數(shù)學(xué)建模-紅綠燈問題

紅綠燈優(yōu)化問題 摘要 紅綠燈（交通信號(hào)燈）系以規(guī)定之時(shí)間上交互更迭之光色訊號(hào)，設(shè)置于交岔路口或其他特殊地點(diǎn)，用以將道路通行權(quán)指定給車輛駕駛?cè)伺c行人，管制其行止及轉(zhuǎn)向之交通管制設(shè)施。為一由電力運(yùn)轉(zhuǎn)之交通管制設(shè)施，以紅、黃、綠三色燈號(hào)或輔以音響，指示車輛及行人停止、注意與行進(jìn)，設(shè)于交岔路口或其他必地點(diǎn)。 有些紅綠燈在設(shè)計(jì)的時(shí)候，由于考慮不周全，環(huán)境的發(fā)展變化，出現(xiàn)了一系列問題，使得不能真正的方便于人。為了使紅綠燈能真正的方便于人，本文建模過程根據(jù)實(shí)際情況，考慮諸如道路車輛行駛速度、行人行走速度、車流量、人流量、路段寬度等相關(guān)問題，對(duì)這些因素進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集，利用數(shù)學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行了分析，得出了各個(gè)影響紅綠燈變化的規(guī)律及其擬合方程。一、問題重述 燈是用以將道路通行權(quán)指定給車輛駕駛?cè)伺c行人，管制其行止及其轉(zhuǎn)向之交通管制設(shè)施，紅綠燈燈亮的時(shí)間長短問題影響了車輛和行人的通行。如控制方案不佳，會(huì)導(dǎo)致行人和車輛通行的不便，怎樣設(shè)置才能使紅綠燈時(shí)間達(dá)到最佳。 在日常生活中我們知道紅綠燈的表示如下： （一）綠燈亮?xí)r，準(zhǔn)許車輛通行，但轉(zhuǎn)彎的車輛不得妨礙被放行的直行車輛、行人通行； （二）黃燈亮?xí)r，已越過停止線的車輛可以繼續(xù)通行； （三）紅燈亮?xí)r，禁止車輛通行。 根據(jù)其工作原理我們可以知道，在紅綠燈前首先司機(jī)會(huì)看到黃燈，黃燈亮后變成紅燈，紅燈亮后，沒有通過停止線的車輛則要停止，行人此時(shí)過馬路。此后再變綠燈，以此循環(huán)。但由于變化的規(guī)律性，地域的差異，紅綠燈時(shí)間很難達(dá)到最佳。 紅綠燈時(shí)間差的決定因素大體可以歸為兩個(gè)：車流量和人流量。 第一個(gè)因素車流量會(huì)因?yàn)榈赜蚪?jīng)濟(jì)發(fā)展程度而決定。所謂的地域經(jīng)濟(jì)發(fā)展程度會(huì)影響該地域人們的經(jīng)濟(jì)，人們的經(jīng)濟(jì)條件則決定車的總量。 第二個(gè)因素人流量的主要影響條件也是地域經(jīng)濟(jì)發(fā)展程度，所以我們把總因素，即紅綠燈的時(shí)間差因素歸納為地域經(jīng)濟(jì)發(fā)展因素的影響。 根據(jù)路口設(shè)置信號(hào)燈的交通流量標(biāo)準(zhǔn)表，下表所示：公路等級(jí)高速公路一二三四計(jì)算行車速度（km/h）1201008060100 60 80 40 60 30 40 20 根據(jù)路口設(shè)置信號(hào)燈的交通流量標(biāo)準(zhǔn)表，下表所示： 主路寬度（m）主道路交通流量（輛/h）支道路交通流量（輛/h）高峰小時(shí)12h高峰小時(shí)12h小于107508000350380080090002702100120130001902000大于10900100003904100100012000300280014001500021022001800200001501500二、模型的建設(shè)1、假設(shè)公路路面行駛順暢，所以車輛設(shè)為質(zhì)點(diǎn)，車距相等；2、假設(shè)司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間相同；3、假設(shè)車輛離紅綠燈較遠(yuǎn)的速度和離開紅綠燈后的速度相等。三、符號(hào)說明Q為等候紅綠燈的人流量W為車流量V為車輛離紅綠燈較遠(yuǎn)時(shí)的速度（m/s）T為紅綠燈所占時(shí)間周期（s）I為相鄰兩紅綠燈的道路長度（m）E為所需通行時(shí)間占周期總時(shí)間的比例K為車輛密度（輛/km）四、模型建立與求解在公路上選定一個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)，記作x=0.以車流運(yùn)動(dòng)方向作為X軸的正向，對(duì)于每一時(shí)刻t和每一點(diǎn)x，引入3個(gè)基本函數(shù)； 流量W(x,t)時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)通過點(diǎn)x的車輛數(shù)； 密度K(x,t)時(shí)刻t點(diǎn)x處單位長度內(nèi)的車輛數(shù)； 速度u(x,t)時(shí)刻t通過點(diǎn)x的車流速度；單位時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)等于單位長度內(nèi)的車輛數(shù)與車輛速度的乘積，即W(x,t)=u(x,t)K(x,t) 由這三個(gè)函數(shù)我們可以得知，車流速度u總是隨著車流密度K的增加而減小的。當(dāng)一汽車前面沒有車輛的時(shí)候，它將以最大速度V行駛。當(dāng)亮紅燈時(shí)，車隊(duì)首尾連接造成堵塞，車輛無法前進(jìn)，此時(shí)K為最大值，車輛行駛速度u=0. 在交通模型中這個(gè)關(guān)系常用如下二次函數(shù)表述： W=uK(1-K/Km) 由得出： U=um(1-k/km) 最后得到，W的最大極值點(diǎn)為Km/2 說明，紅燈亮?xí)r道路中間的車輛密度為最大，首尾兩端遞減。 若原來公路上的交通處于穩(wěn)定狀態(tài)，即初始密度K（x）是常數(shù)。某時(shí)刻交通燈突然變紅燈，于是前面車輛繼續(xù)行駛，后面的車輛則一輛輛地堵塞起來。 紅綠燈的變化必然引起密度函數(shù)K（x,t）的間斷，一連串的間斷點(diǎn)（x,t）在平面上構(gòu)成一條孤立連續(xù)的間斷線。 考慮到如果汽車以V0 (m/s)行駛的過程中遇到紅燈，汽車將會(huì)經(jīng)歷一個(gè)減速過程，最后停在紅燈線前，為了使模型較為簡練，近似地取作為汽車在這個(gè)過程中的速度。同樣的，當(dāng)綠燈亮?xí)r，汽車將經(jīng)歷一個(gè)加速過程，最后以一個(gè)較大Va=V0的速度離開路口，模型建立的時(shí)候認(rèn)為加速過程較短，可以忽略，汽車離開路口的速度為Va。1.2.5車流密度和速度假設(shè)定義一個(gè)變量車流密度k(輛/km)表示在一千米長的道路上的平均的車輛數(shù)目。假設(shè)k只是速度v的函數(shù)，即，并且，v越大，則k越小，v越小，則k越大。1.3模型建立1.3.1車流波及波速列隊(duì)行駛的車輛在信號(hào)交叉口遇到紅燈后，即陸續(xù)停車排隊(duì)而集結(jié)成密度高的隊(duì)列；當(dāng)綠燈開啟后，排隊(duì)的車輛又陸續(xù)起動(dòng)疏散成一列具有適當(dāng)密度的隊(duì)列。車流中兩種不同密度部分的分界面掠過一輛輛車向車隊(duì)后部傳播的現(xiàn)象，稱為車流的波動(dòng)。此車流波動(dòng)沿道路移動(dòng)的速度稱為波速。假設(shè)一條公路上由兩個(gè)相鄰的不同交通流密度區(qū)域（K1和K2）用垂線S分割這兩種密度，稱S為波陣面，設(shè)S的速度為w(w為垂線S相對(duì)于路面的絕對(duì)速度)，并規(guī)定垂線S的速度w沿車流運(yùn)行方向?yàn)檎Ｈ缦聢D1.1表示：wS圖1.1車流波示意圖首先看波速公式的推導(dǎo)：假設(shè)一條公路上由兩個(gè)相鄰的不同交通流密度區(qū)域（K1和K2）用垂線S分割這兩種密度，稱S為波陣面，設(shè)S的速度為w（ w為垂線S相對(duì)于路面的絕對(duì)速度），并規(guī)定垂線S的速度w沿車流運(yùn)行方向?yàn)檎Ｓ闪髁渴睾憧芍?，在t 時(shí)間內(nèi)由A進(jìn)入S面的車輛數(shù)等于由S面駛?cè)隑的車輛數(shù)，即：可解得如圖， (1.1)1.3.2目標(biāo)函數(shù)及約束條件OS1S2W1W2圖1.2.汽車經(jīng)過紅燈前車流波的示意圖P其中S1,S2 由于紅燈，綠燈所造成的車流的擾動(dòng)而引起的車流波的波面，W1,W2 分別為兩波的傳播速度/mV1 =V0 /3 在受到紅燈車流波影響前的車的速度m/sV2 =0 汽車在等紅燈時(shí)的速度V3 =V0 綠燈亮之后汽車離開的速度m/sK1,K2,K3 分別為三個(gè)階段的車流密度 輛/kmO 紅綠燈的位置P 車流波影響的最終位置，即波面S1,S2在此相遇Tr,Tg 單位周期內(nèi)紅燈綠燈的時(shí)間先討論使得路口交通暢通時(shí)的約束條件，由前面的車流波和波速的概念可以求得， (1.2) (1.3)如果要使得因紅燈而停在馬路口的車輛得以全部消散，要求： W2 W1 (1.4)又設(shè)從綠燈亮到所有車均消散開所經(jīng)歷的時(shí)間為 (1.5)則要求 (1.6)由于車輛進(jìn)入城區(qū)的方向與時(shí)間未定，假設(shè)車輛從兩個(gè)垂直方向進(jìn)入城區(qū)的事件分別為A，B，且有P(A)=P(B)=0.5，同時(shí)假設(shè)在汽車行駛的過程中不拐彎，即汽車在每個(gè)路口都只能往前行駛。式1.5、1.6為模型的約束條件，除此之外還有非負(fù)約束。如果要使車輛進(jìn)入城區(qū)的用時(shí)極小，則使Min E(t)=P(A)E(t|A)+P(B)E(t|B) (1.7)式1.7為模型目標(biāo)函數(shù)?，F(xiàn)在分別考慮E(t|A)和E(t|B)計(jì)算方法：由于紅綠燈有一個(gè)固定周期為(Tr+Tg)，現(xiàn)在假設(shè)汽車進(jìn)入道路時(shí)紅綠燈的相位，假設(shè)的時(shí)刻為在汽車駛?cè)氤鞘械缆返臅r(shí)候，離它最近的第一個(gè)紅燈剛好處于剛亮的狀態(tài)，則當(dāng)，表示汽車進(jìn)入道路的瞬間，紅燈亮，而若，表示汽車進(jìn)入道路的瞬間，綠燈亮。則考慮到這樣的周期性，可以有如下的劃分：OS(Tr+Tg)V0(Tr+Tg)V0(1-x)(Tr+Tg)V01N圖1.3. x相位時(shí)進(jìn)入長為l的道路時(shí)，計(jì)算的劃分其中假設(shè)道路的原長為l0，則有 (1.8)OS0(Tr+Tg)V0SS圖1.4.最后一次紅燈亮?xí)r汽車可能的位置假設(shè)當(dāng)紅燈剛好亮的時(shí)候距紅燈距離為S0的范圍內(nèi)，所有的車輛會(huì)受到紅綠燈波的影響。（將（1.5）代入）(1.9)如果有SS0，則汽車走完這S的路程所用的時(shí)間可表示為： (1.10)上式等式右邊第一項(xiàng)表示等待紅燈所需要的時(shí)間，第二項(xiàng)表示由于綠燈波的延遲所造成的時(shí)間差，而第三項(xiàng)表示從停車位置行駛到路口所花的時(shí)間。此時(shí)的總的時(shí)間為 (1.11)而如果S0 S(Tr+Tg)V0時(shí)可以想象該車將不再受到紅燈的影響，即它可以以它現(xiàn)在的勻速速度V0通過紅綠燈路口。此時(shí)它通過該段路所用的時(shí)間為： (1.12) （1.13） (1.14)同樣的道理有 (1.15)將p(x)=1以及上面兩個(gè)式子代入(1.7)即可求解出問題的最優(yōu)解。需要指出的是，1.15中的即為1.14式中的.1.4模型的計(jì)算結(jié)果1.4.1數(shù)值求解模型的優(yōu)化變量為、，根據(jù)不同約束條件下的結(jié)果，計(jì)算結(jié)果列于下表。表1.1 不同車流密度k取值下優(yōu)化結(jié)果Tg/sTr/sK11=120,K31=100;K12=100,K32=8000K11=140,K31=120;K12=120,K32=10000K11=120,K31=100;K12=90,K32=7500注：表中K下標(biāo)第一位表示第幾階段的車流密度，第二位表示南北向或東西向。上表的求解結(jié)果表明，對(duì)于本模型的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，約束1.5，1.6均為松弛約束，或者說，模型的最優(yōu)分配方案是紅、綠燈周期盡可能地短。顯然，這樣的求解結(jié)果與實(shí)際情況完全不同。導(dǎo)致問題的原因在1.4.2中討論，下面僅從一點(diǎn)修正模型，即假設(shè)為了讓行人有足夠的時(shí)間通過馬路，兩個(gè)方向綠燈時(shí)間有下界，即將非負(fù)約束加強(qiáng)為某一正值下界約束。求解結(jié)果列于下表。表1.2 不同下界約束下的優(yōu)化結(jié)果約束下界取值/sTg/sTr/s101010202020303030 可見該模型目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)將使得約束1.5、1.6保持滿足，且模型的優(yōu)化結(jié)果將趨向于使紅綠燈周期盡可能地小，這一點(diǎn)不應(yīng)修正改變。1.4.2模型的缺陷該模型成立的一個(gè)必要條件是車流是連續(xù)的均勻流，才有了車流波的概念，但實(shí)際上由于司機(jī)的主觀意識(shí)的影響，車的運(yùn)動(dòng)極不規(guī)律，也就是說實(shí)際中的車流難以滿足連續(xù)均勻流這樣苛刻的條件。如果以車的實(shí)際運(yùn)動(dòng)或者簡化的加速減速進(jìn)行計(jì)算，必然牽扯到微積分的計(jì)算，將使計(jì)算的難度將大大地提高。 在遭遇紅綠燈前后車的減速和加速不可能是一個(gè)瞬間的突變的過程，同時(shí)車流密度K不可能僅僅是v的函數(shù)，也是隨著v而連續(xù)變化的，這樣