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第第 1 1 章章 特殊的平行四邊形特殊的平行四邊形 1 1 1 1 菱形的性質與判定菱形的性質與判定 一 教學目標 一 教學目標 1 菱形的性質定理的運用 2 菱形的判定定理的運用 二 教學重點難點 二 教學重點難點 掌握菱形的性質推導及面積計算方法的推導 運用綜合法解決菱形的相關題型 三 概念 三 概念 菱形性質 1 兩條對角線互相垂直平分 2 四條邊都相等 3 每條對角線平分一組對角 4 菱形是一個中心對稱圖形 也是一個軸對稱圖形 菱形的判定定理 1 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 定義 2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 根據(jù)對角線 3 四條邊都相等的四邊形是菱形 根據(jù)四條邊 4 每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形 對角線和角的關系 四 講課過程 四 講課過程 1 1 例題 例題 例 1 2006 大連 已知 如圖 四邊形 ABCD 是菱形 E 是 BD 延長線上一點 F 是 DB 延長線上一點 且 DE BF 請你以 F 為一個端點 和圖中已標明字母的某一點連成一條新的線段 猜想并證明它和圖中已有的某一條 線段相等 只須證明一組線段相等即可 1 連接 AF 2 猜想 AF AE 3 證明 說明 寫出證明過程的重要依據(jù) 考點 菱形的性質 全等三角形的判定與性質 專題 幾何綜合題 分析 觀察圖形應該是連接 AF 可通過證 AFB 和 ADE 全等來實現(xiàn) AF AE 解答 解 1 如圖 連接 AF 2 AF AE 3 證明 四邊形 ABCD 是菱形 AB AD ABD ADB ABF ADE 在 ABF 和 ADE 中 ABF ADE AF AE 點評 此題考查簡單的線段相等 可以通過全等三角形來證明 例 2 2009 貴陽 如圖 在菱形 ABCD 中 P 是 AB 上的一個動點 不與 A B 重合 連接 DP 交對角線 AC 于 E 連接 BE 1 證明 APD CBE 2 若 DAB 60 試問 P 點運動到什么位置時 ADP 的面積等于菱形 ABCD 面積的 為什么 考點 菱形的性質 全等三角形的判定與性質 等邊三角形的性質 專題 證明題 動點型 分析 1 可先證 BCE DCE 得到 EBC EDC 再根據(jù) AB DC 即可得到結論 2 當 P 點運動到 AB 邊的中點時 S ADP S菱形 ABCD 證明 S ADP AB DP S菱形 ABCD即可 解答 1 證明 四邊形 ABCD 是菱形 BC CD AC 平分 BCD 2 分 CE CE BCE DCE 4 分 EBC EDC 又 AB DC APD CDP 5 分 EBC APD 6 分 2 解 當 P 點運動到 AB 邊的中點時 S ADP S菱形 ABCD 8 分 理由 連接 DB DAB 60 AD AB ABD 等邊三角形 9 分 P 是 AB 邊的中點 DP AB 10 分 S ADP AP DP S菱形 ABCD AB DP 11 分 AP AB S ADP AB DP S菱形 ABCD 即 ADP 的面積等于菱形 ABCD 面積的 12 分 點評 此題主要考查菱形的性質和等邊三角形的判定 判斷當 P 點運動到 AB 邊的中點時 S ADP S菱形 ABCD是 難點 例 3 2010 寧洱縣 如圖 四邊形 ABCD 是菱形 BE AD BF CD 垂足分別為 E F 1 求證 BE BF 2 當菱形 ABCD 的對角線 AC 8 BD 6 時 求 BE 的長 考點 菱形的性質 全等三角形的判定與性質 分析 1 根據(jù)菱形的鄰邊相等 對角相等 證明 ABE 與 CBF 全等 再根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明 2 先根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分 求出菱形的邊長 再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半和底邊乘以 高兩種求法即可求出 解答 1 證明 四邊形 ABCD 是菱形 AB CB A C BE AD BF CD AEB CFB 90 在 ABE 和 CBF 中 ABE CBF AAS BE BF 2 解 如圖 對角線 AC 8 BD 6 對角線的一半分別為 4 3 菱形的邊長為 5 菱形的面積 5BE 8 6 解得 BE 點評 本題主要考查菱形的性質和三角形全等的證明 同時還考查了菱形面積的兩種求法 例 3 2011 廣安 如圖所示 在菱形 ABCD 中 ABC 60 DE AC 交 BC 的延長線于點 E 求證 DE BE 考點 菱形的性質 專題 證明題 分析 由四邊形 ABCD 是菱形 ABC 60 易得 BD AC DBC 30 又由 DE AC 即可證得 DE BD 由直角 三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 即可證得 DE BE 解答 證明 法一 如右圖 連接 BD 四邊形 ABCD 是菱形 ABC 60 BD AC DBC 30 DE AC DE BD 即 BDE 90 DE BE 法二 四邊形 ABCD 是菱形 ABC 60 AD BC AC AD AC DE 四邊形 ACED 是菱形 DE CE AC AD 又四邊形 ABCD 是菱形 AD AB BC CD BC EC DE 即 C 為 BE 中點 DE BC BE 點評 此題考查了菱形的性質 直角三角形的性質等知識 此題難度不大 注意數(shù)形結合思想的應用 例 4 2010 益陽 如圖 在菱形 ABCD 中 A 60 AB 4 O 為對角線 BD 的中點 過 O 點作 OE AB 垂足為 E 1 求 ABD 的度數(shù) 2 求線段 BE 的長 考點 菱形的性質 分析 1 根據(jù)菱形的四條邊都相等 又 A 60 得到 ABD 是等邊三角形 ABD 是 60 2 先求出 OB 的長和 BOE 的度數(shù) 再根據(jù) 30 角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出 解答 解 1 在菱形 ABCD 中 AB AD A 60 ABD 為等邊三角形 ABD 60 4 分 2 由 1 可知 BD AB 4 又 O 為 BD 的中點 OB 2 6 分 又 OE AB 及 ABD 60 BOE 30 BE 1 8 分 點評 本題利用等邊三角形的判定和直角三角形 30 角所對的直角邊等于斜邊的一半求解 需要熟練掌握 2 2 鞏固練習鞏固練習 1 有一組鄰邊相等的平行四邊形是 2 菱形的兩條對角線長分別是 8 cm 和 10 cm 則菱形的面積是 3 菱形的兩鄰角之比為 1 2 邊長為 2 則菱形的面積為 4 菱形的面積等于 20 分 A 對角線乘積B 一邊的平方 C 對角線乘積的一半 D 邊長平方的一半 5 下列條件中 可以判定一個四邊形是菱形的是 20 分 A 兩條對角線相等B 兩條對角線互相垂直 C 兩條對角線相等且垂直D 兩條對角線互相垂直平分 6 菱形的兩條對角線把菱形分成全等的直角三角形的個數(shù)是 20 分 A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 7 如圖 四邊形 ABCD 是菱形 ABC 120 AB 6cm 則 ABD DAC 的度數(shù)為 對角線 BD AC 菱形 ABCD 的面積為 20 分 5 在矩形ABCD中 O是對角線AC的中點 EF是線段AC的中垂線 交AD BC于E F 求證 四邊形AECF是菱形 20 分 A B C D O 6 如圖 在菱形 ABCD 中 AB BD 5 求 1 BAC 的度數(shù) 2 求 AC 的長 7 四邊形ABCD是矩形 四邊形AECF是菱形 若AB 2cm BC 4cm 求四邊形AECF的面積 8 在菱形 ABCD 中 E F 分別是 BC CD 上的點 且 CE CF 過點 C 做 CG EA 交 FA 于 H 交 AD 于 G 若 BAE 25 BCD 130 求 AHC 的度數(shù) 3 3 作業(yè) 作業(yè) 一 選擇題 1 已知菱形兩個鄰角的比是 1 5 高是 8cm 則菱形的周長是 A 16cm B 32cm C 64cm D 128cm 2 已知菱形的周長為 40 cm 兩對角線長的比是 3 4 則兩對角線的長分別是 A 6cm 8cm B 3cm 4cm C 12cm 16cm D 24cm 32cm 3 如圖 在菱形ABCD中 AE BC AF CD 且E F分別為BC CD的中點 那么 EAF等于 A 75 B 60 C 45 D 30 4 棱形的周長為 8 4cm 相鄰兩角之比為 5 1 那么菱形一組對邊之間的距離為 O A B C D M N O D C B A A 1 05cm B 0 525cm C 4 2cm D 2 1cm 5 菱形具有而矩形不具有的性質是 A 對角相等 B 四邊相等 C 對角線互相平分 D 四角相等 6 ABCD的對角線AC BD相交于點O 下列條件中 不能判定ABCD是菱形的是 A AB AD B AC BD C A D D CA平分 BCD 7 下列命題中 真命題是 A 對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形 B 有一條對角線平分一組對角的四邊形是平行四邊形 C 對角線互相垂直的矩形是菱形 D 菱形的對角線相等 8 菱形是軸對稱圖形 對稱軸有 A 1 條 B 2 條 C 3 條 D 4 條 9 已知菱形的兩條對角線長為 10cm 和 24cm 那么這個菱形的周長為 面積為 10 將兩張長 10cm 寬 3cm 的長方形紙條疊放在一起 使之成 60 度 角 那么重疊部分的面積的最大值為 11 一個菱形面積為 80 周長為 40 那么兩條對角線長度之和為 12 如圖所示 已知菱形 ABCD 中 E F 分別在 BC 和 CD 上 且 B EAF 60 BAE 15 求 CEF 的度數(shù) 13 已知 如圖 在菱形 ABCD 中 E F 分別是 BC CD 上的點 且 CE CF 過點 C 作 CG EA 交 AF 于 H 交 AD 于 G 若 BAE 25 BCD 130 求 AHC 的度數(shù) 14 如圖所示 已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上 且 AB AE BAE EAD AE 交 BD 于 M 試說明 BE AM 2 1 H H G G F F E E D D C C B B A A 15 如圖 在 ABC 中 AB BC D E F 分別是 BC AC AB 上的中點 1 求證四邊形 BDEF 是菱 形 2 若 AB 12cm 求菱形 BDEF 的周長 16 已知 如圖 ABC 中 BAC 的平分線交 BC 于點 D E 是 AB 上一點 且 AE AC EF BC 交 AD 于點 F 求證 四邊形 CDEF 是菱形 17 如圖 平行四邊形 ABCD 的對角線 AC 的垂直平分線與 AD BC AC 分別交于點 E F O 求證 四邊形 AFCE 是菱形 18 已知 如圖 C 是線段 BD 上一點 ABC 和 ECD 都是等邊三角形 R F G H 分別是四邊形 ABDE 各邊的中點 求證 四邊形 RFGH 是菱形 19 如圖 已知在 ABC 中 AB AC B C 的平分線 BD CE 相交于點 M DF CE EG BD DF 與 EG 交于 N 求證 四邊形 MDNE 是菱形 R R H H G G F F E E D DC C B B A A 1 2 1 2 矩形的性質與判定矩形的性質與判定 1 1 教學目標 教學目標 1 能用綜合法來證明矩形的性質定理和判定定理以及相關結論 2 能運用矩形的性質進行簡單的證明與計算 2 2 教學重難點 教學重難點 矩形的性質的證明以及它與平行四邊形的從屬關系 三 概念 三 概念 1 矩形的定義 有一個角是直角的平行四邊形是矩形 矩形是特殊的平行四邊形 2 矩形的性質 矩形具有平行四邊形的所有性質 1 角 四個角都是直角 2 對角線 互相平分且相等 3 矩形的判定 1 有一個角是直角的平行四邊形 2 對角線相等的平行四邊形 3 有三個角是直角的四邊形 4 矩形的對稱性 矩形是中心對稱圖形 對角線的交點是它的對稱中心 矩形是軸對稱圖形 對稱軸有 2 條 是經過對角線的交點且垂直于矩形一邊的直線 5 矩形的周長和面積 矩形的周長 矩形的面積 長寬 為矩形的長與寬 2ba ab ba 注意 1 矩形被兩條對角線分成的四個小三角形都是等腰三角形且面積相等 2 矩形是軸對稱圖形 兩組對邊的中垂線是它的對稱軸 四 講課過程 四 講課過程 經典例題 例例 1 1 已知 O 是矩形 ABCD 對角線的交點 E F G H 分別是 OA OB OC OD 上的點 AE BF CG DH 求證 四邊形 EFGH 為矩形 分析分析 利用對角線互相平分且相等的四邊形是矩形可以證明 證明 ABCD 為矩形 AC BD AC BD 互相平分于 O AO BO CO DO 四 邊形四 邊形四 邊形 平 行 四 邊 形平 行 四 邊 形 矩 形矩 形 菱 形菱 形 梯 形梯 形 一角為90 一角為90 一組鄰邊相等一組鄰邊相等 正方形正方形 兩組對邊平行兩組對邊平行 只有一組對邊平行只有一組對邊平行 一角為直角且一組鄰邊相等一角為直角且一組鄰邊相等 鄰邊相等鄰邊相等 一角為90 一角為90 等等腰腰梯梯形形 兩兩腰腰相相等等 AE BF CG DH EO FO GO HO 又 HF EG EFGH 為矩形 例例 2 判斷 1 兩條對角線相等四邊形是矩形 2 兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形 3 有一個角是直角的四邊形是矩形 4 在矩形內部沒有和四個頂點距離相等的點 分析及解答分析及解答 1 如圖 四邊形 ABCD 中 AC BD 但 ABCD 不為矩形 2 對角線互相平分的四邊形即平行四邊形 對角線相等的平行四邊形為矩形 3 如圖 四邊形 ABCD 中 B 90 但 ABCD 不為矩形 4 矩形對角線的交點 O 到四個頂點距離相等 如圖 課堂練習題 1 判斷一個四邊形是矩形 下列條件正確的是 A 對角線相等 B 對角線垂直 C 對角線互相平分且相等 D 對角線互相垂直且相等 2 矩形的兩邊長分別為 10cm 和 15cm 其中一個內角平分線分長邊為兩部分 這兩部分分別為 A 6cm 和 9cm B 5cm 和 10cm C 4cm 和 11cm D 7cm 和 8cm 3 在下列圖形性質中 矩形不一定具有的是 A 對角線互相平分且相等 B 四個角相等 C 是軸對稱圖形 D 對角線互相垂直平分 4 在矩形 ABCD 中 對角線交于 O 點 AB 0 6 BC 0 8 那么 AOB 的面積為 周長為 5 一個矩形周長是 12cm 對角線長是 5cm 那么它的面積為 6 若一個直角三角形的兩條直角邊分別為 5 和 12 則斜邊上的中線等于 7 矩形的兩條對角線的夾角是 60 一條對角線與矩形短邊的和為 15 那么矩形對角線的長為 短邊 長為 8 矩形的兩鄰邊分別為 4 和 3 則其對角線為 矩形面積為 cm2 9 若矩形的一條對角線與一邊的夾角是 40 則兩條對角線相交所成的銳角是 10 矩形的對角線相交所成的鈍角為 120 矩形的短邊長為 5 cm 則對角線之長為 cm 11 矩形 ABCD 的兩對角線 AC 與 BD 相交于 O 點 AOB 2 BOC 若對角線 AC 的長為 18 cm 則 AD cm 12 已知 如圖所示 矩形 ABCD 中 E 是 BC 上的一點 且 AE BC 15EDC 求證 AD 2AB 課后練習題 1 矩形具有而一般的平行四邊形不一定具有的特征是 A 對角相等 B 對邊相等 C 對角線相等 D 對角線互相平分 2 如圖 在矩形 ABCD 中 對角線 AC 與 BD 相交于點 O AB 5 AC 13 則矩形 ABCD 的面積 題 2 題 4 3 已知 矩形的一條邊上的中點與對邊的兩個端點的連線互相垂直 且該矩形的周長為 24 cm 則矩形的面積為 cm2 4 如圖所示 在矩形 ABCD 中 AB 2BC 在 CD 上取一點 E 使 AE AB 則 EBC 5 如圖 已知 ABC 中 AB AC D 為 BC 上一點 DE AB DF AC BM 為高 求證 DE DF BM 6 如圖 ABCD 是矩形紙片 翻折 B D 使BC AD恰好落在AC上 設F H分別是B D落在AC上的兩點 E G分別是折痕CE AG與AB CD的交點 1 求證 四邊形AECG是平行四邊形 2 若AB 4cm BC 3cm 求線段EF的長 B CD E A A BC D E M F A B E C D P H D C BA 7 已知 如圖 在 ABC 中 AB AC AD BC 垂足為點 D AN 是 ABC 的外角 CAM 的平分線 CE AN 垂足為點 E 求證 四邊形 ADCE 為矩形 8 如圖 在矩形 ABCD 中 AP DC PH PC 求證 PB 平分CBH 9 如圖 矩形 ABCD 中 E 為 AD 上一點 EF CE 交 AB 于 F 若 DE 2 矩形 ABCD 的周長為 16 且 CE EF 求 AE 的 長 10 已知 如圖 平行四邊形 ABCD 的四個內角的平分線分別相交于點 E F G H 求證 四邊形 EFGH 是矩形 11 已知 如圖 四邊形 ABCD 是由兩個全等的正三角形 ABD 和 BCD 組成的 M N 分別為 BC AD 的中點 求證 四邊形 BMDN 是矩形 12 如圖 已知在四邊形中 交于 分別是四邊的中點 ABCDACDB OEFGH 求證 四邊形是矩形 EFGH 1 3 1 3 正方形的性質與判定正方形的性質與判定 一 教學目標 一 教學目標 了解正方形的有關概念 理解并掌握正方形的性質和判定方法 二 教學重難點 二 教學重難點 探索正方形的性質與判定 掌握正方形的性質和判定的應用方法 三 概念 三 概念 正方形的性質 1 正方形的四個角都是直角 四條邊都相等 2 正方形的兩條對角線相等 并且互相垂直平分 每條對角線平分一組對角 正方形的判定 1 有一個角是直角的菱形是正方形 2 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 3 兩組對邊平行的菱形是正方形 4 對角線相等的菱形是正方形 5 對角線互相垂直的矩形是正方形 6 兩組對邊平行的矩形是正方形 7 四邊相等 有一個角是直角的四邊形是正方形 8 一組鄰邊相等 對角線互相垂直的平行四邊形是正方形 9 一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形 10 每個角都是 90 度的平行四邊形是正方形 11 一組鄰邊相等 對角線平分的四邊形是正方形 12 四個均為直角 每條對角線平分一組對角的四邊形是正方形 B A CD N M H G O F E D C B A 四 講課過程四 講課過程 1 例題 例例 1 如圖 ABC 中 ACB 90 CD 平分 ACB DE BC DF AC 垂足分別為 E F 求證 四邊形 CFDE 是正方形 分析 要證明四邊形 CFDE 是正方形 可以先證四邊形 CFDE 是矩形 然后再證明有一組鄰邊 相等 也可以先證四邊形 CFDE 是菱形 然后再證有一個角是直角 解 CD 平分 ACB DE BC DF AC DE DF 角平分線上的點到角的兩邊的距離相等 DEC ECF CFD 90 四邊形 CFDE 是矩形 有三個角是直角的四邊形是矩形 又 DE DF 已證 四邊形 CFDE 是正方形 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 例例 2 已知 如圖點 A B C D 分別是正方形 ABCD 四條邊上的點 并且 AA BB CC DD 求證 四邊形 A B C D 是正方形 分析 法一 先證明四邊形 A B C D 是 菱形 再證明四邊形 A B C D 有一個角是直角 法二 先證明四邊形 A B C D 是 矩形 再證明四邊形 A B C D 有一組鄰邊相等 證明 四邊形 ABCD 是正方形 AB BC CD DA 又 A A B B C C D D D A A B B C C D A B C D 90 AA D BB A CC B DD C AD AB BC CD 四邊形 A B C D 是菱形 又 AD A BA B AA D AD A 90 AA D BA B 90 D A B 180 AA D BA B 90 四邊形 A B C D 是正方形 例例 3 如圖 EG FH 過正方形 ABCD 的對角線的交點 O EG FH 求證四邊形 EFGH 為正方形 解答 正方形 ABCD EG FH OAH OBE 45 DB AC OA OB AOH 90 AOE BOE AOH BOE ASA OH OE 同理 OE OF OG OH 四邊形 EFGH 是平行四邊形 FH EG EG FH 四邊形 EFGH 為正方形 2 鞏固練習 如圖 分別延長等腰直角 OAB 的兩條直角邊 AO 和 BO 使 AO OC BO OD 求證 四邊形 ABCD 是正方形 矩形 ABCD 中 四個內角的平分線組成四邊形 EMFN 判斷四邊形 EMFN 的形狀 并說明原因 3 判斷下列命題哪些是真命題 哪些是假命題 對角線相等的菱形是正方形 對角線互相垂直的矩形是正方形 對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 四條邊都相等的四邊形是正方形 四個角都相等的四邊形是正方形 四邊相等 有一個角是直角的四邊形是正方形 正方形一定是矩形 正方形一定是菱形 菱形一定是正方形 矩形一定是正方形 4 已知 如圖 正方形ABCD中 CM CD MN AC 連結CN 則 DCN B MND B 5 在正方形ABCD中 AB 12 cm 對角線AC BD相交于O 則 ABO的周長是 A 12 12 B 12 6 C 12 D 24 62222 3 3 作業(yè)作業(yè) 1 在正方形 ABCD 的邊 BC 的延長線上取一點 E 使 CE CA 連接 AE 交 CD 于 F 求的度數(shù) AFD 變式 1 已知如下圖 正方形ABCD中 E是CD邊上的一點 F為BC延長線上一點 CE CF 1 求證 BEC DFC 2 若 BEC 60 求 EFD的度數(shù) 2 如圖 E為正方形ABCD的BC邊上的一點 CG平分 DCF 連結AE 并在CG上取一點G 使EG AE 求證 AE EG 3 P為正方形ABCD內一點 PA 1 PB 2 PC 3 求 APB的度數(shù) 4 4 海南省 海南省 如圖 P是邊長為 1 的正方形ABCD對角線AC上一動點 P與A C不重合 點E在射線BC上 且 PE PB 1 求證 PE PD PE PD 2 設AP x PBE的面積為y 求出y關于x的函數(shù)關系式 并寫出x的取值范圍 A BC P D E 5 如圖 四邊形 ABCD 為正方形 以 AB 為邊向正方形外作等邊三角形 ABE CE 與 DB 相交于點 F 則 AFD 6 哈爾濱 若正方形 ABCD 的邊長為 4 E 為 BC 邊上一點 BE 3 M 為線段 AE 上一點 射線 BM 交正方形 的一邊于點 F 且 BF AE 則 BM 的長為 7 正方形的面積是 則其對角線長是 3 1 8 E為正方形ABCD內一點 且 EBC是等邊三角形 求 EAD的度數(shù) 9 如圖 正方形 ABCD 與正方形 OMNP 的邊長均為 10 點 O 是正方形 ABCD 的中心 正方形 OMNP 繞 O 點旋 轉 證明 無論正方形 OMNP 旋轉到何種位置 這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值 并求這個定值 10 E 是正方形 ABCD 對角線 AC 上一點 垂足分別為 F G 求證 BE FG EFCD EGAD 11 已知中 CD 平分 交 AB 于 D DF BC DE AC 求證 四邊形 DECF 為正方形 Rt ABCA90C ACB 第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 2 1 2 1 認識一元二次方程認識一元二次方程 一 教學目標 一 教學目標 1 經歷方程解的探索過程 增進對方程解的認識 發(fā)展估算意識和能力 2 滲透 夾逼 思想 二 教學重點難點 二 教學重點難點 用 夾逼 方法估算方程的解 求一元二次方程的近似解 三 概念 一 三 概念 一 一元二次方程定義 含有一個未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程 二 二 一元二次方程的一般形式 它的特征是 等式左邊是一個關于未知數(shù) x 的二次多項式 等式右邊是零 其中 0 0 2 acbxax 叫做二次項 a 叫做二次項系數(shù) bx 叫做一次項 b 叫做一次項系數(shù) c 叫做常數(shù)項 2 ax 4 4 講課過程講課過程 一 復習 1 什么叫一元二次方程 它的一般形式是什么 一般形式 ax2 bx c 0 a 0 2 指出下列方程的二次項系數(shù) 一次項系數(shù)及常數(shù)項 1 2x2 x 1 0 2 x2 1 0 3 x2 x 0 4 x2 0 3 二 新授 1 估算地毯花邊的寬 地毯花邊的寬 x m 滿足方程 8 2x 5 2x 18 也就是 2x2 13x 11 0 你能求出 x 嗎 1 x 可能小于 0 嗎 說說你的理由 x 不可能小于 0 因為 x 表示地毯的寬度 2 x 可能大于 4 嗎 可能大于 2 5 嗎 為什么 x 不可能大于 4 也不可能大于 2 5 x 4 時 5 2x2 5 時 5 2x 0 3 完成下表 x00 511 522 5 2x2 13x 11 從左至右分別 11 4 75 0 4 7 9 4 你知道地毯花邊的寬 x m 是多少嗎 還有其他求解方法嗎 與同伴交流 地毯花邊 1 米 另 因 8 2x 比 5 2x 多 3 將 18 分解為 6 3 8 2x 6 x 1 2 例題講析 例 梯子底端滑動的距離 x m 滿足 x 6 2 72 102 也就是 x2 12x 15 0 1 你能猜出滑動距離 x m 的大致范圍嗎 2 x 的整數(shù)部分是幾 十分位是幾 x00 511 52 x2 12x 15 15 8 75 25 2513 所以 1 x 1 5 進一步計算 x1 11 21 31 4 x2 12x 15 0 590 842 293 76 所以 1 1 x 1 2 因此 x 的整數(shù)部分是 1 十分位是 1 注意 1 估算的精度不適過高 2 計算時提倡使用計算器 3 鞏固練習 1 判斷下列方程是否為一元二次方程 如果是說明二次項及二次項系數(shù) 一次項及一次項系數(shù)和常數(shù)項 1 2x2 3x 5 2 x 5 x 2 x2 3x 1 3 2x 1 3x 5 5 4 3x 1 x 2 5x 2 把方程 3x 2 2 4 x 3 2化成一元二次方程的一般形式 并寫出它的二次項系數(shù) 一次項系數(shù)和常數(shù)項 3 關于 x 的方程 k 3 x2 2x 1 0 當 k 時 是一元二次方程 4 試找出五個連續(xù)整數(shù) 使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和 如果設五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)為 x 那么后面四個數(shù)依次可表示為 根據(jù)題意可得方程 5 判斷下列方程哪些是一元二次方程 1 4x2 5x 1 x 2 9x4 5 0 3 x 5 3 x 1 4 ax2 b 1 x c 0 a 0 5 5 x 1 2 5x2 6 01 12 x 6 判斷關于 x 的方程 x2 nx x n 1 5x 是不是一元二次方程 如果是 指出其二次 項系數(shù) 一次項系數(shù)及常數(shù)項 7 如果關于 x 的一元二次方程 x2 2 a 1 x a2 0 有兩個整數(shù)根 a 為整數(shù) 且 12 a 60 求這個方程的兩個根 四 小結 估計方程的近似解可用列表法求 估算的精度不要求很高 五 作業(yè) 1 五個連續(xù)整數(shù) 前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和 你能求出這五個連續(xù)整數(shù)嗎 2 一個面積為 120 平方米的矩形苗圃 它的長比寬多 2 米 求苗圃的周長 3 一名跳水運動員進行 10m 跳臺跳水訓練 在正常情況下 運動員必須在距水面 5m 以前完成規(guī)定的動作 并且調 整好入水姿勢 否則就容易出現(xiàn)失誤 假設運動員起跳后的運動時間 t s 和運動員距水面的高度 h m 滿足關系 h 10 2 5t 5t2 那么他最多有多長時間完成規(guī)定的動作 4 已知兩個數(shù)的和為 10 積為 9 求這兩個數(shù) 5 把方程 2x x 3 x 1 x 2 3 化成 ax2 bx c 0 的形式后 a b c 的值分別是 A 3 7 1 B 2 5 1 C 1 5 1 D 3 7 1 6 方程 x2 1 x 2x2 y 1 0 3x2 1 0 中 其中是一元二次方程的是 x 1 1 5 2 x A B C D 7 方程 x2 x 的解是 A 1 B 1 或 1 C 0 D 1 或 0 8 在一幅長 80cm 寬 50cm 的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊 制成一幅矩形圖 如果要使整個掛圖的面積是 5400cm2 設金色紙邊的寬為 xcm 那么滿足的方程是 A x2 130 x 1400 0 B x2 65x 350 0 C x2 130 x 1400 0 D x2 65x 350 0 9 一元二次方程的一般形式是 二次項是 一次項系數(shù)是 10 方程 3 x2 1 x 的二次項系數(shù)是 一次項是 常數(shù)項是 11 根據(jù)題意 列出方程 1 有一面積為 54 平方米的長方形 將它的一邊剪短 5 米 另一邊剪短 2 米 恰好變成一個正方形 這個正 方形的邊長是多少 2 三個連續(xù)的整數(shù)兩兩相乘 再求和 結果為 242 這三個數(shù)分別是多少 12 把下列方程化成一元二次方程的一般形式 并寫出它的二次項系數(shù) 一次項系數(shù)和常數(shù)項 13 關于 x 的方程 k2 1 x2 2 k 1 x 2k 2 0 當 k 時是一元二次方程 當 k 時是一元一次方程 14 關于 x 的方程 k x2 m 3 x 1 0 是一元二次方程 則 k 和 m 的取值范圍分別為什么 2 3 15 把下列方程化成一般形式 并寫出它的二次項 一次項 常數(shù)項 1 9x2 4x 5 2 x 7 4x 3 x 1 2 2 2 用配方法求解方程用配方法求解方程 一 教學目一 教學目標標 1 會用開平方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 2 理解配方法 會用配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程 方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項 3x2 5x 1 x 2 x 1 6 4 7x2 0 3 體會轉化的數(shù)學思想 用配方法解一元二次方程的過程 二 教學重二 教學重難難點 點 理解并掌握配方法 能夠靈活運用配方法解二次項系數(shù)為 1 的一元二次方程 如何利用等式的性質 進行配方 三 概念 三 概念 1 配方法 通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根 這種解一元二閃方程的方法稱為配方法 2 配方法一般步驟 1 方程兩邊同時除以 a 將二次項系數(shù)化為 1 0 0 2 acbxax 2 將所得方程的常數(shù)項移到方程的右邊 3 所得方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方 4 配方 化成bax 2 5 開方 當時 當 b0 則 k 16 9 即當 k 0 的前提下 用公式 x b 2a 求出 x 的值 5 具體寫出 x1 b 2a x2 b 2a 3 利用配方法推導一元二次方程的求根公式 若給出一個一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 你覺得應如何利用配方法求解 1 ax2 bx c 0 a 0 方程的兩邊同時除以 a 可得到 2 把上式中的常數(shù)項移項可得 3 如果對上式進行配方 方程兩邊應加上什么式子 這個式子是怎樣得到的 4 配方后可得 5 思考 對于上式能不能直接利用直接開平方 為什么 結論 結論 對于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 當 時 它的根是 x 式子 稱為求根公式 用 解一元二次方程的方法稱為公式法公式法 三 作業(yè) 1 用公式法解下列方程 1 2x2 4x 1 0 2 5x 2 3x2 3 x 2 3x 5 1 4 x2 2x 4 0 5 5x2 4 2x 6 x 2 3x 5 1 7 x2 8 0 8 x2 2x 35 0 9 5x2 15x 10 0 x25 10 9x2 6x 1 0 11 16x2 8x 3 2 一個直角三角形三邊的長為三個連續(xù)的偶數(shù) 求這個三角形的三條邊長 3 方程 m 1 x m 1 m 3 x 1 0 1 m 取何值時 方程是一元一次方程 2 m 取何值時 方程是一元二次方程 并求出此方程的解 4 x 2 是方程 2x2 mx 4 0 的一個根 則 m 的值是 5 兩個連續(xù)奇數(shù)的積是 483 則這兩個奇數(shù)分別是 6 若一個等腰三角形三邊長均滿足方程 x2 6x 8 0 則此三角形的周長為 7 已知一元二次方程有一個根是 2 那么這個方程可以是 填上你認為正確的一個方程即 可 8 填空 1 方程 x2 2x 1 0 的根為 x1 x2 則 x1 x2 x1 x2 2 方程 x2 3x 1 0 的根為 x1 x2 則 x1 x2 x1 x2 3 方程 3x2 4x 7 0 的根為 x1 x2 則 x1 x2 x1 x2 2 2 用分解因式法求解一元二次方程用分解因式法求解一元二次方程 一 教學目一 教學目標標 1 了解分解因式法的概念 2 會用因式分解法解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程 3 體驗解決問題的方法的多樣性 靈活選擇方程的解法 4 在學習活動中獲得成功的體驗 建立學好數(shù)學的信心 二 教學重點 二 教學重點 難難點點 會用因式分解法解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程 會用因式分解法解某些簡單的數(shù)字系 數(shù)的一元二次方程 三 概念 三 概念 因式分解法 一元二次方程的一邊另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法 四 教學程序 四 教學程序 一 復習 1 有兩個數(shù) a b 如果它們之間滿足 a b 0 則 a b 的值會是怎樣的情況 2 對下列各式分解因式 1 5x2 4x 2 x 2 x2 2x 二 新授 1 例題 例 1 如圖所示 1 設花園四周小路的寬度均為 x m 可列怎樣的一元二次方程 16 2x 12 2x 16 12 1 2 2 一元二次方程的解是什么 x1 2 x2 12 3 這兩個解都合要求嗎 為什么 x1 2 合要求 x2 12 不合要求 因荒地的寬為 12m 小路的寬不可能為 12m 它必須小于荒地寬的一半 例 2 設花園四角的扇形半徑均為 x m 可列怎樣的一元二 次方程 x2 12 16 1 2 2 一元二次方程的解是什么 X1 5 5 96 X2 5 5 3 合符條件的解是多少 X1 5 5 3 你還有其他設計方案嗎 請設計出來與同伴交流 1 花園為菱形 2 花園為圓形 3 花園為三角形 4 花園為梯形 3 鞏固練習 1 利用分解因式法解方程 1 5x2 4x 2 x 2 x x 2 2 你能用分解因式法解方程 x2 4 0 x 1 2 25 0 嗎 與同學交流一下 四 小結 1 本節(jié)內容的設計方案不只一種 只要合符條件即可 2 設計方案時 關鍵是列一元二次方程 3 一元二次方程的解一般有兩個 要根據(jù)實際情況舍去不合題意的解 五 作業(yè) 1 用分解因式法解方程 1 x2 6x 0 2 3 x 5 2 2 5 x 3 2 x 3 2 x2 9 4 4x2 4x 1 0 5 4 x 2 2 9 x 3 2 6 4x 2x 1 3 2x 1 7 2x 3 2 4 2x 3 8 3x x 1 2 2x 9 x 2 2 2x 3 2 10 x 2 x 3 12 11 x2 5x 8 0 12 2 x 3 2 x2 9 2 13 5 x2 x 3 x2 x 2 解方程 2x x 1 x 1 時 有的同學在方程的兩邊同時除以 x 1 得 2x 1 解方程得 x 0 5 這種做法對嗎 如 果不對 請你寫出正確的答案并與同學交流 3 方程 y2 4 2y 配方 得 A y 2 2 6 B y 1 2 5 C y 1 2 3 D y 1 2 3 4 已知 m2 13m 12 0 則 m 的取值為 A 1 B 12 C 1 和 12 D 1 和 12 5 如果關于 x 的一元二次方程 x2 2 a 1 x a2 0 有兩個整數(shù)根 a 為整數(shù) 且 12 a 60 求這個方程的兩個根 2 5 一元二次方程根與系數(shù)的關系一元二次方程根與系數(shù)的關系 一 教學目一 教學目標標 提高邏輯思維能力和分析問題 解決問題的能力 二 教學重二 教學重難難點 點 尋找等量關系 建立方程模型 三 概念 三 概念 一元二次方程根與系數(shù)的關系 如果方程的兩個實數(shù)根是 那么 0 0 2 acbxax 21 xx a b xx 21 a c xx 21 4 教學程序 教學程序 1 例題精講 例例1 1 已知關于的方程 1 有兩個不相等的實數(shù)根 且關于的方程 2 沒有實數(shù)根 問取什么整數(shù)時 方程 1 有整數(shù)解 分析分析 在同時滿足方程 1 2 條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值 解解 方程 1 有兩個不相等的實數(shù)根 解得 方程 2 沒有實數(shù)根 解得 于是 同時滿足方程 1 2 條件 的的取值范圍是 其中 的整數(shù)值有或 當時 方程 1 為 無整數(shù)根 當時 方程 1 為 有整數(shù)根 解 得 所以 使方程 1 有整數(shù)根的的整數(shù)值是 例例2 2 不解方程 判別方程兩根的符號 分析 分析 對于來說 往往二次項系數(shù) 一次項系數(shù) 常數(shù)項皆為已知 可據(jù)此求出根 的判別式 但 只能用于判定根的存在與否 若判定根的正負 則需要確定 或的正負情況 因此解 答此題的關鍵是 既要求出判別式的值 又要確定 或的正負情況 解 4 2 7 65 0 方程有兩個不相等的實數(shù)根 設方程的兩個根為 0 原方程有兩個異號的實數(shù)根 說明 說明 判別根的符號 需要把 根的判別式 和 根與系數(shù)的關系 結合起來進行確定 另外由于本題中 0 所以可判定方程的根為一正一負 倘若 0 仍需考慮的正負 方可判別方程是兩個正根還 是兩個負根 2 2 作業(yè)作業(yè) 填空題 填空題 1 如果關于的方程的兩根之差為2 那么 2 已知關于的一元二次方程兩根互為倒數(shù) 則 3 已知關于的方程的兩根為 且 則 4 已知是方程的兩個根 那么 5 已知關于的一元二次方程的兩根為和 且 則 6 如果關于的一元二次方程的一個根是 那么另一個根是 的值 為 7 已知是的一根 則另一根為 的值為 8 一個一元二次方程的兩個根是和 那么這個一元二次方程為 求值題 求值題 1 已知是方程的兩個根 利用根與系數(shù)的關系 求的值 2 已知是方程的兩個根 利用根與系數(shù)的關系 求的值 3 已知是方程的兩個根 利用根與系數(shù)的關系 求的值 4 已知兩數(shù)的和等于6 這兩數(shù)的積是4 求這兩數(shù) 5 已知關于 x 的方程的兩根滿足關系式 求的值及方程的兩個根 6 已知方程和有一個相同的根 求的值及這個相同的根 能力提升題 能力提升題 1 實數(shù)在什么范圍取值時 方程有正的實數(shù)根 2 已知關于的一元二次方程 1 求證 無論取什么實數(shù)值 這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根 2 若這個方程的兩個實數(shù)根 滿足 求的值 3 若 關于的方程有兩個相等的正的實數(shù)根 求的值 4 是否存在實數(shù) 使關于的方程的兩個實根 滿足 如果存在 試求出所有滿足條件的的值 如果不存在 請說明理由 5 已知關于的一元二次方程 的兩實數(shù)根為 若 求 的值 6 實數(shù) 分別滿足方程和 求代數(shù)式 的值 答案與提示 答案與提示 填空題 填空題 1 提示 解得 2 提示 由韋達定理得 解得 代入檢驗 有意義 3 提示 由于韋達定理得 解得 4 提示 由韋達定理得 由 可判定方程的兩根異號 有兩 種情況 設 0 0 則 設 0 0 則 5 提示 由韋達定理得 6 提示 設 由韋達定理得 解得 即 7 提示 設 由韋達定理得 8 提示 設所求的一元二次方程為 那么 即 設所求的一元二次方程為 求值題 求值題 1 提示 由韋達定理得 2 提示 由韋達定理得 3 提示 由韋達定理得 4 提示 設這兩個數(shù)為 于是有 因此可看作方程 的兩根 即 所以可得方程 解得 所以所求的兩個數(shù)分別是 5 提示 由韋達定理得 化簡得 解得 以下分兩種情況 當時 組成方程組 解這個方程組得 當時 組成方程組 解這個方程組得 6 提示 設和相同的根為 于是可得方程組 得 解這個方程得 以下分兩種情況 1 當時 代入 得 2 當時 代入 得 所以和相同的根為 的值分別為 能力提升題 能力提升題 1 提示 方程有正的實數(shù)根的條件必須同時具備 判別式 0 0 0 于是可得不等式組 解這個不等式組得 1 2 提示 1 的判別式 0 所以無論取什么實數(shù)值 這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根 2 利用韋 達定理 并根據(jù)已知條件可得 解這個關于的方程組 可得到 由于 所以可得 解這個方程 可得 3 提示 可利用韋達定理得出 0 0 于是得到不等式組 求得不等式組的解 且兼顧 即可得到 再由可得 接下去即可根據(jù) 得到 即 4 4 答案 存在 提示 因為 所以可設 由韋達定理得 于是可得方程組 解這個方程組得 當時 當時 所以的值有兩個 5 提示 由韋達定理得 則 即 解得 6 提示 利用求根公式可分別表示出方程和的根 又 變形得 2 6 應應用一元二次方程用一元二次方程 1 教學目教學目標標 1 能分析具體問題中的數(shù)量關系 建立方程模型并能解決現(xiàn)實情景中的實際問題 2 提高邏輯思維能力和分析問題 解決問題的能力 3 認識方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型 增強數(shù)學應用意識 二 教學重點二 教學重點難難點 點 列一元一次方程解應用題 依題意列一元二次方程 三 概念 三 概念 黃金分割中的黃金比是多少 準確數(shù)為 近似數(shù)為 0 618 5 1 2 四 教學程序 四 教學程序 一 復習 1 解方程 1 x2 2x 1 0 2 x2 x 1 0 2 哪些一元二次方程可用分解因式法來求解 方程一邊為零 另一邊可分解為兩個一次因式 二 新授 1 黃金比的來歷 如圖 如果 那么點 C 叫做線段 AB 的黃金分割點 AC AB CB AC 由 得 AC2 AB CB AC AB CB AC 設 AB 1 AC x 則 CB 1 x x2 1 1 x 即 x2 x 1 0 解這個方程 得 x1 x2 不合題意 舍去 1 5 2 1 5 2 所以 黃金比 0 618 AC AB 1 5 2 注意 黃金比的準確數(shù)為 近似數(shù)為 0 618 5 1 2 上面我們應用一元二次方程解決了求黃金比的問題 其實 很多實際問題都可以應用一元二次方程來解決 2 例題講析 例 1 如圖 某海軍基地位于 A 處 在其正南方向 200 海里處有一重要目標 B 在 B 的正東方向 200 海里處有一重要目標 C 小島 D 位于 AC 的中點 島上有一補給 碼頭 小島 F 位于 BC 上且恰好處于小島 D 的正南方向上 一首軍艦從 A 出發(fā) 經 B 到 C 勻速巡航 一首補給船同 時從 D 出發(fā) 沿南偏西方向勻速直線航行 欲將一批物品送達軍艦 1 小島 D 和小島 F 相距多少海里 2 已知軍艦的速度是補給船的 2 倍 軍艦在由 B 到 C 的途中與補給船相遇于 E 處 那么相遇時補給船航行 了多少海里 結果精確到 0 1 海里 分析 1 提示 利用相似三角形的性質 2 勾股定理 一元二次方程 解 1 連接 DF 則 DF BC AB BC AB BC 200 海里 AC AB 200海里 C 45 22 CD AC 100海里DF CF DF CD 1 222 DF CF CD 100 100 海里 2 2 2 22 所以 小島 D 和小島 F 相距 100 海里 2 設相遇時補給船航行了 x 海里 那么 DE x 海里 AB BE 2x 海里 EF AB BC AB BE C