【原創(chuàng)——每日一練,為高考加油】數(shù)學方法選講整理合集word版2-2.doc

例八已知都是小于1的正數(shù)，且。求證：。解題分析 看到輪換對稱式，想到實際上可以通過恒等變形得到。證一 根據(jù)由于，所以。而且點評 這個證明我們采用了兩種辦法，一種是恒等變形和均值不等式，一種是首先固定求極值然后討論的不同取值求極值，核心在于分步求極值。解題分析 看到題目中含有的形式，想到構造二次方程。證二 假設，那么：所以是方程的兩個根，而且兩個根都在內(nèi)，因此：而且。由此我們得到：和點評 二次方程構造的辦法明顯比證一好得多，關鍵在于能否理解字母背后的意義和進行不等式放縮。例九求證：。解題分析 使用待定系數(shù)法開三次根號。證一 假設，那么假設，那么得到：分解因式：代入原來的方程得到：。所以。同理：。所以：結論得證。點評 大多數(shù)同學看到根號之后想利用移項三次方開根號，但是效果不好，真正的開根號的方法是利用待定系數(shù)法，把結構看清楚再開。解題分析 注意到含有兩個形式相近的數(shù)相加的形式，所以考慮構造二次方程。證二 構造方程。因為所以是方程的一個根，同時容易證明1和是方程的另一個根。因此根據(jù)韋達定理，也就得到結論。點評 這個方法巧妙的避開了開三次根號，注意在構造方程的時候實際上我們先是利用了結論構造方程，然后再證明三者都是方程的根。例十三角形中，求證：。解題分析 注意到乘法元算可以轉化為加法運算，聯(lián)系等號成立的條件之一是三者相等。證一 當三角形不是銳角三角形的時候。否則，構造函數(shù)，其中。那么根據(jù)函數(shù)的凸凹性：于是我們得到：點評 這個證法的前提假定是大家已經(jīng)能夠利用導數(shù)判斷函數(shù)的凸凹性，并且明確凸凹性的定義。把乘法化成加法使這個證明的關鍵之處。解題分析 這道題還可以按照求極值的思路來。證二 不妨假設三角形是銳角三角形，并且角是固定的。那么由于在的時候單調遞增，在的時候單調遞減，所以我們可以得到：在的時候達到最大值，這時候：注意到的導函數(shù)為：它在是單調遞增的，在是單調遞減的。所以最大值在的時候取得，是。于是命題得證。點評 從這個命題的證明上看，多元函數(shù)的極值問題可以通過分步求極值得到解答。解題分析 下面大家看一種方程的構造思路。證三 令，那么整理之后可以得到：所以。點評 這個辦法很簡捷，但是很難構思出來，關鍵是把二次的形式構思出來，而且不等式恰好能夠湊巧碰上。例十一設是兩個不相等的正數(shù)，且，求證：。解題分析 注意到可以分解因式，而且比較容易利用平均值不等式。證一 注意到兩個數(shù)不相等，所以也就證明了后面一個不等式。而同上：也就證明了前面一個不等式。點評 這種解法是非常常見的解法。關注于把恒等式表達成的形式。解題分析 注意到題目中的恒等式變形之后很接近的形式。證二 設，那么題目給出的條件恒等式可以表達為：而是方程的兩個解，所以：由此得到后一個不等式。至于前一個不等式由即可得到。點評 這種方法側重于構造，方法和上面的構造類似。例十二已知：，求證：。解題分析 首先想到的是消元法。證一 由我們可以得到：于是：根據(jù)：，于是我們得到結論。點評 這種方法是常規(guī)方法，應該不難想到。解題分析 注意到很像二次方程的判別式，所以我們猜測可以構造二次方程。證二 構造方程注意到根據(jù)條件可以得到：于是是方程的一個解，因此判別式不小于零，即：，即得結論。點評 這種方法實際上是和上面的幾個題目剛好相反，上面的題目是構造平方和，然后說無根或重根，判別式不大于零，而這個題目是說求出根，說明判別式不小于零。構造高次方程例十三求證：解題分析 注意到其中含有類似于方程的根的形式。證明 由于滿足方程，因此：。展開之后就是三次方程：也就是說：將這個根帶入就可以得到答案。點評 本題的解法也比較巧妙，不過有了題目中的明顯暗示，所以思路也就不難猜測，關鍵在于二次方程向三次方程轉化的時候要注意銜接。例十四已知實數(shù)滿足求證：全都是1。解題分析 注意到可以用不等式。證一 根據(jù)是下凸函數(shù)，可以得到：等號當且僅當?shù)臅r候才成立，而，所以：。而這種情況滿足方程組。點評 注意到這種證法實際上只是利用了方程組的前兩個方程。解題分析 題目中的已知條件實際上是一個元多次方程組，顯然一般情況下我們是無從著手的。但是這個題目有特殊點，我們應該充分利用這個特殊點。證二 構造以為根的一元次方程：于是我們知道：全部相加得到：由此我們得到1是方程的一個根，也就是說中有一個是1，不妨設是，在原方程組銷掉我們就得到了新的方程組。同樣利用這個辦法，就可以逐步的得到所有的都是1。點評 這種構造高次方程的方法需要大家仔細體會。高考構造應用例十五設二次函數(shù)，方程的兩個根滿足。求證：當?shù)臅r候，。解題分析 觀察該命題的特