北京市通州區(qū)2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

州區(qū)20182019學(xué)年度第二學(xué)期高二年級期末考試數(shù) 學(xué) 試 卷本試卷共4頁，150分考試時(shí)長120分鐘考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1.已知，且，則等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，可求得，再由求值?！驹斀狻恳?yàn)椋?，因?yàn)椋??！军c(diǎn)睛】已知中的一個(gè)，則另外兩個(gè)都可以求出，即知一求二。2.，下列各式中與相等的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式，可得答案?！驹斀狻恳?yàn)?，所以與相等的是?！军c(diǎn)睛】誘導(dǎo)公式的口訣是“奇變偶不變，符號看象限”。3.設(shè)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，得，代入展開后的式子進(jìn)行求值?！驹斀狻恳?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以。【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的廣義定義、兩角差的余弦公式，注意兩角差余弦公式展開時(shí)，中間是加號，符號不能記錯。4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為A. 6B. 9C. 12D. 15【答案】B【解析】【分析】通過三視圖還原幾的直觀圖，是一個(gè)條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐，利用三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積即可。【詳解】該幾何體是三棱錐，如圖所示：則?！军c(diǎn)睛】本題以三視圖為載體，要求還原幾何體的直觀圖，再通過三視圖的數(shù)據(jù)，考查三棱錐體積公式的應(yīng)用。5.已知是平面，是直線，下列命題中不正確的是A. 若， ，則B. 若，則C. 若， ，則D. 若，則【答案】D【解析】【分析】由線面平行的性質(zhì)定理可判斷；由面面垂直的判定定理可判斷；由面面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的判定定理可判斷；由線面平行的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系可判斷。【詳解】對，若， ，由線面平行的性質(zhì)定理可得，故正確；對，若，則，就是面面垂直的判定定理，故正確；對，若，則或，但，所以，故正確；對，若，則也可以相交，故不正確?！军c(diǎn)睛】本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系及平行和垂直的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力。6.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式把化成，利用周期，求出的值，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，得到的值?！驹斀狻恳?yàn)椋种芷?，所以，因?yàn)?，且為奇函?shù)，所以，所以，又，解得：?！军c(diǎn)睛】本題考查輔助角公式的應(yīng)用及正弦型函數(shù)的周期、奇偶性，再根據(jù)三角函數(shù)值求解時(shí)，要注意角的取值范圍。7. 在ABC中“sinAsinB”是“cosAcosB”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】試題解析：必要性在ABC中，“cosAcosB”，由余弦函數(shù)在（0，）是減函數(shù)，故有AB，若B不是鈍角，顯然有“sinAsinB”成立，若B是鈍角，因?yàn)锳+B，故有A-B，故有sinAsin（-B）=sinB綜上，“cosAcosB”可以推出“sinAsinB”： 充分性：由“sinAsinB”若B是鈍角，在ABC中，顯然有0AB，可得，“cosAcosB”若B不是鈍角，顯然有0AB，此時(shí)也有cosAcosB綜上，“sinAsinB”推出“cosAcosB”成立故，“cosAcosB”是“sinAsinB”的充要條件C考點(diǎn)：本題考查三角函數(shù)和充要條件判斷點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是掌握充要條件的判斷方法，利用原命題真假證充分性，逆命題的真假證明必要性，8.設(shè)點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，垂直于 所在的平面，且，對于 所在的平面內(nèi)任意兩條相互垂直的直線，有下列結(jié)論： 當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；當(dāng)直線與成角時(shí)，AB與成角；直線與所成角的最小值為；直線與所成角的最小值為.其中正確結(jié)論的序號為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】命題，通過作圖把直線與所成的角作出，再去求解與所成的角。一組，命題，直接根據(jù)線面角的定義?！驹斀狻咳鐖D圓錐中，直線，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則為直線與所成的角，為直線AB與所成的角，設(shè)，若，則，所以，故正確；因?yàn)榕c 所在的平面所成角為，即直線與平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角，所以當(dāng)直線與直線所成角的最小值為，故正確。【點(diǎn)睛】本題考查異在直線所成角、線面角定義、最小角定理，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，能否準(zhǔn)確找出兩個(gè)角是解題的關(guān)鍵。第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：(本大題共6小題，每小題5分，共30分)把正確答案填在題中橫線上9.已知，則_.【答案】-3.【解析】【分析】由兩角差的正切公式展開，解關(guān)于的方程。【詳解】因?yàn)?，所以?！军c(diǎn)睛】本題考查兩角差正切公式的簡單應(yīng)用，注意公式的特點(diǎn)：分子是減號，分母是加號。10.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以的為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱。若，則等于_.【答案】.【解析】【分析】由角與角的終邊關(guān)于軸對稱，得，再代入的2倍角展開式，進(jìn)行求值?！驹斀狻恳?yàn)榻桥c角的終邊關(guān)于軸對稱，所以，因?yàn)椤！军c(diǎn)睛】根據(jù)角與角的終邊的對稱，利用三角函數(shù)線可快速得到兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。11.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向_平移_個(gè)單位.【答案】 (1). 左. (2). .【解析】【分析】函數(shù)改寫成，函數(shù)改寫成，對比兩個(gè)函數(shù)之間自變量發(fā)生的變化?！驹斀狻亢瘮?shù)等價(jià)于，函數(shù)等價(jià)于，所以函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位。【點(diǎn)睛】函數(shù)的平移或伸縮變換都是針對自變量而言的，所以本題要先的系數(shù)2提出來，再用“左加右減”的平移原則進(jìn)行求解。12.能說明命題“在中，若，則這個(gè)三角形一定是等腰三角形”為假命題的一組的值為_.【答案】答案不唯一滿足（）即可.【解析】【分析】由可得：或，所以當(dāng)時(shí)，顯然也滿足條件，但三角形不是等腰三角形，從而得到原命題為假命題?！驹斀狻恳?yàn)?，所以，所以或，所三角形為等腰三角形或直角三角形，所以?dāng)時(shí)，原命題顯然為假命題?！军c(diǎn)睛】本題以三角形知識為背景，考查解三角形與簡易邏輯的交會，考查邏輯推理能力。13.如圖所示，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn)從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測得已知山高，則山高_(dá)【答案】750.【解析】【分析】利用直角三角形求出，由正弦定理求，再利用直角三角形求出的值?！驹斀狻吭谥校?，在中，從而，由正弦定理得：，所以，中，由，得?！军c(diǎn)睛】本題以測量山高的實(shí)際問題為背景，考查正弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，求解時(shí)要注意結(jié)合立體幾何圖形找到角之間的關(guān)系。14.如圖，在邊長為2正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上移動，且滿足，則點(diǎn)和滿足條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積是_. 【答案】.【解析】【分析】點(diǎn)滿足，且在正方體的表面上，所以點(diǎn)只能在面、面、面、面內(nèi)?！驹斀狻咳?，的中點(diǎn)分別為，連結(jié)，由于，所以四點(diǎn)共面，且四邊形為梯形，因?yàn)椋悦?，因?yàn)辄c(diǎn)在正方體表面上移動，所以點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為梯形，如圖所示：因?yàn)檎襟w的邊長為2，所以，所以梯形為等腰梯形，所以?！军c(diǎn)睛】本題以動點(diǎn)問題為背景，考查空間中線面、線線位置關(guān)系、面積的求解運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當(dāng) 時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換，把函數(shù)化成的形式，再求周期；（2）先求在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間，再把單調(diào)區(qū)間與區(qū)間取交集。【詳解】（1）因，所以的最小正周期. （2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 則，即，因?yàn)?時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，在求單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能把定義域忽視，導(dǎo)致求出的單調(diào)區(qū)間在定義域之外。16.如圖，在三棱柱中，且，底面，為中點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn).（1）求證： 平面； （2）求二面角 的余弦值；（3）設(shè)，若，寫出的值（不需寫過程）.【答案】（1）見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）證明 平面，只要在面內(nèi)找到一條直線與平行；（2）以，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出兩個(gè)面的法向量，再求法向量的夾角，結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)二面角的平面角為鈍角，從而求得二面角的余弦值。（3）由，可證得平面，進(jìn)而得到，再利用相似得到為中點(diǎn)?！驹斀狻浚?）連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，為對角線，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，平面，平面，所以 /平面.（2）因?yàn)榈酌?，所以底面，又，所以以，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則，.，設(shè)平面的法向量為,則有，即 令，則.由題意底面，所以為平面的法向量，所以，又由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角 的余弦值為。（3）.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理、利用空間向量求二面角的大小等知識，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)要注意在圖中添加輔助線。17.在內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）利用正弦定理及題設(shè)，得到等式，由代入等式得到關(guān)于的三角方程，再求得角的值；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，利用余弦定理得到關(guān)于的方程，求出，利用面積公式求得面積?！驹斀狻浚?）由正弦定理及題設(shè)得：，又 所以，即，因?yàn)?，所以。?）由余弦定理可得：，解得或（舍），因?yàn)?。【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和、三角形面積公式等知識，考查運(yùn)算求解能力，求得，要注意寫上條件，才能得到。18.如圖，是等腰直角三角形，分別為的中點(diǎn)，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐（1）求證：平面；（2）當(dāng)四棱錐體積取最大值時(shí)，(i) 寫出最大體積；(ii) 求與平面所成角的大小.【答案】（1）見解析；（2）(i)最大體積為；(ii).【解析】【分析】（1）由翻折前后的不變性，得，且，可證得；（2）(i)當(dāng)面底面時(shí)，四棱錐的體積達(dá)到最大；(ii)當(dāng)四棱錐體積取最大值時(shí)，可得平面ABFE.，以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和，再求兩個(gè)向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到線面角的正弦值?！驹斀狻孔C明：（1）因?yàn)槭堑妊苯侨切?，分別為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所? （2）(i) 當(dāng)面底面時(shí)，四棱錐的體積達(dá)到最大，則. (ii) 因?yàn)樗睦忮F體積取最大值,所以平面ABFE.分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,，,，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得, 取，得則，所以，所以與平面所成角的正弦值為，所以與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】本題以翻折為背景，考查線面垂直的判定定理、棱錐體積、線面角等知識，對線面角與向量的夾角關(guān)系要理清楚不能弄錯，即。19.定義：，其中.（1）設(shè)，求在區(qū)間的最小值； （2）設(shè)，其中.求當(dāng)時(shí)，的最大值（用含有的代數(shù)式表示）.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】【分析】（1）根據(jù)定義求出，利用整體思想得到，再由三角函數(shù)線得到，當(dāng)時(shí)，取得最小值；（2）由定義求得，利用換元法，把問題轉(zhuǎn)化成求一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上最大值問題?！驹斀狻浚?）由題意可知，因?yàn)?，則，所以當(dāng)，即時(shí)，.（2） 令，因?yàn)?，所以，則函數(shù)的最大值，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的最大值，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題是創(chuàng)新型問題，給定一個(gè)新定義，要會從定義中讀取信息，本質(zhì)考查三角函數(shù)和一元二次函數(shù)含參的最值問題，第（2）問根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分三種情況進(jìn)行討論。20.如圖所示的幾何體中， ，平面，且平面，正方形的邊長為2，為棱中點(diǎn)，平面分別與棱交于點(diǎn).（）求證：；（）求證：平面平面；（）求的長.【答案】（）見解析；（）見解析；（）2.【解析】【分析】（1）利用線面平行判定定理證得平面，再利用線面平行性質(zhì)定理證得；（2）證明直線平面，即證明垂直平面內(nèi)兩條相交直