2007年江蘇、福建、吉林、湖北、浙江、天津、廣西、江西、湖南省級競賽試題詳解.doc

2007年省級預(yù)賽試題解一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題6分，滿分36分）1已知函數(shù)，則（ B ）A有最小正周期為 B有最小正周期為 C有最小正周期為 D無最小正周期解: ,.2關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過9，則的最大值與最小值的和是（ C ）A2 B1 C0 D1解:方程的兩根是,.3已知向量、，設(shè)，則一定共線的三點(diǎn)為（ A ）AA、B、D BA、B、C CB、C、D DA、C、D解:.4設(shè)、為平面，、為直線，則的一個(gè)充分條件是（ D ）A (缺少條件)B (當(dāng)時(shí),)C (當(dāng)兩兩垂直,時(shí),)D 5若，其中，并且，則實(shí)數(shù)對表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ C ）A60個(gè) B70個(gè) C90個(gè) D120個(gè)解:由及題設(shè)知,個(gè)位數(shù)字的選擇有5種.若十位有2種,則百位的選擇有5種;若十位有2種,則百位的選擇有4種;于是,符合題設(shè)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為種.6已知，且，則的值有（ D ）A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D無數(shù)個(gè)解:由題設(shè)知為偶函數(shù),則考慮在時(shí),恒有,所以當(dāng),且時(shí),恒有,由于的解集為,的解集為,因此當(dāng)時(shí),恒有.二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題9分，滿分54分）7設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則公差為1.解:.8設(shè)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則等于4.解:(舍去).故.9已知函數(shù)的圖象如圖，則滿足的的取值范圍為.解:因?yàn)?由圖象知,于是,解得.故的取值范圍為.10圓錐曲線的離心率是.解: 原式變形為,所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為,故此動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線,離心率為.11在三角形中，已知，則三角形的面積為.解: 在三角形中，由，得. 由正弦定理得.因?yàn)?所以角可取銳角或鈍角,從而.,故.12設(shè)命題，命題對任何，都有。命題與命題中有且僅有一個(gè)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解:由得,由對任何，都有,得,即.因?yàn)槊}與命題中有且僅有一個(gè)成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.一、選擇題(共6小題，每小題6分，滿分36分)1 一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長為滿足不等式，則這個(gè)直角三角形的斜邊長為( B )A5 B C6 D解:,于是,斜邊長為.2數(shù)812934756是一個(gè)包含1至9每個(gè)數(shù)字恰好一次的九位數(shù)，它具有如下性質(zhì)：數(shù)字1至6在其中是從小到大排列的，但是數(shù)字1至7不是從小到大排列的這樣的九位數(shù)共有( C )個(gè)A336 B360 C432 D504解:在1,2,3,4,5,6中插入7,有6種放法,然后插入8和9,分別有8種和9種,所以共有個(gè)滿足性質(zhì)的九位數(shù).3一個(gè)三角形的最短邊長度是1，三個(gè)角的正切值都是整數(shù)，則該三角形的最長邊的長度為( B )A B C D2解:該三角形不是直角三角形.不妨設(shè).則,又,所以.非直角三角形中,有恒等式, 即是方程的一組正整數(shù)解.所以. 易解得長邊為(另外一條邊長為).注：，故.4正三棱錐底面一個(gè)頂點(diǎn)與它所對側(cè)面重心的距離為8，則這個(gè)正三棱錐的體積的最大值為( D )A18 B36 C72 D144解:設(shè)正三棱錐PABC的底面邊長為,高為,為三角形ABC的中心,G為側(cè)面PBC的重心,GH垂直底面ABC,垂足為H.則，由得，故。由平均不等式得，所以，于是，.當(dāng)，時(shí)等號成立.故體積的最大值為144.或：，令，得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此，.5對每一個(gè)正整數(shù)，設(shè)，則等于( B )A1025B1225C1500D2525解： .6集合的五元子集共有21個(gè)，每個(gè)子集的數(shù)從小到大排好后，取出中間的數(shù)，則所有這些數(shù)之和是( B )A80B84C100D168解：顯然中間數(shù)只能是3，4，5。 以3為中間數(shù)的子集有個(gè)，以4為中間數(shù)的子集有 個(gè)，以5為中間數(shù)的子集有個(gè).所以，這些中間數(shù)的和為.或：對某個(gè)子集A，用表示A中每個(gè)元素被8減所得的集合，這個(gè)這個(gè)集合也是一個(gè)滿足條件的5元子集，這是一個(gè)一一對應(yīng)，且這兩個(gè)集合中中間數(shù)之和為8，平均數(shù)為4。故所有的中間數(shù)的和為.二填空題（共6小題，每小題6分，滿分36分請直接將答案寫在題中的橫線上）7函數(shù)，若2恒成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是解：依題意知，時(shí)，2恒成立.所以時(shí)，恒成立，即恒成立.由于時(shí)，的最大值為3，最小值為2.因此，即.8在直角坐標(biāo)平面上，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（12，19）、（3，22），則頂點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為（A、B、C、D依逆時(shí)針順序排列）解：設(shè)線段AC的中點(diǎn)為M，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用復(fù)數(shù)知識：設(shè)，則，得，即.設(shè)，則，得，即.解：設(shè)線段AC的中點(diǎn)為M，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為，故直線BD的方程為，即，設(shè)，則 聯(lián)立解得、.利用向量知識也可，不過計(jì)算稍繁點(diǎn).9已知、分別是橢圓（03）的左、右焦點(diǎn)若在橢圓的右準(zhǔn)線上存在一點(diǎn)P，使得線段的垂直平分線過點(diǎn)，則的取值范圍是解：線段的垂直平分線過點(diǎn)，等價(jià)于設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)K，則在橢圓的右準(zhǔn)線上存在一點(diǎn)P，使得，等價(jià)于所以因此，故的取值范圍是.10方程的正整數(shù)解有4組解：由題設(shè)可知，兩邊模3，知，所以，對應(yīng)的分別為301，201，101，1故滿足方程的正整數(shù)解有4組11設(shè)，則不等式的解集為解：原不等式即為，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且為減函數(shù)，所以，解得.12設(shè)函數(shù)，如果方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解：當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，得，故；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，得，故；綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1設(shè)集合，則滿足的集合的個(gè)數(shù)是（D）A1B3C7D8解：，即求集合A的子集的個(gè)數(shù)，個(gè).注：；個(gè)元素集合的子集個(gè)數(shù).2若，則有（A）A B C D解：由圖象可知.或：，兩邊取對數(shù)得，從而，.3在棱長為1的正四面體ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與MN的距離是（C）A B C D解：如圖，分別取AB、CD的中點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)EN、NF、FM、ME、EF.MN、EF交于點(diǎn)O，顯然四邊形ENFM是平面四邊形且是菱形，故MNEF，又EF是等腰三角形AFB的高，因此有EFAB，且.其實(shí)顯然這個(gè)距離就是異面直線AB與CD的距離的一半.4等差數(shù)列中，它的前11項(xiàng)的平均值是5，若從中抽取1項(xiàng)，余下10項(xiàng)的平均值為4，則抽取的是（D）.A B C D解：.5已知SABC是三條棱兩兩互相垂直的三棱錐，O為底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，若，那么的取值范圍是（）A BC D解：過O分別作與SA、SB、SC垂直的平面，得到一個(gè)長方體，且OS為長方體的對角線，所以，則，同理，。故.6設(shè)集合，一一映射滿足條件：對任意的有，則滿足上述條件的映射的個(gè)數(shù)為（） A40 B41 C80 D81解：若有得，則有與已知矛盾。因此，對任意的，要么，要么，且，互不相同，故只有以下三種情形：對任意的，這樣的只有1個(gè)；中存在一個(gè)循環(huán)，而其它的元素時(shí)，這樣的有個(gè)；中存在兩個(gè)循環(huán)和， 這樣的有個(gè)；因此共有81個(gè)滿足條件.二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7已知ABC是正三角形，P是ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA=PB=PC，若，則二面角PABC的大小為.解：設(shè)P在平面ABC中射影為O，由PA=PB=PC知OA=OB=OC，即O為ABC的外心，又由面積射影定理知，所以二面角PABC的大小為.8所有棱長都等于1的三棱錐的內(nèi)切球的體積等于.解：設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，從而.9已知,過點(diǎn)作直線與軸、軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則使AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的周長最小的直線的方程是.解：設(shè)，則AOB的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號成立.則的斜率，所以的方程為.注：這里用到了萬能公式：，則， ，.一般結(jié)論 第一象限，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，周長最小，直線的方程是.若是求面積最小時(shí)，則題目簡單得多.解：設(shè)，則AOB的周長為.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號成立.則的斜率，所以的方程為.也可以用初中平面幾何知識證明，當(dāng)P點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，AOB的周長最小。10已知函數(shù)，若有最大值或最小值，則的取值范圍為.解：因有最大值或最小值，故滿足或，解得或.11設(shè)向量、滿足、，且、的夾角為.若向量與向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是. 解：由得，當(dāng)與共線時(shí)有，而時(shí)，與反向，故.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.12已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，則內(nèi)切圓面積的最大值是 .解：（常規(guī)方法）當(dāng)軸時(shí)，易得的面積是3；當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由，得，故，而的面積，令，則，函數(shù)是增函數(shù)，故，的面積.因此當(dāng)軸時(shí)， 的面