量子力學(xué) 第一章 態(tài)矢量.doc

序章 基本背景知識(shí)1.量子力學(xué)的基本要素是：態(tài)(狀態(tài))、演化、可觀測量(力學(xué)量)、觀測行為 （簡單解說：粒子在任一時(shí)刻都具有一個(gè)狀態(tài)，粒子具有的某些可測量的性質(zhì)（位置、動(dòng)量、角動(dòng)量、自旋，etc）稱為可觀測量，而測量粒子的這些性質(zhì)的過程就是觀測行為，俗稱“做實(shí)驗(yàn)”）2.初等量子力學(xué)的任務(wù)是：（1）預(yù)測對(duì)一個(gè)系統(tǒng)（“態(tài)”）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)（“觀測”）得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果（觀測結(jié)果）（2）尋找“態(tài)”隨時(shí)間的演化規(guī)律3.從舊量子論到現(xiàn)代量子力學(xué)：（1）普朗克能量量子化假設(shè)（1900年） （2）愛因斯坦光量子假說（1905年）（3）光的波粒二象性（1909年） （4）玻爾模型（1913年）（5）斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（1922年）（6）德布羅意假設(shè)：物質(zhì)波假說，粒子動(dòng)量（1924年）（7）烏倫貝克-古茲米特自旋假說；泡利不相容原理；海森堡-矩陣力學(xué)（1925年）（8）薛定諤-波動(dòng)力學(xué)（1926年）波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋：是概率密度函數(shù)， （1926年）（9）海森堡不確定性原理；玻爾的互補(bǔ)原理：觀測影響狀態(tài)（1927年）（10）態(tài)疊加原理；量子力學(xué)原理（狄拉克，1930年）4.量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的比較： 量子力學(xué)經(jīng)典力學(xué)研究對(duì)象在t時(shí)刻的位置無法確定只能確定在的出現(xiàn)概率可以確定t時(shí)刻的動(dòng)量和速度無法確定，速度無意義只能確定具有的概率且不可同時(shí)確定位置和動(dòng)量位置、動(dòng)量和速度同時(shí)確定研究對(duì)象的狀態(tài)的描述波函數(shù)(?,t)（復(fù)函數(shù)）或態(tài)矢量（復(fù)矢量）（實(shí)矢量函數(shù)）狀態(tài)的演化方程薛定諤方程（復(fù)系數(shù)方程）牛頓第二定律（實(shí)系數(shù)方程）觀測行為會(huì)影響對(duì)象（只有時(shí)間測量不影響）不會(huì)影響對(duì)象測量精度受不確定性原理限制且“某些”量無法同時(shí)測定可達(dá)到任意高可以同時(shí)測定所有物理量預(yù)測的測量結(jié)果某個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率確定的值實(shí)際的測量結(jié)果確定的值或可能取值的統(tǒng)計(jì)平均確定的值*量子力學(xué)的測量：在量子領(lǐng)域，在實(shí)驗(yàn)中通常事先準(zhǔn)備好大量具有相同狀態(tài)的粒子（這稱為系綜（esemble），同時(shí)測量它們的物理量Q，然后考察統(tǒng)計(jì)平均值。這是由于測量行為會(huì)直接改變粒子的狀態(tài)（所謂的“坍縮”），導(dǎo)致重復(fù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果平均值失去意義（一旦某粒子坍縮到了狀態(tài)A，之后的一切實(shí)驗(yàn)結(jié)果也都只會(huì)是A）關(guān)于力學(xué)量測量結(jié)果的詳細(xì)討論，見第三章*不確定性原理：位置和動(dòng)量無法同時(shí)確定，嚴(yán)格來說是指其之一的測量標(biāo)準(zhǔn)差可以任意地大以至于無法確定真實(shí)結(jié)果，這是不確定性原理的結(jié)果，詳見第二章第7節(jié)第一章 態(tài)矢量和態(tài)空間本章提要：本章討論量子力學(xué)的研究對(duì)象態(tài)矢量和態(tài)空間。沿著三維實(shí)空間復(fù)空間內(nèi)積空間&函數(shù)空間無窮維空間的路線，將三維線性空間中的向量展開、矩陣形式、坐標(biāo)、基、內(nèi)積、長度、正交性等概念推廣到高維向量空間及函數(shù)空間，最后再到無窮維空間。然后介紹態(tài)矢量的相關(guān)性質(zhì)。在這過程中，引入了簡潔的狄拉克符號(hào)重新表示這些概念。最后給出量子力學(xué)第一條公設(shè)作為總結(jié)。1.態(tài)矢量：狄拉克指出粒子的量子態(tài)滿足疊加原理。在經(jīng)典物理學(xué)，用向量來描述符合疊加原理的物理量（如電場強(qiáng)度、力）是慣用的做法。疊加原理適用于任何線性空間，于是，考慮在向量空間（又稱線性空間）中處理量子力學(xué)。簡單來說，用一個(gè)稱為態(tài)矢量的矢量來描述粒子的狀態(tài)，一般記作?？紤]到波函數(shù)是復(fù)變函數(shù)，它應(yīng)該是一個(gè)復(fù)矢量。在介紹量子力學(xué)使用的數(shù)學(xué)空間（希爾伯特空間）前，先來回顧線性代數(shù)的基本理論：實(shí)線性空間的定義：見同濟(jì)高數(shù)第六章第一節(jié)復(fù)線性空間的定義：在上述定義基礎(chǔ)上，把條件 ,R 改寫成 ,C（復(fù)數(shù)域）2.三維實(shí)線性空間：三維實(shí)向量全體構(gòu)成三維實(shí)線性空間R3，為我們所熟知的空間向量的展開：一個(gè)向量可以被表示為，其中稱為基（向量），稱為向量在基下的坐標(biāo)。需要指出這樣的分解是唯一的。向量的矩陣表示：一個(gè)向量還可以被表示為一個(gè)列矩陣， 注意矩陣表示中不出現(xiàn)基向量基：空間里的一組向量構(gòu)成基向量組的條件是（1）這組向量線性無關(guān)（2）任一向量在這組基下的坐標(biāo)是唯一的維數(shù)：空間的維數(shù)是最大基向量組中向量的個(gè)數(shù)點(diǎn)積：又稱數(shù)量積，兩個(gè)向量的點(diǎn)積被定義為，它也有矩陣形式；點(diǎn)積（內(nèi)積）具有的性質(zhì)是（同濟(jì)線代第五版P111）向量的長度：定義為模長。特別地，若，稱其為單位向量垂直：時(shí)稱兩個(gè)向量垂直。至此可對(duì)直角坐標(biāo)系的常用基下精確定義：如果基向量組內(nèi)任意兩向量滿足，就稱為這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基，比如3.三維復(fù)線性空間：在R3基礎(chǔ)上，在標(biāo)量乘向量的規(guī)則中允許標(biāo)量為復(fù)數(shù)，這時(shí)向量也就成為復(fù)向量（坐標(biāo)是復(fù)數(shù)的矢量），這樣就得到三維復(fù)線性空間 C3。這時(shí)，要注意引入復(fù)共軛帶來的變化4.復(fù)線性空間：現(xiàn)在考慮n維復(fù)線性空間Cn，把這空間里的一個(gè)矢量記作|，稱為右矢主要性質(zhì)：在此列舉幾條重要性質(zhì)（）（1） （2）（3）（4） （5）（6）展開：， 稱為基，稱為坐標(biāo) 矩陣表示：5.內(nèi)積空間：現(xiàn)在我們?cè)贑n里定義內(nèi)積，它可看作Cn中兩個(gè)復(fù)向量和的“點(diǎn)積”內(nèi)積定義：定義運(yùn)算，若運(yùn)算滿足下列四條性質(zhì)就稱為內(nèi)積（1） （2）（3）且（4）范數(shù)：仿照R3中向量長度的定義，定義（廣義的）長度 稱為范數(shù)(norm)，若就稱為單位向量/標(biāo)準(zhǔn)化向量(normalized vector)正交性：仿照R3中向量垂直關(guān)系的定義，定義（廣義的）垂直，稱為正交 至此可定義兩矢量標(biāo)準(zhǔn)正交（orthonormal）的條件：向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下展開：我們?cè)诟咧芯椭老蛄坑脴?biāo)準(zhǔn)正交基展開是非常簡便的，從這一節(jié)開始往后，凡是涉及到向量展開，都只討論在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的展開對(duì)偶空間：之前提到復(fù)空間中引入了復(fù)共軛操作，現(xiàn)在就來討論它。對(duì)復(fù)數(shù)取共軛得到共軛復(fù)數(shù)，那么對(duì)復(fù)矢量取共軛應(yīng)該也得到共軛向量?？梢宰C明，完備內(nèi)積空間Hn內(nèi)的每個(gè)右矢的共軛向量構(gòu)成一個(gè)H* n，這空間稱為對(duì)偶空間，且對(duì)偶空間與原空間同構(gòu)（即兩空間的向量一一對(duì)應(yīng)）左矢：不妨稱右矢的復(fù)共軛為左矢。但是，若我們?cè)侔延沂傅木仃嚤硎究紤]進(jìn)來，知道右矢可表示為一n列矩陣，內(nèi)積是一個(gè)數(shù)，則左矢應(yīng)該要表示為一n行矩陣。綜合轉(zhuǎn)置和共軛的要求，重新定義：左矢為右矢的共軛轉(zhuǎn)置，記作 左矢和右矢的理論綜述：（1）左矢和右矢的關(guān)系：左矢為右矢的共軛轉(zhuǎn)置，記作 （2）左右矢的展開：，（3）左右矢和范數(shù)的矩陣表示：， 則（4）內(nèi)積的矩陣表示：，當(dāng)（5）向量在標(biāo)準(zhǔn)基下的坐標(biāo)：，；，（6）兩個(gè)常用投影形式：，6.函數(shù)空間：波函數(shù)是復(fù)變函數(shù)，且根據(jù)玻恩的統(tǒng)計(jì)詮釋，它還是（模）平方可積的。我們先不詳細(xì)研究波函數(shù)，考察所有平方可積函數(shù)（它們顯然滿足加法和標(biāo)量乘規(guī)則）構(gòu)成的復(fù)線性空間（暫不討論定義域），并試圖按內(nèi)積的四條性質(zhì)給函數(shù)定義“函數(shù)的內(nèi)積”（你可以把函數(shù)理解為：在第（比如2.3）個(gè)基方向上坐標(biāo)恰為 分量式中指標(biāo)可取一切正實(shí)數(shù) 的無窮維向量，雖然這說法不嚴(yán)密，但它能幫助你更快理解后幾章的內(nèi)容）函數(shù)的內(nèi)積：仿照向量的內(nèi)積，不妨定義函數(shù)內(nèi)積為這樣就要求范數(shù)平方可積，從而去掉了所有平方不可積的函數(shù)函數(shù)的正交性：稱兩函數(shù)正交，這概念已經(jīng)與“垂直”無關(guān)函數(shù)的歸一化：稱函數(shù)可歸一化 于是一族正交歸一的函數(shù)定義如下：函數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)正交基下展開：7.無窮維希爾伯特空間：定義在復(fù)數(shù)域上的、完備的、無窮維內(nèi)積空間 H，就是量子力學(xué)所要求的空間，又稱態(tài)空間。態(tài)矢量的基本概念：（1）定義：態(tài)矢量是態(tài)空間中的矢量，描述粒子的一個(gè)狀態(tài)（量子態(tài)）（2）狄拉克符號(hào)：把稱為右矢(ket)，稱為左矢(bra)，合起來就是，表示內(nèi)積 左右矢關(guān)系：，物理上稱兩量子態(tài)共軛（3）范數(shù)：規(guī)定，這是因?yàn)椋ㄒ姷谌碌谌?jié)）（4）相位：規(guī)定和描述粒子的同一個(gè)狀態(tài)，由范數(shù)要求知z=ei，但相位無影響（5）態(tài)矢量的展開：這個(gè)問題涉及到表象的相關(guān)理論，將在第三章討論第一公設(shè)量子態(tài)公設(shè)：量子系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)（量子態(tài)）可以由無限維希爾伯特空間中一個(gè)范數(shù)為1的態(tài)矢量來描述，這態(tài)矢量完整地給出系統(tǒng)的所有信息，并且遵守態(tài)疊加原理8.（附錄）完備性：從內(nèi)積空間到我們的目標(biāo)，希爾伯特空間，它們之間只相隔一個(gè)完備性?，F(xiàn)在就從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來討論什么是完備性。（1）向量集的完備性：若一組標(biāo)準(zhǔn)正交矢量并不包含在一個(gè)比它更大的標(biāo)準(zhǔn)正交矢量集合中，就稱這標(biāo)準(zhǔn)正交矢量集是完備的，簡稱完備基。換而言之，在有限維向量空間中，若標(biāo)準(zhǔn)正交矢量集的元素?cái)?shù)=空間維數(shù)，就一定是完備的性質(zhì)：向量空間中的任意向量都可用同一組完備基展開（或“一組完備基生成這個(gè)空間”） 對(duì)一個(gè)空間來說，完備基的選擇不是唯一的示例：在R3中，是標(biāo)準(zhǔn)正交矢量集但不完備（包含于，無法展開帶z分量的向量），才是一個(gè)完備基，也是完備基（2）內(nèi)積空間的完備性：數(shù)學(xué)上對(duì)空間完備性的定義是空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內(nèi)。有限維內(nèi)積空間都是完備的（證明見泛函分析）；數(shù)學(xué)上把一切完備內(nèi)積空間統(tǒng)稱為希爾伯特空間，記作H。無窮維內(nèi)積空間中，只有希爾伯特空間是完備的（3）函數(shù)系的完備性：函數(shù)空間中有一標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系，若對(duì)任何連續(xù)函數(shù)，都有，就稱是完備的，簡稱完備基。性質(zhì)：任意連續(xù)函數(shù)都可用同一完備基展開，即（條件為）對(duì)一個(gè)