高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.2均值不等式課堂探究學(xué)案.docx

3.2均值不等式課堂探究一、使用均值不等式求最值的注意事項(xiàng)剖析：(1)a，b都是正實(shí)數(shù)，即所求最值的代數(shù)式中的各項(xiàng)必須都是正數(shù)，否則就會(huì)得出錯(cuò)誤答案例如，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)x22，所以函數(shù)f(x)的最小值是2由于f(2)22，很明顯這是一個(gè)錯(cuò)誤的答案其原因是當(dāng)x0時(shí)，不能直接用均值不等式求f(x)x的最值因此，利用均值不等式求最值時(shí)，首先確定所求最值的代數(shù)式中的各項(xiàng)是否都是正數(shù)其實(shí)，當(dāng)x0，則f(x)x22，此時(shí)有f(x)2因此，當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的各項(xiàng)不都是正數(shù)時(shí)，應(yīng)利用變形，轉(zhuǎn)化為各項(xiàng)都是正數(shù)的代數(shù)式(2)ab與ab有一個(gè)是定值，即當(dāng)ab是定值時(shí)，可以求ab的最值；當(dāng)ab是定值時(shí)，可以求ab的最值如果ab和ab都不是定值，那么就會(huì)得出錯(cuò)誤答案例如，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)x2，所以函數(shù)f(x)的最小值是2由于2是一個(gè)與x有關(guān)的代數(shù)式，很明顯這是一個(gè)錯(cuò)誤的答案其原因是沒(méi)有掌握均值不等式求最值的條件：ab與ab有一個(gè)是定值其實(shí)，當(dāng)x1時(shí)，有x10，則函數(shù)f(x)x1213因此，當(dāng)ab與ab沒(méi)有一個(gè)是定值時(shí)，通常把所求最值的代數(shù)式采用配湊的方法化為和或積為定值的形式(3)等號(hào)能夠成立，即存在正數(shù)a，b使均值不等式兩邊相等，也就是存在正數(shù)a，b使得如果忽視這一點(diǎn)，就會(huì)得出錯(cuò)誤答案例如，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)x22，所以函數(shù)f(x)的最小值是2很明顯x中的各項(xiàng)都是正數(shù)，積也是定值，但是等號(hào)成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1，而函數(shù)的定義域是x2，所以這是一個(gè)錯(cuò)誤的答案其原因是均值不等式中的等號(hào)不成立其實(shí)，根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)，遇到這種情況時(shí)，一般就不再用均值不等式求最值了，此時(shí)該函數(shù)的單調(diào)性是確定的，可以利用函數(shù)的單調(diào)性求得最值利用函數(shù)單調(diào)性的定義可以證明，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)x是增函數(shù)，函數(shù)f(x)的最小值是f(2)2因此在使用均值不等式求最值時(shí)，上面三個(gè)條件缺一不可，通常將這三個(gè)條件總結(jié)成口訣：一正、二定、三相等二、教材中的“思考與討論”均值不等式與不等式a2b22ab的關(guān)系如何？請(qǐng)對(duì)此進(jìn)行討論剖析：(1)在a2b22ab中，a，bR；在ab2中，a，b0(2)兩者都帶有等號(hào)，等號(hào)成立的條件從形式上看是一樣的，但實(shí)質(zhì)不同(范圍不同)(3)證明的方法都是作差比較法(4)都可以用來(lái)求最值題型一利用均值不等式求最值【例1】 (1)已知x，y(0，)，且2xy1，求的最小值；(2)已知x2，求函數(shù)f(x)x的最大值分析：(1)利用“1”的代換，即將等價(jià)轉(zhuǎn)化為1或即可；(2)將x等價(jià)轉(zhuǎn)化為2即可解：(1)(2xy)2133232，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立的最小值為32(2)x0，f(x)x2222，當(dāng)且僅當(dāng)2x，得x0或x4(舍去)，即x0時(shí)，等號(hào)成立x取得最大值2反思：求最值問(wèn)題第一步就是“找”定值，觀察、分析、構(gòu)造定值是問(wèn)題突破口定值找到還要看“”是否成立，不管題目是否要求指出等號(hào)成立的條件，都要驗(yàn)證“”是否成立題型二利用均值不等式比較大小【例2】 若ab0，試比較a，b的大小分析：這是一個(gè)有趣的不等式鏈，取特殊值可判斷其大小關(guān)系借助不等式和重要不等式變形可尋求判斷和證明的方法解：ab0，aa2b22ab，2(a2b2)(ab)2，2又a0，b0，則，b0，bab反思：均值不等式ab2(a，bR)是綜合證明不等式和利用重要不等式求最值的工具，要注意不等式成立的條件，它與兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)是等價(jià)命題有趣的不等式鏈(a，bR)，揭示了兩正數(shù)倒數(shù)和、積、和平方、平方和之間的不等關(guān)系，當(dāng)某一部分為定值時(shí)，其余三部分都能取到最值，且都在兩數(shù)相等時(shí)取等號(hào)，利用這個(gè)不等式鏈往往使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，要在理解的基礎(chǔ)上記憶和應(yīng)用題型三利用均值不等式證明不等式【例3】 已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc分析：注意到abc1，故可運(yùn)用“常數(shù)代換”的策略將所證不等式的左邊的“1”代換成字母形式證明：abc1，(1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab)又a，b，c都是正實(shí)數(shù)，0，0，0abc(1a)(1b)(1c)8abc當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立反思：這是一道條件不等式的證明題，充分利用條件是證題的關(guān)鍵，此題要注意“1”的整體代換及三個(gè)“”必須同時(shí)取到題型四利用均值不等式解恒成立問(wèn)題【例4】 已知不等式(xy)9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，求正實(shí)數(shù)a的最小值分析：解：(xy)1a，又x0，y0，a0，22，1a1a2，要使(xy)9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，只需1a29恒成立即可(1)29，即13，a4，正實(shí)數(shù)a的最小值為4反思：恒成立問(wèn)題是數(shù)學(xué)問(wèn)題中非常重要的問(wèn)題，在此類(lèi)問(wèn)題的解法中，利用均值不等式和不等式的傳遞性求解是最重要的一種方法，在高考中經(jīng)?？疾轭}型五易錯(cuò)辨析【例5】 已知0x1，求f(x)2log5x的最值錯(cuò)解：f(x)2log5x2222，f(x)的最小值為22錯(cuò)因分析：ab2的前提條件是a，b0，0x1，log5x00不能直接使用均值不等式正解：0x1，log5x0(log5x)22log5x2f(x)22當(dāng)且僅當(dāng)log5x，即x5時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)f(x)有最大值22【例6】 求f(x)1的最小值錯(cuò)解：因?yàn)閒(x)111213，所以f(x)1的最小值為3錯(cuò)因分析：忽視了等號(hào)成立的條件