第一輪復(fù)習(xí)自己整理絕對經(jīng)典2016立體幾何文科--第一輪

立體幾何題型總結(jié)（2015版文科）重要定理：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因?yàn)閯t.一：夾角問題 異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次. 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是異面直線所成角：范圍：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線構(gòu)成三角形；解三角形求出角。(常用到余弦定理)（2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系； (3)向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角 (計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角)直線與平面所成的角0，90 斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；向量法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有的求法二面角的平面角，0180（1）定義法：在棱l上取一點(diǎn)P，兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角為二面角l的平面角。（2）三垂線法：（三垂線定理法：A作或證AB于B，作BO棱于O，連AO，則AO棱l，AOB為所求。）向量法：設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量，的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角為，則二、空間距離問題兩異面直線間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖，m和n為兩條異面直線，且，則異面直m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面之間的距離。方法二：高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算,直接計(jì)算公垂線段的長度。點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解；向量法：點(diǎn)到直線距離：在直線上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到平面的距離方法一：幾何法。步驟1：過點(diǎn)P作PO于O，線段PO即為所求。步驟2：計(jì)算線段PO的長度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法)等體積法步驟：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；由V=Sh，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離.方法二：坐標(biāo)法。線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距三、平行與垂直問題證明直線與平面的平行：（1）轉(zhuǎn)化為線線平行；（2）轉(zhuǎn)化為面面平行.證明平面與平面平行：（1）轉(zhuǎn)化為線面平行；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.證明線線垂直：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；方法（2）：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。 方法（3）：三垂線定理及其逆定理。證明線面垂直：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（3）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（4）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.方法（1）：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。 方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。 面面垂直： 方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：計(jì)算所成二面角為直角。題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、旋轉(zhuǎn)體、斜二測法了解柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡單空間幾何體的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖。能用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間幾何體的三視圖與直觀圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會畫某建筑物的視圖與直觀圖。例1.將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）EFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEABEBBECBED俯視圖例2.由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個(gè)數(shù)是 正視圖 左視圖例3.已知一個(gè)正四面體，其三視圖均為邊長為2的正方形，則這個(gè)正四面體的外接球的體積為 例10：如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積為( )ABC D 主視圖 左視圖 俯視圖例5：四棱錐的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖，則四棱錐的表面積為( ) A. B. C. D. 例6：三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點(diǎn)，且滿足AP=C1Q，則四棱錐BAPQC的體積是_例7：如圖，斜三棱柱ABC中，底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長為 b，側(cè)棱AA與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求此三棱柱的側(cè)面積和體積例8：如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位：cm），可知幾何體的體積是_ 22主視圖22側(cè)視圖211俯視圖真題：【2015高考新課標(biāo)1，文6】九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有（ ）A斛 B.斛 C.斛 D.斛【2015高考浙江，文2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是（ ）A B C D【2015高考浙江，文7】如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ）A直線 B拋物線 C橢圓 D雙曲線的一支【2015高考新課標(biāo)1，文11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則( ) （A） （B）（C） （D）【2015高考陜西，文5】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A B C D【2015高考福建，文9】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（ ）A B C D【2015高考湖南，文10】某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）（ ）A、 B、 C、 D、 【2015高考天津，文10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位:m）,則該幾何體的體積為 .【2015高考四川，文14】在三棱住ABCA1B1C1中，BAC90，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點(diǎn)，則三棱錐PA1MN的體積是_.斜二測法：例9：一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為，腰和上底邊均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是（ ） A B C D 例10：對于一個(gè)底邊在軸上的三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，其直觀圖面積是原三角形面積的（ ）A 倍 B倍 C倍 D倍例11：如圖，已知四邊形ABCD的直觀圖是直角梯形A1B1C1D1，且A1B1B1C12A1D12，則四邊形ABCD的面積為( )A3 B3 C6 D6例12：用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來圖形的形狀是（）旋轉(zhuǎn)體：例13：下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是（ ） A B C D例14：如圖，在四邊形中，求四邊形繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.真題：【2015高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )（A） （B） （C）2 （D）4 題型二：定義考察類題型 例15：已知直線、,平面，則下列命題中假命題是( )A若，,則 B若，,則C若，,則 D若，,則例16：給定下列四個(gè)命題：若一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這條直線的平面與這個(gè)面相較，則這線平行于交線若一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線若兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行若兩個(gè)平面垂直，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩直線垂直其中，為真命題的是( ) A和 B和 C和 D和例17：已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（ ）A若，m,則mBC D例18：已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，有下列命題： 若，則； 若，則； 若，則； 若，則； 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)例19：如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A、ACSB B、AB平面SCDC、SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D、AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角例20：已知為不同的平面，A、B、M、N為不同的點(diǎn)，為直線，下列推理錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.且A、B、M不共線重合 真題：【2015高考浙江，文4】設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，且，（ ）A若，則 B若，則C若，則 D若，則【2015高考廣東，文6】若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（ ）A至少與，中的一條相交 B與，都相交C至多與，中的一條相交 D與，都不相交【2015高考湖北，文5】表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則（ ）Ap是q的充分條件，但不是q的必要條件 Bp是q的必要條件，但不是q的充分條件Cp是q的充分必要條件 Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件題型三：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)證明平行的方法：線線平行：相似，全等；平行線判斷定理（內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)等），（高中階段一般不考，只作為轉(zhuǎn)化的一個(gè)橋梁）。線面平行：（1）根據(jù)定理證明（）；（2）通過面面平行的性質(zhì)定理（）FABCPDE面面平行：（1）平面中分別有兩條相交線與平面的兩條相交線平行 （2）平面的法向量與平面的法向量平行例21：如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)面，且，若、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面 平面.例22：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn)，求證：MN平面A1BD.BCAA1B1C1DE例23：如圖，直棱柱中，D，E分別是AB，的中點(diǎn)，=AC=CB=AB。（）證明：/（）求A到面ACD的距離例24：如圖所示，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，ABC=, OA底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)（）證明：直線MN平面OCD；（）求異面直線AB與MD所成角的大??； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。例25：如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對角線，上，且，求證：平面例26：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP平面A1BD.例27：已知四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為平行四邊形. 點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求證：平面MNQ平面PBC. NMPDCQBA題型四：線與面、面與面的垂直的證明方法三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條直線垂直。三垂線逆定理：如果：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線垂直，則它也和這條直線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直。例28：直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是A1C的中點(diǎn)，且交AC于D， DEA1CBAC1B1（I）證明：平面；（II）證明：平面例29：如圖所示，已知四棱錐的底面是菱形；平面,，點(diǎn)為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求證面FGEDCABA1B1D1C1例30：如圖，在棱長為的正方體中，分別是 的中點(diǎn)。（1）求證：平面平面；（2）求證：平面ABCC1B1A1D例31：如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求證：平面；例32：如圖所示，四棱錐PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)。(1)求證：BM平面PAD； (2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN平面PBD；(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。例33：在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，,分別為、的中點(diǎn)，且 （）求證：平面; （）求三棱錐例34：如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。（1）求證：（2）求證：平面平面例35：如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對角線BD把ABD折起，使A移到點(diǎn)，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上（）求證：；（）求證：平面平面；（）求三棱錐的體積 真題：【2015高考山東，文18】 如圖，三棱臺中，分別為的中點(diǎn).（I）求證：平面；（II）若求證：平面平面. 題型五：空間中的夾角知識點(diǎn)：夾角的分類：線線夾角、線面夾角、面面夾角三者在計(jì)算或證明時(shí)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：面面 線面 線線計(jì)算三種夾角的方法：勾股定理、向量、坐標(biāo)等，對于夾角問題我們一般分為三個(gè)步驟：找角，證明所找的角，計(jì)算所找角的大?。ㄇ杏洸豢烧页鰜碇蟛蛔C明就開始計(jì)算）異面直線的夾角問題：例36：在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，與底面成30（1）若為垂足，求證：；（2）在（1）的條件下，求異面直線AE與CD所成角的正切值；例37：如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)（1）求證：MN/平面PAD；（2）若，求異面直線PA與MN所成的角的大小例38：如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn)，求異面直線NE與AM所成角的余弦值例39：如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小是_。例40：已知正四面體中，各邊長均為，如圖所示，分別為的中點(diǎn)，連接，求異面直線所成角的余弦值。例41：已知S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)求異面直線SM與BN所成的角的余弦值BMANCS例42：已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例43：如圖,在正方體中，分別是的中點(diǎn)。（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面平面 （2）求異面直線與所成的角來源:Z+xx+k.Com例44：如圖，四面體ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC6，BD8，E是AD中點(diǎn)，求BE與CD所成角的余弦值。 線面夾角（了解）：例45：如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=AD=2，E是PC上的一點(diǎn)， 設(shè)二面角A-PB-C為90，求PD與平面PBC所成角的大小。 例46：如圖，直三棱柱中，,D、E分別是，的中點(diǎn),平面.（1）證明：AB=AC（2）設(shè)二面角A-BD-C為，求與平面BCD所成的角的大小 真題：【2015高考浙江，文18】如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).（1）證明：； （2）求直線和平面所成的角的正弦值.【2014高考，文18】如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點(diǎn)，。（）證明：平面；（）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小?！?015高考湖南，文18】（本小題滿分12分）如圖4，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)。（I）證明：平面平面；（II）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積。題型六：距離問題：點(diǎn)線距離（定義法、等體積法、向量法、空間坐標(biāo)法）；線面距離；面面距離。例47：已知正四棱柱的地面邊長為1，則棱場為2，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面BDE的距離。例48：已知正四棱柱中 ，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為（ ） A. B. C. D.例49：在中,AB=15，若所在平面外一點(diǎn)P到A、B、C的距離都是14，則P到的距離是（ ） A.13 B.11 C.9 D.7例50：如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大?。?（）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。例51：為平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分別為A，B，AA3，BB2.若二面角的大小為，求，點(diǎn)B到平面的距離為_ 例52：P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，P到B，C，D三點(diǎn)的距離分別是，則P到A點(diǎn)的距離是（ ） A.1 B.2 C. D.4例53：如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大?。唬ǎ┣簏c(diǎn)B到平面OCD的距離例54：如圖,直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB/CD,ADAB,AB=2,AD=,AA1=3,E為CD上一點(diǎn),DE=1,EC=3(1)證明:BE平面BB1C1C;(2)求點(diǎn)B1 到平面EA1C1 的距離例55：如圖，已知多面體ABCDEFG中，AB、AC、AD兩兩互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1。（1）試判斷CF是否與平面ABED平行？并說明理由；（2）求多面體ABCDEFG的體積。例56：如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：平面BCD；（II）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。例57：如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求證：PCBC；(2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離。題型七：求體積問題例58：如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形。（）證明直線；（）求棱錐的體積.例59：如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)()證明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.CBADC1A1真題：【2015高考北京，文18】（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，分別為，的中點(diǎn)（I）求證：平面；（II）求證：平面平面；（III）求三棱錐的體積【2015高考新課標(biāo)1，文18】（本小題滿分12分）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，（I）證明：平面平面；（II）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.【2015高考重慶，文20】如題（20）圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點(diǎn)D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF/BC.()證明：AB平面PFE. ()若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長.題型八：翻折與展開問題及探索問題PEDFBCA例60：如圖所示，等腰的底邊，高，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)的動點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積（1）求的表達(dá)式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值例61：在直角梯形中（圖中數(shù)字表示線段的長度），將直角梯形沿折起，使平面平面，連結(jié)部分線段后圍成一個(gè)空間幾何體， （）求證：平面；（）求三棱錐的體積例62：正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連接AE、EF、AF.以AE、EF、FA為折痕，折疊這個(gè)正方形，使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P，得到一個(gè)四面體，如圖(2)所示(1)求證：APEF；(2)求證：平面APE平面APF.例63：如圖4,在邊長為1的等邊三角形中,分別是邊上的點(diǎn),是的中點(diǎn),與交于點(diǎn),將沿折起,得到如圖5所示的三棱錐,其中.(1) 證明:/平面; (2) 證明:平面;(3) 當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積. 圖甲圖乙例68：如圖甲，在直角梯形中，是的中點(diǎn). 現(xiàn) 沿把平面折起，使得（如圖乙所示），、分別為、邊的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）試探究在上是否存在一點(diǎn)，使得平面,并說明理由. 真題：【2015高考陜西，文18】如圖1，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐.(I)證明：平面；(II)當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積為，求的值.【2014高考，文19】如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED/AF且DAF=90。（1） 求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）線段EF上是否存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由?！?015高考安徽，文19】如圖，三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，.（）求三棱錐P-ABC的體積；（）證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得ACBM，并求的值.【2015高考福建，文20】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且（）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；（）求三棱錐體積的最大值；（）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值BROArORrAd題型九：球類問題專項(xiàng)練習(xí)(1)球的截面(圓)的性質(zhì):經(jīng)度緯線緯度經(jīng)線O地軸P球心O與圓心的連線O與圓面垂直球心與圓面的距離(2)球面上兩點(diǎn)A,B的球面距離定義:經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的大圓的劣弧長求法:利用大圓O與小圓的公共弦AB,注意劣弧AB所對的圓心角是角AOB而不是角AB(3)經(jīng)度與緯度緯度:某點(diǎn)P的緯度就是指經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑與經(jīng)過這點(diǎn)的緯度圈所在的平面的夾角經(jīng)度:某點(diǎn)P的經(jīng)度就是指經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與0經(jīng)線與地軸確定的半平面所在的二面角的大小.(4)球內(nèi)接長方體的性質(zhì): 長方體的中心就是球心, 長方體的對角線長就是球的直徑(5)正四面體的內(nèi)切球與外接球的性質(zhì):它們是同心球,球心在正四體的高線上,內(nèi)切球與外接球的半徑的和等于正四面體的高,求解時(shí)可利用等體積法.(6)球體積,球的表面積,弧長公式一：外接球的有關(guān)問題棱錐的內(nèi)切、外接球問題例69：正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？ 例70：設(shè)棱錐的底面是正方形，且，如果的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.例71：一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3，則此球的表面積為_例72：已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（ ）A. B. C. D. 例73：一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為_例74：正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為_.例75：表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為 A B C D二：球類的截面問題例76：球面上有三點(diǎn)、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積例77：過球表面上一點(diǎn)引三條長度相等的弦、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度例78：已知球的面上四點(diǎn)A、B、C、D，則球的體積等于_.例79：已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，若，則球的體積是_.例80：球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為，求這個(gè)球的半徑例81：一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 例82：直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 例83：正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為 例84：用兩個(gè)平行平面去截半徑為的球面，兩個(gè)截面圓的半徑為，兩截面間的距離為，求球的表面積三：球面距離例85： 過球面上兩點(diǎn)作球的大圓，可能的個(gè)數(shù)是（）A有且只有一個(gè) B一個(gè)或無窮多個(gè) C無數(shù)個(gè) D以上均不正確例86：已知、是半徑為的球的球面上兩點(diǎn)，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？例87：在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和求球的表面積例88：如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，A、B是圓上兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)間的球面距離為，則= 例89：在半徑為3的球面上有三點(diǎn)，球心到平面的距離是，則兩點(diǎn)的球面距離是（ ）A. B. C. D. 四：其它問題例90：在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）A. B. C. D.例91：一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切問將球從圓錐