深刻理解傅里葉變換.doc

/index.php/action-blogdetail-uid-2641-id-770理解離散傅立葉變換（一）發(fā)布:2009-3-13 04:44 | 作者:darklink | 來源:本站 | 查看:477次 | 字號(hào): 小 中 大理解離散傅立葉變換（一） -傅立葉變換的由來關(guān)于傅立葉變換，無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解，最近，我偶爾從網(wǎng)上看到一個(gè)關(guān)于數(shù)字信號(hào)處理的電子書籍，是一個(gè)叫Steven W. Smith, Ph.D.外國人寫的，寫得非常淺顯，里面有七章由淺入深地專門講述關(guān)于離散信號(hào)的傅立葉變換，雖然是英文文檔，我還是硬著頭皮看完了有關(guān)傅立葉變換的有關(guān)內(nèi)容，看了有茅塞頓開的感覺，在此把我從中得到的理解拿出來跟大家分享，希望很多被傅立葉變換迷惑的朋友能夠得到一點(diǎn)啟發(fā)，這電子書籍是免費(fèi)的，有興趣的朋友也可以從網(wǎng)上下載下來看一下，URL地址是：/pdfbook.htm要理解傅立葉變換，確實(shí)需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當(dāng)然，也需要定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，最基本的是級(jí)數(shù)變換，其中傅立葉級(jí)數(shù)變換是傅立葉變換的基礎(chǔ)公式。一、傅立葉變換的提出讓我們先看看為什么會(huì)有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運(yùn)的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來。誰是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對(duì)的。為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號(hào)的方法是無窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來的信號(hào)。用正余弦來表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。二、傅立葉變換分類根據(jù)原信號(hào)的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：1非周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉變換（Fourier Transform）2周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)3非周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）4周期性離散信號(hào)離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)下圖是四種原信號(hào)圖例：這四種傅立葉變換都是針對(duì)正無窮大和負(fù)無窮大的信號(hào)，即信號(hào)的的長度是無窮大的，我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來說是不可能的，那么有沒有針對(duì)長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無窮小到正無窮大，我們無法把一個(gè)長度無限的信號(hào)組合成長度有限的信號(hào)。面對(duì)這種困難，方法是把長度有限的信號(hào)表示成長度無限的信號(hào)，可以把信號(hào)無限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離散信號(hào)，我們就可以用到離散時(shí)域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號(hào)就變成了周期性離解信號(hào)，這時(shí)我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來處理信號(hào)的。但是對(duì)于非周期性的信號(hào)，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對(duì)于計(jì)算機(jī)來說是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題，至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí)，不過，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來理解實(shí)數(shù)傅立葉變換，在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡(jiǎn)單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。三、一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(Real DFT)的例子先來看一個(gè)變換實(shí)例，下圖是一個(gè)原始信號(hào)圖像：這個(gè)信號(hào)的長度是16，于是可以把這個(gè)信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦波（一個(gè)長度為N的信號(hào)可以分解成N/2+1個(gè)正余弦信號(hào)，這是為什么呢？結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖,我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解，一個(gè)長度為N的信號(hào)，最多只能有N/2+1個(gè)不同頻率，再多的頻率就超過了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍），如下圖：9個(gè)余弦信號(hào)： 9個(gè)正弦信號(hào)：把以上所有信號(hào)相加即可得到原始信號(hào)，至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號(hào)的，我們先不急，先看看對(duì)于以上的變換結(jié)果，在程序中又是該怎么表示的，我們可以看看下面這個(gè)示例圖：上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào)，右邊是頻域信號(hào)表示方法，從左向右表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT)，從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換(Inverse DFT)，用小寫x表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組, 用大寫X表示每種頻率的副度值數(shù)組, 因?yàn)橛蠳/2+1種頻率，所以該數(shù)組長度為N/2+1，X數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X，Re是實(shí)數(shù)(Real)的意思，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思，采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來進(jìn)行表示，但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達(dá)（在后面我們會(huì)知道，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換長度是N，而不是N/2+1）。下一節(jié)我們將來看一下實(shí)數(shù)傅立葉變換的具體方法。理解離散傅立葉變換（二）發(fā)布:2009-3-13 04:57 | 作者:darklink | 來源:本站 | 查看:347次 | 字號(hào): 小 中 大理解離散傅立葉變換（二） -實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換（Real DFT）上一節(jié)我們看到了一個(gè)實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換的例子，通過這個(gè)例子能夠讓我們先對(duì)傅立葉變換有一個(gè)較為形象的感性認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在就讓我們來看看實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換的正向和逆向是怎么進(jìn)行變換的。在此，我們先來看一下頻率的多種表示方法。一、 頻域中關(guān)于頻率的四種表示方法1、 序號(hào)表示方法，根據(jù)時(shí)域中信號(hào)的樣本數(shù)取0 N/2，用這種方法在程序中使用起來可以更直接地取得每種頻率的幅度值，因?yàn)轭l率值跟數(shù)組的序號(hào)是一一對(duì)應(yīng)的: Xk，取值范圍是0 N/2；2、 分?jǐn)?shù)表示方法，根據(jù)時(shí)域中信號(hào)的樣本數(shù)的比例值取0 0.5: X， = k/N，取值范圍是0 N/2；3、 用弧度值來表示，把乘以一個(gè)2得到一個(gè)弧度值，這種表示方法叫做自然頻率(natural frequency)：X， = 2 = 2k/N，取值范圍是0 ；4、 以赫茲(Hz)為單位來表示，這個(gè)一般是應(yīng)用于一些特殊應(yīng)用，如取樣率為10 kHz表示每秒有10,000個(gè)樣本數(shù)：取值范圍是0到取樣率的一半。二、 DFT基本函數(shù)cki = cos(2ki/N)ski = sin(2ki/N)其中k表示每個(gè)正余弦波的頻率，如為2表示在0到N長度中存在兩個(gè)完整的周期，10即有10個(gè)周期，如下圖：上圖中至于每個(gè)波的振幅(amplitude)值(Re Xk,Im Xk)是怎么算出來的,這個(gè)是DFT的核心，也是最難理解的部分，我們先來看看如何把分解出來的正余弦波合成原始信號(hào)(Inverse DFT)。三、 合成運(yùn)算方法(Real Inverse DFT)DFT合成等式：如果有學(xué)過傅立葉級(jí)數(shù)，對(duì)這個(gè)等式就會(huì)有似曾相識(shí)的感覺，不錯(cuò)！這個(gè)等式跟傅立葉級(jí)數(shù)是非常相似的：當(dāng)然，差別是肯定是存在的，因?yàn)檫@兩個(gè)等式是在兩個(gè)不同條件下運(yùn)用的，至于怎么證明DFT合成公式，這個(gè)我想需要非常強(qiáng)的高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)了，這是研究數(shù)學(xué)的人的工作，對(duì)于普通應(yīng)用者就不需要如此的追根究底了，但是傅立葉級(jí)數(shù)是好理解的，我們起碼可以從傅立葉級(jí)數(shù)公式中看出DFT合成公式的合理性。DFT合成等式中的Im k和Re k跟Im Xk和Re Xk是不一樣的，下面是轉(zhuǎn)換方法:但k等于0和N/2時(shí),實(shí)數(shù)部分的計(jì)算要用下面的等式:上面四個(gè)式中的N是時(shí)域中點(diǎn)的總數(shù)，k是從0到N/2的序號(hào)。為什么要這樣進(jìn)行轉(zhuǎn)換呢？這個(gè)可以從頻譜密度(spectral density)得到理解，如下圖就是個(gè)頻譜圖：這是一個(gè)頻譜圖，橫坐標(biāo)表示頻率大小，縱坐標(biāo)表示振幅大小，原始信號(hào)長度為N（這里是32），經(jīng)DFT轉(zhuǎn)換后得到的17個(gè)頻率的頻譜，頻譜密度表示每單位帶寬中為多大的振幅，那么帶寬是怎么計(jì)算出來的呢？看上圖，除了頭尾兩個(gè)，其余點(diǎn)的所占的寬度是2/N，這個(gè)寬度便是每個(gè)點(diǎn)的帶寬，頭尾兩個(gè)點(diǎn)的帶寬是1/N,而Im Xk和Re Xk表示的是頻譜密度，即每一個(gè)單位帶寬的振幅大小，但I(xiàn)m k和Re k表示2/N（或1/N）帶寬的振幅大小，所以Im k和Re k分別應(yīng)當(dāng)是Im Xk和Re Xk的2/N（或1/N）。頻譜密度就象物理中物質(zhì)密度，原始信號(hào)中的每一個(gè)點(diǎn)就象是一個(gè)混合物，這個(gè)混合物是由不同密度的物質(zhì)組成的，混合物中含有的每種物質(zhì)的質(zhì)量是一樣的，除了最大和最小兩個(gè)密度的物質(zhì)外，這樣我們只要把每種物質(zhì)的密度加起來就可以得到該混合物的密度了，又該混合物的質(zhì)量是單位質(zhì)量，所以得到的密度值跟該混合物的質(zhì)量值是一樣的。至于為什么虛數(shù)部分是負(fù)數(shù)，這是為了跟復(fù)數(shù)DFT保持一致，這個(gè)我們將在后面會(huì)知道這是數(shù)學(xué)計(jì)算上的需要（Im Xk計(jì)算時(shí)加上了一個(gè)負(fù)號(hào)，Im k再加上負(fù)號(hào)，結(jié)果便是正的，等于沒有變化）。如果已經(jīng)得到了DFT結(jié)果，這時(shí)要進(jìn)行逆轉(zhuǎn)換，即合成原始信號(hào)，則可按如下步驟進(jìn)行轉(zhuǎn)換：1、 先根據(jù)上面四個(gè)式子計(jì)算得出Im k和Re k的值；2、 再根據(jù)DFT合成等式得到原始信號(hào)數(shù)據(jù)。下面是用BASIC語言來實(shí)現(xiàn)的轉(zhuǎn)換源代碼：100 DFT逆轉(zhuǎn)換方法110 /XX數(shù)組存儲(chǔ)計(jì)算結(jié)果（時(shí)域中的原始信號(hào)）120 /REX數(shù)組存儲(chǔ)頻域中的實(shí)數(shù)分量，IMX為虛分量130 140 DIM XX511150 DIM REX256160 DIM IMX256170 180 PI = 3N% = 512200 210 GOSUB XXXX 轉(zhuǎn)到子函數(shù)去獲取REX和IMX數(shù)據(jù)220 230 240 250 FOR K% = 0 TO 256260 REXK% = REXK% / (N%/2)270 IMXK% = -IMXK% / (N%/2)280 NEXT k%290 300 REX0 = REX0 / N310 REX256 = REX256 / N320 330 初始化XX數(shù)組340 FOR I% = 0 TO 511350 XXI% = 0360 NEXT I%370 380 390 400 410 420 FOR K% =0 TO 256430 FOR I%=0 TO 511440 450 XXI% = XXI% + REXK% * COS(2 * PI * K% * I% / N%) 460 XXI% = XXI% + IMXK% * SIN(2 * PI * K% * I% / N%)470 480 NEXT I%490 NEXT K%500 510 END上面代碼中420至490換成如下形式也許更好理解，但結(jié)果都是一樣的：420 FOR I% =0 TO 511430 FOR K%=0 TO 256440 450 XXI% = XXI% + REXK% * COS(2 * PI * K% * I% / N%) 460 XXI% = XXI% + IMXK% * SIN(2 * PI * K% * I% / N%)470 480 NEXT I%490 NEXT K%四、 分解運(yùn)算方法（DFT）有三種完全不同的方法進(jìn)行DFT：一種方法是通過聯(lián)立方程進(jìn)行求解, 從代數(shù)的角度看，要從N個(gè)已知值求N個(gè)未知值，需要N個(gè)聯(lián)立方程，且N個(gè)聯(lián)立方程必須是線性獨(dú)立的，但這是這種方法計(jì)算量非常的大且極其復(fù)雜，所以很少被采用；第二種方法是利用信號(hào)的相關(guān)性（correlation）進(jìn)行計(jì)算，這個(gè)是我們后面將要介紹的方法；第三種方法是快速傅立葉變換（FFT），這是一個(gè)非常具有創(chuàng)造性和革命性的的方法，因?yàn)樗蟠筇岣吡诉\(yùn)算速度，使得傅立葉變換能夠在計(jì)算機(jī)中被廣泛應(yīng)用，但這種算法是根據(jù)復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)的，它把N個(gè)點(diǎn)的信號(hào)分解成長度為N的頻域，這個(gè)跟我們現(xiàn)在所進(jìn)行的實(shí)域DFT變換不一樣，而且這種方法也較難理解，這里我們先不去理解，等先理解了復(fù)數(shù)DFT后，再來看一下FFT。有一點(diǎn)很重要，那就是這三種方法所得的變換結(jié)果是一樣的，經(jīng)過實(shí)踐證明，當(dāng)頻域長度為32時(shí)，利用相關(guān)性方法進(jìn)行計(jì)算效率最好，否則FFT算法效率較高?，F(xiàn)在就讓我們來看一下相關(guān)性算法。利用信號(hào)的相關(guān)性(correlation)可以從噪聲背景中檢測(cè)出已知的信號(hào)，我們也可以利用這個(gè)方法檢測(cè)信號(hào)波中是否含有某個(gè)頻率的信號(hào)波：把一個(gè)待檢測(cè)信號(hào)波乘以另一個(gè)信號(hào)波，得到一個(gè)新的信號(hào)波，再把這個(gè)新的信號(hào)波所有的點(diǎn)進(jìn)行相加，從相加的結(jié)果就可以判斷出這兩個(gè)信號(hào)的相似程度。如下圖： 上面a和 b兩個(gè)圖是待檢測(cè)信號(hào)波，圖a很明顯可以看出是個(gè)3個(gè)周期的正弦信號(hào)波，圖b的信號(hào)波則看不出是否含有正弦或余弦信號(hào)，圖c和d都是個(gè)3個(gè)周期的正弦信號(hào)波，圖e和f分別是a、b兩圖跟c、d兩圖相乘后的結(jié)果，圖e所有點(diǎn)的平均值是0.5，說明信號(hào)a含有振幅為1的正弦信號(hào)c，但圖f所有點(diǎn)的平均值是0，則說明信號(hào)b不含有信號(hào)d。這個(gè)就是通過信號(hào)相關(guān)性來檢測(cè)是否含有某個(gè)信號(hào)的方法。相應(yīng)地，我也可以通過把輸入信號(hào)和每一種頻率的正余弦信號(hào)進(jìn)行相乘（關(guān)聯(lián)操作），從而得到原始信號(hào)與每種頻率的關(guān)聯(lián)程度（即總和大?。?，這個(gè)結(jié)果便是我們所要的傅立葉變換結(jié)果，下面兩個(gè)等式便是我們所要的計(jì)算方法：第二個(gè)式子中加了個(gè)負(fù)號(hào)，是為了保持復(fù)數(shù)形式的一致，前面我們知道在計(jì)算Im k時(shí)又加了個(gè)負(fù)號(hào)，所以這只是個(gè)形式的問題，并沒有實(shí)際意義，你也可以把負(fù)號(hào)去掉，并在計(jì)算Im k時(shí)也不加負(fù)號(hào)。這里有一點(diǎn)必須明白一個(gè)正交的概念：兩個(gè)函數(shù)相乘，如果結(jié)果中的每個(gè)點(diǎn)的總和為0，則可認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)為正交函數(shù)。要確保關(guān)聯(lián)性算法是正確的，則必須使得跟原始信號(hào)相乘的信號(hào)的函數(shù)形式是正交的，我們知道所有的正弦或余弦函數(shù)是正交的，這一點(diǎn)我們可以通過簡(jiǎn)單的高數(shù)知識(shí)就可以證明它，所以我們可以通過關(guān)聯(lián)的方法把原始信號(hào)分離出正余弦信號(hào)。當(dāng)然，其它的正交函數(shù)也是存在的，如：方波、三角波等形式的脈沖信號(hào)，所以原始信號(hào)也可被分解成這些信號(hào)，但這只是說可以這樣做，卻是沒有用的。下面是實(shí)域傅立葉變換的BASIC語言代碼：到此為止，我們對(duì)傅立葉變換便有了感性的認(rèn)識(shí)了吧。但要記住，這只是在實(shí)域上的離散傅立葉變換，其中雖然也用到了復(fù)數(shù)的形式，但那只是個(gè)替代的形式，并無實(shí)際意義，現(xiàn)實(shí)中一般使用的是復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換，且快速傅立葉變換是根據(jù)復(fù)數(shù)離散傅立葉變換來設(shè)計(jì)算法的，在后面我們先來復(fù)習(xí)一下有關(guān)復(fù)數(shù)的內(nèi)容，然后再在理解實(shí)域離散傅立葉變換的基礎(chǔ)上來理解復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換。理解離散傅立葉變換（三）發(fā)布:2009-3-15 15:32 | 作者:darklink | 來源:本站 | 查看:345次 | 字號(hào): 小 中 大理解離散傅立葉變換（三） -復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)擴(kuò)展了我們一般所能理解的數(shù)的概念，復(fù)數(shù)包含了實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩部分，利用復(fù)數(shù)的形式可以把由兩個(gè)變量表示的表達(dá)式變成由一個(gè)變量(復(fù)變量)來表達(dá)，使得處理起來更加自然和方便，我們知道傅立葉變換的結(jié)果是由兩部分組成的，使用復(fù)數(shù)形式可以縮短變換表達(dá)式，使得我們可以單獨(dú)處理一個(gè)復(fù)變量（這個(gè)在后一節(jié)的描述中我們就可以更加確切地知道），而且快速傅立葉變換正是基于復(fù)數(shù)形式的，所以幾乎所有描述的傅立葉變換形式都是復(fù)數(shù)的形式。但是復(fù)數(shù)的概念超過了我們?nèi)粘Ｉ钪兴芾斫獾母拍睿斫鈴?fù)數(shù)是較難的，所以我們?cè)诶斫鈴?fù)數(shù)傅立葉變換之前，先來專門復(fù)習(xí)一下有關(guān)復(fù)數(shù)的知識(shí)，這對(duì)后面的理解非常重要。一、 復(fù)數(shù)的提出在此，先讓我們看一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)：把一個(gè)球從某點(diǎn)向上拋出，然后根據(jù)初速度和時(shí)間來計(jì)算球所在高度，這個(gè)方法可以根據(jù)下面的式子計(jì)算得出：其中h表示高度，g表示重力加速度(9.8m/s2)，v表示初速度，t表示時(shí)間。現(xiàn)在反過來，假如知道了高度，要求計(jì)算到這個(gè)高度所需要的時(shí)間，這時(shí)我們又可以通過下式來計(jì)算：經(jīng)過計(jì)算我們可以知道，當(dāng)高度是3米時(shí)，有兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)到達(dá)該高度：球向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間是0.38秒，球向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間是1.62秒。但是如果高度等于10時(shí)，結(jié)果又是什么呢？根據(jù)上面的式子可以發(fā)現(xiàn)存在對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算，我們知道這肯定是不現(xiàn)實(shí)的。第一次使用這個(gè)不一般的式子的人是意大利數(shù)學(xué)家Girolamo Cardano（1501-1576），兩個(gè)世紀(jì)后，德國偉大數(shù)學(xué)家Carl Friedrich Gause（1777-1855）提出了復(fù)數(shù)的概念，為后來的應(yīng)用鋪平了道路，他對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行這樣表示：復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)（real）和虛數(shù)(imaginary)兩部分組成，虛數(shù)中的根號(hào)負(fù)1用i來表示（在這里我們用j來表示，因?yàn)閕在電力學(xué)中表示電流的意思）。我們可以把橫坐標(biāo)表示成實(shí)數(shù)，縱坐標(biāo)表示成虛數(shù)，則坐標(biāo)中的每個(gè)點(diǎn)的向量就可以用復(fù)數(shù)來表示，如下圖：上圖中的ABC三個(gè)向量可以表示成如下的式子：A = 2 + 6jB = -4 1.5j C = 3 7j這樣子來表達(dá)方便之處在于運(yùn)用一個(gè)符號(hào)就能把兩個(gè)原來難以聯(lián)系起來的數(shù)組合起來了，不方便的是我們要分辨哪個(gè)是實(shí)數(shù)和哪個(gè)是虛數(shù)，我們一般是用Re( )和Im( )來表示實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩部分，如：Re A = 2 Im A = 6 Re B = -4 Im B = -1.5 Re C = 3 Im C = -7復(fù)數(shù)之間也可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算：這里有個(gè)特殊的地方是j2等于-1，上面第四個(gè)式子的計(jì)算方法是把分子和分母同時(shí)乘以c dj，這樣就可消去分母中的j了。復(fù)數(shù)也符合代數(shù)運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、分配律：A B = B A (A + B) + C = A + (B + C) A(B + C) = AB + AC二、復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示形式前面提到的是運(yùn)用直角坐標(biāo)來表示復(fù)數(shù)，其實(shí)更為普遍應(yīng)用的是極坐標(biāo)的表示方法，如下圖：上圖中的M即是數(shù)量積(magnitude)，表示從原點(diǎn)到坐標(biāo)點(diǎn)的距離，是相位角(phase angle)，表示從X軸正方向到某個(gè)向量的夾角，下面四個(gè)式子是計(jì)算方法：我們還可以通過下面的式子進(jìn)行極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換：a + jb = M (cos + j sin)上面這個(gè)等式中左邊是直角坐標(biāo)表達(dá)式，右邊是極坐標(biāo)表達(dá)式。還有一個(gè)更為重要的等式歐拉等式（歐拉是瑞士的著名數(shù)學(xué)家，Leonhard Euler，1707-1783）：ejx = cos x + j sin x 這個(gè)等式可以從下面的級(jí)數(shù)變換中得到證明：上面中右邊的兩個(gè)式子分別是cos(x)和sin(x)的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)。這樣子我們又可以把復(fù)數(shù)的表達(dá)式表示成指數(shù)的形式了：a + jb = M ej （這便是復(fù)數(shù)的兩個(gè)表達(dá)式）指數(shù)形式是數(shù)字信號(hào)處理中數(shù)學(xué)方法的支柱，也許是因?yàn)橛弥笖?shù)形式進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算極為簡(jiǎn)單的緣故吧：三、復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)工具為什么要使用復(fù)數(shù)呢？其實(shí)它只是個(gè)工具而已，就如釘子和錘子的關(guān)系，復(fù)數(shù)就象那錘子，作為一種使用的工具。我們把要解決的問題表達(dá)成復(fù)數(shù)的形式（因?yàn)橛行﹩栴}用復(fù)數(shù)的形式進(jìn)行運(yùn)算更加方便），然后對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，最后再轉(zhuǎn)換回來得到我們所需要的結(jié)果。有兩種方法使用復(fù)數(shù)，一種是用復(fù)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的替換，如前面所說的向量表達(dá)式方法和前一節(jié)中我們所討論的實(shí)域DFT，另一種是更高級(jí)的方法：數(shù)學(xué)等價(jià)(mathematical equivalence)，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換用的便是數(shù)學(xué)等價(jià)的方法，但在這里我們先不討論這種方法，這里我們先來看一下用復(fù)數(shù)進(jìn)行替換中的問題。用復(fù)數(shù)進(jìn)行替換的基本思想是：把所要分析的物理問題轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)的形式，其中只是簡(jiǎn)單地添加一個(gè)復(fù)數(shù)的符號(hào)j，當(dāng)返回到原來的物理問題時(shí)，則只是把符號(hào)j去掉就可以了。有一點(diǎn)要明白的是并不是所有問題都可以用復(fù)數(shù)來表示，必須看用復(fù)數(shù)進(jìn)行分析是否適用，有個(gè)例子可以看出用復(fù)數(shù)來替換原來問題的表達(dá)方式明顯是謬誤的：假設(shè)一箱的蘋果是5美元，一箱的桔子是10美元，于是我們把它表示成 5 + 10j，有一個(gè)星期你買了6箱蘋果和2箱桔子，我們又把它表示成6 + 2j，最后計(jì)算總共花的錢是(5 + 10j)(6 + 2j) = 10 + 70j，結(jié)果是買蘋果花了10美元的，買桔子花了70美元，這樣的結(jié)果明顯是錯(cuò)了，所以復(fù)數(shù)的形式不適合運(yùn)用于對(duì)這種問題的解決。四、用復(fù)數(shù)來表示正余弦函數(shù)表達(dá)式對(duì)于象M cos (t + )和A cos(t ) + B sin(t )表達(dá)式，用復(fù)數(shù)來表示，可以變得非常簡(jiǎn)潔，對(duì)于直角坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：上式中余弦幅值A(chǔ)經(jīng)變換生成a，正弦幅值B的相反數(shù)經(jīng)變換生成b：A a，B -b，但要注意的是，這不是個(gè)等式，只是個(gè)替換形式而已。對(duì)于極坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：上式中，M M， -。這里虛數(shù)部分采用負(fù)數(shù)的形式主要是為了跟復(fù)數(shù)傅立葉變換表達(dá)式保持一致，對(duì)于這種替換的方法來表示正余弦，符號(hào)的變換沒有什么好處，但替換時(shí)總會(huì)被改變掉符號(hào)以跟更高級(jí)的等價(jià)變換保持形式上的一致。在離散信號(hào)處理中，運(yùn)用復(fù)數(shù)形式來表示正余弦波是個(gè)常用的技術(shù)，這是因?yàn)槔脧?fù)數(shù)進(jìn)行各種運(yùn)算得到的結(jié)果跟原來的正余弦運(yùn)算結(jié)果是一致的，但是，我們要小心使用復(fù)數(shù)操作，如加、減、乘、除，有些操作是不能用的，如兩個(gè)正弦信號(hào)相加，采用復(fù)數(shù)形式進(jìn)行相加，得到的結(jié)果跟替換前的直接相加的結(jié)果是一樣的，但是如果兩個(gè)正弦信號(hào)相乘，則采用復(fù)數(shù)形式來相乘結(jié)果是不一樣的。幸運(yùn)的是，我們已嚴(yán)格定義了正余弦復(fù)數(shù)形式的運(yùn)算操作條件：1、 參加運(yùn)算的所有正余弦的頻率必須是一樣的；2、 運(yùn)算操作必須是線性的，如兩個(gè)正弦信號(hào)可以進(jìn)行相加減，但不能進(jìn)行乘除，象信號(hào)的放大、衰減、高低通濾波等系統(tǒng)都是線性的，象平方、縮短、取限等則不是線性的。要記住的是卷積和傅立葉分析也只有線性操作才可以進(jìn)行。下圖是一個(gè)相量變換(我們把正弦或余弦波變成復(fù)數(shù)的形式稱為相量變換，Phasor transform)的例子，一個(gè)連續(xù)信號(hào)波經(jīng)過一個(gè)線性處理系統(tǒng)生成另一個(gè)信號(hào)波，從計(jì)算過程我們可以看出采用復(fù)數(shù)的形式使得計(jì)算變化十分的簡(jiǎn)潔：前一節(jié)中我們描述的實(shí)數(shù)形式傅立葉變換也是一種替換形式的復(fù)數(shù)變換，但要注意的是那還不是復(fù)數(shù)傅立葉變換，只是一種代替方式而已。下一節(jié)我們就會(huì)知道復(fù)數(shù)傅立葉變換是一種更高級(jí)的變換，而不是這種簡(jiǎn)單的替換形式。理解離散傅立葉變換（四）發(fā)布:2009-4-25 02:46 | 作者:darklink | 來源:本站 | 查看:172次 | 字號(hào): 小 中 大理解離散傅立葉變換（四） -復(fù)數(shù)形式離散傅立葉變換復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換非常巧妙地運(yùn)用了復(fù)數(shù)的方法，使得傅立葉變換變換更加自然和簡(jiǎn)潔，它并不是只是簡(jiǎn)單地運(yùn)用替換的方法來運(yùn)用復(fù)數(shù)，而是完全從復(fù)數(shù)的角度來分析問題，這一點(diǎn)跟實(shí)數(shù)DFT是完全不一樣的。一、 把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式通過歐拉等式可以把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式：cos(x) = 1/2ej(-x)+1/2ejx sin(x) = j (1/2ej(-x)-1/2ejx) 從這個(gè)等式可以看出，如果把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)后，它們變成了由正負(fù)頻率組成的正余弦波，相反地，一個(gè)由正負(fù)頻率組成的正余弦波，可以通過復(fù)數(shù)的形式來表示。我們知道，在實(shí)數(shù)傅立葉變換中，它的頻譜是0 (0 N/2),但無法表示- 0的頻譜，可以預(yù)見，如果把正余弦表示成復(fù)數(shù)形式，則能夠把負(fù)頻率包含進(jìn)來。二、 把變換前后都看成復(fù)數(shù)的形式復(fù)數(shù)形式傅立葉變換成原始信號(hào)xn當(dāng)成是一個(gè)用復(fù)數(shù)來表示的信號(hào)，其中實(shí)數(shù)部分表示原始信號(hào)值，虛數(shù)部分為0，變換結(jié)果Xk也是個(gè)復(fù)數(shù)的形式，但這里的虛數(shù)部分是有值的。在這里用復(fù)數(shù)的觀點(diǎn)來看原始信號(hào)非常的關(guān)鍵，是理解復(fù)數(shù)形式傅立葉變換的關(guān)鍵（如果有學(xué)過復(fù)變函數(shù)則可能更好理解，即把xn看成是一個(gè)復(fù)數(shù)變量，然后象對(duì)等實(shí)數(shù)那樣對(duì)這個(gè)復(fù)數(shù)變量進(jìn)行相同的變換）。三、 對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行相關(guān)性算法（正向傅立葉變換）從實(shí)數(shù)傅立葉變換中可以知道，我們可以通過原始信號(hào)把乘以一個(gè)正交函數(shù)形式的信號(hào)，然后進(jìn)行求總和，最后就能得到這個(gè)原始信號(hào)所包含的正交函數(shù)信號(hào)的分量。現(xiàn)在我們的原始信號(hào)變成了復(fù)數(shù)，我們要得到的是復(fù)數(shù)的信號(hào)分量，我們是不是可以把它乘以一個(gè)復(fù)數(shù)形式的正交函數(shù)呢？答案是肯定的，正余弦函數(shù)都是正交函數(shù)，變成如下形式的復(fù)數(shù)后，仍舊還是正交函數(shù)（這個(gè)從正交函數(shù)的定義可以很容易得到證明）：cos x + j sin x, cos x j sin x，這里我采用上面的第二個(gè)式子進(jìn)行相關(guān)性求和，為什么用第二個(gè)式，我在后面會(huì)知道，正弦函數(shù)在虛數(shù)中變換后得到的是負(fù)的正弦函數(shù)，這里我們?cè)偌由弦粋€(gè)負(fù)號(hào)，使得最后的得到的是正的正弦波，根據(jù)這個(gè)于是我們很容易就可以得到了復(fù)數(shù)形式的DFT正向變換等式：這個(gè)式子很容易可以得到歐拉變換式子：其實(shí)我們是為了表達(dá)上的方便才用到歐拉變換式，在分析問題是我們還是較多地用到正余弦表達(dá)式。對(duì)于上面的等式，我們要清楚如下幾個(gè)方面（也是區(qū)別于實(shí)數(shù)DFT的地方）：1、 Xk、xn都是復(fù)數(shù)，但xn的虛數(shù)部分都是由0組成的，實(shí)數(shù)部分表示原始信號(hào)；2、 k的取值范圍是0 N-1 (也可以表達(dá)成0 2)，其中0 N/2（或0 ）是正頻部分，N/2 N-1（ 2）是負(fù)頻部分，由于正余弦函數(shù)的對(duì)稱性，所以我們把 0表示成 2，這是出于計(jì)算上方便的考慮。3、 其中的j是一個(gè)不可分離的組成部分，就象一個(gè)等式中的變量一樣，不能隨便去掉，去掉之后意義就完全不一樣了，但我們知道在實(shí)數(shù)DFT中，j只是個(gè)符號(hào)而已，把j去掉，整個(gè)等式的意義不變；4、 下圖是個(gè)連續(xù)信號(hào)的頻譜，但離散頻譜也是與此類似的：上面的頻譜圖把負(fù)頻率放到了左邊，是為了迎合我們的思維習(xí)慣，但在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中我們一般是把它移到正的頻譜后面的。從上圖可以看出，時(shí)域中的正余弦波（用來組成原始信號(hào)的正余弦波）在復(fù)數(shù)DFT的頻譜中被分成了正、負(fù)頻率的兩個(gè)組成部分，基于此等式中前面的比例系數(shù)是1/N（或1/2），而不是2/N，這是因?yàn)楝F(xiàn)在把頻譜延伸到了2,但把正負(fù)兩個(gè)頻率相加即又得到了2/N,又還原到了實(shí)數(shù)DFT的形式，這個(gè)在后面的描述中可以更清楚地看到。由于復(fù)數(shù)DFT生成的是一個(gè)完整的頻譜，原始信號(hào)中的每一個(gè)點(diǎn)都是由正、負(fù)兩個(gè)頻率組合而成的，所以頻譜中每一個(gè)點(diǎn)的帶寬是一樣的，都是1/N，相對(duì)實(shí)數(shù)DFT，兩端帶寬比其它點(diǎn)的帶寬少了一半；復(fù)數(shù)DFT的頻譜特征具有周期性：-N/2 0與N/2 N-1是一樣的，實(shí)域頻譜呈偶對(duì)稱性（表示余弦波頻譜），虛域頻譜呈奇對(duì)稱性（表示正弦波頻譜）。四、 逆向傅立葉變換假設(shè)我們已經(jīng)得到了復(fù)數(shù)形式的頻譜Xk，現(xiàn)在要把它還原到復(fù)數(shù)形式的原始信號(hào)xn，當(dāng)然應(yīng)該是把Xk乘以一個(gè)復(fù)數(shù)，然后再進(jìn)行求