第2章(軸向拉伸與壓縮)

材料力學(xué) MechanicsofMaterials 中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力學(xué)系 DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity 第二章拉伸 壓縮與剪切 2 1概述 軸向拉伸或壓縮受力特點 軸向拉伸或壓縮變形特點 桿件受到的外力或其合力的作用線沿桿件軸線 桿件沿軸線方向發(fā)生伸長或縮短 2 2拉壓桿的內(nèi)力 一 軸力 拉力為正 方向背離桿件截面 壓力為負 方向指向桿件截面 軸力正負規(guī)定 二 軸力圖 表示軸力沿軸線方向變化情況的圖形 橫坐標表示橫截面的位置 縱坐標表示軸力的大小和方向 例 一等直桿受力情況如圖所示 試作桿的軸力圖 解 求約束力 解得 截面法計算各段軸力 AB段 BC段 解得 解得 CD段 DE段 解得 解得 繪制軸力圖 2 3拉壓桿的應(yīng)力 一 拉壓桿橫截面上的應(yīng)力 縱向線伸長相等 橫向線保持與縱線垂直 平面假設(shè) 變形前原為平面的橫截面 變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線 兩橫截面間所有縱向纖維變形相同 則受力相同 說明內(nèi)力均布 且橫截面上各點只有相同的正應(yīng)力而無切應(yīng)力 材料的均勻連續(xù)性假設(shè) 可知所有縱向纖維的力學(xué)性能相同 軸向拉壓時 橫截面上只有正應(yīng)力 且均勻分布 橫截面上有正應(yīng)力無切應(yīng)力 二 拉壓桿斜截面上的應(yīng)力 斜截面上總應(yīng)力 斜截面正應(yīng)力 斜截面切應(yīng)力 斜截面正應(yīng)力 斜截面切應(yīng)力 0 橫截面上的正應(yīng)力 橫截面外法線轉(zhuǎn)到斜截面外法線所轉(zhuǎn)的角度 逆時針轉(zhuǎn)為正 反之為負 正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正 壓應(yīng)力為負 切應(yīng)力以對研究對象內(nèi)任意點產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)的矩為正 逆時針轉(zhuǎn)的矩為負 鑄鐵拉伸的斷裂面為橫截面 低碳鋼由于抗剪能力比抗拉能力差 拉伸過程中出現(xiàn)45o滑移線 1 特殊截面應(yīng)力的特點 2 兩個互相垂直截面的切應(yīng)力關(guān)系 切應(yīng)力互等定律 過受力物體任一點取互相垂直的兩個截面上的切應(yīng)力等值反向 例 圖所示軸向受壓等截面桿件 橫截面面積A 400mm2 載荷F 50kN 試求橫截面及斜截面m m上的應(yīng)力 解 由題可得 斜截面上的正應(yīng)力 斜截面上的切應(yīng)力 橫截面上的正應(yīng)力 2 4材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能 一 材料的力學(xué)性能概述 1 材料的力學(xué)性能 材料從受力開始到破壞過程中所表現(xiàn)出的在變形和破壞等方面的特性 2 試驗試件 拉伸試件壓縮試件 拉伸試驗試件 壓縮試件 圓形截面試件 矩形截面試件 圓形截面試件 方形截面試件 拉伸試件 壓縮試驗試件 3 受力與變形曲線 曲線 曲線 消除試件尺寸的影響 二 低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能 1 彈性階段 彈性變形 胡克定律 載荷卸除后能完全恢復(fù)的變形 當時 與成正比關(guān)系 與不成正比關(guān)系 比例極限 彈性極限 2 屈服階段 屈服 流動 現(xiàn)象 塑性變形 試件表面磨光 屈服階段試件表面出現(xiàn)45o的滑移線 應(yīng)力基本不變 應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象 載荷卸除后不能恢復(fù)的變形 屈服極限 3 強化階段 強化 經(jīng)過屈服階段后 材料恢復(fù)抵抗變形的能力 應(yīng)力增大應(yīng)變增大 強度極限 頸縮現(xiàn)象 過強化階段最高點后 試件某一局部范圍內(nèi)橫向尺寸急劇縮小 試件斷口呈杯口顆粒狀 4 頸縮階段 5 材料的塑性指標 延伸率 截面收縮率 延伸率和截面收縮率越大表明材料的塑性越好 一般認為為塑性材料 為脆性材料 6 卸載定律及冷作硬化 卸載定律 冷作硬化 在卸載過程中 應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化 材料塑性變形后卸載 重新加載 材料的比例極限提高 塑性變形和伸長率降低的現(xiàn)象 三 其他塑性材料拉伸時的力學(xué)性能 名義屈服極限 對于沒有明顯屈服點的塑性材料 將產(chǎn)生0 2 0 002 塑性應(yīng)變時的應(yīng)力作為屈服點 名義屈服極限 四 脆性材料拉伸時的力學(xué)性能 1 從加載至拉斷 變形很小 幾乎無塑性變形 斷口為試件橫截面 呈顆粒狀 面積變化不大 為脆性斷裂 以強度極限作為材料的強度指標 2 鑄鐵的拉伸應(yīng)力 應(yīng)變曲線是微彎曲線 無直線階段 一般取曲線的割線代替曲線的開始部分 以割線的斜率作為材料的彈性模量 五 材料在壓縮時的力學(xué)性能 1 低碳鋼在壓縮時的力學(xué)性能 在屈服階段以前 壓縮曲線與拉伸曲線基本重合 進入強化階段后試件壓縮時應(yīng)力的增長率隨應(yīng)變的增加而越來越大 不存在抗壓強度極限 2 鑄鐵在壓縮時的力學(xué)性能 鑄鐵的壓縮曲線與拉伸曲線相似 線性關(guān)系不明顯 但是抗壓強度比抗拉強度高4 5倍 鑄鐵試件壓縮破壞時 斷面的法線與軸線大致成45o 60o的傾角 呈片狀 2 5拉壓桿的強度條件 一 許用應(yīng)力及安全因素 1 失效 構(gòu)件不能安全正常工作 2 極限應(yīng)力 構(gòu)件失效前所能承受的最大應(yīng)力 塑性材料 脆性材料 3 許用應(yīng)力 對于一定材料制成的構(gòu)件 其工作應(yīng)力的最大容許值 構(gòu)件失效的原因 強度不足剛度不足穩(wěn)定性不足工作環(huán)境 加載方式不當?shù)?n為構(gòu)件的安全因素 塑性材料 脆性材料 二 拉壓桿的強度條件 許用應(yīng)力 截面面積 截面上的軸力 強度校核 截面設(shè)計 許用載荷確定 例 圖示變截面由兩種材料制成 AE段為銅質(zhì) EC段為鋼質(zhì) 鋼的許用應(yīng)力 1 160MPa 銅的許用應(yīng)力 2 120MPa AB段橫截面面積1000mm2 AB段橫截面面積是BC段的兩倍 外力F 60kN 作用線沿桿方向 試對此桿進行強度校核 解 求桿的軸力 作軸力圖 AD段 DB段 解得 解得 強度校核 所以桿件強度滿足要求 確定危險截面 經(jīng)分析危險截面在BC和AD段 BC段 解得 例 圖示吊環(huán)由斜桿AB AC與橫梁BC組成 已知 20o 吊環(huán)承受的最大吊重為F 500kN 許用應(yīng)力 120MPa 試求斜桿的直徑 解 以節(jié)點A為研究對象 受力圖及坐標系如圖所示 建立平衡方程 解得 例 圖示桁架 已知兩桿的橫截面面積均為A 100mm2 許用拉應(yīng)力 t 200MPa 許用壓應(yīng)力 c 150MPa 試求載荷的最大許用值 解 求1 2桿的軸力 以節(jié)點B為研究對象 受力圖和坐標系如圖 建立平衡方程 解得 拉 壓 確定載荷的最大許用值 1桿強度條件 2桿強度條件 所以載荷F的最大許用值為14 14kN 拉 壓 2 6拉壓桿的變形 一 拉壓桿的軸向變形與胡克定律 1 軸向 縱向 變形 2 胡克定律 軸向 縱向 線應(yīng)變 當時 與成正比關(guān)系 胡克定律的另一表達形式 EA為桿件的拉壓剛度 二 拉壓桿的橫向變形與泊松比 1 橫向變形 2 泊松比 橫向線應(yīng)變 解 螺栓的軸向正應(yīng)變 螺栓橫截面上的正應(yīng)力 螺栓的橫向正應(yīng)變 螺栓的橫向變形 例 圖示鋼螺栓 內(nèi)徑d1 15 3mm 被連接部分的總長度l 54mm 擰緊時螺栓AB段的伸長 l 0 04mm 鋼的彈性模量E 200GPa 泊松比 0 3 試計算螺栓橫截面上的正應(yīng)力及螺栓的橫向變形 例 圖示圓截面桿 已知F 4kN l1 l2 100mm E 200GPa 為保證構(gòu)件正常工作 要求其總伸長不超過 l 0 10mm 試確定桿的直徑d 解 AB段的軸力 BC段的軸力 桿件總長度改變量 例 求圖示圓錐桿總伸長 設(shè)桿長為l 最小直徑為d 最大直徑為D 拉力為F 解 以桿件左端為x軸原點 距原點距離為x的橫截面直徑 距原點距離為x的橫截面面積 距原點距離為x微小桿段伸長量 總伸長量為 例 圖示桁架 在節(jié)點A處作用鉛垂載荷F 10kN 已知1桿用鋼制成 彈性模量E1 200GPa 橫截面面積A1 100mm2 桿長l1 1m 2桿用硬鋁制成 彈性模量E2 70GPa 橫截面面積A2 250mm2 桿長l2 0 707m 試求節(jié)點A的位移 解 以節(jié)點A為研究對象 建立平衡方程 解得 拉 壓 計算桿1 2的變形量 節(jié)點A的水平位移 節(jié)點A的垂直位移 拉 壓 2 7簡單拉壓靜不定問題 未知力數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目 未知力不能全部由平衡方程全部求出 一 靜不定問題的解法 變形協(xié)調(diào)方程 變形幾何關(guān)系 未知力數(shù)目等于獨立平衡方程數(shù)目 未知力可由平衡方程全部求出 靜不定問題 靜定問題 幾何關(guān)系法 靜力平衡方程 靜力關(guān)系 物理方程 物理關(guān)系 三關(guān)系法 例 圖示結(jié)構(gòu) 已知桿1 2的拉壓剛度為E1A1 長度為l1 3桿的拉壓剛度為E3A3 試求桿1 2 3的內(nèi)力 解 以節(jié)點A為研究對象 建立平衡方程 由變形幾何關(guān)系可得變形協(xié)調(diào)方程 由胡克定律可得 由 解得 例 圖示結(jié)構(gòu) 桿1 2的彈性模量為E 橫截面面積均為A 梁BD為剛體 載荷F 50kN 許用拉應(yīng)力 t 160MPa 許用壓應(yīng)力 c 120MPa 試確定各桿的橫截面面積 以梁為研究對象 建立平衡方程 由變形幾何關(guān)系可得變形協(xié)調(diào)方程 由胡克定律可得 由 解得 2桿的橫截面面積 1桿的橫截面面積 所以桿1 2的橫截面面積為2 87 10 4m2 拉 壓 二 裝配應(yīng)力 構(gòu)件制造有尺寸誤差 靜不定結(jié)構(gòu)裝配后構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生的附加應(yīng)力 例 圖示靜不定桿系 已知桿1 2的拉壓剛度為E1A1 3桿的拉壓剛度為E3A3 3桿有誤差 強行將三桿鉸接 試求各桿的內(nèi)力 解 以節(jié)點A為研究對象 建立平衡方程 由變形幾何關(guān)系可得變形協(xié)調(diào)方程 由胡克定律可得 由 解得 三 溫度應(yīng)力 由于溫度的變化引起靜不定結(jié)構(gòu)中構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生的附加應(yīng)力 例 圖示管長度為l 橫截面面積為A 材料彈性模量為E 材料線膨脹系數(shù)為 溫度升高 t 試求管的溫度應(yīng)力 解 將管子端的約束解除 溫度升高 則伸長量為 管子兩端固定 相當于有一壓力將管子進行壓縮 設(shè)壓力為FRB 則壓縮長度為 管的總伸長量為零 則 解得 2 8應(yīng)力集中與圣維南原理 一 應(yīng)力集中 由于截面尺寸急劇變化而引起的局部應(yīng)力增大的現(xiàn)象 應(yīng)力集中因數(shù) 二 應(yīng)力集中對構(gòu)件強度的影響 1 脆性材料 2 塑性材料 應(yīng)力集中對塑性材料在靜載作用下的強度影響不大 因為 max達到屈服極限 應(yīng)力不再增加 未達到屈服極限區(qū)域可繼續(xù)承擔(dān)加大的載荷 應(yīng)力分布趨于平均 max達到強度極限 此位置開裂 所以脆性材料構(gòu)件必須考慮應(yīng)力集中的影響 在交變應(yīng)力情況下 必須考慮應(yīng)力集中對塑性材料的影響 三 圣維南原理 外力作用于桿端的方式不同 只會使與桿端距離不大于橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響 2 9剪切和擠壓的實用計算 一 剪切的實用計算 1 剪切概述 剪切受力特點 兩作用力間桿件橫截面發(fā)生相對錯動 桿件兩側(cè)受一對大小相等 方向相反 作用線相距很近的橫向力作用 剪切變形特點 3 切應(yīng)力 4 剪切強度條件 忽略彎曲 摩擦 假設(shè)剪切面上切應(yīng)力均勻分布 2 內(nèi)力 剪力 剪切許用應(yīng)力 剪切面面積 約定 外力平攤在各個鉚釘上 二 擠壓的實用計算 1 擠壓概述 擠壓破壞 在接觸表面由于很大的壓應(yīng)力使局部區(qū)域產(chǎn)生塑性變形或破壞 3 擠壓應(yīng)力 4 擠壓強度條件 有效擠壓面積Abs為實際擠壓面在垂直于擠壓方向的平面上的投影面積 接觸面為平面 有效擠壓面積為實際擠壓面面積 接觸面為半圓柱曲面 有效擠壓面積為直徑平面面積 2 擠壓力 許用擠壓應(yīng)力 有效擠壓面積 例 厚度為t2 20mm的鋼板 上 下用兩塊厚度為t1 10mm的蓋板和直徑d 26mm的鉚釘連接 每邊鉚釘數(shù)n 3 若鋼的許用應(yīng)力 100MPa bs 280MPa 160