第13章 虛位移原理及拉格朗日方程.doc

第13章 虛位移原理及拉格朗日方程在靜力學(xué)中，通過(guò)幾何矢量法建立了質(zhì)點(diǎn)系的平衡方程，進(jìn)而解決了物體間的平衡問(wèn)題，虛位移原理主要是從力、位移和功的概念出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法解決某些靜力學(xué)問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日將達(dá)朗貝爾原理和虛位移原理相結(jié)合，建立了解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)普遍方程。并且進(jìn)一步導(dǎo)出了拉格朗日方程。13.1 主要內(nèi)容 13.1.1 虛位移的基本概念1、約束和約束方程非自由質(zhì)點(diǎn)系受到的預(yù)先給定的限制稱為約束。用解析表達(dá)式表示的限制條件稱為約束方程。2、約束的分類 在虛位移原理中，將約束分為4類：a、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束，b. 定常約束和非定常約束，c. 完整約束和非完整約束，d. 雙面約束和單面約束。約束方程的一般形式應(yīng)為 i1,2,n， j1,2,s3、自由度 a、設(shè)某質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)、s個(gè)完整約束組成。則自由度數(shù)k為k3ns若質(zhì)點(diǎn)系為平面問(wèn)題，則k2ns b、設(shè)某質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)剛體、s個(gè)完整約束組成。則自由度數(shù)k為k6ns若為平面問(wèn)題，則為k3ns4、廣義坐標(biāo)用來(lái)確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立變參量稱為廣義坐標(biāo)。在完整約束的質(zhì)點(diǎn)系中，廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于該系統(tǒng)的自由度數(shù)。此系統(tǒng)任一質(zhì)點(diǎn)Mi的坐標(biāo)可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即 i1,2,n這是用廣義坐標(biāo)qi表示的質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)位置的表達(dá)式。 13.1.2 虛位移 虛功1、虛位移在給定的位置上，質(zhì)點(diǎn)系為所有約束所容許的無(wú)限小位移，稱為此質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的虛位移。 虛位移有三個(gè)特點(diǎn)：第一，虛位移是約束所容許的位移；第二，虛位移是無(wú)限小的位移；第三，虛位移是虛設(shè)的位移；虛位移用dri表示，以區(qū)別于實(shí)位移dri。這里的“d”是等時(shí)變分算子符號(hào)，簡(jiǎn)稱變分符號(hào)。在虛位移原理中它的運(yùn)算規(guī)則與微分算子“d”的運(yùn)算規(guī)則相同。2、虛功作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在該質(zhì)點(diǎn)的虛位移中所作的元功稱為虛功，則虛功的表達(dá)式為3、理想約束在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，如果約束反力所作的虛功之和等于零，這種約束稱為理想約束。則理想約束的條件可以表示為例如：光滑面約束；光滑鉸鏈約束；對(duì)純滾動(dòng)剛體的固定面約束；無(wú)重鋼桿(二力桿)約束；不可伸長(zhǎng)的繩索約束。都是理想約束。 13.1.3 虛位移原理及應(yīng)用1、虛位移原理：具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：所有作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零。即虛位移原理的矢量表達(dá)式為在直角坐標(biāo)系的投影表達(dá)式為以上各式也稱為虛功方程。2、虛位移原理一般可用來(lái)分析以下兩類平衡問(wèn)題。a、已知質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)，求主動(dòng)力之間的關(guān)系或平衡位置。b、已知質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)，求其內(nèi)力或約束力。在此情況下，需要解除對(duì)應(yīng)的約束，用相應(yīng)的約束力代替，使待求的內(nèi)力或約束力“轉(zhuǎn)化”為主動(dòng)力。從而使此系統(tǒng)獲得相應(yīng)的自由度，為使系統(tǒng)發(fā)生虛位移創(chuàng)造條件。13.1.3 用廣義力表示質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件 具有完整、雙面、定常的理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：對(duì)應(yīng)于每一個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力均等于零。FQh0 h1,2,k直角坐標(biāo)系下的廣義力表達(dá)式為用幾何法表示為勢(shì)力場(chǎng)中的廣義力表示為 h1,2,k即廣義有勢(shì)力等于勢(shì)能函數(shù)對(duì)相應(yīng)的廣義坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)再冠以負(fù)號(hào)。 13.1.5 動(dòng)力學(xué)普遍方程及拉格朗日方程在具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系中，在任一瞬時(shí)，作用于各質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力和虛加的慣性力在任一虛位移上所作虛功之和等于零。這就是動(dòng)力學(xué)普遍方程（也稱為達(dá)朗貝爾拉格朗日方程）。寫(xiě)成直角坐標(biāo)系上的投影式為在動(dòng)力學(xué)普遍方程中不包含約束力。由此可知，將達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合，建立了動(dòng)力學(xué)普遍方程，避免了理想約束力的出現(xiàn)，再將普遍方程變?yōu)閺V義坐標(biāo)形式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰啃问剑蓪?dǎo)出第二類拉格朗日方程，以實(shí)現(xiàn)用最少數(shù)目的方程來(lái)描述動(dòng)力系統(tǒng)，即 h=1,2,k這是一個(gè)方程組，方程的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，稱之為第二類拉格朗日方程，簡(jiǎn)稱為拉格朗日方程。它揭示了系統(tǒng)動(dòng)能的變化與廣義力之間的關(guān)系。 若引入拉格朗日函數(shù)： 則稱為保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。它們是一個(gè)方程組，方程的數(shù)目等于該系統(tǒng)的自由度數(shù)（或廣義坐標(biāo)數(shù)）。13.2 基本要求 、對(duì)約束方程、理想約束和虛位移有清晰的概念。 、會(huì)利用幾何法、虛速度法、變分法計(jì)算系統(tǒng)各點(diǎn)的虛位移關(guān)系，能正確地運(yùn)用虛位移原理求解物系的平衡問(wèn)題。 、對(duì)廣義坐標(biāo)、自由度、廣義力和廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理有初步的理解，并會(huì)計(jì)算廣義力。理解動(dòng)力學(xué)普通定理的基本概念。 、能正確運(yùn)用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。、能正確運(yùn)用拉格朗日方程求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。13.3 重點(diǎn)討論用虛位移原理求解質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是利用動(dòng)力學(xué)中功的概念，求解靜力學(xué)問(wèn)題，對(duì)于理想約束系統(tǒng)，其約束力不包括在虛功方程中，虛功方程中只包含質(zhì)點(diǎn)系所受的主動(dòng)力（包括解除約束按主動(dòng)力處理的約束力）。所以能夠容易地求解出平衡時(shí)所受主動(dòng)力之間的關(guān)系，這是虛位移原理最大的優(yōu)點(diǎn)。用虛位移原理解題，在一般問(wèn)題中，虛功方程可比較容易的寫(xiě)出，而關(guān)鍵的問(wèn)題是找出質(zhì)點(diǎn)系中各力作用點(diǎn)相應(yīng)的虛位移之間的關(guān)系。一般情況下，若系統(tǒng)發(fā)生虛位移時(shí)，有點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)、剛體的平面運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)用虛速度法求解(例13-1、例13-2)。若系統(tǒng)發(fā)生虛位移以后，幾何關(guān)系比較明確，則利用幾何法求各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系較好(例13-3)。若系統(tǒng)各點(diǎn)的位置能較容易寫(xiě)出它們的坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的關(guān)系，則應(yīng)用變分法求解(例13-4)。動(dòng)力學(xué)普通方程是首先利用達(dá)朗貝爾原理在質(zhì)點(diǎn)系上加上慣性力，再利用虛位移原理求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一種方法。拉格朗日方程是在其基礎(chǔ)上推導(dǎo)出的結(jié)果，利用拉格朗日方程求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，其關(guān)鍵問(wèn)題是正確地選擇廣義坐標(biāo)，并寫(xiě)出用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式，其它問(wèn)題就是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)求解問(wèn)題了。它為解決多自由度動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，提供了簡(jiǎn)便的方法。13.4 例題分析例13-1 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖所示，連桿AB長(zhǎng)l，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時(shí)，主動(dòng)力P和Q之間的關(guān)系。解：研究整個(gè)機(jī)構(gòu)。系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。1、虛速度法：使A發(fā)生虛位移為，B的虛位移為，則由虛位移原理，虛功方程為虛位移關(guān)系（投影定理）代入虛功方程得由于 得2、變分法 由于系統(tǒng)為單自由度，取j為廣義坐標(biāo)。變分的由虛位移原理（直角坐標(biāo)投影形式）將虛位移關(guān)系代入虛功方程得由于，故例13-2 不計(jì)各桿件的自重，機(jī)構(gòu)如圖所示，求在圖示位置平衡時(shí)，力F1與F2的關(guān)系。解 由于系統(tǒng)發(fā)生虛位移時(shí)，A點(diǎn)是點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)關(guān)系，所以應(yīng)用虛速度求解。設(shè)AB桿的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，OC桿為動(dòng)系，A、C兩點(diǎn)的虛位移如圖所示，則幾何關(guān)系為虛功方程為將虛位移關(guān)系代入得由于，故解出例13-3 多跨靜定梁如圖所示，求支座B處反力。解：將支座B處的約束解除，代入相應(yīng)的約束力FB，并發(fā)生虛位移。根據(jù)虛位移原理（幾何法）： 得由虛位移幾何關(guān)系(幾何法)代入解得幾何法一般應(yīng)用于虛位移的幾何關(guān)系容易畫(huà)出的情況下。例13-4 機(jī)構(gòu)如圖所示，各桿之間均用鉸鏈連接，桿長(zhǎng)AEBD2l，DHEHl。D、E之間連一彈簧，彈簧剛度系數(shù)為k，彈簧的原長(zhǎng)為l。桿和彈簧的自重及各處的摩擦均不計(jì)。今在鉸鏈H上施加一鉛直向下的力FH，并使該機(jī)構(gòu)處于靜止平衡狀態(tài)，試確定力FH與桿件、水平線的夾角q之間的關(guān)系。解：這是一個(gè)單自由度系統(tǒng)。取q為廣義坐標(biāo)。因?yàn)閺椈?DE不是理想約束，求解時(shí)應(yīng)解除彈簧約束，用相應(yīng)的彈性力F、F代替，并視之為主動(dòng)力，如圖所示。此題用解析法求解。由虛位移原理在直角坐標(biāo)系的投影表達(dá)式以固定點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立靜坐標(biāo)系A(chǔ)xy。主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)為變分得彈簧DE在圖示位置的長(zhǎng)度為2lcosq，其原長(zhǎng)為l，伸長(zhǎng)量D2l cosq l(2cosq 1)l，于是彈簧作用于D、E上的拉力的大小為由于虛位移是假想中的位移，它的給出不會(huì)引起彈簧的真實(shí)長(zhǎng)度的任何變化。也就是說(shuō)，在虛位移中，彈性力的大小是不變的，因此，彈性力的虛功應(yīng)按常力來(lái)計(jì)算，這與實(shí)位移中彈性力的元功的計(jì)算方法有本質(zhì)上的區(qū)別。整理后的虛功方程為于，所以由解得例13-5 如圖所示為三鉸拱支架，求由于不對(duì)稱載荷F1和F2作用在鉸鏈B處所引起的水平約束力FBx。解：為了求出B點(diǎn)的水平約束力FBx，首先解除鉸鏈B水平方向的約束而成為可動(dòng)的鉸鏈支座，并以約束力FBx代替其約束，如圖所示，設(shè)系統(tǒng)發(fā)生一虛位移，其OA半拱的虛位移為djA，O點(diǎn)虛位移為drO，OB半拱是平面運(yùn)動(dòng)，則B點(diǎn)虛位移為dxB，因此OB半拱在虛位移過(guò)程中相當(dāng)于繞瞬心C點(diǎn)的虛位移為djC。由虛位移原理即由于AO=CO，因此djAdjC，由于，故代入上式可解得由此可知，對(duì)于一些定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)的剛體，采用作用于該剛體上的主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸或瞬時(shí)速度中心的力矩與瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)虛位移的乘積來(lái)計(jì)算虛功是較為簡(jiǎn)便的。例13-6 二均質(zhì)輪的m、R相同，用輕質(zhì)繩纏繞連接如圖所示。求在重力作用下輪中心的加速度。 解：這是一個(gè)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，可應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解，研究整個(gè)系統(tǒng)，引入慣性力及慣性力偶，方向如圖，大小為 其中 設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移，由動(dòng)力學(xué)普遍方程幾何關(guān)系 由于，所以 解得例13-7 楔形體重為P，傾角a，在光滑水平面上。圓柱體重Q，半徑為 r ，只滾不滑。初始系統(tǒng)靜止，圓柱體在斜面最高點(diǎn)。試求：(1)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；(2)楔形體的加速度。解：研究整體系統(tǒng)。它具有兩個(gè)自由度。取廣義坐標(biāo)為x, s ；各坐標(biāo)原點(diǎn)均在初始位置。取水平面為系統(tǒng)的零勢(shì)點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為 系統(tǒng)的動(dòng)能為拉格朗日函數(shù)為代入保守系統(tǒng)拉氏方程并適當(dāng)化簡(jiǎn)，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解得楔形體的加速度為例13-8 已知 彈簧剛度為k，滑塊質(zhì)量為m1，B球質(zhì)量為m1，不計(jì)擺桿質(zhì)量和摩擦；求 此系統(tǒng)微幅振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解 系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選靜平衡位置為廣義坐標(biāo)x、j的起始位置，廣義力和動(dòng)能為圖中AB擺作平面運(yùn)動(dòng)，故式中，故動(dòng)能可進(jìn)一步寫(xiě)為代入拉格朗日方程運(yùn)動(dòng)微分方程為此系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，所以也可取x = 0、j = 0處為該系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，系統(tǒng)在圖示一般位置上的勢(shì)能為代入保守系統(tǒng)的拉格朗日方程即可得到同樣的運(yùn)動(dòng)微分方程。若系統(tǒng)只在平衡位置附近作微幅振動(dòng)，則cosj1， sinjj， 令高階小量j2 = 0， 故所以運(yùn)動(dòng)微分方程可簡(jiǎn)化為13.5 習(xí)題解答bDbbBMAFNdjdrC drA aa abC13-1 在壓縮機(jī)的手輪上作用一力偶，其矩為M。手輪軸的兩端各有螺距均為h的螺紋，但一為左旋螺紋，一為右旋螺紋。螺紋上各套有一個(gè)螺母A和B。這兩個(gè)螺母分別與長(zhǎng)為b的桿相鉸接，四桿形成菱形框，如題13-1圖所示。此菱形框的點(diǎn)D固定不動(dòng)，而點(diǎn)C連接在壓縮機(jī)的水平壓板上。求當(dāng)菱形框的頂角等于2a時(shí)，壓縮機(jī)對(duì)被壓物體的壓力。（1） （2）題13-1圖解：設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，D點(diǎn)固定不動(dòng)，由虛位移原理(a)由于AC桿作平面運(yùn)動(dòng)，由速度投影定理，而(b)將(b)式代入(a)式，由于，解得13-2 在題13-2圖示機(jī)構(gòu)中，已知FB200N，q60，j30，剛度系數(shù)k10N/cm的彈簧在圖示位置的總壓縮量d4cm，試求使該機(jī)構(gòu)在圖示位置保持平衡的力FA的大小。（1）FqAlDdjjBbbkOdrCdrAdrBC（2）題13-2圖解：解除彈簧約束，以彈性力F代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，由虛位移原理(a)代入(a)式，由于，解得110.2 N13-3 在曲柄式壓榨機(jī)的中間鉸鏈B上作用水平力F，如ABBC，；求在圖示平衡位置時(shí)，壓榨機(jī)對(duì)于物體的壓力。題13-3圖解 設(shè)物體對(duì)壓板的壓力為FN，由虛功方程B、C兩點(diǎn)的虛位移如圖，則幾何關(guān)系為由于，解得物體受的壓力與FN大小相等，方向相反。OFrdjAaqdj0drClMhdrrdreBjdrBCA13-4在題13-4圖所示曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，rh0.4m，l1.0m，作用在曲柄OB上的驅(qū)動(dòng)力矩M5.0Nm。為了保證該機(jī)構(gòu)在j30位置時(shí)處于平衡狀態(tài)，C點(diǎn)的水平作用力F應(yīng)該多大？Al（1） （2）題13-4圖解：設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖示，由虛位移原理 由于hrAB，且代入方程得由于，解得13-5 在題13-5圖所示系統(tǒng)中，彈簧AB、BC的剛度系數(shù)均為k，除連接C點(diǎn)的二桿長(zhǎng)度為l外，其余各桿長(zhǎng)度均為2l。各桿的自重可以忽略。未加力F時(shí)，彈簧不受力，qq 0。試求加力F后的平衡位置所對(duì)應(yīng)的q值。dxCdxAdxByOCBA F1 F1 F1 F1qx（1）（2）題13-5圖解：設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，解除彈簧，以彈性力F代替，采用變分法，取q為廣義坐標(biāo)由虛位移原理的解析表達(dá)式即由于，所以解得由于 所以解得13-6 題13-6圖所示兩等長(zhǎng)桿AB與BC用鉸鏈連接，又在桿的D、E兩點(diǎn)加一彈簧，彈簧剛度系數(shù)為k，當(dāng)距離ACd時(shí)，彈簧的拉力為零。如在C點(diǎn)作用一水平力F，桿系處于平衡。求距離AC之值。已知ABl，BDb，桿重不計(jì)。yxqDPEF1 F1BAOblC（1）（2）題13-6圖解：解除彈簧約束，用彈性力F1代替，采用變分法，取q為廣義坐標(biāo)，則由虛位移原理的解析表達(dá)式得又由于，所以解得13-7 題13-7圖所示兩重物FP1、FP2系在細(xì)繩的兩端，分別放在傾角為a、b的斜面上，細(xì)繩繞過(guò)兩定滑輪，與一動(dòng)滑輪相連。動(dòng)滑輪的軸上掛一重物FP3。試求平衡時(shí)FP1、FP2的大小。摩擦以及滑輪與繩索的質(zhì)量忽略不計(jì)。（1）（2）題13-7圖解：設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移如圖示，由虛位移原理(a)由幾何關(guān)系代入(a)式，得整理得由于，所以解得13-8 機(jī)構(gòu)如題13-8圖所示，曲柄OA上作用一矩為M的力偶，在滑塊D上作用水平力F。求當(dāng)機(jī)構(gòu)平衡肘，力F與力偶矩M的關(guān)系。題13-8圖解 設(shè)OA桿的虛位移為dj，則A、B、C各點(diǎn)虛位移如圖所示，由虛功方程 幾何關(guān)系代入虛功方程，解得13-9 圖示機(jī)構(gòu)中，OB=BC=AB=2BD=2BE=a，水平力已知，彈簧剛度系數(shù)為k，當(dāng)q =0時(shí)它為原長(zhǎng)。試求系統(tǒng)平衡位置。xx 題13-9圖 解：解除彈簧約束，用彈性力F1代替，采用變分法，取q為廣義坐標(biāo)，設(shè)GD長(zhǎng)為l，則彈性力為由虛位移原理的解析表達(dá)式得由于，所以解得13-10 兩搖桿機(jī)構(gòu)分別如圖a和b所示，圖a中OAR，AOO1=p/2，OO1A=30；圖b中OBR，BOO1=p2，OO1B=300。若各在桿OA上施加力偶矩M1，試求系統(tǒng)保持平衡時(shí)，需在O1B上施加的力偶矩M2。答：(a) M24M1， (b) M2M1。 題13-10圖解：(a)設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移如圖示，由虛位移原理由虛速度法及幾何關(guān)系 其中 ，得，由于，代入虛功方程，解得 (b)設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移如圖示，由虛位移原理由虛速度法及幾何關(guān)系 其中，得，由于，代入虛功方程，解得yA1Oxj1j2W2W1C1C2l2l1A2B1B213-11 兩均質(zhì)桿A1B1與A2B2長(zhǎng)為l1、l2，重為FP1、FP2。它們的一端A1及A2分別靠在光滑的鉛直墻面上，另一端B1及B2擱在光滑水平面的同一處，如題13-11圖所示。求平衡時(shí)兩桿與水平面所成的夾角j1和j2之間的關(guān)系。（1）（2）題13-11圖解：取固定坐標(biāo)系Oxy，采用變分法，取j1、j2為廣義坐標(biāo)(1)(2)根據(jù)圖示約束條件常量變分的(3)由虛位移原理：SdWF =0 將(1)、(2)式代入上式，整理得將(3)式代入上式，化簡(jiǎn)后得由于，所以解得13-12 在圖示靜定連續(xù)梁中，F(xiàn)15kN，F(xiàn)24kN，F(xiàn)33kN，力偶矩M2kNm。求固定端A的約束力和約束力偶。(1)MF1F2F3dxDdxCdxAMAXABYA（2）YAXAF1F2F3BDMCAMAdy1dyAdy2dyDdq（3）MAA1m1mCBDMF1F2F3dy1dyCdy2dyDdjdq（4）題13-12圖解：研究連續(xù)梁，解除A端約束，以約束力FAx、FAy、MA、代替。設(shè)發(fā)生虛位移dxA，而由虛位移原理由于dxA0，所以 FAx0設(shè)發(fā)生虛位移由虛位移原理幾何關(guān)系代入虛功方程由于，解得 kN設(shè)發(fā)生虛位移dj，而，由虛位移原理幾何關(guān)系代入上式由于，解得 kNm13-13 試求題13-13圖所示靜定連續(xù)梁支座C與D處的約束力。已知F18kN，F(xiàn)24kN，q2kN/m，M9kNm。（1）AMFq1Fq22mBdjFNDdr1drEdrPdrBdr2drDFEPdrPMQFq1Fq2BdjFNCdr2dr1drQdrCdrB（2）（3）題13-13圖解：為便于計(jì)算，把分布載荷分別合成為合力Fq1和Fq2，其中Fq1q24kN，F(xiàn)q2q816kN，分別作用于E、F點(diǎn)，解除D點(diǎn)約束，用約束力FND代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖示，由虛位移原理由幾何關(guān)系代入方程，由于dj0，解得解除C點(diǎn)約束，代之以FNC。設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖示，由虛位移原理其中整理得題13-14圖13-14 梁AD由在B、C處由鉸鏈連接起來(lái)的三段粱組成，如題13-14圖所示。在粱上作用的均布載荷其集度為q2kNm，F(xiàn)5kN，力偶的力偶矩M6kNm，a=2m。試求固定端A、D的鉛垂約束力和約束力偶。解：(1)解除A點(diǎn)約束，用約束力FAx、FAy、MA代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，設(shè)，由虛位移原理由幾何關(guān)系代入方程，由于dj 10，解得MA12 kNm(2)解除A點(diǎn)約束，用約束力FAx、FAy、MA代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，設(shè)，由虛位移原理由幾何關(guān)系代入方程，由于dj 0，解得FAy7kN(3)解除D點(diǎn)約束，用約束力FDx、FDy、MD代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，設(shè)，由虛位移原理由幾何關(guān)系代入方程，由于dj 10，解得MD14 kNm(4)解除D點(diǎn)約束，用約束力FDx、FDy、MD代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，設(shè)，由虛位移原理由幾何關(guān)系代入方程，由于dj1 0，解得FDy6 kN13-15 組合梁(1)的支承及荷載為F=5kN，q=2.5kN/m，M=5kN.m，如題13-15(1)圖所示。組合梁(2)的支承及荷載情況如題13-15(2)圖所示。求以上兩個(gè)題中各支座處的約束力。(1) (2)題13-15圖解 1) (1)解除A點(diǎn)約束，用約束力FAy代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，由虛位移原理幾何關(guān)系代入虛功方程，由于，解出FAy2.5 kN2）(1)解除B點(diǎn)約束，用約束力FB代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，由虛位移原理 幾何關(guān)系 代入虛功方程，由于，所以解出FNB15 kN3）(1)解除E點(diǎn)約束，用約束力FE代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示由虛位移原理 幾何關(guān)系 代入虛功方程，由于，所以解出FE2.5 kN讀者不難用類似的方法求出FAx = 02）(2)解除C點(diǎn)約束，用約束力FNC代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，由虛位移原理由于dj10，解得FNC8 kNm(2)解除A點(diǎn)約束，用約束力FAx、FAy、MA代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，設(shè)，由虛位移原理由幾何關(guān)系代入方程，由于dj 10，解得MA15 kNm(3)解除A點(diǎn)約束，用約束力FAx、FAy、MA代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，設(shè)，由虛位移原理由幾何關(guān)系代入方程，由于dj 0，解得FAy8 kN(4)解除A點(diǎn)約束，用約束力FAx、FAy、MA代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，設(shè)，由虛位移原理代入方程，由于dxA0，解得FAx013-16 桿AB與CD由鉸鏈C聯(lián)結(jié)，并由鉸鏈支座A、D固定，如題13-16圖所示。在AB桿上作用一鉛直力F，在CD桿上作用一力偶M，不計(jì)桿重，求支座D的約束力。題13-16圖解：解除D點(diǎn)x方向的約束，用約束力FDx代替。設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，由虛位移原理由于C為CD桿瞬心而AB桿繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以，幾何關(guān)系為代入虛功方程由于，解得解除D點(diǎn)y方向的約束，用約束力FDy代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，由虛位移原理由于DC桿平移，所以 代入虛功方程 由于，得 13-17 題13-17圖所示結(jié)構(gòu)中，已知F1kN，l1m，q30。求支座A的約束力。qCABD2lllEdjdyDdrPd xCdxA2lFFAx（1）（2）CdrPdyAFqdrCFAyABDdyDdrP（3）題13-17圖解：（1）解除A點(diǎn)x方向約束，用約束力FAx代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖示，由虛位移原理由于ABC為平移，所以，E點(diǎn)為DC桿瞬心代入虛功方程由于，解得（2）解除A點(diǎn)y方向約束，用約束力FAy代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖示，由于ABC瞬心在B點(diǎn)，DC的瞬心也在B點(diǎn)，由虛位移原理幾何關(guān)系代入虛功方程，由于，解得 kN13-18 圖示桁架中，ADDB6m，CD3m，節(jié)點(diǎn)D的載荷為F。求桿3的內(nèi)力。A2DB4OdrDdrBS3S3FadrC5C（1）（2）題13-18圖解：解除桿3的約束，用約束力S3代替，設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移，如圖所示，由虛位移原理因?yàn)镃B桿作平面運(yùn)動(dòng)，O為瞬心，由幾何關(guān)系代入虛功方程得由于，解得13-19 如題13-19圖a所示連續(xù)梁，其截荷及尺寸均為已知。試求A、B、C三處的支座反力。題13-19圖解：圖13-19a所示連續(xù)梁由于存在多個(gè)約束而成為沒(méi)有自由度的結(jié)構(gòu)。為用虛位移原理求約束力?？山獬笃浼s束力的約束而代之以約束力，從而使結(jié)構(gòu)獲得相應(yīng)的自由度。1、求支座D處的約束力解除支座D約束，代之以約束力FD（題13-19圖b），系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。給系統(tǒng)以虛位移dq，由虛位移原理 由于dq0，則得2、求支座B處的約束力解除支座B約束，代之以約束力FB（題13-19圖c），系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。給出虛位移dj，由虛位移原理 由于dj0，解得3、求支座A 處的約束力解除支座A約束，代之以約束力FAx及FAy（圖13-19d），系統(tǒng)具有二個(gè)自由度?？山o出系統(tǒng)的一組虛位移為dx及dy。設(shè)先給系統(tǒng)一組虛位移dx0，dy =0，則由虛位移原理 解得再給系統(tǒng)一組虛位移dx，dy0，則由虛位移原理得 解得13-20 試求題13-20圖示粱桁架組合結(jié)構(gòu)中1、2兩桿的內(nèi)力。已知F1= 4 kN，F(xiàn)2=5 kN。題13-20圖解：解除桿1的約束，用約束力FN1代替，設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移，其中，如圖所示，由虛位移原理將幾何關(guān)系代入，并且，解得kN（拉）解除桿2的約束，用約束力FN2代替，設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移，由于FE桿與ED桿均做平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)：D點(diǎn)的虛位移為，D點(diǎn)的虛位移為，所以，由虛速度法，E點(diǎn)的虛位移為其中，幾何關(guān)系如圖所示，由虛位移原理將以上所述幾何關(guān)系代入，并且，解得kN（壓）。13-21 重FP1的平板A放在n個(gè)重量均為FP2的圓滾子上，如題13-21圖所示。設(shè)滾子可視為均質(zhì)圓柱，滾子與平板及滾子與地面均無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求平板受到水平力F作用時(shí)的加速度。（1）AaFdxdjMIiFIiFI（2）題13-21圖解：設(shè)平板的加速度為a，則各運(yùn)動(dòng)物體上的慣性力為其中r為圓滾子的半徑。設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移dx，由虛位移原理其中代入方程得由于dx 0，所以解得13-22 題13-22圖所示一升降機(jī)的簡(jiǎn)圖，被提升的物體A重為FP1,平衡錘B重為FP2；帶輪C及D重均為FP3，半徑均為r，可視為均質(zhì)圓柱。設(shè)電機(jī)作用于輪C的轉(zhuǎn)矩為M，膠帶的質(zhì)量不計(jì)，求重物A的加速度。 題13-22圖解：設(shè)物塊A的加速度為a，則各運(yùn)動(dòng)物體上的慣性力為其中設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移dr，由虛位移原理其中代入方程得由于dr 0，所以解得13-23 題13-23圖所示離心調(diào)速器以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。如重球A、B各重FP1，套筒C重FP2；連桿長(zhǎng)均為l，各連桿的鉸鏈至轉(zhuǎn)軸中心的距離為a；彈簧的剛度系數(shù)為k，其上端與轉(zhuǎn)軸緊接，下端壓住套筒，當(dāng)偏角a=0時(shí)，彈簧為原長(zhǎng)不受力。求調(diào)速器的角速度w與偏角a的關(guān)系。 題13-23圖解：由題意，設(shè)物塊A、B的慣性力為解除彈簧的約束，則彈性力為建立坐標(biāo)系如圖所示，則A、B、C處的坐標(biāo)分別為 變分為 由虛位移原理將變分結(jié)果代入方程得由于 0，所以將慣性力和彈性力代入上式，解得13-24 題13-24圖所示，吊索一端繞在鼓輪上，另一端繞過(guò)滑輪系于重的平臺(tái)A上，鼓輪半徑為r、重為，電動(dòng)機(jī)給鼓輪的轉(zhuǎn)矩為M，試求平臺(tái)上升的加速度。設(shè)鼓輪可看作均質(zhì)圓盤(pán)，滑輪的質(zhì)量可以不計(jì)。 m2gAFI1djMIM drQFI2ae（1） （2）題13-24圖解：設(shè)平臺(tái)上升的加速度為a，則各運(yùn)動(dòng)物體的慣性力為由虛位移原理其中代入虛功方程由于，所以解得13-25 重Mg的三棱柱放在光滑水平面上，重mg的均質(zhì)圓柱沿三棱柱的斜面AB滾下而不滑動(dòng)。求三棱柱的加速度和柱心C相對(duì)于斜面的加速度。AeFIyMICFIaABMgdxFNaBCaFIxar mgdyadxr（1） （2）xhlODBayxO1 mg MgCMICexyOADCBaxlhxO1 mg Mgx （3）（4）題13-25圖解：（解法一）在系統(tǒng)水平方向運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有慣性力為 設(shè)三棱柱的水平虛位移為dx，圓柱水平虛位移為dx，垂直虛位移為dy，由虛位移原理由幾何關(guān)系 即由于dj0，所以解得（解法二）選x與x為廣義坐標(biāo)，如圖（3）所示，于是：分析運(yùn)動(dòng)，三棱柱ADB沿光滑水平面平動(dòng)，設(shè)質(zhì)心C的加速度向右，加慣性力大小為；圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，輪心O1隨三棱柱有牽連加速度，還有沿斜面向下的相對(duì)加速度，有滾動(dòng)角加速度e，re，加慣性力系如圖（4）示。令x不變，給x以變分d x，得到：即(a)令dx0，只給dx，圓柱滾動(dòng)，得：式中由此得到：由于，所以(b)由式(a)得：代入式(b)，得：化簡(jiǎn)得出：式中負(fù)號(hào)表示三棱柱的加速度方向與圖示方向相反。代入(a)式即可得出：13-26 質(zhì)量為m的單擺繞在一半徑為r的固定圓柱體上，如題13-26圖所示。設(shè)在平衡位置時(shí)，繩的下垂部分長(zhǎng)為l，且不計(jì)繩的質(zhì)量，求擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。Ojmgjl（