高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明階段復(fù)習(xí)課課件 新人教A版選修12 .pptVIP

階段復(fù)習(xí)課第二章 核心解讀 1 合情推理 1 歸納推理 由部分到整體 由個別到一般的推理 2 類比推理 由特殊到特殊的推理 3 合情推理 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí) 經(jīng)過觀察 分析 比較 聯(lián)想 再進(jìn)行歸納 類比 然后提出猜想的推理 我們把它們統(tǒng)稱為合情推理 2 演繹推理 1 演繹推理 由一般到特殊的推理 2 三段論 是演繹推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情況 結(jié)論 根據(jù)一般原理 對特殊情況做出的判斷 3 綜合法 1 實(shí)質(zhì) 由因?qū)Ч?2 框圖表示 p q1 q1 q2 qn q p表示條件 q表示結(jié)論 3 文字語言 因?yàn)?所以 或由 得 4 分析法 1 實(shí)質(zhì) 執(zhí)果索因 2 框圖表示 q p1 p1 p2 得到一個明顯成立的條件q表示結(jié)論 3 文字語言 要證 只需證 即證 5 用分析法證明數(shù)學(xué)問題時的書寫格式 要證 欲證 只需證 只需證 直到出現(xiàn)一個明顯成立的條件p 再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立 6 歸謬 矛盾的幾種類型 1 與公理 定理 定義矛盾 2 與已知條件矛盾 3 自相矛盾 4 與反設(shè)矛盾 主題一合情推理的應(yīng)用 典例1 1 2014 濟(jì)寧高二檢測 觀察式子 由此可歸納出的式子為 2 2014 寧波高二檢測 兩點(diǎn)等分單位圓時 有相應(yīng)正確關(guān)系為sin sin 0 三點(diǎn)等分單位圓時 有相應(yīng)正確關(guān)系為由此可以推知 四點(diǎn)等分單位圓時的相應(yīng)正確關(guān)系為 自主解答 1 選c 根據(jù)幾個不等式的特點(diǎn) 左邊應(yīng)為n項(xiàng) 所以左邊 1 右邊 故歸納出的不等式為 2 用兩點(diǎn)等分單位圓時 關(guān)系為sin sin 0 兩個角的正弦值之和為0 且第一個角為 第二個角與第一個角的差為 用三點(diǎn)等分單位圓時 關(guān)系為此時三個角的正弦值之和為0 且第一個角為 第二個角與第一個角的差與第三個角與第二個角的差相等 即有 依此類推 可得當(dāng)四點(diǎn)等分單位圓時 為四個角正弦值之和為0 且第一個角為 第二個角為 第三個角為 第四個角為 即其關(guān)系為答案 方法技巧 1 歸納推理的特點(diǎn)及一般步驟 2 類比推理的特點(diǎn)及一般步驟 補(bǔ)償訓(xùn)練 已知等差數(shù)列 an 的公差為d 前n項(xiàng)和為sn 有如下的性質(zhì) 1 通項(xiàng)an am n m d m n n m n 2 若m n p q 其中m n p q n 則am an ap aq 3 若m n 2p m n p n 則am an 2ap 4 sn s2n sn s3n s2n構(gòu)成等差數(shù)列 類比上述性質(zhì) 在等比數(shù)列 bn 中 寫出相類似的性質(zhì) 解析 設(shè)等比數(shù)列 bn 中 公比為q 前n項(xiàng)和為tn 1 通項(xiàng)bn bm qn m m n n m n 2 若m n p q 其中m n p q n 則bm bn bp bq 3 若m n 2p 其中m n p n 則 bm bn 4 tn t2n tn t3n t2n構(gòu)成等比數(shù)列 主題二演繹推理的應(yīng)用 典例2 2014 廈門高二檢測 已知函數(shù)f x x2 alnx a r 1 若f x 在 1 e 上是增函數(shù) 求a的取值范圍 2 若a 1 1 x e 證明 f x x3 自主解答 1 因?yàn)閒 x x 且f x 在 1 e 上是增函數(shù) 所以f x x 0在 1 e 上恒成立 即a x2在 1 e 上恒成立 所以a 1 2 當(dāng)a 1時 f x x2 lnx x 1 e 令f x f x x3 x2 lnx x3 又f x x 2x2 0 所以f x 在 1 e 上是減函數(shù) 所以f x f 1 0 所以x 1 e 時 f x x3 方法技巧 1 演繹推理的特點(diǎn)演繹推理是從一般性的原理出發(fā) 推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理 換言之 演繹推理是由一般到特殊的推理 它的主要形式是三段論 2 演繹推理與合情推理的區(qū)別 補(bǔ)償訓(xùn)練 已知函數(shù)f x bx 其中a 0 b 0 x 0 試確定f x 的增減性 解析 方法一 設(shè)00 b 0 所以x2 x1 0 0b 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 0 上是減函數(shù) 當(dāng)x2 x1 時 x2 x1 0 x1x2 b 所以f x1 f x2 0 b 0 x 0 所以令f x b 0 得x 當(dāng)0時 b 0 即f x 0 所以f x 在 上是增函數(shù) 主題三綜合法與分析法 典例3 1 已知a b c為互不相等的非負(fù)數(shù) 求證 a2 b2 c2 2 2014 馬鞍山高二檢測 用分析法證明2cos 自主解答 1 因?yàn)閍2 b2 2ab b2 c2 2bc a2 c2 2ac 又因?yàn)閍 b c為互不相等的非負(fù)數(shù) 所以上面三個式子中都不能取 所以a2 b2 c2 ab bc ac 因?yàn)閍b bc bc ac ab ac 又a b c為互不相等的非負(fù)數(shù) 所以ab bc ac 所以a2 b2 c2 2 要證原等式成立 只需證 2cos sin sin 2 sin 因?yàn)?左邊 2cos sin sin 2cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin 右邊 所以 成立 即原等式成立 方法技巧 綜合法和分析法的特點(diǎn) 1 綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法 也是解決數(shù)學(xué)問題的常用的方法 綜合法是由因?qū)Ч乃季S方式 而分析法的思路恰恰相反 它是執(zhí)果索因的思維方式 2 分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法 分析法是倒溯 綜合法是順推 二者各有優(yōu)缺點(diǎn) 分析法容易探路 且探路與表述合一 缺點(diǎn)是表述易錯 綜合法條理清晰 易于表述 因此對于難題常把二者交互運(yùn)用 互補(bǔ)優(yōu)缺 形成分析綜合法 其邏輯基礎(chǔ)是充分條件與必要條件 補(bǔ)償訓(xùn)練 已知 0 求證 2sin2 證明 方法一 分析法 要證明2sin2 成立 只要證明4sin cos 因?yàn)?0 所以sin 0 只要證明4cos 上式可變形為4 4 1 cos 因?yàn)? cos 0 所以 4 1 cos 當(dāng)且僅當(dāng)cos 即 時取等號 所以4 4 1 cos 成立 所以不等式2sin2 成立 方法二 綜合法 因?yàn)?4 1 cos 4 1 cos 0 當(dāng)且僅當(dāng)cos 即 時取等號 所以4cos 因?yàn)?0 所以sin 0 4sin cos 所以2sin2 主題四反證法的應(yīng)用 典例4 設(shè)數(shù)列 an 滿足an n 求證 數(shù)列 an 中任意不同的三項(xiàng)都不能成為等比數(shù)列 自主解答 由an n 假設(shè) an 中存在三項(xiàng)ap aq ar p q r互不相等 成等比數(shù)列 則 ap ar 所以 q 2 p r 即 q2 pr 2q p r 0 由于p q r n 所以消去q得 p r 2 0 故p r 這與p r矛盾 則原假設(shè)不成立 所以 an 中任意不同的三項(xiàng)都不能成為等比數(shù)列 方法技巧 對反證法的認(rèn)識 1 如果一個命題的結(jié)論難以直接證明 可以考慮運(yùn)用反證法 通過反設(shè)結(jié)論 經(jīng)過邏輯推理 得出矛盾 從而肯定原結(jié)論成立 2 反證法著眼于命題的轉(zhuǎn)換 改變了研究的角度和方向 使論證的目標(biāo)更為明確 由于增加了推理的前提 原結(jié)論的否定 更易于開拓思路 因此對于直接論證較為困難的時候 往往采用反證法證明 所以反證法在數(shù)學(xué)證明中有著廣泛的應(yīng)用 3 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法 在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到 在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn) 它所反映出的 正難則反 的解決問題的思想方法更為重要 反證法主要證明 否定性 唯一性命題 至多 至少型問題 幾何問題 補(bǔ)償訓(xùn)練 求證 在拋物線y2 2px p 0 上任取四點(diǎn)所組成的四邊形不可能是平行四邊形 證明 拋物線y2 2px p 0 在拋物線上任取四點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 d x4 y4 則 2pxi i 1 2 3 4 于是直線ab的斜率為kab 同理 假設(shè)四邊形abcd是平行四邊形 則有kab kcd kad kcb 則有整理得所以a c兩點(diǎn)重合 b d兩點(diǎn)重合 這與a b c d是平行四邊形的四個頂點(diǎn)矛盾 故假設(shè)不成立 即在拋物線y2 2px p 0 上任取四點(diǎn)所組成的四邊形不可能是平行四邊形 強(qiáng)化訓(xùn)練 1 用演繹推理證明函數(shù)y x3是增函數(shù)時的大前提是 a 增函數(shù)的定義b 函數(shù)y x3滿足增函數(shù)的定義c 若x1x2 則f x1 f x2 解析 選a 根據(jù)演繹推理的特點(diǎn)知 演繹推理是一種由一般到特殊的推理 所以函數(shù)y x3是增函數(shù)的大前提應(yīng)是增函數(shù)的定義 2 2014 濟(jì)寧高二檢測 所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù) 某奇數(shù)是9的倍數(shù) 故某奇數(shù)是3的倍數(shù) 上述推理 a 小前提錯b 結(jié)論錯c 正確d 大前提錯 解析 選c 此三段論推理正確 3 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比q 2 前n項(xiàng)和為sn 則 a 2b 4c d 解析 選c 在等比數(shù)列 an 中 q 2 1 設(shè)首項(xiàng)為a1 0 則s4 又a2 a1q 2a1 故 4 2014 杭州高二檢測 a b均為實(shí)數(shù) 猜想 a b 解析 由可以求出3 22 1 8 32 1 15 42 1 故在6 中 a 6 b a2 1 62 1 35 答案 635 5 2014 東莞高二檢測 當(dāng)n 1時 有 a b a b a2 b2 當(dāng)n 2時 有 a b a2 ab b2 a3 b3 當(dāng)n 3時 有 a b a3 a2b ab2 b3 a4 b4 當(dāng)n n 時 你能得到的結(jié)論是 解析 根據(jù)題意 由于當(dāng)n 1時 有 a b a b a2 b2 當(dāng)n 2時 有 a b a2 ab b2 a3 b3 當(dāng)n 3時 有 a b a3 a2b ab2 b3 a4 b4 當(dāng)n n 時 左邊第二個因式可知為an an 1b abn 1 bn 那么對應(yīng)的表達(dá)式為 a b an an 1b abn 1 bn an 1 bn 1 答案 a b an an 1b abn 1 bn an 1 bn 1 6 已知 x 1 y 1 用分析法證明 x y 1 xy 證明 要證 x y 1 xy 即證 x y 2 1 xy 2 即證x2 y2 1 x2y2 即證 x2 1 1 y2 0 因?yàn)?x 1 y 1 所以x2 1 0 1 y2 0 所以 x2 1 1 y2 0 不等式得證 7 已知在四棱錐p abcd中 底面abcd是矩形 且ad 2 ab 1 pa 平面abcd e f分別是線段ab bc的中點(diǎn) 1 證明 pf fd 2 判