上海市ＳＯＥＣ（八校）2016屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）VIP

上海市高三（八校聯(lián)考）數(shù)學(xué)試卷一、填空題1.已知全集，集合，則集合_；【答案】【解析】【分析】先求解分式不等式再求解補(bǔ)集即可.【詳解】.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式不等式的求解與補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.2.若，則的值為 【答案】7【解析】試題分析：由可得.考點(diǎn)：排列數(shù)及組合數(shù)的計(jì)算.3.方程的解為_；【答案】【解析】【分析】設(shè)再轉(zhuǎn)換成二次方程求解即可.【詳解】設(shè)則轉(zhuǎn)換為.故,即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法求解關(guān)于指數(shù)方程的根的問題,屬于基礎(chǔ)題型.4.數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為整數(shù)，則數(shù)列前項(xiàng)和的值為_；【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的等積性與基本量法求解通項(xiàng)公式,再根據(jù)求和公式求解的值即可.【詳解】由等比數(shù)列的等積性,解得或.因?yàn)楣葹檎麛?shù).故,解得公比,故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的等積性與通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的求解,屬于中等題型.5.已知橢圓：的焦距為4，且過點(diǎn)，則橢圓的方程為_；【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本量的關(guān)系再代入點(diǎn)到橢圓的方程求解基本量即可.【詳解】由題, ,又橢圓過點(diǎn),故.化簡得.故,.所以橢圓方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓中的基本量的求法,屬于基礎(chǔ)題型.6.在正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，則直線與平面所成的角大小等于_；【答案】【解析】【分析】畫出圖像,分析所成角,再根據(jù)直角直角三角形中的關(guān)系求解角度的正切值即可.【詳解】由圖,因?yàn)槠矫嫫矫?故直線與平面所成的角為直線與平面所成的角,易得為.設(shè)正方體邊長為2則,.故故直線與平面所成的角大小等于.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中的線面角的問題,需要根據(jù)題意轉(zhuǎn)移求得線面角的正切值即可.屬于基礎(chǔ)題型.7.圖（1）是某區(qū)參加2015年高考的學(xué)生身高的條件統(tǒng)計(jì)圖，從左到右的各條形圖表示的學(xué)生人數(shù)依次記為、，（如表示身高（單位：cm）在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)），圖（2）是圖（1）中統(tǒng)計(jì)身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法流程圖，現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，那么流程圖中判斷框內(nèi)整數(shù)的為_；【答案】7【解析】【分析】根據(jù)題意分析需要求解、的和,再根據(jù)程序框圖的所求求解即可.【詳解】由題意得,所求為、的和,判斷框內(nèi)應(yīng)為.即.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題主要考查了框圖的理解以及對頻率分布直方圖的理解,屬于基礎(chǔ)題型.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意都有，且，則等于_；【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)與可求得,再根據(jù)所得的周期性求解即可.【詳解】令有,因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)故.所以,即是周期為6的函數(shù).故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性求解函數(shù)值以及賦值法求函數(shù)值的問題,屬于中等題型.9.已知二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，在展開式的二項(xiàng)式系數(shù)中任取兩個(gè)求和，則和為偶數(shù)的概率為_；【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和的公式求解,再根據(jù)展開式求解二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系進(jìn)而求得概率即可.【詳解】由題,二項(xiàng)式系數(shù)之和為.展開的二項(xiàng)式系數(shù)有：.其中奇數(shù)有4個(gè),偶數(shù)有3個(gè).從中取兩個(gè)數(shù)有種.若取得的和為偶數(shù)則可能是兩個(gè)奇數(shù)或者兩個(gè)偶數(shù).共種情況.故概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理與系數(shù)的關(guān)系,同時(shí)也考查了根據(jù)組合數(shù)求概率的問題.屬于中等題型.10.如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若，則= _【答案】【解析】【詳解】在矩形中，可以以的方向?yàn)檩S的正方向的直角坐標(biāo)系，如下圖所示：所以，點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，設(shè)，.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，由已知的圖形，建立直角坐標(biāo)系，是解題的關(guān)鍵.11.已知函數(shù)，的最大值為，最小值為，則行列式的值為_；【答案】【解析】【分析】利用降冪公式與輔助角公式化簡,再根據(jù)三角函數(shù)在區(qū)間上的最值方法以及行列式的算法求解即可.【詳解】.又,故.所以.故.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等變換與三角函數(shù)的范圍問題以及行列式的計(jì)算,屬于中等題型.12.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_；【答案】【解析】【分析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,故利用定義法求解即可.【詳解】設(shè),則在時(shí)恒成立.即,在時(shí)恒成立.故.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用利用定義分析函數(shù)單調(diào)性中的恒成立問題,屬于中等題型.13.已知雙曲線，點(diǎn)，在雙曲線上任取兩點(diǎn)、滿足，則直線恒過定點(diǎn)_；【答案】【解析】【分析】設(shè)的方程為,聯(lián)立雙曲線利用代數(shù)式恒成立即可求解直線恒過定點(diǎn)時(shí)中的值,進(jìn)而求得定點(diǎn).【詳解】設(shè)的方程為,則由.設(shè),則是該方程的兩根,.又,故,又,代入,得：整理得：,或.當(dāng)時(shí),過與題意不符,故舍去。當(dāng)時(shí),過定點(diǎn).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)直線與雙曲線的聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理求解參數(shù)定值與直線過定點(diǎn)的問題.屬于難題.14.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對任意等差數(shù)列及任意正整數(shù)都成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是_；【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和為【詳解】由題意可得,當(dāng)時(shí)顯然成立.當(dāng)時(shí)兩邊乘以有.令則恒成立.即.又最小值為.故.故正實(shí)數(shù)的取值范圍為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式與換元利用二次不等式的方法求最值的問題.需要根據(jù)題意選用合適的公式進(jìn)行化簡,屬于中等題型.二、選擇題15.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，的圖像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)與冪函數(shù)的圖像分析即可.【詳解】當(dāng)時(shí),對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增,且冪函數(shù)往下凸,無滿足選項(xiàng).當(dāng)時(shí), 對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減, 且冪函數(shù)往上凸.易得D滿足條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像,屬于基礎(chǔ)題型.16.已知，則“”是“”的（ ）A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分析時(shí)的充要條件中的取值范圍再判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí)顯然不成立.故.故.此時(shí)有,故或.故“”是“”的必要非充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的極限的運(yùn)用,需要根據(jù)題意將分式上下同時(shí)除以再分析.屬于中等題型.17.已知點(diǎn)，若點(diǎn)在曲線（參數(shù)）上運(yùn)動(dòng)，則面積的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化簡曲線成直角坐標(biāo),再將面積最小值轉(zhuǎn)換到圓上的點(diǎn)到直線的距離最小值求解即可.【詳解】由曲線（參數(shù)）知曲線是以為圓心,1為半徑的圓.故直角坐標(biāo)方程為：.又點(diǎn),故直線的方程為.故當(dāng)?shù)街本€的距離最小時(shí)有面積取最小值.又圓心到直線的距離為.故到直線的距離最小值為.故面積的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程化直角坐標(biāo)的方法與根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最值的問題.屬于中等題型.18.設(shè)、為平面內(nèi)的個(gè)點(diǎn)，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)到、點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)為、點(diǎn)的一個(gè)“中位點(diǎn)”，有下列命題：、三個(gè)點(diǎn)共線，在線段上，則是、的中位點(diǎn)；直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直線三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；若四個(gè)點(diǎn)、共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)；其中的真命題是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中位點(diǎn)的定義以及空間中的點(diǎn)與線的位置關(guān)系等逐個(gè)證明或舉反例即可.【詳解】若三個(gè)點(diǎn)共線,在線段上,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,則是的中位點(diǎn),正確；舉一個(gè)反例,如邊長為的直角三角形,此直角三角形的斜邊的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為,而直角頂點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為7,直角三角形斜邊的中點(diǎn)不是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；故錯(cuò)誤；若四個(gè)點(diǎn)共線,則它們的中位點(diǎn)是中間兩點(diǎn)連線段上的任意一個(gè)點(diǎn),故它們的中位點(diǎn)存在但不唯一；故錯(cuò)誤；如圖,在梯形中,對角線的交點(diǎn)是任意一點(diǎn),則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得,梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)正確故正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義問題的運(yùn)用,需要根據(jù)題意根據(jù)幾何性質(zhì)找到反例或直接證明.屬于難題.三、解答題19.已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），的實(shí)部為，虛部為，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)；（1）求復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)及復(fù)數(shù)的模；（2）求.【答案】(1) 復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,復(fù)數(shù)的模為.(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解,再分別求復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)及復(fù)數(shù)的模.(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義求解的值再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換求解.【詳解】(1)由題.故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.復(fù)數(shù)的模為.(2) 因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),結(jié)合(1)可知.則,.故.所以.即【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法,三角函數(shù)恒等變換等.屬于中等題型.20.老王有一塊矩形舊鐵皮，其中，他想充分利用這塊鐵皮制作一個(gè)容器，他有兩個(gè)設(shè)想：設(shè)想1是沿矩形的對角線把折起，使移到點(diǎn)，且在平面上的射影恰好在上，再利用新購鐵皮縫制其余兩個(gè)面得到一個(gè)三棱錐；設(shè)想2是利用舊鐵皮做側(cè)面，新購鐵皮做底面，縫制一個(gè)高為，側(cè)面展開圖恰為矩形的圓柱體；（1）求設(shè)想1得到的三棱錐中二面角的大??；（2）不考慮其他因素，老王的設(shè)想1和設(shè)想2分別得到的幾何體哪個(gè)容積更大？說明理由.【答案】(1)；(2) 圓柱體容積更大,證明見解析【解析】【分析】(1)過做,連接.證明二面角再計(jì)算其余弦值即可.(2)分別計(jì)算三棱錐與圓柱體的體積,再比較大小即可.【詳解】(1)過做,連接.由題意可知,根據(jù)三垂線定理知.故為二面角.利用等面積法.解得.進(jìn)一步可求得,根據(jù)三角形相似有,解得.故在中, .所以.即二面角的大小為(2)棱錐體積 圓柱體積.因?yàn)?故圓柱體容積更大.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的求解方法與棱錐和圓柱的體積方法,屬于中等題型.21.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，；（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析；(2)18【解析】【分析】(1)利用與的關(guān)系求解關(guān)于的遞推公式,再構(gòu)造數(shù)列證明即可.(2)根據(jù)是等差數(shù)列可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.代入可知隨著的增大而增大.故的最小值為,再解即可.【詳解】(1)由題,即當(dāng)時(shí)有,-有.整理得.兩邊同除以有. 當(dāng)時(shí), .滿足.故,.所以數(shù)列是等差數(shù)列.(2)由(1)可得.故對一切都成立.故隨著的增大而增大. 故的最小值為,所以恒成立.又.故恒成立.故最大正整數(shù)的值為18【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系,證明構(gòu)造的等差數(shù)列的方法.同時(shí)也考查了數(shù)列不等式的問題.屬于中等題型.22.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為；（1）求軌跡的方程；（2）求定點(diǎn)到軌跡上任意一點(diǎn)的距離的最小值；（3）設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.【答案】(1) ；(2) ；(3) 當(dāng)時(shí),直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí), 直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí), 直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)【解析】【分析】(1) 設(shè)點(diǎn),再根據(jù)題意求解關(guān)于的方程化簡即可.(2)根據(jù)(1)中的軌跡方程,分情況討論的最小值即可.(3)根據(jù)(1)中的方程,結(jié)合直線過分三種情況進(jìn)行討論即可.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn),依題意得,即,即.化簡整理得 .故點(diǎn)軌跡的方程為 (2)在點(diǎn)的軌跡中,記,.設(shè),當(dāng)點(diǎn)的軌跡在上時(shí), ,當(dāng)時(shí)取得最小值.當(dāng)點(diǎn)的軌跡在上時(shí), 綜上所述：當(dāng)時(shí),即,.(3) 在點(diǎn)的軌跡中,記,.依題意,可設(shè)直線的方程為.由方程組 可得當(dāng)時(shí),此時(shí) ,把代入軌跡的方程,得.故此時(shí)直線：與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí),方程的判別式為設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為,則由,令,得若,由解得,或.即當(dāng)時(shí),直線與沒有公共點(diǎn),與有一個(gè)公共點(diǎn),故此時(shí)直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn).若或,由解得,或.即當(dāng)時(shí),直線與只有一個(gè)公共點(diǎn),與有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí), 直線與有兩個(gè)公共點(diǎn),與沒有公共點(diǎn).故當(dāng)時(shí),直線與恰好有兩個(gè)公共點(diǎn).若,由解得,或.即當(dāng)時(shí),直線與有兩個(gè)公共點(diǎn),與有一個(gè)公共點(diǎn),故此時(shí)直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)綜上所述：當(dāng)時(shí),直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí), 直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí), 直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查了軌跡方程的求法,設(shè)拋物線上的點(diǎn)求距離最值的問題以及直線與軌跡方程的位置關(guān)系等.屬于難題.23.將所有平面向量組成的集合記作，是從到的對應(yīng)關(guān)系，記作或，其中、都是實(shí)數(shù)，定義對應(yīng)關(guān)系的模為：在的條件下的最大值記作，若存在非零向量，及實(shí)數(shù)使得，則稱為的一個(gè)特殊值；（1）若，求；（2）如果，計(jì)算的特征值，并求相應(yīng)的；（3）若，要使有唯一的特征值，實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足什么條件？試找出一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：有唯一的特征值，并驗(yàn)證滿足這兩個(gè)條件.【答案】(1) ；(2) 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), .其中且；(3) ,證明見解析【解析】【分析】(1)由新定義得,再利用得即可.(2)由特征值的定義可得,由此可得的特征值,及相應(yīng)的(3) 解方程組,再利用平行向量的方法求解證明即可.【詳