周衍柏《理論力學(xué)》第五章教案分析力學(xué)

周衍柏理論力學(xué)第五章教案分析力學(xué) 第五章分析力學(xué)本章要求 （1）掌握分析力學(xué)中的一些基本概念； （2）掌握虛功原理； （3）掌握拉格朗日方程； （4）掌握哈密頓正則方程。 第一節(jié)約束和廣義坐標(biāo) 一、約束的概念和分類加于力學(xué)體系的限制條件叫約束。 按不同的標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類按約束是否與時(shí)間有關(guān)分類穩(wěn)定約束、不穩(wěn)定約束；按質(zhì)點(diǎn)能否脫離約束分類可解約束、不可解約束；按約束限制范圍分類幾何約束（完整約束）、運(yùn)動(dòng)約束（不完整約束）。 本章只討論幾何約束（完整約束），這種約束下的體系叫完整體系。 二、廣義坐標(biāo) 1、自由度描述一個(gè)力學(xué)體系所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)叫體系的自由度。 設(shè)體系有n個(gè)粒子，一個(gè)粒子需要3個(gè)坐標(biāo)（如x、y、z）描述，而體系受有K個(gè)約束條件，則體系的自由度為（3n-K） 2、廣義坐標(biāo)描述力學(xué)體系的獨(dú)立坐標(biāo)叫廣義坐標(biāo)。 例如作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)只須角度用描述，廣義坐標(biāo)為，自由度為1，球面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，由極角和描述，自由度為2。 第二節(jié)虛功原理本節(jié)重點(diǎn)要求掌握虛位移、虛功、理想約束等概念；掌握虛功原理。 一、實(shí)位移與虛位移質(zhì)點(diǎn)由于運(yùn)動(dòng)實(shí)際上所發(fā)生的位移叫實(shí)位移；在某一時(shí)刻，在約束允許的情況下，質(zhì)點(diǎn)可能發(fā)生的位移叫虛位移。 如果約束為固定約束，則實(shí)位移是虛位移中一的個(gè)；若約束不固定，實(shí)位移與虛位移無(wú)共同之處。 例如圖5.2.1中的質(zhì)點(diǎn)在曲面上運(yùn)動(dòng)，而曲面也在移動(dòng)，顯然實(shí)位移與虛位移不一致。 二、理想約束設(shè)質(zhì)點(diǎn)系受主動(dòng)力和約束力的作用，它們?cè)谌我馓撐灰浦凶鞯墓刑摴Α?若約束反力在任意虛位移中對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所作虛功之和為零，則這種約束叫理想約束。 光滑面、光滑線、剛性桿、不可伸長(zhǎng)的繩等都是理想約束。 三、虛功原理 1、文字?jǐn)⑹龊蛿?shù)學(xué)表示受理想約束的力學(xué)體系，平衡的充要條件是作用于力學(xué)體系的諸主動(dòng)力在任意虛位移中作的元功之和為零。 即 （1）適用條件慣性系、理想不可解約束。 2、推論設(shè)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為q1，q a，q S，虛位移可寫(xiě)為用廣義坐標(biāo)變分表示的形式定義稱為相應(yīng)于廣義坐標(biāo)q a的廣義力，則虛功原理表述為理想約束的力學(xué)體系平衡的充要條件為質(zhì)點(diǎn)系受的廣義力為零，即 （2） 3、用虛功原理求解平衡問(wèn)題的方法步驟一般步驟為 （1）確定自由度，選取坐標(biāo)系，分析力（包括主動(dòng)力、約束力）； （2）選取廣義坐標(biāo)并將各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)表示成廣義坐標(biāo)q a的函數(shù)； （3）求主動(dòng)力的虛功并令其為零，由此求出平衡條件。 例見(jiàn)書(shū)P276例1第三節(jié)拉格朗日方程本節(jié)重點(diǎn)要求 （1）掌握拉格朗日方程的兩種形式，方程的特點(diǎn)和適用條件等； （2）掌握用拉格朗日方程求解具體問(wèn)題的步驟； （3）了解循環(huán)積分等概念。 一、基本形式的拉格朗日方程 1、方程的推導(dǎo)由牛頓第二定律并應(yīng)用理想約束的條件，可以得到達(dá)朗伯拉格朗日方程 (1)將坐標(biāo)的變分改成用廣義坐標(biāo)q1，q S的變分表示，即經(jīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，令（稱為體系的動(dòng)能），（稱為相應(yīng)于q a的廣義力），則 （1）式變?yōu)?（2）這就是基本形式的拉格朗日方程，應(yīng)注意 （2）實(shí)際是一組方程。 2、方程的適用條件理想約束。 二、保守系的拉格朗日方程設(shè)作用于體系的力全為保守力，則廣義力可由（V為勢(shì)能）求得在普遍形式的拉氏方程 （2）中，由于V不包含廣義速度，可令（動(dòng)能與勢(shì)能的差）為拉格朗日函數(shù)，則 （2）式變?yōu)?（3）應(yīng)指出 （3）的適用條件為保守系，理想約束，且 （3）應(yīng)用很普遍。 三、應(yīng)用拉格朗日方程求解問(wèn)題的步驟，例一般步驟畫(huà)草圖，確定自由度s和廣義坐標(biāo)q a；分析主動(dòng)力，若為保守系，則求出勢(shì)能V；若為非保守力，則計(jì)算廣義力Q a；求動(dòng)能T=T（）；對(duì)保守系，求出L=T-V，進(jìn)而代入方程 （3），寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程；對(duì)非保守系，將T和廣義力Q代入方程 （2），寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程。 解方程，求出q（t）。 例1P2654.10題圓環(huán)在光滑圓圈上運(yùn)動(dòng)，而圓圈繞垂直圓面的軸作勻角速運(yùn)動(dòng)，求圓環(huán)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解方法一牛頓力學(xué)方法（已在第四章第三節(jié)作為舉例計(jì)算）方法二用拉格朗日方程求解。 這是光滑圓圈且受的力只有重力和約束力，屬于保守體系，可采用保守系的拉氏方程求解。 質(zhì)點(diǎn)自由度為1，轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，廣義速度為。 任一角度時(shí)圓環(huán)（視為質(zhì)點(diǎn)）的動(dòng)能，其中絕對(duì)速度v可由速度合成公式求出這里（方向沿切線方向），牽連速度，大小為，方向垂直于op。 由速度合成公式得到動(dòng)能取圓平面為零勢(shì)能位置，則V=0，從而L=T-V=T-0=T代入拉氏方程 （2）中，得到 四、循環(huán)積分。 若拉氏函數(shù)L中某一坐標(biāo)q i不出現(xiàn)，則該坐標(biāo)q i叫循環(huán)坐標(biāo)，則（常數(shù)），叫循環(huán)積分。 第五節(jié)哈密頓正則方程本節(jié)不作重點(diǎn)要求。 基本要求是了解正則坐標(biāo)、正則動(dòng)量的概念和正則方程及其應(yīng)用。 一、哈密頓函數(shù)設(shè)力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)為，廣義速度為，則拉格朗日函數(shù),定義廣義動(dòng)量，則函數(shù)叫哈密頓函數(shù)。 它是廣義坐標(biāo)、廣義動(dòng)量的函數(shù)，而廣義坐標(biāo)、廣義動(dòng)量稱為正則變量。 特例對(duì)保守體系，H=T+V（動(dòng)能與勢(shì)能之和） 二、哈密頓正則方程哈密頓函數(shù)滿足的方程為由該方程組也可探討運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 方程組 （1）叫哈密頓正則方程。 三、用哈密頓正則方程求解問(wèn)題的步驟一般步驟為確定自由度r和廣義坐標(biāo)求動(dòng)能T和勢(shì)能V，寫(xiě)出拉格朗日函數(shù)。 求廣義動(dòng)量，將T和V中的換為，寫(xiě)出H=T+V=H（，）、寫(xiě)出正則方程，進(jìn)而