數(shù)學(xué)歸納法(高三學(xué)案)VIP

數(shù)學(xué)歸納法(高三學(xué)案) 數(shù)學(xué)歸納法復(fù)習(xí)學(xué)案 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟為:驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值0n時(shí)命題成立,這是推理的基礎(chǔ);假設(shè)當(dāng)n=k),(0*n kN k時(shí)命題成立.在此假設(shè)下,證明當(dāng)1+=k n時(shí)命題也成立是推理的依據(jù).3結(jié)論. 2、探索性問(wèn)題在數(shù)學(xué)歸納法中的應(yīng)用（思維方式）觀察,歸納,猜想,推理論證. 3、特別注意 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)首先要驗(yàn)證0n n=時(shí)成立,注意0n不一定為1; (2)在第二步中,關(guān)鍵是要正確合理地運(yùn)用歸納假設(shè),尤其要弄清由k到k+1時(shí)項(xiàng)的變化（ （1）數(shù)學(xué)歸納法證明命題，格式嚴(yán)謹(jǐn)，必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；（ （2）歸納遞推是證明的難點(diǎn)，應(yīng)看準(zhǔn)“目標(biāo)”進(jìn)行變形；（ （3）由k推導(dǎo)到k+1時(shí)，有時(shí)可以“套”用其它證明方法，如比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法“靈活”的一面時(shí)，有時(shí)可以“套”用其它證明方法，如比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法“靈活”的一面用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、整除性問(wèn)題、幾何問(wèn)題等6)12)(1(21222+=+n n nn?題型一對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識(shí)題型一對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識(shí) 1、已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)n=k（2k且為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需證明（且為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需證明（）A.n=k+1時(shí)命題成立B.n=k+2時(shí)命題成立C.n=2k+2時(shí)命題成立D.n=2（k+2）時(shí)命題成立A.n=k+1時(shí)命題成立B.n=k+2時(shí)命題成立C.n=2k+2時(shí)命題成立D.n=2（k+2）時(shí)命題成立解析因因n是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因k的下一個(gè)偶數(shù)是k+2，故選B【名師指引】用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意觀察幾個(gè)方面（是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因k的下一個(gè)偶數(shù)是k+2，故選B【名師指引】用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意觀察幾個(gè)方面 （1）n的范圍以及遞推的起點(diǎn)（的范圍以及遞推的起點(diǎn) （2）觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù)（或其它），確定n=k時(shí)命題的形式)(k f（ （3）從)1(+k f和)(k f由的差異，尋找由k到到k+1遞推中，左邊要加（乘）上的式子 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式241312111+n n n n?由的過(guò)程中，由k推導(dǎo)到k+1時(shí)，不等式左邊增加的式子是解析求求)()1(k fk f?+即可當(dāng)當(dāng)n=k時(shí)，左邊k k k k+=12111?，n=k+1時(shí)，左邊)1()1(13121+=k k k k?,故左邊增加的式子是11221121+?+k k k，即)22)(12(1+k k題型 二、證明代數(shù)恒等式 1、已知*N n,證明:n n211214131211?+?+?+?n n n212111+?+=.1.證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明. (1)當(dāng)1=n時(shí),左邊=21211=?,右邊21=,等式成立; (2)假設(shè)當(dāng)k n=時(shí)等式成立,即有:k k211214131211?+?+?+?k k k212111+?+=.那么當(dāng)1+=k n時(shí),左邊=)1 (211)1(21211214131211+?+?+?+?+?k k k k k k k212111+?+=)1(21121+?+k k+?+=121213121k k k k)1(2111+?+k k+?+=2)1 (11)1(1k k)1()1 (1)1(1+k k k k=右邊;所以當(dāng)1+=k n時(shí)等式也成立.綜合 (1) (2)知對(duì)一切*N n,等式都成立.思維點(diǎn)撥仔細(xì)觀察欲證等式的結(jié)構(gòu)特征,在第二步證明當(dāng)1+=k n時(shí)向目標(biāo)式靠攏是關(guān)鍵.數(shù)變式是否存在常數(shù)a、b、c，使等式) (12)1()1(32212222c bn ann nn n+=+?+?對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。 求【解題思路】從特殊入手，探求a、b、c的值，考慮到有3個(gè)數(shù)，先取n=1,2,3,列方程組求得，然后用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)一切?N n，等式都成立解析把n=1,2,3代入得方程組?=+=+=+7039442424c bac bac ba，解得?=10113cba，猜想等式，猜想等式)10113 (12)1()1(32212222+=+?+?n nn nn n?對(duì)一切?N n都成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 （1）當(dāng)n=1時(shí)，由上面的探求可知等式成立（ （2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即)10113 (12)1()1(32212222+=+?+?k kk kk k?則222222)2)(1()10113 (12)1()2)(1()1(3221+=+?+?k k k kk kk k k k?2)2)(1()2)(53 (12)1(+=k k k kk k)2 (12)53(12)2)(1(+=k k kk k10)1 (11)1(312)2)(1(2+=k kk k所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立綜合 （1） （2），對(duì)所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立綜合 （1） （2），對(duì)?N n等式都成立【名師指引】這是一個(gè)探索性命題，“歸納猜想證明”是一個(gè)完整的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維模式【名師指引】這是一個(gè)探索性命題，“歸納猜想證明”是一個(gè)完整的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維模式題型 三、證明不等式1.用數(shù)學(xué)歸納法證明下述不等式；).2,(10931312111+?n N nn n n n且?分析一般與自然數(shù)n有關(guān)的不等式問(wèn)題可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，證明過(guò)程中特別要主要項(xiàng)的變化.證明:當(dāng)n=2時(shí)，左邊1096054605761514131=+=，當(dāng)n=2時(shí)，不等式正確；2.假設(shè)當(dāng))2(=k k n不等式正確，即109312111+k k k?，當(dāng)1+=k n時(shí)，左邊331231131313121+=k k k k k k?+?+=11331231131)31312111(k k k k k k k k?109)331231()331131(109332231131109+?+?+=+?+k k k k k k k，當(dāng)1+=k n時(shí)不等式也正確；根據(jù)2,1知對(duì)?N n，且2n，不等式都正確.點(diǎn)評(píng)在1+=k n的證明過(guò)程中還需要熟練運(yùn)用不等式證明的一些技巧，有時(shí)有一定的難度，不過(guò)必須注意，不是所有的與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明都能用數(shù)學(xué)歸納法證明成功.2.求證212131211nn?+?（?N n）2.證1=n時(shí)左211=右假設(shè)k n=時(shí)成立即212131211kk?+?當(dāng)1+=k n時(shí)左121121212121211212111?+?+?+=+k k k k k kk?21212122212112112121111+=+?+=?+?+?+k k k kkkk k k?即1+=k n命題成立綜上所述由對(duì)一切?N n命題成立.題型 四、證明整除問(wèn)題在高考難度范圍內(nèi)，整除問(wèn)題并不多見(jiàn)，如果與正整數(shù)n有關(guān)的整除問(wèn)題，在教材的范圍內(nèi)一般只有用數(shù)學(xué)歸納法解決. 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明)(53?+N n n n能被6整除.分析對(duì)于多項(xiàng)式A、B,如果A=BC，C也是多項(xiàng)式，那么A能被B整除，若A與B均能被C整除，則A+B,A-B也能被C整除.證明.1.1=n時(shí)，13+51=6能被6整除，命題正確；2.假設(shè)k n=時(shí)命題正確，即k k53+能被6整除，當(dāng)1+=k n時(shí)，)5()55()133()1 (5)1(3233k k kkkkkk+=+=+6)1(3+kk，兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)的乘積)1(+kk是偶數(shù)，)1(3+kk能被6整除，6)1 (3)5(3+kkkk能被6整除，即當(dāng)1+=k n時(shí)命題也正確，由2,1知命題時(shí)?N n都正確.點(diǎn)評(píng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，在1+=k n的證明過(guò)程中應(yīng)首先考慮拼湊出“歸納假設(shè)”，然后再想辦法證明剩余部分.題型 五、證明函數(shù)內(nèi)比較大小 1、設(shè)f(k)滿足不等式()()?+N kk xxk1223log log122的自然數(shù)x的個(gè)數(shù) （1）求f(k)的解析式； （2）記)()2()1(n f f fS n+=?，求nS的解析式； （3）令()?+=N n n n P n12，試比較nS與nP的大小。 1.解 （1）原不等式()()()k kk kkk kkxx xxxx xxx220222302232301111211?()1212211+=+?=?kkkk f （2）12222)()2()1(110?+=+=+=?n n n f f fSn nn? （3）22nP Snn n?=?n=1時(shí)，;01221?；n=2時(shí)，;02222=?n=3時(shí)，;03223?；n=6時(shí)，;06226?猜想5n時(shí)n nPS下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明 （1）當(dāng)n=5時(shí)，55PS，已證 （2）假設(shè)()5=kk n時(shí)結(jié)論成立即22,k PSkk k那么n=k+1時(shí)，112+k kP而()()2112122222?=?=+?kkkkk在5k范圍內(nèi)，()0212?k恒成立則()2212+kk，即11+k KPS由 （1） （2）可得，猜想正確，即5n時(shí)，n nPS綜述當(dāng)n=2,4時(shí)，n nPS=當(dāng)n=3時(shí)，n nPS。 題型 六、解決數(shù)列問(wèn)題歸納猜想證明是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，數(shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納法的原理實(shí)質(zhì)是一樣的，所以數(shù)列中許多問(wèn)題常用到數(shù)學(xué)歸納法證明。 而中學(xué)學(xué)習(xí)歸納法的主要用途就是用來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題. 1、設(shè)數(shù)列na的前n項(xiàng)和為nS，且)23(212?+=+n na Sn n*()nN （1）求321,a a a； （2）求數(shù)列na的通項(xiàng)公式 1、解 （1）容易求得33221213823,21247,21121?=?=?=a a a （2）方法一猜想nnn a21?=，下用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)1=n時(shí)，211211?=a，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)k n=時(shí)，結(jié)論成立，即kkk a21?=，則當(dāng)1+=k n時(shí)，)223(22)1 (3)1(21211kkkk kak kakkS Sa?+?+=?=+)21(2221kk kk k a k a?+=+=?+1121)1(+?+=?kkk a，即1+=k n時(shí)結(jié)論也成立由、知對(duì)一切*Nn，nnn a21?=方法二)23(212?+=+n na Sn n2111 (1)3 (1)2)2n nSa n n+=+?，得111() (213)22n n na a a nn+?=+=+，即111122n na a n+=+令11 (1)()2n naA nB a An B+=+，則1111()222n na aAnA B+=?+，比較系數(shù)，得1,0A B=?=，故11 (1)()2n na na n+?+=?，數(shù)列na n?是首項(xiàng)為1112a?=?，公比為12的等比數(shù)列，12nna n?=?，即nnn a21?= 1、已知數(shù)列a n的前n項(xiàng)和為S n，且a1=1，S n=n2an（nN N*）. （1）試求出S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表達(dá)式； （2）證明你的猜想，并求出a n的表達(dá)式. （1）解a n=S n-S n-1（n2）S n=n2（Sn-S n-1），S n=122?nnS n-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=34，S3=23=46，S4=58，猜想S n=12+nn（nN N*）. （2）證明當(dāng)n=1時(shí)，S1=1成立.假設(shè)n=k（k1,kN N*）時(shí)，等式成立，即S k=12+kk，當(dāng)n=k+1時(shí)，S k+1=（k+1）2ak+1=a k+1+S k=a k+1+12+kk，a k+1=()()122+kk，S k+1=（k+1）2ak+1=()212+kk=()()1112+kk，n=k+1時(shí)等式也成立，得證.根據(jù)、可知，對(duì)于任意nN N*，等式均成立.又ak+1=)1)(2(2+kk，a n=)1(2+nn.題型 六、證明數(shù)列不等式 1、（河北省唐山一中xx屆高三理）已知數(shù)列na滿足1a=-1，nn a nann64)33(1+=+，數(shù)列nb滿足231+=?nnnab （1）求數(shù)列na的通項(xiàng)公式. （2）設(shè)數(shù)列nb的前n項(xiàng)和為ns，求證當(dāng)2n時(shí)，)32(2322ns s ssnn+?. （3）求證當(dāng)2n時(shí)，12154221+?8分 （3）當(dāng)2=n時(shí)，5154413143?+=+bb即2=n時(shí)命題成立假設(shè))2(=kkn時(shí)命題成立，即12154212111+?+kkkk?當(dāng)1+=kn時(shí)，2211211112154221121213121+?+?+kkkkkkkkk?=3215422154+?+?kk即1+=kn時(shí)命題也成立綜上，對(duì)于任意2n，12154221+?+ 2、解 （1）因?yàn)?)()()()312321321211x xFx Fxxx?+?=+=?所以設(shè)S=12xxxxxxxxF F F?+?S=xxxx1xxxxxxF FF?+?+得1xx2xxxx12.xxxxxxxxxxxxS FFFFFF?=+?=3xx6024=，所以S=3012 （2）由()1n naF a+=兩邊同減去1，得1321112121n nnn na aaa a+?=?=?所以()1211211121111nnnnnna aa aaa+?+?=+?，所以111211nnaa+?=?，11na?是以2為公差以1111a=?為首項(xiàng)的等差數(shù)列，所以()1212211nn na=+?=?1212121nnan n?=+=? （3）證法一數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)1n=時(shí)，123211a=+，不等式成立；假設(shè)當(dāng)n k=時(shí)不等式成立，即12321ka aaak+?，則當(dāng)1n k=+時(shí)，21231 (22) (21) (23)2 (1)22212 (1)1212121kkkkkkkaaaaakkkkk+?+?=+?+?232 (1)1kk=+=+，即當(dāng)1n k=+時(shí)不等式也成立由知，對(duì)一切*nN，都有12321naaaa n+?證法二放縮法()()()()222212121nnnn?=?+，221212n nnn+?，22212212122121nnnnnnnn+?=?，則2212121nn nann+=?，所以，123357212113521nna aaa nn+?=+? 3、已知等差數(shù)列an的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩根，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T n，且T n=1-nb21. （1）求數(shù)列an、b n的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S n，試比較nb1與S n+1的大小，并說(shuō)明理由.解 （1）由已知得?=+27125252a aaa,又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.d=325aa?=339?=2，a1=1.an=2n-1.T n=1-21b n，b1=32，當(dāng)n2時(shí)，T n-1=1-21b n-1,b n=T n-T n-1=1-21b n-(1-21b n-1),化簡(jiǎn)，得b n=31b n-1,b n是首項(xiàng)為32,公比為31的等比數(shù)列，即b n=32131?n=n32,an=2n-1，b n=n32. (2)S n=2)12(1?+nn=n2,Sn+1=（n+1）2，nb1=23n.以下比較nb1與S n+1的大小當(dāng)n=1時(shí)，11b=23，S2=4，11bS2,當(dāng)n=2時(shí)，21b=29,S3=9,21bS3,當(dāng)n=3時(shí)，31b=227,S4=16,31bS4,當(dāng)n=4時(shí)，41b=281,S5=25,41bS5.猜想n4時(shí)，nb1S n+1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=4時(shí)，已證.假設(shè)當(dāng)n=k(kN N*,k4)時(shí)，kb1S k+1,即23k(k+1)2.那么n=k+1時(shí)，11+kb=231+k=323k3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,n=k+1時(shí)，nb1S n+1也成立.由可知nN N*,n4時(shí)，nb1S n+1都成立綜上所述，當(dāng)n=1,2,3時(shí)，nb1S n+1,當(dāng)n4時(shí)，nb1S n+1. 4、一種計(jì)算裝置，有一數(shù)