小船過河問題教案及兩種問題解答

廊坊明遠(yuǎn)培訓(xùn)學(xué)校課件小船過河問題【模型解析】兩種情況：船速大于水速；船速小于水速。兩種極值：渡河最小位移；渡河最短時(shí)間。例1 一條寬度為L的河，水流速度為，已知船在靜水中速度為，那么：（1）怎樣渡河時(shí)間最短？（2）若，怎樣渡河位移最小？（3）若，怎樣渡河船漂下的距離最短？解析：（1）小船過河問題，可以把小船的渡河運(yùn)動(dòng)分解為它同時(shí)參與的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，一是小船運(yùn)動(dòng)，一是水流的運(yùn)動(dòng)，船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)。如圖1所示。設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意角。這時(shí)船速在垂直于河岸方向的速度分量為，渡河所需要的時(shí)間為，可以看出：L、v船一定時(shí)，t隨sin增大而減?。划?dāng)時(shí)，（最大）。所以，船頭與河岸垂直。圖1（2）如圖2所示，渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。這時(shí)船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度，所以有，即。圖2因?yàn)?，所以只有在時(shí)，船才有可能垂直河岸渡河。（3）若，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖3所示，設(shè)船頭v船與河岸成角。合速度v與河岸成角。可以看出：角越大，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下角最大呢？以v水的矢尖為圓心，v船為半徑畫圓，當(dāng)v與圓相切時(shí)，角最大，根據(jù)圖3船頭與河岸的夾角應(yīng)為，船沿河漂下的最短距離為：此時(shí)渡河的最短位移：【模型演練】1.（2005祁東聯(lián)考）小河寬為d，河水中各點(diǎn)水流速度大小與各點(diǎn)到較近河岸邊的距離成正比，x是各點(diǎn)到近岸的距離，小船船頭垂直河岸渡河，小船劃水速度為，則下列說法中正確的是（ ）A. 小船渡河的軌跡為曲線B. 小船到達(dá)離河岸處，船渡河的速度為C. 小船渡河時(shí)的軌跡為直線D. 小船到達(dá)離河岸處，船的渡河速度為答案：A2(湖南長沙一中0910學(xué)年高一下學(xué)期期中)一人游泳渡河，以垂直河岸不變的劃速向?qū)Π队稳?，河水流?dòng)速度恒定下列說法中正確的是()A河水流動(dòng)速度對(duì)人渡河無任何影響B(tài)人垂直對(duì)岸劃水，其渡河位移是最短的C由于河水流動(dòng)的影響，人到達(dá)對(duì)岸的時(shí)間與靜水中不同D由于河水流動(dòng)的影響，人到達(dá)對(duì)岸的位置向下游方向偏移答案：D3(河北正定中學(xué)0809學(xué)年高一下學(xué)期月考)某河水的流速與離河岸距離的變化關(guān)系如圖所示河寬300，船在靜水中的速度與時(shí)間的關(guān)系如圖乙所示若要使船以最短時(shí)間渡河，則()A船渡河的最短時(shí)間是75sB船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直C船在河水中航行的軌跡是一條直線D船在河水中的最大速度是5m/s答案：BD4.在抗洪搶險(xiǎn)中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊最近處O的距離為d，如戰(zhàn)士想在最短時(shí)間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為( C ) A B0 C D解析：摩托艇要想在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)對(duì)岸，其劃行方向要垂直于江岸，摩托艇實(shí)際的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于水的劃行運(yùn)動(dòng)和隨水流的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，垂直于江岸方向的運(yùn)動(dòng)速度為v2，到達(dá)江岸所用時(shí)間t=；沿江岸方向的運(yùn)動(dòng)速度是水速v1在相同的時(shí)間內(nèi)，被水沖下的距離，即為登陸點(diǎn)距離0點(diǎn)距離。答案：C5.某人橫渡一河流，船劃行速度和水流動(dòng)速度一定，此人過河最短時(shí)間為了T1；若此船用最短的位移過河，則需時(shí)間為T2，若船速大于水速，則船速與水速之比為（ ） (A) (B) (C) (D) 解析：設(shè)船速為 ，水速為 ，河寬為d ，則由題意可知 ： 當(dāng)此人用最短位移過河時(shí)，即合速度方向應(yīng)垂直于河岸，如圖所示，則聯(lián)立式可得： ，進(jìn)一步得 6有一小船欲從A處渡河，如圖所示，已知河寬為400m，其下游300m處是暗礁淺灘的危險(xiǎn)水域，水流速度恒為5m/s，欲使小船能安全到達(dá)對(duì)岸，求：船相對(duì)靜水的最小速度應(yīng)是多少？此時(shí)船頭的指向與河岸的夾角又是多大？答案：4m/s37解析：小船要想在到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)域之前恰好到達(dá)對(duì)岸，則其合位移必為OA，如圖所示，設(shè)水速為v1，小船速度為v2，由平行四邊形和幾何知識(shí)知v2v時(shí)v2有最小值，方向如圖所示，由圖知v2v1cos，cos08，即37v14m/s.7.河寬d60m，水流速度v16ms，小船在靜水中的速度v2=3ms，問：(1)要使它渡河的時(shí)間最短，則小船應(yīng)如何渡河?最短時(shí)間是多少?(2)要使它渡河的航程最短，則小船應(yīng)如何渡河?最短的航程是多少?解析：