概率與數(shù)理統(tǒng)計在經(jīng)濟中的應用.doc

畢業(yè)論文概率與統(tǒng)計在經(jīng)濟問題中的應用論文作者：指導教師：系別：數(shù)學與計算機科學系專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學年級：2008級提交日期：2012年5月20日答辯日期：2012年5月27日畢業(yè)論文學術承諾本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)論文是本人在導師指導下進行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不存在抄襲情況，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表的研究成果，也不包含他人或其他教學機構取得的研究成果。作者簽名： 日 期： 畢業(yè)論文使用授權的說明本人了解并遵守有關保留、使用畢業(yè)論文的規(guī)定。即：學校有權保留或向有關部門送交畢業(yè)論文的原件或復印件，允許論文被查閱和借閱；學?？梢怨_論文的全部或部分內(nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復制手段保存論文及相關資料。作者簽名： 指導教師簽名： 日 期： 日 期： 2008級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文概率與統(tǒng)計在經(jīng)濟問題中的應用摘 要：本文通過引用事例，詳細的介紹了期望與方差的概念和性質(zhì)。并結合概率與統(tǒng)計的相關知識，系統(tǒng)的闡述了利用公式法或定義法解決一些簡單的經(jīng)濟問題，用決策樹法解決在多種自然狀態(tài)下的經(jīng)濟問題。通過期望與方差的分析，找出最佳方案，從而使決策者利潤最大化。關鍵詞：管理決策; 決策樹; 最大利潤。IThe application of probability and statistics on economic issueAbstract: Described by reference to examples, this article in detail introduce concept and nature of the expectation and variance.This article,combining with the knowledge of probability and statistics ,systematically emphasis that we can use formula method to solve some easy economic problem and use decision tree method to solve the economic problems in a variety of natural state. Through expectation and variance of analysis,the decision-makers can identify the best solution to maximize profits.Keywords: management decision-making, decision tree，the best profits.目 錄摘 要IAbstract:II1 緒論12基本知識23期望在最大利潤求解的應用53.1利用公式法求最大利潤53.1.1期望在連續(xù)型概隨機變量中的應用53.1.2期望在離散型概隨機變量中的應用63.2利用決策樹法求最大利潤73.2.1決策樹模型的介紹73.2.2決策樹模型的應用83.2.3期望與決策樹的內(nèi)在關系10結 語11參考文獻12致 謝132008級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文第 11 頁 共13頁1 緒論概率與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科。這類規(guī)律性的現(xiàn)象與必然科學截然不同，他的條件與結果之間并不存在某種必然的聯(lián)系，也就是說，在相同的條件下，可能會發(fā)生某一結果，也可能不發(fā)生這一結果。關于概率論方法的討論最初是由帕斯卡和費馬二人以通信的形式展開的。它們雖然沒有提出明確的概念定義，但他們在估計賭徒獲勝的可能性時，總是利用有利情形數(shù)與所有可能數(shù)之比來做，這實質(zhì)上就是早期古典概率的概念。他們會同惠更斯一起，給出了概率、數(shù)學期望等基本概念的雛形，并得到相應的性質(zhì)和計算方法，這些都表明，當時概率已成為具有本身特定研究對象的一門獨立學科。然而在科技迅發(fā)展的今天，概率與統(tǒng)計作為一門獨立的學科，它的足跡幾乎深入到每一個領域，并在指導優(yōu)化我們的生活中起著尤為重要的作用。在經(jīng)濟中，概率與統(tǒng)計經(jīng)常用與管理預測，從而使利潤最大化?，F(xiàn)在的公司企業(yè)將期望和方差運用到管理估算決策中。期望和方差的數(shù)字特征含義可以幫助我們可以進行合理的選擇,為我們的科學決策提供良好的依據(jù)，從而最優(yōu)地實現(xiàn)目標?，F(xiàn)在，人們經(jīng)常利用多種概率分布確定商品進貨量。在產(chǎn)品銷售過程中，了解產(chǎn)品的進貨量是是十分重要的，因為不論商品銷售情況如何，銷售商都需要交付銀行的利息和商品的儲存管理費用，銷售商應保證本店商品的供給量等于消費者的需求量，所以銷售商管理好進貨量是十分重要的【1】。為了是決策過程更加形象化，很多學者將研究興趣投入到?jīng)Q策樹模型中。在國外，早在八十年代許多大型公司的決策層就普遍使用決策樹模型進行管理和決策。與國外相比，國內(nèi)的決策樹研究起步較晚。但是隨著改革開放，國內(nèi)的許多學者系統(tǒng)的介紹了決策樹法的原理，要素，步驟。最近，美國學者馬克羅布斯又闡述了決策樹方法的缺點，例如使用范圍有限，無法適用于一些不能用連續(xù)的數(shù)量表示的決策；在確定的某種自然狀態(tài)下，方案的損益值易受人為主觀因素的影響；等等。2010年，韋竹穩(wěn)根據(jù)國內(nèi)外經(jīng)濟發(fā)展形勢，介紹了多種利用期望值進行決策的方法，再次讓人們認識到概率統(tǒng)計是經(jīng)濟決策的新工具。此期刊論文從大量的市場調(diào)研數(shù)據(jù)著手，建議企業(yè)與公司大量使用決策樹法，從而使決策者找到最優(yōu)方案。而本文就概率的實際應用進行了探討，并對上述提到的方法進行了分析、總結，使上述的概率方法更簡便明了，更容易使讀者理解和接受。2基本知識離散型隨見變量的數(shù)學期望【2】：設離散型隨機變量X的分布率為若無窮級數(shù)絕對收斂，則稱無窮級數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)學期望。記作或，即.特別的，若果X是非負的離散型隨機變量，則有連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的概念 ：設X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為.若反常積分絕對收斂，則稱反常積分的值為隨機變量數(shù)學期望記作或，即特別的，若果X是非負的連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，則.數(shù)學期望簡稱期望。由于數(shù)學期望描述隨機變量X取值的平均大小，因此又稱為均值。隨機變量X的數(shù)學期望是一個實數(shù)。數(shù)學期望完全由隨機變量X的概率分布所確定。若X服從某一分布，也稱是這一分布的數(shù)學期望。如果上述的無窮級數(shù)或反常積分不絕對收斂，則稱隨機變量的數(shù)學期望不存在。隨機變量的數(shù)學期望的性質(zhì)（是常數(shù)） 一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望:設Y是隨機變量X的函數(shù),（連續(xù)型或者分段連續(xù)函數(shù)）。設離散型隨機變量X具有分布律且無窮級數(shù)絕對收斂；設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度函數(shù)，且反常積分絕對收斂，則有方差【3】：設X是一個隨機變量，若存在，則稱為X的方差，記為或，即.方差是指表示一系列數(shù)據(jù)或統(tǒng)計總體的分布特征的值，即方差表示的是和中心偏離的程度。標準差：方差的算數(shù)平方根稱為X的均方差或標準差，稱為X的標準隨機變量，此時有.方差的計算公式.方差的重要性質(zhì)假設c為任意常數(shù)，下列各式中的期望，方差都存在，則（1） （2）（3）幾個期望的分布和方差分布二點分布均勻分布泊松分布指數(shù)分布正態(tài)分布期望方差隨機變量X的概率分布【4】，是指X的“一切可能值的集合”及它取各個可能值或值域內(nèi)各部分取值的“概率”二者的總稱。商人追求的目標永遠是經(jīng)濟利潤最大化。我們利用隨機變量函數(shù)來求相應的期望值，為解決此類問題提供了新的方法。符合特殊條件的某些可求隨機變量函數(shù)，我們可以通過建立自變量和利潤期望的函數(shù)，然后根據(jù)此函數(shù)和導數(shù)的關系以及極值和導數(shù)的性質(zhì)得出，取何值時得出利潤的最大值。決策樹【5】 基本上是從左向右生成的。每種決策事件都有可能導致多種事件的發(fā)生，即會導致多種不同的結果，我們把把這種決策分支繪畫成圖形很像樹的枝干，故稱決策樹。當所要決策問題只需進行一次決策就可解決，叫做單階段決策問題；如果問題比較復雜，而要進行一系列的決策才能解決，就叫做多階段決策問題，又叫多級決策問題 損益值【6】指的是利潤表上的損失或利潤。 利潤=主營業(yè)務收入+其他業(yè)務收入-主營業(yè)務成本-其他業(yè)務成本-營業(yè)稅金及附加-資產(chǎn)減值損失-銷售費用-管理費用-財務費用+投資收益-投資損失+營業(yè)外收入-營業(yè)外支出-所得稅費用 上式計算出來是正值，就是利潤值；計算出來是負值，就是損失值；統(tǒng)稱損益值。概率枝【7】:從決策點引出的許多條直線，每條直線代表各自的自然狀態(tài)，我們把在各種自然狀態(tài)下的損益值記在概率枝的末端。3期望在最大利潤求解的應用3.1利用公式法求最大利潤3.1.1期望在離散型概隨機變量中的應用某商店出售某種肥料,從以往的銷售數(shù)據(jù)來看:該肥料的市場需求量 (單位:噸) 服從 的均勻分布,每售出1噸肥料,商店可獲利1500元;如果積壓1噸肥料,則商店虧損500元,問商店應該進多少貨物,可使均值（期望）的利潤最大?解：設商店進噸該貨物,則由例題得； 出售噸肥料的利潤記為函數(shù), 是需求量 的函數(shù)即 ,由題意可知可知:當時,則此噸肥料全部售出,共獲得利潤；當時,則售出噸(獲利) 且還有噸肥料積壓(獲利) ,由此得共獲得利潤，所以： 當時 當時 從而得 從上述例題我們可以得出是的二次函數(shù),對求導可以求得極值,即噸。這時商店能夠使得最大的利潤。解決此類問題，首先必須找到利潤與需求量的相關函數(shù)，然后利用公式求利潤的期望，再求出期望的極值，再根據(jù)實際情況找出最佳的方案，使決策者的利潤最大化【8】。3.1.2期望在離散型概隨機變量中的應用某投資商將一筆資金投資到三個項目中，即服裝業(yè)、物流業(yè)和保險業(yè)。不同的經(jīng)濟運行狀況下，各行業(yè)的收益情況也不相同，如果把經(jīng)濟運行情況分為好、中、差三個級別元) ,其分別發(fā)生的概率為。研究經(jīng)濟社會的大量數(shù)據(jù)，可以得出不同級別狀態(tài)下的季度收益的概率分布，即表2:（單位；萬元）好中差房地產(chǎn)113-3物流業(yè)64-1商業(yè)102-2表2為各種投資季度收益分布表請問:投資者應該怎樣的合理投資？解：我們先分別考察數(shù)學期望，可知 ；方差： 期望在離散型概隨機變量中的應用中，我們從計算的數(shù)學期望可知,投資服裝業(yè)的平均收益最大,投資商可能選擇房地產(chǎn)。但投資者進行投資時，投資商也要慎重的考慮各行業(yè)的風險，即它們各自的的方差。方差越大,則收益的波動幅度就越大【9】,從而對應的風險也就越大。所以單從方差看,服裝業(yè)和物流業(yè)的期望值出不多。但是服裝業(yè)的方差要遠大于物流業(yè)的方差，即投資商投資服裝業(yè)的風險遠遠大于投資物流業(yè)的風險。綜合考慮，投資商應選擇物流業(yè)。盡管平均收益少1000元,但風險要小50%以上。3.2利用決策樹法求最大利潤3.2.1決策樹模型的介紹決策樹模型【10】是風險決策問題的一種直觀的圖示法。決策樹又稱決策圖，是以其圖形酷似大樹而得名，其圖形如所示。圖形整合了自然狀態(tài)，出現(xiàn)的概率及損益值等其它的影響覺的因素。依據(jù)該圖，可以計算出在不同的自然狀態(tài)下各個方案的平均期望值，從而找出最優(yōu)方案。狀態(tài)結點狀態(tài)結點概率枝概率枝 損益值 損益值概率枝概率枝 損益值 損益值決策點 圖1 決策樹構成圖 從圖上可清楚看出，決策樹以決策結點為出發(fā)點，同時也是決策的歸結點，表明決策的結果；從決策點引出許多條方案枝，每條方案枝代表一個可行的方案。在方案枝的末端有一個狀態(tài)結點，用以表示各種自然狀態(tài)下的平均期望值；從狀態(tài)結點引出若干條概率枝，每條概率枝代表一種自然狀態(tài)及其概率，在概率枝的最末端，列出各自然狀態(tài)的損益值（就是損益矩陣中的）。決策樹法的主要步驟：第一步：繪制決策樹圖。繪圖時，從決策點開始畫，從由左向右繪畫，逐步進行。第二步：計算各結點的期望值。應從右向左依次計算，通過計算損益值和概率枝上的概率，可以得出，在不同自然狀態(tài)下的期望值，并且把他們寫到狀態(tài)結點上。第三步：剪枝。又稱修枝，找出在不同自然狀態(tài)下的方案期望值，將不符合目標的方案期望值去掉，在舍棄的方案枝上畫“”，以表示剪掉。按此方法，依次排除。最后留下的是最優(yōu)方案。3.2.2決策樹模型的應用某電視機廠為增強市場競爭能力，以便在國內(nèi)外市場的三種不同銷售狀態(tài)下（高、中、低需求）取得較好收益，其經(jīng)營方式有兩種：1.國內(nèi)聯(lián)營 2.中外合資。并估計國內(nèi)聯(lián)營和中外合資經(jīng)營簽約成功的可能性均為100%。不論哪種經(jīng)營簽約成功，下一步都考慮兩種生產(chǎn)方案：一是產(chǎn)量增加50%，全部內(nèi)銷；二是產(chǎn)量增加150%，部分外銷，其余全部內(nèi)銷。根據(jù)市場調(diào)查及其預測，在銷售商相應方案的損益值如圖表所示。試用決策樹法進行方案決 表1各方案損益值表 單位：萬元高需求（） 中需求() 低需求() 國 內(nèi) 增產(chǎn)50% 200 105 -350聯(lián) 營 增產(chǎn)150% 350 120 -500中外合資 增產(chǎn)50% 280 0 -400 經(jīng) 營 增產(chǎn)150% 850 -300 -560解：這是一個多級決策問題。根據(jù)題意，繪制決策樹圖3首先計算第二級決策點的期望值，即判斷增產(chǎn)50%的方案還是增產(chǎn)150%的方案好。 狀態(tài)結點4狀態(tài)結點7狀態(tài)結點6狀態(tài)結點5總決策點1決策點2決策點3國內(nèi)聯(lián)營中外合資476532中需求 低需求 高需求 中需求 低需求 高需求 中需求 低需求 高需求 中需求 低需求 +200 +105 -350 +350 +120 -500 +280 +0 -400 +850 -300 -560增產(chǎn)50%增產(chǎn)150%增產(chǎn)50%增產(chǎn)150%1高需求 圖2 決策樹圖 點4：萬元 點5：萬元 這表明在國內(nèi)聯(lián)營時增產(chǎn)150%的方案較優(yōu)，因此剪掉點4，并將轉(zhuǎn)移到點2上。點6：萬元點7：萬元比較點6與點7，剪掉點6，并將轉(zhuǎn)移到點3上。最后比較點2和點3，點3較優(yōu)，剪掉點2，并將萬元列在點1上。因此，該電視機廠宜采用“中外合資經(jīng)營”方案，并用增產(chǎn)150%的生產(chǎn)方案進行生產(chǎn)，部分外銷，其余全部內(nèi)銷，可得收益223萬元。3.2.3期望與決策樹的內(nèi)在關系期望是決策樹模型的基礎。決策樹模型應用到了許多關于期望的知識。在一些簡單的管理估算問題中，可以直利用分布函數(shù)接求得期望值【10】。此類方法說明了一些符合特殊條件的隨機變量函數(shù)（如均勻分布等），我們在求解其最大經(jīng)濟利潤時，可以通過求解其利潤期望與的自變量的二次函數(shù)最大值來解決。這樣可以為經(jīng)濟決策提供良好的科學依據(jù)，并減小了損失，提高了經(jīng)濟利潤。 但是在現(xiàn)實社會中，企業(yè)與公司在企業(yè)管理實踐中，經(jīng)常遇到的情況【11】是：根據(jù)市場的運行情況，可以制定出許多方案。通過分析計算可以了解到許多影響方案收益的因素。一些因素已知，一些因素未知。如果執(zhí)行每個方案后，會出現(xiàn)多種不同結果。各種結果出現(xiàn)的概率往往是不同的，所以決策者在決策時也面臨著一定的風險。這時，期望值成為了決策的標準。 決策樹模型是風險型決策問題的一種直觀的圖示法。其表示法簡單便捷、條理清晰，將決策過程形象化。所以，當決策者面臨著多種方案時，為了有效地控制風險，他們廣泛的采取決策樹法來進行決斷。決策樹的適用范圍【12】：1.在決策樹模型中，存在決策者想要達到的確切目標；2.在模型中至少有三個可行的備用方案；3.存在著至少三種決策者無法預測知曉的自然狀態(tài)(如突發(fā)事故、國家政策調(diào)整等)；4.在不同的自然狀態(tài)下，通過分析計算可以得到各個方案的損益值； 5.在不同的自然狀態(tài)下，決策者可以預測出事件所發(fā)生概率。決策樹方法的優(yōu)點【13】：（1）它構成了一個簡單決策過程，可以使決策人有順序有步驟地進行決策；（2）決策樹模型形象直觀，決策者可以條理清晰的去考慮影響決策的因素；（3）通過決策樹模型，更加易于決策層的領導人集體討論，找到最佳的方案；（4）對于較復雜的決策問題，用決策樹方法比較有效，特別是對多級決策問題來說尤其方便簡捷。決策者決策前后,往往存在許多不能知曉的可變因素,從而所作出的的決策不一定符合客觀實際情況，所以決策是有風險的。只有符合客觀環(huán)境的科學的決策才能使決策者獲得最大的經(jīng)濟利潤，才能盡可能的節(jié)約成本【14】。而基于期望的決策樹模型可以幫助我們可以進行合理的選擇,為我們的科學決策提供良好的依據(jù)，從而最優(yōu)地實現(xiàn)目標【14】。結 語本論文運用概率公式，期望和決策樹法討論了概率統(tǒng)計在利潤最大化和管理預測中的應用【15】。論文運用案例引出了公式法和決策樹法，而且系統(tǒng)的介紹了兩個方法在最大化利潤中的應用。我們可以發(fā)現(xiàn)，利用公式法或決策樹法比計算期望的傳統(tǒng)方法更加簡單有效。特別是決策樹法，將復雜的內(nèi)外部因素簡單化，層次化，從而求出期望值，幫助決策者制定出科學的方案，從而使利潤最大化。參考文獻1 丁迎秀.數(shù)學期望與方差在經(jīng)濟分析中的應用J.數(shù)學教學研究 .2010，092 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.北京:高等教育出版社.20083 袁蔭堂.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.北京.中國人民大學出版社.1997，704 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