新人教版.docx

第十三章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 13.3 數(shù)學(xué)歸納法教師用書(shū) 理 新人教版數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)()(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223.()(6)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí)，n03.()1用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1 (a1，nN*)，在驗(yàn)證n1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析當(dāng)n1時(shí)，n12，左邊1a1a21aa2.2(2016黃山模擬)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12()時(shí)，若已假設(shè)nk(k2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()Ank1時(shí)等式成立Bnk2時(shí)等式成立Cn2k2時(shí)等式成立Dn2(k2)時(shí)等式成立答案B解析因?yàn)閚為正偶數(shù)，nk時(shí)等式成立，即n為第k個(gè)偶數(shù)時(shí)命題成立，所以需假設(shè)n為下一個(gè)偶數(shù)，即nk2時(shí)等式成立3在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于()A1 B2C3 D0答案C解析凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形，故第一步檢驗(yàn)n3.4用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D解析等式左邊是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和，直到n2.故nk1時(shí)，最后一項(xiàng)是(k1)2，而nk時(shí)，最后一項(xiàng)是k2，應(yīng)加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.5(教材改編)已知an滿(mǎn)足an1anan1，nN*，且a12，則a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n1題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1設(shè)f(n)1(nN*)求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)證明當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，右邊2(11)1，左邊右邊，等式成立假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立由可知當(dāng)nN*時(shí)，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)思維升華用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意(1)明確初始值n0的取值并驗(yàn)證nn0時(shí)等式成立(2)由nk證明nk1時(shí)，弄清左邊增加的項(xiàng)，且明確變形目標(biāo)(3)掌握恒等變形常用的方法：因式分解；添拆項(xiàng)；配方法用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN*)證明當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，等式成立即，當(dāng)nk1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立即對(duì)所有nN*，原式都成立題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2(2016煙臺(tái)模擬)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn2(log2an1)(nN*)，證明：對(duì)任意的nN*，不等式成立(1)解由題意，Snbnr，當(dāng)n2時(shí)，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1，所以n2時(shí)，an是以b為公比的等比數(shù)列又a1br，a2b(b1)，所以b，即b，解得r1.(2)證明由(1)及b2知an2n1.因此bn2n(nN*)，所證不等式為.當(dāng)n1時(shí)，左式，右式，左式右式，所以結(jié)論成立假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，要證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立，只需證，即證，由基本不等式得成立，故成立，所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由可知，當(dāng)nN*時(shí)，不等式成立思維升華數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵(1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(2)關(guān)鍵：由nk時(shí)命題成立證nk1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化若函數(shù)f(x)x22x3，定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過(guò)點(diǎn)P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：2xnxn13.證明當(dāng)n1時(shí)，x12，f(x1)3，Q1(2，3)所以直線PQ1的方程為y4x11，令y0，得x2，因此2x1x23，即n1時(shí)結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立，即2xkxk13.當(dāng)nk1時(shí)，直線PQk1的方程為y5(x4)又f(xk1)x2xk13，代入上式，令y0，得xk24，由歸納假設(shè)，2xk13，xk240，即xk1xk2，所以2xk1xk23，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由知對(duì)任意的正整數(shù)n,2xnxn1x4x6，猜想：數(shù)列x2n是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，已證命題成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.所以當(dāng)nk1時(shí)命題也成立結(jié)合知，對(duì)于任何nN*命題成立命題點(diǎn)2與數(shù)列有關(guān)的證明問(wèn)題例4在數(shù)列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*，0)(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an 的通項(xiàng)公式，并加以證明解(1)a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.(2)由(1)可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式為：an(n1)n2n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1,2,3,4時(shí)，等式顯然成立，假設(shè)當(dāng)nk(k4，kN*)時(shí)等式成立，即ak(k1)k2k，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1akk1(2)2k(k1)k2kk12k12k(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，所以當(dāng)nk1時(shí)，ak1(k1)1k12k1，猜想成立，由知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(n1)n2n(nN*，0)命題點(diǎn)3存在性問(wèn)題的證明例5設(shè)a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若b1，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2nca2n1對(duì)所有nN*成立？證明你的結(jié)論解(1)方法一a22，a31.再由題設(shè)條件知(an11)2(an1)21.從而(an1)2是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，故(an1)2n1，即an1(nN*)方法二a22，a31.可寫(xiě)為a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當(dāng)n1時(shí)結(jié)論顯然成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即ak1，則ak1111.所以當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立所以an1(nN*)(2)方法一設(shè)f(x)1，則an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題：a2nca2n11.當(dāng)n1時(shí)，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，所以a2a31，結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上為減函數(shù)，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.因此a2(k1)ca2(k1)11.這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立綜上，符合條件的c存在，其中一個(gè)值為c.方法二設(shè)f(x)1，則an1f(an)先證：0an1(nN*)當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論顯然成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即0ak1.易知f(x)在(，1上為減函數(shù)，從而0f(1)f(ak)f(0)11，即0ak11.這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立故成立再證：a2na2n1(nN*)當(dāng)n1時(shí)，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，有a2a3，即n1時(shí)成立假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即a2kf(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2k2)a2(k1)1.這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)成立，所以對(duì)一切nN*成立由得a2n1，即(a2n1)2a2a2n2，因此a2nf(a2n1)，即a2n1a2n2，所以a2n11.解得a2n1.綜上，由知存在c使得a2nca2n1對(duì)一切nN*成立思維升華(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題(2015江蘇)已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，設(shè)Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù)(1)寫(xiě)出f(6)的值；(2)當(dāng)n6時(shí)，寫(xiě)出f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解(1)Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)滿(mǎn)足：若a1，則b1,2,3,4,5,6；若a2，則b1,2,4,6；若a3，則b1,3,6.所以f(6)13.(2)當(dāng)n6時(shí)，f(n)(tN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n6時(shí)，f(6)6213，結(jié)論成立；假設(shè)nk(k6)時(shí)結(jié)論成立，那么nk1時(shí)，Sk1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：()若k16t，則k6(t1)5，此時(shí)有f(k1)f(k)3k23(k1)2，結(jié)論成立；()若k16t1，則k6t，此時(shí)有f(k1)f(k)1k21(k1)2，結(jié)論成立；()若k16t2，則k6t1，此時(shí)有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；()若k16t3，則k6t2，此時(shí)有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；()若k16t4，則k6t3，此時(shí)有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；()若k16t5，則k6t4，此時(shí)有f(k1)f(k)1k21(k1)2，結(jié)論成立綜上所述，結(jié)論對(duì)滿(mǎn)足n6的自然數(shù)n均成立9歸納猜想證明問(wèn)題典例(12分)數(shù)列an滿(mǎn)足Sn2nan(nN*)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)證明(1)中的猜想思維點(diǎn)撥(1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，觀察所得數(shù)值的特征猜出通項(xiàng)公式(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明規(guī)范解答(1)解當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，a11；當(dāng)n2時(shí)，a1a2S222a2，a2；當(dāng)n3時(shí)，a1a2a3S323a3，a3；當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S424a4，a4.2分由此猜想an(nN*)4分(2)證明當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立5分假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak，那么nk1時(shí)，7分ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.9分ak1.當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立11分由知猜想an(nN*)成立12分歸納猜想證明問(wèn)題的一般步驟：第一步：計(jì)算數(shù)列前幾項(xiàng)或特殊情況，觀察規(guī)律猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)或一般結(jié)論；第二步：驗(yàn)證一般結(jié)論對(duì)第一個(gè)值n0(n0N*)成立；第三步：假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立；第四步：下結(jié)論，由上可知結(jié)論對(duì)任意nn0，nN*成立1如果命題p(n)對(duì)nk(kN*)成立，則它對(duì)nk2也成立若p(n)對(duì)n2也成立，則下列結(jié)論正確的是()Ap(n)對(duì)所有正整數(shù)n都成立Bp(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立Cp(n)對(duì)所有正奇數(shù)n都成立Dp(n)對(duì)所有自然數(shù)n都成立答案B解析n2時(shí)，nk，nk2成立，n為2,4,6，故n為所有正偶數(shù)2用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是()A假設(shè)nk(kN*)，證明nk1時(shí)命題成立B假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk1時(shí)命題成立C假設(shè)n2k1(kN*)，證明nk1時(shí)命題成立D假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk2時(shí)命題成立答案D解析相鄰兩個(gè)正奇數(shù)相差2，故D選項(xiàng)正確3(2017淄博質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿(mǎn)足：當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總能推出f(k1)k2成立，那么下列命題總成立的是()A若f(1)2成立，則f(10)11成立B若f(3)4成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k1成立C若f(2)4時(shí)，f(n)_(用n表示)答案5(n1)(n2)解析f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)9(2016北京東城區(qū)質(zhì)檢)在數(shù)列bn中，b12，bn1(nN*)求b2，b3，試判定bn與的大小，并加以證明解由b12，bn1，得b2，b3.經(jīng)比較有b1，b2，b3.猜想bn(nN*)下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，b12， b1.假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即 0.當(dāng)nk1時(shí)，bk10.bk1 ，也就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立根據(jù)知bn(nN*)10數(shù)列xn滿(mǎn)足x10，xn1xxnc(nN*)(1)證明：xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0；(2)若0c，證明：數(shù)列xn是遞增數(shù)列證明(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，所以數(shù)列xn是遞減數(shù)列必要性：若xn是遞減數(shù)列，則x2x1，且x10.又x2xx1cc，所以c0.故xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0.(2)若0xn，即xx1xnxc0，也就是證明xn .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0c時(shí)，xn 對(duì)任意n1，nN*都成立當(dāng)n1時(shí)，x10 ，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)結(jié)論成立，即xk .因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2xc在區(qū)間(，內(nèi)單調(diào)遞增，所以xk1f(xk)f()，這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立故xnxn，即xn是遞增數(shù)列11已知函數(shù)f0(x)(x0)，設(shè)fn(x)為fn1(x)的導(dǎo)數(shù)，nN*.(1)求2f1()f2()的值；(2)證明：對(duì)任意的nN*，等式|nfn1()fn()|都成立(1)解由已知，得f1(x)f0(x)()，于是f2(x)f1(x)()()，所以f1()，f2()，故2f1()f2()1.(2)證明由已知，得xf0(x)sin x，等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsin(x)，類(lèi)似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsin(x)，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn1(x)xfn(x)sin(x)對(duì)所有的xN*都成立當(dāng)n1時(shí)，由上可知等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sin(x)因?yàn)閗fk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，sin(x)cos(x)(x)sinx，所以(k1)fk(x)xfk1(