高中數(shù)學(xué) 2.1.3兩條直線的位置關(guān)系課件 北師大版必修2 .ppt

判斷兩直線平行 垂直的方法 兩條直線平行與垂直的判斷 判斷兩直線的位置關(guān)系首先分析直線斜率是否存在 例1 判斷下列各對(duì)直線是否平行或垂直 1 l1 3x 4y 5 0 l2 6x 8y 10 2 l1 3x 5y 7 l2 5x 3y 9 3 l1 l2 4 l1 x 2 l2 y 2 審題指導(dǎo) 把 1 2 化成斜截式 借助k1與k2及b1與b2的關(guān)系作出判斷 把 3 4 畫出草圖 借助圖形作出判斷 規(guī)范解答 1 把直線l1 l2分別化為 l1 l2 l1 l2 2 把直線l1 l2分別化為 l1 l2 k1 k2 且k1 k2 1 1 l1與l2既不平行也不垂直 3 如圖 1 所示 l1 l2 兩直線的斜率均不存在 l1 l2或重合 4 如圖 2 所示 l1 x 2 l2 y 2 l1的斜率不存在 l2的斜率為0 l1 l2 變式訓(xùn)練 已知a 2 3 b 4 0 p 3 1 q 1 2 試判斷直線ba與pq的位置關(guān)系 并證明你的結(jié)論 解析 直線ba與pq平行 證明如下 直線ba的斜率直線pq的斜率 k1 k2 直線ba與pq可能平行也可能重合 又直線bp的斜率k2 k3 即點(diǎn)p 3 1 不在直線ba上 故直線ba與pq平行 誤區(qū)警示 本題在求解過程中常因只驗(yàn)證k1 k2 而忘記檢驗(yàn)點(diǎn)p 3 1 是否在直線ba上 而盲目下結(jié)論 1 平行直線的求法 1 求與直線y kx b平行的直線方程時(shí) 根據(jù)兩直線平行的條件可巧設(shè)為y kx m m b 然后通過待定系數(shù)法 求參數(shù)m的值 2 求與直線ax by c 0平行的直線方程時(shí) 可設(shè)方程為ax by m 0 m c 代入已知條件求出m即可 利用兩條直線平行與垂直的條件求直線方程 2 垂直直線的求法 1 求與直線y kx b k 0 垂直的直線方程時(shí) 根據(jù)兩直線垂直的條件可巧設(shè)為然后通過待定系數(shù)法 求參數(shù)m的值 2 求與直線ax by c 0 a b不同時(shí)為零 垂直的直線時(shí) 可巧設(shè)為bx ay m 0 然后用待定系數(shù)法 求出m 對(duì)于斜率為零及不存在的情形要單獨(dú)討論 例2 如圖 在平行四邊形oabc中 點(diǎn)a 3 0 點(diǎn)c 1 3 1 求ab所在直線的方程 2 過點(diǎn)c作cd ab于點(diǎn)d 求cd所在直線的方程 審題指導(dǎo) 已知四邊形oabc是平行四邊形 可以利用平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)求ab的斜率 利用兩條直線垂直的條件求cd的斜率 進(jìn)而求相應(yīng)直線的方程 規(guī)范解答 1 點(diǎn)o 0 0 點(diǎn)c 1 3 oc所在直線的斜率為又在 oabc中 ab oc 所以kab koc 3 又點(diǎn)a 3 0 所以ab所在直線的方程為y 3 x 3 即3x y 9 0 2 在 oabc中 ab oc cd ab cd oc cd所在直線的斜率為 cd所在直線的方程為即x 3y 10 0 互動(dòng)探究 在本例題設(shè)不變的情況下 求點(diǎn)d的坐標(biāo) 解題提示 點(diǎn)d在直線ab上 又在直線cd上 聯(lián)立方程組求解 即可得到點(diǎn)d的坐標(biāo) 解析 點(diǎn)d在直線ab上 又在直線cd上 設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為 x y 由題意可知解得所以點(diǎn)d的坐標(biāo)為 3 7 2 1 對(duì)用一般式表示的兩直線位置關(guān)系的判定方法設(shè)直線l1與l2的方程分別為 a1x b1y c1 0 a1 b1不同時(shí)為0 a2x b2y c2 0 a2 b2不同時(shí)為0 利用直線的平行與垂直求參數(shù)的值 由此 我們得到了更一般的判定兩直線平行與垂直的結(jié)論 這一結(jié)論在解決含有參數(shù) 字母 的直線平行與垂直問題時(shí) 可避開討論斜率是否存在 從而減少了因考慮不周而造成失誤的可能性 例3 已知直線l1 ax 3y 1 0 l2 x a 2 y a 0 求滿足下列條件的a的值 1 l1 l2 2 l1 l2 審題指導(dǎo) 直線l1和l2的方程均以一般式的形式給出 要判斷l(xiāng)1 l2及l(fā)1 l2時(shí) 參數(shù)a的取值 求解思路有二 一是把方程均化成斜截式利用斜率及在y軸上截距的關(guān)系求解 二是直接利用系數(shù)a b c間的關(guān)系求解 規(guī)范解答 方法一 1 對(duì)于l1 若l1 l2 則存在 2 若l1 l2 則也存在 解得 方法二 由題可知a1 a b1 3 c1 1 a2 1 b2 a 2 c2 a 1 當(dāng)l1 l2時(shí) 有即解得a 3 所以 當(dāng)a 3時(shí) l1 l2 2 當(dāng)l1 l2時(shí) 有a1a2 b1b2 a 1 3 a 2 0 即4a 6 0 解得所以 當(dāng)時(shí) l1 l2 變式訓(xùn)練 已知直線l1的斜率為直線l2經(jīng)過點(diǎn)a 3a 2 b 0 a2 1 且l1 l2 求實(shí)數(shù)a的值 解析 直線l1的斜率為且l1 l2 故直線l2的斜率一定存在 且k1 kab 1 又解得a 1或a 3 當(dāng)a 1或a 3時(shí) l1 l2 對(duì)直線方程綜合應(yīng)用的認(rèn)識(shí)結(jié)合直線方程的形式及兩直線平行和垂直的條件 通過方程的觀點(diǎn)來研究生產(chǎn)實(shí)際問題 體現(xiàn)方程思想在生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用 直線方程的綜合應(yīng)用 例 在路邊安裝路燈 路寬23m 燈桿長(zhǎng)2 5m 且與燈柱成120 角 路燈采用錐形燈罩 燈罩軸線與燈桿垂直 當(dāng)燈柱高h(yuǎn)為多少米時(shí) 燈罩軸線正好通過道路路面的中線 精確到0 01m 審題指導(dǎo) 本題應(yīng)先畫出一個(gè)示意圖 再通過建系 轉(zhuǎn)化成有關(guān)直線問題 規(guī)范解答 記燈柱頂端為b 燈罩頂為a 燈桿為ab 燈罩軸線與道路中線交于點(diǎn)c 以燈柱底端o為原點(diǎn) 燈柱ob為y軸 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 點(diǎn)b的坐標(biāo)為 0 h 點(diǎn)c的坐標(biāo)為 11 5 0 oba 120 直線ab的傾斜角為30 則點(diǎn)a的坐標(biāo)為 2 5cos30 h 2 5sin30 即 ca ba 由直線的點(diǎn)斜式方程得ca的方程為 燈罩軸線ca過點(diǎn)c 11 5 0 解得h 14 92 m 故燈柱高h(yuǎn)約為14 92m 變式備選 2011 深圳高一檢測(cè) 過點(diǎn)a 1 1 向直線l作垂線 垂足為b 3 1 求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積 解析 由題知ab所在的直線的斜率為設(shè)直線l的斜率為k 直線l的方程為 y 1 2 x 3 即2x y 7 0 直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積 典例 12分 已知a 0 3 b 1 0 c 3 0 求d點(diǎn)的坐標(biāo) 使四邊形abcd為直角梯形 a b c d按逆時(shí)針方向排列 審題指導(dǎo) 解答本題可先對(duì)直角梯形中哪個(gè)角為直角進(jìn)行討論 然后借助于平行 垂直的關(guān)系列方程組求d點(diǎn)的坐標(biāo) 規(guī)范解答 設(shè)所求點(diǎn)d的坐標(biāo)為 x y 如圖所示 由于kab 3 kbc 0 kab kbc 0 1 即ab與bc不垂直 故ab bc都不可作為直角梯形的直角腰 2分 若cd是直角梯形的直角腰 則bc cd ad cd kbc 0 cd的斜率不存在 從而有x 3 又kad kbc 此時(shí)ab與cd不平行 故所求點(diǎn)d的坐標(biāo)為 3 3 7分 若ad是直角梯形的直角腰 則ad ab ad cd 又由于ad ab 又ab cd 9分 解 可得此時(shí)ad與bc不平行 即所求d點(diǎn)的坐標(biāo)為 11分綜上可知 使四邊形abcd為直角梯形的點(diǎn)d的坐標(biāo)為 3 3 或 12分 誤區(qū)警示 對(duì)解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下 即時(shí)訓(xùn)練 已知四邊形abcd的頂點(diǎn)坐標(biāo)試判斷四邊形abcd的形狀 解析 ab邊所在直線的斜率 cd邊所在直線的斜率 bc邊所在直線的斜率 da邊所在直線的斜率 kab kcd kbc kda ab cd bc da 四邊形abcd為平行四邊形 又所以ab bc 又故kac kbd 0 1 ac與bd不垂直 四邊形abcd為矩形 1 下列各組中的兩條直線平行的有 1 2x y 11 0 x 3y 18 0 2 2x 3y 4 04x 6y 8 0 3 3x 4y 7 012x 16y 7 0 a 0組 b 1組 c 2組 d 3組 解析 選b 1 兩直線的斜率不相等故不平行 2 兩直線重合 3 兩直線的斜率相等 且在y軸上的截距不相等 故平行 2 直線l過點(diǎn) 1 2 且與直線2x 3y 4 0垂直 則l的方程是 a 3x 2y 1 0 b 3x 2y 7 0 c 2x 3y 5 0 d 2x 3y 8 0 解析 選a 可得直線l的斜率為 l的方程為即3x 2y 1 0 選a 3 若直線l1 x y 3 0與l2 a 3 x y 2 0互相平行 則實(shí)數(shù)a的值是 解析 直線l1可化為 y x 3 直線l2可化為 y 3 a x 2 由l1 l2得3 a 1 解得a 4 答案 4 4 已知經(jīng)過兩點(diǎn) 3 2 和 m n 的直線l 1 若l與x軸平行 則m n的取值情況是 2 若l與x軸垂直 則m n的取值情況是 解析 1 l與x軸平行 由圖 可知m r且m 3 n 2 2 l與x軸垂直 由圖 可知m 3 n r且n 2 答案 1 m r且m 3 n 2 2 m 3 n r且n 2 5 已知p 2 1 直線l x y 4 0 1 求過點(diǎn)p與直線l平行的直線方程 2 求過點(diǎn)p與直線l垂直的直線方程 解析 1 設(shè)過點(diǎn)p與直線l平行的直線方程為x y m 0 由題意可知2 1 m 0 解得m 1 所以過點(diǎn)p與直線l平行的直線方程為x y 1 0 2 設(shè)過點(diǎn)p與直線l垂直的直線方程為x y n 0 由題意可知2 1 n 0 解得n 3 所以過點(diǎn)p與直線l垂直的直線方程為x y 3 0 一 選擇題 每題4分 共16分 1 2010 安徽高考 過點(diǎn) 1 0 且與直線x 2y 2 0平行的直線方程是 a x 2y 1 0 b x 2y 1 0 c 2x y 2 0 d x 2y 1 0 解題提示 可設(shè)所求直線方程為x 2y c 0 代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)得c的值 進(jìn)而得直線方程 解析 選a 設(shè)直線方程為x 2y c 0 又過 1 0 故c 1 所求方程為x 2y 1 0 2 經(jīng)過 m 3 與 2 m 的直線l與斜率為 4的直線相互垂直 則m的值為 解析 選d 由題意可知解得 3 已知點(diǎn)p 0 1 點(diǎn)q在直線x y 1 0上 若直線pq垂直于直線x 2y 5 0 則點(diǎn)q的坐標(biāo)是 a 2 1 b 2 1 c 2 3 d 2 1 解析 選c 設(shè)q x y 由題意可知kpq 2 又由得x 2 q 2 3 4 已知a 1 3 b 3 1 點(diǎn)c在坐標(biāo)軸上 若 acb 90 則這樣的點(diǎn)c的個(gè)數(shù)為 a 1 b 2 c 3 d 4 解題提示 由于題目只告訴點(diǎn)c在坐標(biāo)軸上 沒明確是x軸還是y軸 因此求解時(shí)應(yīng)分類討論 解析 選c 設(shè)c x 0 則由kac kbc 1 得 x 0或x 2 即c為 0 0 或 2 0 設(shè)c 0 y 則由kac kbc 1 得 y 0或y 4 即c為 0 0 或 0 4 故這樣的點(diǎn)c有3個(gè) 故選c 方法技巧 分類討論的依據(jù)在解題中同學(xué)們常常遇到含參數(shù)的問題 如果參數(shù)的變化對(duì)題目的結(jié)果產(chǎn)生了影響 我們一般會(huì)聯(lián)想到解題時(shí)可能會(huì)用到分類討論的思想 但有些題目不直接給出參數(shù) 而是通過圖形的不確定性引發(fā)分類討論 如本題因點(diǎn)c的不明確落在哪個(gè)軸上而引發(fā)討論 另還有角的不明確性 方程的不明確性等等 學(xué)習(xí)中要多多注意總結(jié) 二 填空題 每題4分 共8分 5 已知直線mx 4y 2 0與2x 5y n 0垂直 垂足為 1 p 則m n p 解析 由mx 4y 2 0與2x 5y n 0垂直 知 m 10 又垂足為 1 p 解得 m n p 10 12 2 20 答案 20 6 2011 南京高二檢測(cè) 如果直線ax 2y 2 0與直線3x y 2 0平行 則a 解析 直線3x y 2 0的斜率為3 直線ax 2y 2 0的斜率為 a 6 答案 6 三 解答題 每題8分 共16分 7 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為a 2 4 b 1 2 c 2 3 求bc邊上的高ad所在的直線方程 解析 直線bc的斜率為 ad bc 根據(jù)點(diǎn)斜式得bc邊上的高ad所在的直線方程為即3x 5y 14 0 8 已知點(diǎn)m 2 2 n 5 2 點(diǎn)p在x軸上 分別求滿足下列條件的p的坐標(biāo) 1 mop opn o為坐標(biāo)原點(diǎn) 2 mpn是直角 解題提示 1 由 mop opn可知直線mo pn 2 由 mpn是直角知mp np