浙江高考數(shù)學(xué) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教師用書.docx

第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成axiyj，由于a與數(shù)對(duì)(x，y)是一一對(duì)應(yīng)的，把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y)，其中a在x軸上的坐標(biāo)是x，a在y軸上的坐標(biāo)是y.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.4平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共線x1y2x2y10.1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)在ABC中，設(shè)a，b，則向量a與b的夾角為ABC.()(3)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可以表示成.()答案(1)(2)(3)(4)2已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于 ()A5B.C.D13B因?yàn)閍b(2，1)(1,3)(3,2)，所以|ab|.3已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)A(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故選A.4已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.6a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.5(教材改編)已知ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：51062140】(1,5)設(shè)D(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得平面向量基本定理及其應(yīng)用(1)如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是 ()Ae1與e1e2Be12e2與e12e2Ce1e2與e1e2De13e2與6e22e1(2)(2017浙江五校聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若，其中，R，則_.(1)D(2)(1)選項(xiàng)A中，設(shè)e1e2e1，則無解；選項(xiàng)B中，設(shè)e12e2(e12e2)，則無解；選項(xiàng)C中，設(shè)e1e2(e1e2)，則無解；選項(xiàng)D中，e13e2(6e22e1)，所以兩向量是共線向量(2)選擇，作為平面向量的一組基底，則，又，于是得解得所以.規(guī)律方法1.利用平面向量基本定理表示向量時(shí)，要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向?利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算，在解題時(shí)，注意方程思想的運(yùn)用如解答本題(2)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于，的方程組變式訓(xùn)練1如圖421，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)設(shè)a，b，則_，_，_(用向量a，b表示)圖421babaabbabba，bba，bab.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).2分(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).5分(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得9分(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20).11分又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18).14分規(guī)律方法1. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)常利用向量相等則其坐標(biāo)相同列方程(組)求解2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語言“坐標(biāo)語言”，實(shí)質(zhì)是“形”化為“數(shù)”向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來變式訓(xùn)練2(2017湖州三次質(zhì)檢)已知a(1，t)，b(t，6)，則|2ab|的最小值為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：51062141】2由條件得2ab(2t,2t6)，所以|2ab|，當(dāng)t2時(shí)，|2ab|的最小值為2.平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)已知向量a(1,1)，b(3，m)，若a(ab)，則m()A2B2C3D3(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(1)C(2)(2,4)(1)由題意可知ab(2,1m)，a(ab)，2(m1)0m3.(2)在梯形ABCD中，DC2AB，2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)規(guī)律方法1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，則ba.2向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例求解變式訓(xùn)練3(1)(2017杭州學(xué)軍中學(xué)模擬)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，則銳角_.(2)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_(1)(2)k1(1)由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，所以cos 或，又為銳角，所以.(2)若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量，不共線因?yàn)?2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，所以1(k1)2k0，解得k1.思想與方法1平面向量基本定理實(shí)質(zhì)上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐標(biāo)表示的理論基礎(chǔ)，用平面向量基本定理可將平面內(nèi)任一向量分解成形如a1e12e2的形式2利用平面向量共線的坐標(biāo)表示既可以證明向量平行、點(diǎn)共線，也可以由平行求點(diǎn)的坐標(biāo)或參數(shù)值3若a與b不共線，ab0，則0.易錯(cuò)與防范1在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)但表示形式與意義不同，如點(diǎn)A(x，y)，向量a(x，y)，向量坐標(biāo)中既有大小信息又有方向信息2若a，b為非零向量，當(dāng)ab時(shí)，a，b的夾角為0或180，求解時(shí)容易忽視其中一種情形致誤3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2x2y10.課時(shí)分層訓(xùn)練(二十三)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1如圖422，設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：圖422與；與；與；與.其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是()ABCDB中，不共線；中，不共線2已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c等于()AabB.abCabDabB設(shè)cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.3已知向量a，b不共線，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向Dk1且c與d反向D由題意可得c與d共線，則存在實(shí)數(shù)，使得cd，即解得k1.cab(ab)d，故c與d反向4如圖423，在OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，xy，且2，則 ()圖423Ax，yBx，yCx，yDx，yA由題意知，又2，所以()，所以x，y.5(2017廣東茂名二模)已知向量a(3，2)，b(x，y1)，且ab，若x，y均為正數(shù)，則的最小值是()A24B8 C.D.Bab，2x3(y1)0，化簡得2x3y3.又x，y均為正數(shù)，(2x3y)8，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值是8，故選B.二、填空題6(2017陜西質(zhì)檢(二)若向量a(3,1)，b(7，2)，則ab的單位向量的坐標(biāo)是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：51062142】由題意得ab(4,3)，則|ab|5，則ab的單位向量的坐標(biāo)為.7(2017寧波綜合測評(píng)(二)已知平面向量a與b的夾角為，a(1，)，|a2b|2，則|b|_.2由題意得|a|2，則|a2b|2|a|24|a|b|cosa，b4|b|22242cos |b|4|b|212，解得|b|2(負(fù)舍)8已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：51062143】m由題意得(3,1)，(2m,1m)，若A，B，C能構(gòu)成三角形，則，不共線，則3(1m)1(2m)，解得m.三、解答題9已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b). (1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1).2分A，B，C三點(diǎn)共線，.2(b1)2(a1)0，即ab2.6分(2)2，(a1，b1)2(2，2).10分解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，3).14分10平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k.解(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，4分所以解得8分(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，10分由題意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.14分B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1已知正三角形ABC的邊長為2，平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|1，則|2的最大值是()A.B.C.D.B設(shè)BC的中點(diǎn)為O，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(，0)，C(，0)，A(0,3)又|1，點(diǎn)P的軌跡方程為x2(y3)21.由知點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則(2x)2(2y3)21，即22，點(diǎn)M的軌跡是以H為圓心，r為半徑的圓，|BH|3，|的最大值為3r3，|2的最大值為.2向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖424所示，若cab(，R)，則_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：51062144】圖4244以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長為1)，則A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即