考研教學(xué)二考試重點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié).doc

考研教學(xué)二教材下載電子教材我們講義共寫了八章，數(shù)學(xué)一的考生全部要學(xué)，而其它考生只需要其中的一部分。根據(jù)共同需要的內(nèi)容先講的原則，講課內(nèi)容與順序安排如下：第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) （全體）第二章 一元函數(shù)微分學(xué)（全體）第三章 一元函數(shù)積分學(xué)（全體）第六章多元函數(shù)微分學(xué) （全體）第七章 7.1 二重積分 （全體）第四章 4.1 一階微分方程 4.3 微分方程的應(yīng)用（數(shù)學(xué)四考生結(jié)束） 4.2 高階微分方程（數(shù)學(xué)二考生結(jié)束）第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)三考生結(jié)束）第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何第七章 7.2 三重積分 7.3 曲線積分 7.4 曲面積分?jǐn)?shù)學(xué)一全部?jī)?nèi)容結(jié)束第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)1.1 函數(shù)（1） 內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)的概念1. 定義，x 為自變量，y 為因變量或稱為函數(shù)值 為對(duì)應(yīng)關(guān)系 自變量在定義域里面取值的時(shí)候，所有的函數(shù)值的全體就稱為值域?？谠E（1）：函數(shù)概念五要素；對(duì)應(yīng)關(guān)系最核心。2. 分段函數(shù)（考研中用得很多）例1： 例2：例3：口訣（2）：分段函數(shù)分段點(diǎn)；左右運(yùn)算要先行。 3反函數(shù) 例： 的反函數(shù) 由于不單值，所以要看作 和，它們的圖像與一致。 如果改變符號(hào)，寫成和 ，那么它們的圖像要變。 4隱函數(shù) 確定y與x的函數(shù)關(guān)系 有些隱函數(shù)能化為顯函數(shù)，例：，和。 另外有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。例：二、基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像（內(nèi)容自己復(fù)習(xí)參考書，這里僅舉例說明其重要性） 例1：考察 的圖像 例2：考察 因?yàn)?指數(shù)函數(shù)的圖像 因此三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)1. 復(fù)合函數(shù)（i）已知，求（ii）已知，求2. 初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算用一個(gè)表達(dá)式表示的函數(shù)原則上來(lái)說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)四、考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù) 1用極限表示的函數(shù) （1） （2） 2用變上、下限積分表示的函數(shù) （1） 其中連續(xù)，則 （2） 其中，可導(dǎo)，連續(xù)，則 口訣（3）：變限積分是函數(shù)；出現(xiàn)之后先求導(dǎo)。五、函數(shù)的幾種性質(zhì)1有界性：（i）定義：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，若存在正數(shù)，使都有，則稱在上是有界的。 （ii）例：在（0，1）內(nèi)無(wú)界，在（1/2，1）內(nèi)有界 2奇偶性：（i）定義：設(shè)區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)，都有，則稱在上是奇函數(shù)。 若對(duì)，都有，則稱在上是偶函數(shù)。（ii）圖像對(duì)稱性：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱。 常用公式： 口訣（4）：奇偶函數(shù)常遇到；對(duì)稱性質(zhì)不可忘。 3單調(diào)性：（i）定義：設(shè)在上有定義，若對(duì)任意，都有則稱在上是單調(diào)增加的單調(diào)減少的；若對(duì)任意，都有，則稱在上是單調(diào)不減單調(diào)不增（注意：有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴(yán)格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。）（ii）判別方法：在（a，b）內(nèi)，若，則單調(diào)增加；若，則單調(diào)減少。 口訣（5）：?jiǎn)握{(diào)增加與減少；先算導(dǎo)數(shù)正與負(fù)。 4周期性：（i）定義：設(shè)在上有定義，如果存在常數(shù)，使得任意，都有，則稱是周期函數(shù)，稱為的周期。 由此可見，周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，一般我們把其中最小正周期稱為周期。 （ii）例：周期為；周期為12是4和6的最小公倍數(shù)；不是周期函數(shù)，因?yàn)?和沒有最小公倍數(shù)。（乙）典型例題 一、定義域與值域 例1設(shè)的定義域?yàn)榍蟮亩x域 解：要求，則， 當(dāng)時(shí)，則 當(dāng)時(shí)， 也即或 例2求的值域，并求它的反函數(shù)。 解：， ， ， 所以的值域?yàn)?反函數(shù) 二、求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式 例1設(shè)，求 重復(fù)合 解：， 若， 則 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)正整數(shù)， 例2已知，且，求 解：令，因此， ， 三、有關(guān)四種性質(zhì) 例1設(shè)，則下列結(jié)論正確的是 （ ） （A）若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù) （B）若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù) （C）若為周期函數(shù)，則為周期函數(shù) （D）若為單調(diào)函數(shù)，則為單調(diào)函數(shù) 解：（B）的反例；（C）的反例; ； (D)的反例 內(nèi)；（A） 的證明： 作變量替換 則 為奇函數(shù)， 于是 為偶函數(shù)例2求 解：是奇函數(shù)， 是奇函數(shù)， 因此是奇函數(shù) 于是 例3設(shè)，是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論成立的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 解：（A）等價(jià)，只需單調(diào)減少；（B）等價(jià)，只需單調(diào)增加； （C）只需單調(diào)減少 （D）只需單調(diào)增加 現(xiàn)在，所以單調(diào)減少，故（A）成立。 四、函數(shù)方程 例1設(shè)在上可導(dǎo)，反函數(shù)為，且，求。 解：兩邊對(duì)求導(dǎo)得，于是，故，由，得，則。 口訣（6）：正反函數(shù)連續(xù)用；最后只留原變量。 例2設(shè)滿足，求解：令，則 ， ， ， ， 各式相加，得，因此，于是 或（為整數(shù)） 口訣（7）：一步不行接力棒；最終處理見分曉。 思考題 設(shè)均為常數(shù)，求方程 的一個(gè)解。 解：令，則原方程相當(dāng)于，而和都是奇函數(shù)，故為偶函數(shù)，于是只要，1.2 極限 （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、極限的概念與基本性質(zhì) 1極限的概念（1）數(shù)列的極限（2）函數(shù)的極限； 2極限的基本性質(zhì) 定理1 （極限的唯一性）設(shè)，則 定理2 （極限的不等式性質(zhì)）設(shè)， 若變化一定以后，總有，則 反之，則變化一定以后，有（注：當(dāng)，情形也稱為極限的保號(hào)性） 定理3 （極限的局部有界性）設(shè) 則當(dāng)變化一定以后，是有界的。 定理4 設(shè)， 則（1）（2）（3）（4）（5） 二、無(wú)窮小 1無(wú)窮小定義：若，則稱為無(wú)窮小（注：無(wú)窮小與的變化過程有關(guān)，當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小，而或其它時(shí)，不是無(wú)窮?。?2無(wú)窮大定義：任給，當(dāng)變化一定以后，總有，則稱為無(wú)窮大，記以。 3無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系：在的同一個(gè)變化過程中，若為無(wú)窮大，則為無(wú)窮小，若為無(wú)窮小，且，則為無(wú)窮大。4無(wú)窮小與極限的關(guān)系：，其中5兩個(gè)無(wú)窮小的比較設(shè)，且 （1），稱是比高階的無(wú)窮小，記以 稱是比低階的無(wú)窮?。?），稱與是同階無(wú)窮小。（3），稱與是等階無(wú)窮小，記以 6常見的等價(jià)無(wú)窮小，當(dāng)時(shí) ，。 7無(wú)窮小的重要性質(zhì) 有界變量乘無(wú)窮小仍是無(wú)窮小。 口訣（8）：極限為零無(wú)窮??；乘有界仍無(wú)窮小。三、求極限的方法 1利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則 2兩個(gè)準(zhǔn)則 準(zhǔn)則1：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列極限一定存在（1）若（為正整數(shù)）又（為正整數(shù)），則存在，且（2）若（為正整數(shù)）又（為正整數(shù)），則存在，且準(zhǔn)則2：夾逼定理設(shè)。若，則 3兩個(gè)重要公式公式1：公式2：； 4用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換 5用泰勒公式（比用等價(jià)無(wú)窮小更深刻）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）當(dāng)時(shí)， 例：求用（最后一項(xiàng)比高階無(wú)窮?。┰?，這樣比用洛比達(dá)法則簡(jiǎn)單 6洛必達(dá)法則 專門來(lái)處理七種比較困難的極限：； 第一層次：直接用洛比達(dá)法則可處理和兩種 法則1：（型）設(shè)（1）， （2）變化過程中，皆存在 （3）（或） 則（或） （注：如果不存在且不是無(wú)窮大量情形，則不能得出不存在且不是無(wú)窮大量情形）法則2：（型）設(shè)（1）， （2）變化過程中，皆存在 （3）（或） 則（或） 例： 方法一：等價(jià)無(wú)窮小替換 方法二：洛比達(dá)法則 分子分母求導(dǎo)得，然后可以用公式一。 第二層次：間接用洛比達(dá)法則可處理和 例1： 例2：化為型 第三層次：再間接用洛比達(dá)法則可處理；型，都是形式 口訣（9）：冪指函數(shù)最復(fù)雜；指數(shù)對(duì)數(shù)一起上。 常用技巧：，這樣是型，可按第二層次來(lái)處理。 例 口訣（10）：待定極限七類型；分層處理洛比達(dá)。 7利用導(dǎo)數(shù)定義求極限 基本公式： 如果存在 8利用定積分定義求極限 基本公式： 如果存在 口訣（12）：數(shù)列極限逢絕境；轉(zhuǎn)化積分見光明。 口訣（11）：數(shù)列極限洛比達(dá)；必須轉(zhuǎn)化連續(xù)型。 9其它綜合方法 10求極限的反問題有關(guān)方法 例：已知，求a和b。（2） 典型例題 補(bǔ)充題型（關(guān)于無(wú)窮小） 例1：（無(wú)窮小量乘有界變量仍是無(wú)窮小量） 例2:：設(shè)當(dāng)時(shí)，是比高階無(wú)窮小；而又是比高階的無(wú)窮小，則n （） （A）1 （B） 2 （C）3 (D) 4 解：當(dāng)時(shí)， 由可知，故 選（B） 一、通過各種基本技巧化簡(jiǎn)后直接求出極限 例1設(shè)，求 解： 口訣（13）：無(wú)窮大比無(wú)窮大；最高階項(xiàng)除上下。 例2設(shè)，求 解： 特例 （1）求 解： 例2中取，可知原式= （2） 例3求 解： 分子、分母用除之， 原式= 或分子分母用除之，原式 （注：主要用當(dāng)時(shí)，） 例4 設(shè)是正整數(shù)，求 解： 例如時(shí)， 因此原式 特列： （1） （2）二、用兩個(gè)重要公式 例1 求 解： 當(dāng)，原式 當(dāng)時(shí)，原式 例2求 解一： 解二： 例3 三、用夾逼定理求極限 例1求 解： 令， 則，于是 由夾逼定理可知：，于是原極限為0 例2求 口訣（14）:n項(xiàng)相加先合并；不行估計(jì)上下界。 解： 而 由夾逼定理可知 例3求 解： 設(shè)，則 于是， ， 由夾逼定理可知，四、用定積分定義求數(shù)列的極限 例1求 分析：如果還想用夾逼定理中的方法來(lái)考慮 而， 由此可見，無(wú)法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來(lái)考慮 解： 例2求 解： 而 由夾逼定理可知，五、用洛必達(dá)法則求極限 1型和型 例1求 解：離散型不能直接用洛必達(dá)法則，故考慮 例2求 解：若直接用型洛必達(dá)法則1，則得 （不好辦了，分母的次數(shù)反而增加） 為了避免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，我們先用變量替換，令 于是 口訣（15）：變量替換第一寶；由繁化簡(jiǎn)常找它。 例3設(shè)函數(shù)連續(xù)，求 解：原式（分母作變量替換）（用洛必達(dá)法則，分子、分母各求導(dǎo)數(shù)）（用積分中值定理）（在0和之間） 2型和型 例1求 解：原式 例2設(shè)，常數(shù)。求 解：原式 用洛必達(dá)法則 3型，型和型 這類都是形式可化為 而都是型，按2的情形處理 例1求 解：令， 例2設(shè)，常數(shù)，求 解：先考慮它是型 令， 因此， 于是，六、求分段函數(shù)的極限 例：求 解： 又 ， 所以必須先分左、右極限考慮。 七、用導(dǎo)數(shù)定義求極限 例1設(shè)，求 解：原式例2設(shè)曲線與在原點(diǎn)相切，求 解：由題設(shè)可知， 于是 八、遞推數(shù)列的極限 例1設(shè)，證明存在，并求其值。 解：， （幾何平均值算術(shù)平均值，即a0, b0時(shí)，） 用數(shù)學(xué)歸納法可知時(shí)，有界。 又當(dāng)時(shí)， ，則單調(diào)增加。 根據(jù)準(zhǔn)則1，存在 把兩邊取極限，得 ，（舍去）得，口訣（16）：遞推數(shù)列求極限；單調(diào)有界要先證，兩邊極限一起上；方程之中把值找。 思考題 設(shè)求九、求極限的反問題 例1設(shè)，求和 解：由題設(shè)可知， ，再由洛必達(dá)法則得 （用等價(jià)無(wú)窮小替換把換可以更簡(jiǎn)單） 例2設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足，求。 解： （取 ） 因此， ，由，可知， 則1.3 連續(xù)（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)的概念 1函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念 定義1 若，則稱在點(diǎn)處連續(xù)。 定義2 設(shè)函數(shù)，如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)。 如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則在處既是左連續(xù)，又是右連續(xù)。 2函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)。 如果在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)右連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類 1 函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義 如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱為的間斷點(diǎn)。 2函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類： （1）第一類間斷點(diǎn) 設(shè)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，如果在間斷點(diǎn)處的左、右極限都存在，則稱是的第一類間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。 （2）第二類間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。 例如：是的可去間斷點(diǎn)，是的跳躍間斷點(diǎn)，是的無(wú)窮間斷點(diǎn)，是的振蕩間斷點(diǎn)。三、初等函數(shù)的連續(xù)性 1在區(qū)間I連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商（分母不為零），在區(qū)間I仍是連續(xù)的。 2由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。 3在區(qū)間I連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對(duì)應(yīng)區(qū)間仍連續(xù)且單調(diào)。 4基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。 5初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。 定理1 （有界定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則必在上有界。 定理2 （最大值和最小值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。 其中最大值和最小值的定義如下： 定義 設(shè)是區(qū)間上某點(diǎn)處的函數(shù)值，如果對(duì)于區(qū)間上的任一點(diǎn)，總有，則稱為函數(shù)在上的最大值。同樣可以定義最小值 定理3 （介值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為和，則對(duì)于介于和之間的任何實(shí)數(shù)，在上至少存在一個(gè)，使得 推論：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)，則在內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得 這個(gè)推論也稱零點(diǎn)定理。思考題：什么情況下能保證推論中的是唯一的？（乙）典型例題一、討論函數(shù)的連續(xù)性 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)的，所以，函數(shù)的連續(xù)性討論多是指分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性。對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同時(shí)，需根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件進(jìn)行討論。 例1討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。 解：因 即有，故在點(diǎn)連續(xù)。二、間斷點(diǎn)問題 例1設(shè)，在內(nèi)有定義，為連續(xù)，且，有間斷點(diǎn)，則下列函數(shù)中必有間斷點(diǎn)的為（ ） （A）（B） （C） （）解：（A），（B），（C）的反例：取, （D）成立的證明：用反證法 假如不然 連續(xù)，則連續(xù)與條件矛盾，故必有間斷點(diǎn)。 例求的間斷點(diǎn)，并判別其類型。 解：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以 它是分段函數(shù)， 分段點(diǎn)為，。所以皆是第一類間斷點(diǎn)，（跳躍間斷點(diǎn)） 例3求的間斷點(diǎn)，并判別其類型。 解：，考慮（用洛必達(dá)法則） 于是（整數(shù)）是間斷點(diǎn)，是可去間斷點(diǎn)。 是第二類間斷點(diǎn)三、用介值定理討論方程的根 例1證明五次代數(shù)方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。 證：由于函數(shù)是初等函數(shù)，因而它在閉區(qū)間上連續(xù)，而 由于與異號(hào)，故在中至少有一點(diǎn)，使 就是說，五次代數(shù)方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根?？谠E（17）：函數(shù)為零要論證，介值定理定乾坤。 例2設(shè)在上連續(xù)，且， 證明：在內(nèi)至少有一個(gè)根。 證： 令，可知在上連續(xù)。 由介值定理的推論，可知在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)至少有一個(gè)根。 例3設(shè)在上連續(xù)，且。求證：在上至少存在一點(diǎn)使（正整數(shù)） 證：令， 則 于是 （i）如果有為0，則已經(jīng)證明 ，成立。 （ii）如果全不為0； 則不可能同號(hào)，否則相加后不為0，矛盾。 所以其中一定有異號(hào)，不妨假設(shè)，與異號(hào)。 根據(jù)介值定理推論存在使 則，使成立。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)2.1 導(dǎo)數(shù)與微分 （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、導(dǎo)數(shù)與微分概念 1導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量在處有增量，相應(yīng)地函數(shù)增量。如果極限 存在，則稱此極限值為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（也稱微商），記作，或，等，并稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。 導(dǎo)數(shù)定義的另一等價(jià)形式，令，則 我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。 右導(dǎo)數(shù)： 左導(dǎo)數(shù)： 則有 在點(diǎn)處可導(dǎo)在點(diǎn)處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。 2導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 如果函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在，則在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。 切線方程： 法線方程：口訣（18）：切線斜率是導(dǎo)數(shù)，法線斜率負(fù)倒數(shù)。 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，如果存在，則表示物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度。 3函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)處可導(dǎo)。例如，在處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。 4微分的定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有增量時(shí)，如果函數(shù)的增量有下面的表達(dá)式 其中為為無(wú)關(guān)，是時(shí)比高階的無(wú)窮小，則稱在處可微，并把中的主要線性部分稱為在處的微分，記以或。 我們定義自變量的微分就是。 5微分的幾何意義 是曲線在點(diǎn)處相應(yīng)于自變量增量的縱坐標(biāo)的增量，微分是曲線在點(diǎn)處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量（見圖）。 6可微與可導(dǎo)的關(guān)系在處可微在處可導(dǎo)。口訣（19）：可導(dǎo)可微互等價(jià)；它們都比連續(xù)強(qiáng)。且一般地，則所以導(dǎo)數(shù)也稱為微商，就是微分之商的含義。 7高階導(dǎo)數(shù)的概念 如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處仍是可導(dǎo)的，則把在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱為在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記以，或，或等，也稱在點(diǎn)處二階可導(dǎo)。 如果的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱為的階導(dǎo)數(shù)，記以，等，這時(shí)也稱是階可導(dǎo)。 二、導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算 1導(dǎo)數(shù)與微分表（略） 2導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則 （1）四則運(yùn)算求導(dǎo)和微分公式 （2）反函數(shù)求導(dǎo)公式設(shè)的反函數(shù)為，則 （3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式設(shè)，則 （4）隱函數(shù)求導(dǎo)法則每一次對(duì)求導(dǎo)，把看作中間變量，然后解出例：，確定，求解：兩邊每一項(xiàng)對(duì)求導(dǎo)，把看作中間變量 然后把解出來(lái) （5）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法取對(duì)數(shù)后，用隱函數(shù)求導(dǎo)法則 求導(dǎo)得 解出 解出 解出 （6）用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)則 （乙）典型例題 一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù) 例設(shè)，其中在處連續(xù)，求 解： 二、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性 例1設(shè)函數(shù) 試確定、的值，使在點(diǎn)處可導(dǎo)。 解：可導(dǎo)一定連續(xù)， 在處也是連續(xù)的。 由 要使在點(diǎn)處連續(xù)，必須有或 又 要使在點(diǎn)處可導(dǎo)，必須，即。 故當(dāng)，時(shí)，在點(diǎn)處可導(dǎo)。 例2設(shè)，問和為何值時(shí)，可導(dǎo)，且求 解：時(shí)， 時(shí)， 由處連續(xù)性，可知 再由處可導(dǎo)性， 存在 存在 且 根據(jù)洛必達(dá)法則 ， 于是 三、運(yùn)用各種運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)或微分 例1設(shè)可微，求 解： 例2設(shè)，求 解： 對(duì)求導(dǎo)，得 再令，對(duì)求導(dǎo)， ， 于是 例3設(shè)由方程所確定，求 解： 兩邊取對(duì)數(shù)，得， 對(duì)求導(dǎo)， ， 例4設(shè) 求 解： 四、求切線方程和法線方程 例1已知兩曲線與 在點(diǎn) 處的切線相同，寫出此切線方程，并求。 解： 由已知條件可知， 故所求切線方程為 例2已知曲線的極坐標(biāo)方程，求曲線上對(duì)應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程。 解： 曲線的參數(shù)方程為 指定點(diǎn)處對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)為故切線方程 即 法線方程 即 例3設(shè)為周期是的連續(xù)函數(shù)，在鄰域內(nèi)，恒有 。其中，在處可導(dǎo)， 求曲線在點(diǎn)處的切線方程。 解： 由題設(shè)可知，故切線方程為 所以關(guān)鍵是求出和 由連續(xù)性 由所給條件可知， 再由條件可知 令，又 上式左邊 則 所求切線方程為 即 五、高階導(dǎo)數(shù) 1求二階導(dǎo)數(shù) 例1設(shè) ，求 解： 例2設(shè) 求 解： 例3設(shè)由方程所確定，求 解：， 2求階導(dǎo)數(shù)（，正整數(shù)） 先求出，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出，最后用歸納法證明。 有一些常用的初等函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式（1） （2） （3） （4） （5） 兩個(gè)函數(shù)乘積的階導(dǎo)數(shù)有萊布尼茲公式 其中， 假設(shè)和都是階可導(dǎo) 例1設(shè)（正整數(shù)），求 （正整數(shù)） 解： 例2設(shè)，求 （正整數(shù)） 解： 例3設(shè)，求 （正整數(shù)） 解： 口訣（20）：有理函數(shù)要運(yùn)算；最簡(jiǎn)分式要先行。 例4設(shè)，求 （正整數(shù)） 解： 口訣（21）：高次三角要運(yùn)算；降次處理先開路。 例5設(shè)，求 （正整數(shù)） 解：用萊布尼茲公式 2.2 微分中值定理 本節(jié)專門討論考研數(shù)學(xué)中經(jīng)常考的四大定理：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）。注：數(shù)學(xué)三不考泰勒定理，數(shù)學(xué)四不考柯西中值定理和泰勒定理 這部分有關(guān)考題主要是證明題，其中技巧性比較高，因此典型例題比較多，討論比較詳細(xì)。（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、羅爾定理 設(shè)函數(shù)滿足 （1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)； （3） 則存在，使得 幾何意義：條件（1）說明曲線在和之間是連續(xù)曲線；包括點(diǎn)和點(diǎn)。 條件（2）說明曲線在之間是光滑曲線，也即每一點(diǎn)都有不垂直于軸的切線不包括點(diǎn)和點(diǎn)。 條件（3）說明曲線在端點(diǎn)和處縱坐標(biāo)相等。 結(jié)論說明曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間不包括點(diǎn)和點(diǎn)至少有一點(diǎn)，它的切線平行于軸?？谠E（22）：導(dǎo)數(shù)為零欲論證；羅爾定理負(fù)重任。二、拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)滿足 （1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 則存在，使得 或?qū)懗?有時(shí)也寫成 這里相當(dāng)或都可以，可正可負(fù)。 幾何意義：條件（1）說明曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間包括點(diǎn)和點(diǎn)是連續(xù)曲線： 條件（2）說明曲線不包括點(diǎn)和點(diǎn)是光滑曲線。 結(jié)論說明：曲線在，之間不包括點(diǎn)和點(diǎn)，至少有點(diǎn)，它的切線與割線是平行的。 推論1 若在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)為常數(shù)。 推論2 若和在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)，其中為一個(gè)常數(shù)。 （注：拉格朗日中值定理為羅爾定理的推廣，當(dāng)特殊情形，就是羅爾定理）口訣（23）：函數(shù)之差化導(dǎo)數(shù)；拉氏定理顯神通。三、柯西中值定理（數(shù)學(xué)四不要） 設(shè)函數(shù)和滿足： （1）在閉區(qū)間上皆連續(xù)； （2）在開區(qū)間內(nèi)皆可導(dǎo)；且，則存在使得 （注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理） 幾何意義：考慮曲線的參數(shù)方程 點(diǎn)，點(diǎn)曲線在上是連續(xù)曲線，除端點(diǎn)外是光滑曲線，那么在曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于割線。值得注意：在數(shù)學(xué)理論上，拉格朗日中值定理最重要，有時(shí)也稱為微分學(xué)基本定理。羅爾定理看作拉格朗日中值定理的預(yù)備定理，柯西中值定理雖然更廣，但用得不太多。在考研數(shù)學(xué)命題中，用羅爾定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是較少。四、泰勒定理（泰勒公式）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 定理1 （帶皮亞諾余項(xiàng)的階泰勒公式） 設(shè)在處有階導(dǎo)數(shù)，則有公式 其中稱為皮亞諾余項(xiàng)。 前面求極限方法中用泰勒公式就是這種情形，根據(jù)不同情形取適當(dāng)?shù)模詫?duì)常用的初等函數(shù)如，和（為實(shí)常數(shù)）等的階泰勒公式都要熟記。 定理2 （帶拉格朗日余項(xiàng)的階泰勒公式） 設(shè)在包含的區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)，有公式 其中，（在與之間）稱為拉格朗日余項(xiàng)。 上面展開式稱為以為中心的階泰勒公式。時(shí)，也稱為麥克勞林公式。 如果，那么泰勒公式就轉(zhuǎn)化為泰勒級(jí)數(shù)，這在后面無(wú)窮級(jí)數(shù)中再討論。 羅爾定理拉格朗日中值定理 柯西中值定理 n=0泰勒定理（乙）典型例題一、用羅爾定理的有關(guān)方法 例1設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，。試證：必存在，使 證：在上連續(xù)，在上連續(xù)，且有最大值和最小值。于是；，故 。由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn)使得，因此，且在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在使得。例2設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且 求證：存在使 證：由積分中值定理可知，存在，使得 得到 對(duì)在上用羅爾定理，（三個(gè)條件都滿足） 故存在，使例3設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)任意，有， 求證存在使 證：由積分中值定理可知存在使得 令，可知 這樣，對(duì)在上用羅爾定理（三個(gè)條件都滿足）存在，使 而 又，則 在例3的條件和結(jié)論中可以看出不可能對(duì)用羅爾定理，否則結(jié)論只是，而且條件也不滿足。因此如何構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，它與有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個(gè)條件，從就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個(gè)合適的是非常關(guān)鍵，下面的模型I，就在這方面提供一些選擇。 模型I：設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，則下列各結(jié)論皆成立。 （1）存在使（為實(shí)常數(shù)） （2）存在使（為非零常數(shù)） （3）存在使（為連續(xù)函數(shù)） 證：（1）令，在上用羅爾定理 存在使 消去因子，即證。（2）令，在上用羅爾定理 存在使 消去因子，即證。 （3）令，其中 由 消去因子，即證?？谠E（24）：導(dǎo)數(shù)函數(shù)合為零；輔助函數(shù)用羅爾。例4設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證： （1）存在，使。 （2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在，使得 證明：（1）令，顯然它在上連續(xù)，又，根據(jù)介值定理，存在使即 （2）令，它在上滿足羅爾定理的條件，故存在，使，即 從而 （注：在例4（2）的證明中，相當(dāng)于模型I中（1）的情形，其中取為，取為） 模型II：設(shè)，在上皆連續(xù)，內(nèi)皆可導(dǎo)，且，則存在，使 證：令，則，顯然在上滿足羅爾定理的條件，則存在，使，即證。 例5設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，為正整數(shù)。 求證：存在使得 證：令，則，用模型II，存在使得 故 則 例6設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)的零點(diǎn) 證：反證法：設(shè)，而在內(nèi)， 則令在上用羅爾定理 ， （不妨假設(shè)，否則結(jié)論已經(jīng)成立） 則存在使，得出與假設(shè)條件矛盾。所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 例7設(shè)，在二階可導(dǎo)，且，又 求證：（1）在內(nèi)； （2）存在，使 證：（1）用反證法，如果存在使，則對(duì)分別在和上用羅爾定理，存在使，存在使，再對(duì)在上用羅爾定理存在使與假設(shè)條件矛盾。所以在內(nèi) （2）由結(jié)論可知即，因此 令,可以驗(yàn)證在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，滿足羅爾定理的三個(gè)條件 故存在，使 于是成立二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理 例1設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且， 求的值 解：由條件易見， 由拉格朗日中值定理，有 其中介于與之間，那么 于是,則補(bǔ)充例題：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證：存在，使得證：令 使用柯西中值定理，存在使再對(duì)用拉格朗日中值定理代入即可口訣（25）：尋找無(wú)約束，柯西拉氏先后上。例2設(shè)是周期為1的連續(xù)函數(shù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，又設(shè)是在上的最大值，證明：存在，使得。 證：由周期性可知，不妨假定而，對(duì)分別在和上用拉格朗日中值定理， 存在，使得 存在，使得 如果，則用式，得； 如果，則用式，得； 因此，必有，使得 例3設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明： （I）存在，使得 （II）存在，使 證：（I）令，則在上連續(xù)，且，用介值定理推論存在，使，即 （II）在和上對(duì)用拉格朗日中值定理，存在，使 得 存在，使 口訣（26）：尋找有約束，兩個(gè)區(qū)間用拉氏。例4設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，證明： （1）在內(nèi)； （2）在內(nèi)存在，使 ； （3）在內(nèi)存在與（2）中相異的點(diǎn)，使 證：（1）因?yàn)榇嬖?，故，由在上連續(xù)，從而。又知在內(nèi)單調(diào)增加，故 , （2）設(shè)， 則，故，滿足柯西中值定理的條件，于是在內(nèi)存在點(diǎn)，使 ， 即 （3）因，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在內(nèi)存在一點(diǎn)，使，從而由（2）的結(jié)論得， 即有 。 三、泰勒公式（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 例1設(shè)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。 求證：，使。 證：麥克勞林公式 其中，介于0與之間。 后式減前式，得 在上連續(xù)，設(shè)其最大值為，最小值為。 則 再由介值定理， 使 例2設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，試證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 成立。 分析：因所欲證的是不等式，故需估計(jì)，由于一階泰勒公式 （其中在之間） 含有，因此應(yīng)該從此入手。再由知，應(yīng)在兩個(gè)區(qū)間上分別應(yīng)用泰勒公式，以便消去公式中的項(xiàng)，同時(shí)又能出現(xiàn)項(xiàng)。 證：在與上分別用泰勒公式，便有 兩式相減，得 所以至少存在一點(diǎn)，使得 2.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、判斷函數(shù)的單調(diào)性 二、函數(shù)的極值 1定義 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的某一點(diǎn)，則 如果點(diǎn)存在一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，總有，則稱為函數(shù)的一個(gè)極大值，稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)； 如果點(diǎn)存在一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，總有，則稱為函數(shù)的