核心概念-合成-黃翔等.doc

第六章 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)中的10個(gè)核心概念在總結(jié)前期實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)廣泛聽(tīng)取各方意見(jiàn)和建議，此次標(biāo)準(zhǔn)提出了10個(gè)核心概念。這就是：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。核心概念有何意義呢？首先應(yīng)該注意到，這些核心概念的內(nèi)涵在性質(zhì)上是體現(xiàn)的學(xué)習(xí)主體學(xué)生的特征，它們涉及的是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該建立和培養(yǎng)的關(guān)于數(shù)學(xué)的感悟、觀念、意識(shí)、思想、能力等，因此，可以認(rèn)為，它們是學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的重要方面。第二，標(biāo)準(zhǔn)將這些核心概念放在課程內(nèi)容設(shè)計(jì)欄目下提出，是想表明，這些概念不是設(shè)計(jì)者超乎于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之上外加的，而是實(shí)實(shí)在在蘊(yùn)涵于具體的課程內(nèi)容之中，或者與課程內(nèi)容緊密結(jié)合的。從這一意義上看，核心概念往往是一類(lèi)課程內(nèi)容的核心或聚焦點(diǎn)，它有利于我們把握課程內(nèi)容的線(xiàn)索和層次，抓住教學(xué)中的關(guān)鍵。并在數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)中有機(jī)地去發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。第三，深入一步講，核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的基本思想。數(shù)學(xué)的基本思想指對(duì)數(shù)學(xué)及其對(duì)象、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)基本思想集中反映為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)模型思想。這些思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要目標(biāo)。不難看出，核心概念對(duì)數(shù)學(xué)基本思想的體現(xiàn)是鮮明的。比如，與“數(shù)與代數(shù)”部分內(nèi)容直接關(guān)聯(lián)的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接體現(xiàn)了抽象、推理和模型的基本思想要求。這啟示我們，核心概念的教學(xué)要更關(guān)注其數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。第四，這些核心概念都是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)點(diǎn)，也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)，并通過(guò)教師的教學(xué)予以落實(shí)。僅以“數(shù)學(xué)思考”和“問(wèn)題解決”部分的目標(biāo)設(shè)定來(lái)看，標(biāo)準(zhǔn)就提出了：“建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力”；“發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機(jī)現(xiàn)象”；“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”；“增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”；“體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)”。這些目標(biāo)表述幾乎涵蓋了所有的核心概念。綜上所述，把握好這些核心概念無(wú)論對(duì)于教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都是極為重要的。第一節(jié) 數(shù)感一般人提起數(shù)感，總感到它是比較玄乎的。也有人質(zhì)疑，像數(shù)感這種因人的感覺(jué)而異的、較“虛”的東西有必要作為核心概念提出來(lái)嗎？一些老師也感到數(shù)感作為課堂教學(xué)目標(biāo)不好把握。這些情況說(shuō)明，我們有加強(qiáng)對(duì)數(shù)感認(rèn)識(shí)的必要。 一、兩個(gè)實(shí)例給人的啟示實(shí)例一：2010年2月25日，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的2009年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示：我國(guó)70個(gè)大中城市房屋銷(xiāo)售價(jià)格同比上漲1.5%，其中新建住宅價(jià)格上漲1.3%。此報(bào)告一出立刻引起全國(guó)一片嘩然。公眾普遍反映此數(shù)據(jù)與實(shí)際狀況嚴(yán)重不符。面對(duì)公眾質(zhì)疑，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局召開(kāi)緊急會(huì)議，討論統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)源是否真實(shí)可靠？統(tǒng)計(jì)方法是否科學(xué)？輿論提出的一個(gè)問(wèn)題是：不論統(tǒng)計(jì)部門(mén)統(tǒng)計(jì)方式是否科學(xué)，為何公眾對(duì)房?jī)r(jià)的感覺(jué)與統(tǒng)計(jì)結(jié)果是大相徑庭的呢？此例說(shuō)明數(shù)感的確是存在的，它與公眾的社會(huì)生活息息相關(guān)，并已成為現(xiàn)代社會(huì)公民所具有的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一部分。實(shí)例二：一老師在教學(xué)指數(shù)冪的意義時(shí)，拋出一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題：將一張紙對(duì)折32次，它的厚度有多大呢？老師給出的結(jié)論使學(xué)生在感到驚訝之余，更表示出強(qiáng)烈的質(zhì)疑。該問(wèn)題的結(jié)論是：其厚度可以超過(guò)世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度。毫無(wú)疑問(wèn)，這樣的問(wèn)題會(huì)像磁石一樣，緊緊吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生產(chǎn)生一種“不見(jiàn)結(jié)果不信服”的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。此例就其實(shí)質(zhì)看，教師在這里利用的是，學(xué)生基于實(shí)際操作（將紙對(duì)折若干次）所建立起來(lái)的對(duì)2的直觀感覺(jué)與數(shù)學(xué)科學(xué)計(jì)算得出的結(jié)果之間的巨大反差，由此創(chuàng)設(shè)出一個(gè)生動(dòng)的極富吸引力的學(xué)習(xí)環(huán)境。這一實(shí)例說(shuō)明，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，其固有的數(shù)感不僅在起作用，而且老師若能適時(shí)地利用學(xué)生原有數(shù)感的特點(diǎn)，使其形成課堂教學(xué)中的認(rèn)知沖突，則能大大提高課堂教學(xué)的效率。二、對(duì)數(shù)感的基本認(rèn)識(shí)“數(shù)感”一詞的英文表述為“Number Sense”，可翻譯為多種意思，如感覺(jué)、感官、理念、意識(shí)、領(lǐng)悟等等。那么，反映在數(shù)學(xué)課程中的數(shù)感基本內(nèi)涵究竟應(yīng)該如何理解呢？事實(shí)上，在這一點(diǎn)上人們的認(rèn)識(shí)仍然是多元的。1.一些關(guān)于數(shù)感內(nèi)涵的說(shuō)法。因篇幅所限，這里不一一詳述國(guó)內(nèi)外關(guān)于數(shù)感的種種說(shuō)法，只將其做大致的梳理。歸納成這樣幾類(lèi)：其一，認(rèn)為數(shù)感是“關(guān)于數(shù)字（量）的一種直覺(jué)”；其二，認(rèn)為數(shù)感與語(yǔ)感、方向感、美感等類(lèi)似，都會(huì)有一種“直感”的涵義，具有對(duì)特定對(duì)象的一種敏感性及相關(guān)的鑒別（鑒賞）能力；其三，認(rèn)為數(shù)感是一種主動(dòng)地、自覺(jué)地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)，是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；其四，認(rèn)為數(shù)感包含感覺(jué)、知覺(jué)、觀念、能力，可以用“知識(shí)”來(lái)統(tǒng)一指稱(chēng)，這一知識(shí)是程序性的、內(nèi)隱的、非結(jié)構(gòu)性的。2標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)感的表述課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿首次明確提出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，但未對(duì)數(shù)感內(nèi)涵做解釋?zhuān)遣捎猛庋用枋龅姆绞?，提出“?shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來(lái)表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息；能為解決問(wèn)題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ荒芄烙?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋?！痹谛抡n程實(shí)驗(yàn)中，廣大第一線(xiàn)教師在課堂教學(xué)實(shí)踐中對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感做了許多有益的探討，也形成了不少研究成果。此次修訂，認(rèn)真聽(tīng)取了各方意見(jiàn)，吸納了前期實(shí)驗(yàn)研究的一些成果，重新對(duì)數(shù)感的內(nèi)涵及功能作了表述。標(biāo)準(zhǔn)的提法是：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。”將數(shù)感表述為感悟不僅使這一概念有了較大的包容性，也使得這一概念有了更實(shí)在的意義，有利于一線(xiàn)教師的理解和把握。在前期課程實(shí)施中，人們對(duì)數(shù)感內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)較多強(qiáng)調(diào)其直覺(jué)、感知、潛意識(shí)、經(jīng)驗(yàn)等方面，在教學(xué)中教師也常常有“虛無(wú)縹緲”之感，找不到教學(xué)支點(diǎn)。將數(shù)感表述為感悟，揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領(lǐng)悟。“感是外界刺激作用于主體而產(chǎn)生的，是通過(guò)肢體（如感官等）而不是通過(guò)大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗(yàn)性的成分。悟是主體自身的，是通過(guò)大腦思維而產(chǎn)生的。感悟是既通過(guò)肢體又通過(guò)大腦，因此，既有感知的成分又有思維的成分?！保ㄊ穼幹校瑓问阑?，對(duì)數(shù)感及其教學(xué)的思考數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006年2期）標(biāo)準(zhǔn)將這種對(duì)數(shù)的感悟歸納為三個(gè)方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)，這主要是基于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的范圍并根據(jù)學(xué)生的實(shí)際所作出的要求，這有利于教師在教學(xué)中更好地把握數(shù)感培養(yǎng)的幾條主線(xiàn)。關(guān)于數(shù)與數(shù)量。在小學(xué)低段，兒童對(duì)數(shù)的感悟是從數(shù)數(shù)學(xué)習(xí)辨認(rèn)各組實(shí)物對(duì)象的多少開(kāi)始建立的。這是一個(gè)逐漸展開(kāi)的過(guò)程。兒童對(duì)多少的感悟離不開(kāi)具體的情境，這樣他就需經(jīng)歷一個(gè)察覺(jué)實(shí)物集合中所包含的物體數(shù)量多少的過(guò)程，從而積累并形成對(duì)量的多少的感知。學(xué)習(xí)用數(shù)表示多少的第一步就是數(shù)數(shù)，即用自然數(shù)表示多少。在數(shù)數(shù)的過(guò)程中，他們能把數(shù)量詞與其代表的少量物體聯(lián)系起來(lái)，逐漸過(guò)渡到數(shù)大量的物體；與此同時(shí)他們會(huì)形成這樣的經(jīng)驗(yàn)：數(shù)數(shù)的順序不會(huì)改變數(shù)的結(jié)果；數(shù)的過(guò)程中下一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)多一；數(shù)數(shù)中的最后一個(gè)數(shù)不但代表這個(gè)數(shù)，也代表了這組物體的總數(shù)（事實(shí)上就是序數(shù)與基數(shù)相等）。隨著學(xué)習(xí)年級(jí)的增高，學(xué)生還會(huì)經(jīng)歷更多的對(duì)數(shù)意義的感悟，如對(duì)分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)，并形成對(duì)數(shù)的各種表征方式，比如，他們會(huì)知道1/4，25%，0.25是同一個(gè)數(shù)的不同表示。對(duì)數(shù)與數(shù)量建立起來(lái)的數(shù)感常常與實(shí)際情境關(guān)聯(lián)，比如對(duì)數(shù)量單位的認(rèn)識(shí)，提起教室的長(zhǎng)度，應(yīng)該想到米，提到兩個(gè)城市的距離則應(yīng)該想到公里（千米），同樣，一個(gè)小學(xué)生會(huì)質(zhì)疑一個(gè)宣傳牌中所說(shuō)“7000平方米森林中生活著兩只東北虎”是否成立？結(jié)合實(shí)際情境，學(xué)生的數(shù)感起到了判斷的作用（本文開(kāi)始的實(shí)例一也說(shuō)明了這一點(diǎn)）。關(guān)于數(shù)量關(guān)系。這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的另一個(gè)層次。不同年齡段的學(xué)生在理解了所學(xué)數(shù)的意義及表征后，他就具備了理解一定數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。比如學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念后，會(huì)建立起整體與部分之間關(guān)系的感悟，依賴(lài)于具體情境或圖形，會(huì)分辨兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，“隨著他們數(shù)感的增強(qiáng)，學(xué)生應(yīng)該能夠用數(shù)進(jìn)行推理。例如1/2+3/8一定小于1，因?yàn)槊總€(gè)加數(shù)都小于或等于1/2?！保绹?guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)，蔡金發(fā)等譯，人民教育出版社，2004年12月，第33頁(yè)）。隨著年級(jí)的升高和數(shù)系的擴(kuò)展，學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的感悟會(huì)逐步提升，比如對(duì)有理數(shù)的大小，以至于一些函數(shù)所表示的數(shù)量關(guān)系的感悟。學(xué)生對(duì)一些相對(duì)綜合，而顯得復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系的感悟是常常伴隨著具體的問(wèn)題情境而展開(kāi)的。比如，具有一定數(shù)感的學(xué)生坐上出租車(chē)，他不會(huì)對(duì)車(chē)上的計(jì)程器熟視無(wú)睹，他會(huì)關(guān)注跳動(dòng)的數(shù)碼，并對(duì)數(shù)碼變動(dòng)的間隔時(shí)間、出租車(chē)已行路程、起步價(jià)以及每公里價(jià)、到達(dá)目的地的路程等等數(shù)量及相互關(guān)系在頭腦中作出反應(yīng)，并形成判斷。這里的數(shù)感是對(duì)具體問(wèn)題所涉及的數(shù)量關(guān)系的整體把握。 關(guān)于運(yùn)算結(jié)果估計(jì)。這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感很重要的一個(gè)方面。數(shù)的運(yùn)算是數(shù)學(xué)課程中所占學(xué)時(shí)較多的內(nèi)容，過(guò)去，這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)我們更多的是關(guān)注運(yùn)算法則的掌握和運(yùn)算技能的訓(xùn)練，其實(shí)通過(guò)運(yùn)算培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)和能力，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)感也應(yīng)該成為課程教學(xué)的目標(biāo)。所以，標(biāo)準(zhǔn)在課程內(nèi)容中特別是“數(shù)與代數(shù)”部分多處提到估計(jì)及估算的要求。如，“在生活情境中感受大數(shù)的意義并能進(jìn)行估計(jì)”，“能結(jié)合具體情境，選擇恰當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算，體會(huì)估算在生活中的作用”（一學(xué)段）；“在解決問(wèn)題的過(guò)程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算”，“會(huì)根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格子上畫(huà)圖，會(huì)根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值”（二學(xué)段）；“能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍”（三學(xué)段）。其實(shí)，對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)涉及的因素很多：對(duì)參與運(yùn)算的數(shù)與量意義及關(guān)系的理解、對(duì)運(yùn)算方法的選擇與判斷、對(duì)運(yùn)算方式角度的把握、對(duì)具體情境的數(shù)量化的處理等等，所以，對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)反映的是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象更為綜合的數(shù)感。三、 關(guān)于學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)數(shù)感既然是對(duì)數(shù)的一種感悟，它就不會(huì)象知識(shí)、技能的習(xí)得那樣立竿見(jiàn)影，它需要在教學(xué)中潛移默化，積累經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷一個(gè)逐步建立、發(fā)展的過(guò)程。1、重視低段學(xué)生對(duì)數(shù)的感覺(jué)的建立，并在數(shù)感培養(yǎng)上處理好階段性和發(fā)展性的關(guān)系在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感在第一學(xué)段是重點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段目標(biāo)中明確指出：“在運(yùn)用數(shù)及適當(dāng)?shù)亩攘繂挝幻枋霈F(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單現(xiàn)象，以及對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行估計(jì)的過(guò)程中，發(fā)展數(shù)感?！边@一學(xué)段教學(xué)要選擇適合學(xué)生年齡特征的方式，提供實(shí)物，聯(lián)系身邊具體事物，觀察操作、游戲等都是較好的方式。比如剛?cè)雽W(xué)的兒童在認(rèn)識(shí)10以?xún)?nèi)數(shù)的時(shí)候，應(yīng)該通過(guò)實(shí)數(shù)、圖片等，將數(shù)與物對(duì)應(yīng)起來(lái)；以后在認(rèn)識(shí)20以?xún)?nèi)、100以?xún)?nèi)的數(shù)時(shí)，可以對(duì)具體實(shí)物通過(guò)估一估、數(shù)一數(shù)等活動(dòng)幫助學(xué)生形成對(duì)十、百等數(shù)量大小的感覺(jué)，如數(shù)100粒黃豆、100根小棒，估計(jì)教室里的學(xué)生人數(shù)，估計(jì)一堆水果的數(shù)量等。我們還可以就同一個(gè)數(shù)在實(shí)際生活中的多種意義所表現(xiàn)的數(shù)量來(lái)加強(qiáng)對(duì)數(shù)的感知。比如1200張紙大約有多厚？你的1200步大約有多長(zhǎng)？1200名學(xué)生站成做廣播操的隊(duì)形需要多大的場(chǎng)地？類(lèi)似這樣的問(wèn)題可讓學(xué)生舉一反三。應(yīng)結(jié)合每一學(xué)段的具體教學(xué)內(nèi)容，逐步提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。比如在二學(xué)段應(yīng)結(jié)合學(xué)生所熟悉的現(xiàn)實(shí)素材感受大數(shù)的意義，并能對(duì)一些問(wèn)題進(jìn)行估算；能了解負(fù)數(shù)的意義，用負(fù)數(shù)表示日常生活的問(wèn)題，建立起對(duì)負(fù)數(shù)的數(shù)感。在第三學(xué)段，隨著對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)領(lǐng)域的擴(kuò)大以及數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累，可以引導(dǎo)學(xué)生在較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算問(wèn)題中提升數(shù)感，發(fā)展更為良好的數(shù)感品質(zhì)。2、緊密結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活情境和實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感現(xiàn)實(shí)生活情境和實(shí)例，與學(xué)生的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)密切相連，不僅能夠?yàn)閷W(xué)生提供真實(shí)自然的數(shù)的感悟環(huán)境，也能讓學(xué)生在數(shù)的認(rèn)知上經(jīng)歷由具體到抽象的過(guò)程，逐步發(fā)展學(xué)生關(guān)于數(shù)的思維。反之，學(xué)生數(shù)感的提升也使得他們能用數(shù)字的眼光看周?chē)澜?，正如?biāo)準(zhǔn)所說(shuō)：“建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。”比如，讓學(xué)生通過(guò)調(diào)查、討論，弄清楚自己的學(xué)號(hào)、地區(qū)郵編號(hào)、汽車(chē)牌照號(hào)、身份證編號(hào)的規(guī)律和意義。如下的一個(gè)問(wèn)題更是能讓學(xué)生感到，建立良好的數(shù)感，對(duì)數(shù)字信息作出合理解釋與推斷的重要：火車(chē)票上車(chē)次號(hào)有兩個(gè)含義，一是數(shù)字越小表示車(chē)速越快，198次為特快車(chē)，101198次為直快車(chē)，301398次為普快車(chē)，401598次為普客車(chē)；二是單數(shù)表示從北京開(kāi)出，雙數(shù)表示開(kāi)往北京，現(xiàn)在有一張車(chē)票的車(chē)次號(hào)為122，它能給你什么信息？3、讓學(xué)生多經(jīng)歷有關(guān)數(shù)的活動(dòng)過(guò)程，逐步積累數(shù)感經(jīng)驗(yàn)在具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生能動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，多種感官協(xié)調(diào)活動(dòng)，加之能相互交流，這對(duì)強(qiáng)化感知和思維，積累數(shù)感經(jīng)驗(yàn)非常有益。比如，組織學(xué)生參加調(diào)查活動(dòng)，讓學(xué)生調(diào)查：從你家到學(xué)校的路程大約有多遠(yuǎn)？你上學(xué)大約要多少時(shí)間？教室面積有多大？學(xué)校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市有多少人口？如何測(cè)量一張紙的厚度？還可組織學(xué)生針對(duì)一周出版的某種報(bào)紙討論中間出現(xiàn)了哪些與數(shù)、數(shù)量、運(yùn)算有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，分別表述這些問(wèn)題中關(guān)于數(shù)的意義作用，如何用數(shù)來(lái)解決這些具體問(wèn)題等等。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)有利于學(xué)生在相互交流中從多角度去感悟數(shù)，豐富自己的數(shù)感經(jīng)驗(yàn)。第二節(jié) 符號(hào)意識(shí)符號(hào)對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)是特有的。它既是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。數(shù)學(xué)符號(hào)的功能特性是多方面的：它具有抽象性，這使得數(shù)學(xué)能夠超越于數(shù)學(xué)對(duì)象的具體屬性，而從形式化的角度進(jìn)行邏輯推演，并一步步把數(shù)學(xué)引向深入；它具有明確性，某一數(shù)學(xué)符號(hào)的意義一旦被賦予，它就在這確定的意義下被運(yùn)用，不會(huì)含糊，不會(huì)產(chǎn)生歧義，從而帶來(lái)數(shù)學(xué)極大的嚴(yán)謹(jǐn)性；它具有可操作性，數(shù)學(xué)過(guò)程往往體現(xiàn)于數(shù)學(xué)符號(hào)之間的“運(yùn)算”。針對(duì)這種“運(yùn)算”的算法是形式化的，“幾乎是自動(dòng)化的，不需要每次都從頭做起”。（迪多內(nèi)論數(shù)學(xué)的進(jìn)展，載數(shù)學(xué)史譯文集上?？萍汲霭嫔?，1980年版，126頁(yè)）；此外數(shù)學(xué)符號(hào)還具有簡(jiǎn)略性和通用性等特點(diǎn)。正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)學(xué)符號(hào)在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著舉足輕重的作用。法國(guó)數(shù)學(xué)家讓迪內(nèi)多在論數(shù)學(xué)的進(jìn)展一文中將“引進(jìn)好的符號(hào)”作為促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要原因之一。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，將無(wú)時(shí)無(wú)刻不與符號(hào)打交道，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的語(yǔ)言、工具、方法的功能和上述特性的認(rèn)識(shí)事實(shí)上構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號(hào)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)能力的培養(yǎng)也成為重要的教學(xué)目標(biāo)。一、 對(duì)符號(hào)意識(shí)的認(rèn)識(shí)從一般意義上說(shuō)，所謂符號(hào)就是針對(duì)具體事物對(duì)象而抽象概括出來(lái)的一種簡(jiǎn)略的記號(hào)或代號(hào)。數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等等構(gòu)成了數(shù)學(xué)的符號(hào)系統(tǒng)。符號(hào)意識(shí)（Symbol sense）是學(xué)習(xí)者在感知、認(rèn)識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)方面所作出的一種主動(dòng)性反應(yīng)，它也是一種積極的心理傾向。數(shù)學(xué)符號(hào)最本質(zhì)的意義就在于它是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果。比如，在數(shù)與代數(shù)中，數(shù)來(lái)源于對(duì)數(shù)量本質(zhì)（多與少）的抽象，而數(shù)字就成為能夠以大小排序的符號(hào)。與數(shù)的符號(hào)表示一樣，關(guān)于數(shù)的運(yùn)算知識(shí)也是從生活實(shí)踐中加以抽象，逐漸形成法則。這一過(guò)程中很重要的一步是使用字母這一符號(hào)來(lái)表示抽象運(yùn)算，這使得“可以像對(duì)數(shù)那樣對(duì)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，并且，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算得到的結(jié)果是具有一般性的”（史寧中數(shù)學(xué)思想概論，第一輯，地34頁(yè)）。這表明，數(shù)學(xué)符號(hào)不僅是一種表示方式，更是與數(shù)學(xué)概念、命題等具體內(nèi)容相關(guān)的、體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想的核心概念，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。二、 標(biāo)準(zhǔn)中符號(hào)意識(shí)所包含的內(nèi)容此次標(biāo)準(zhǔn)修訂，將原來(lái)的“符號(hào)感”改為了“符號(hào)意識(shí)”，這兩個(gè)稱(chēng)謂就其英文表述來(lái)看沒(méi)有變化，而中文表述將“感”改為“意識(shí)”應(yīng)該說(shuō)其意義與課程目標(biāo)的價(jià)值取向和數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)意義要求更加吻合。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無(wú)論是概念、命題學(xué)習(xí)還是問(wèn)題解決，都涉及用符號(hào)去表征數(shù)學(xué)對(duì)象，并用符號(hào)去進(jìn)行運(yùn)算、推理，得到一般性的結(jié)論。在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)主要的還不是潛意識(shí)、直覺(jué)或感覺(jué)，而是一種主動(dòng)的使用符號(hào)的心理傾向。所以用“意識(shí)”更準(zhǔn)確些。標(biāo)準(zhǔn)對(duì)符號(hào)意識(shí)的表述有這樣幾層意思值得我們體會(huì)：1. 能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律標(biāo)準(zhǔn)中的這個(gè)要求針對(duì)的是符號(hào)表示，它有兩層意思：一是能夠理解符號(hào)所表示的意義；二是能夠運(yùn)用符號(hào)去表示數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律等）。每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都有它特定的含義，如、分別表示特定的運(yùn)算意義，、則表示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的某種關(guān)系。使學(xué)生理解符號(hào)的意義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最基本的要求，也是符號(hào)意識(shí)的最基本要求。由于數(shù)學(xué)符號(hào)是一種特殊的語(yǔ)言，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解也有其固有的特點(diǎn)和要求：因?yàn)榉?hào)具有一定抽象度，對(duì)符號(hào)的認(rèn)識(shí)和理解就不應(yīng)是形式上的，而應(yīng)是實(shí)質(zhì)上的，即應(yīng)從抽象的符號(hào)本身看到其所表征的準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)意義；由于符號(hào)具有壓縮信息的功能，所以對(duì)符號(hào)的意義的理解就不應(yīng)是片面的，而應(yīng)是全面的、完整的、特別將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為我們所熟悉的生活語(yǔ)言時(shí)，應(yīng)該抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)予以解讀和表征；由于數(shù)學(xué)符號(hào)具有概括性和一般性特征，所以對(duì)它的認(rèn)識(shí)和理解又不應(yīng)是孤立的、僵化的，比如應(yīng)注意符號(hào)與符號(hào)之間的關(guān)聯(lián)（如“”與“”之間的關(guān)系 ），也應(yīng)注意同一符號(hào)的多重意義的理解（如既可表示矩形面積與長(zhǎng)、寬關(guān)系，也可表示平行四邊形面積與底、高的關(guān)系，也可表示路程與時(shí)間、速度的關(guān)系，也可表示總價(jià)與單價(jià)、數(shù)量之間的關(guān)系，還可表示半圓周長(zhǎng)與圓周率、半徑的關(guān)系，）。對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)不僅要“懂”，還要會(huì)“用”。運(yùn)用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象就是“用”符號(hào)的重要方面。這里的數(shù)學(xué)對(duì)象主要指數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，它們?cè)诟鱾€(gè)學(xué)段都有自己的特定的要求。關(guān)于用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象這里著重指出兩點(diǎn)：一是要注意義務(wù)教育階段整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由相對(duì)具體到相對(duì)抽象的過(guò)程。比如用數(shù)字符號(hào)表示現(xiàn)實(shí)中的多少，用單一的運(yùn)算符號(hào)表示數(shù)字運(yùn)算關(guān)系，其抽象度顯然不及用字母代替數(shù)及用字母表示數(shù)量關(guān)系，后者對(duì)前者來(lái)說(shuō)是一個(gè)階段性的變化。而用符號(hào)關(guān)系式或一定的數(shù)學(xué)模式語(yǔ)言去表示特定的數(shù)學(xué)變化規(guī)律則又更為抽象和復(fù)雜。這表明關(guān)于數(shù)學(xué)表達(dá)的符號(hào)意識(shí)的發(fā)展是一個(gè)逐漸積累變化的過(guò)程。二是數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)是多樣化的，比如關(guān)系式、表格、圖像等等都是表達(dá)數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的符號(hào)工具，有時(shí)，即使是同一數(shù)學(xué)對(duì)象也可采用多種符號(hào)予以表達(dá)。而多種符號(hào)表達(dá)方式之間也是可以轉(zhuǎn)換的。符號(hào)表達(dá)上的這些特點(diǎn)值得我們?cè)诮虒W(xué)中關(guān)注。比如這樣一個(gè)例題：在下列橫線(xiàn)上填上合適的數(shù)字，字母或圖形，并說(shuō)明理由。1,1,2；1,1,2； ， ， ；A,A,B；A,A,B； ， ， ；， ， ；， ； ， ， ；通過(guò)觀察規(guī)律，使一學(xué)段學(xué)生能夠感悟到：對(duì)于有規(guī)律的事物，無(wú)論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達(dá)形式不同而已。2. 知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性這一點(diǎn)很重要。從某種意義上說(shuō)這正是符號(hào)意識(shí)作為一種“意識(shí)”需要強(qiáng)化的。這一要求的核心是基于運(yùn)算和推理的符號(hào)“操作”意識(shí)。由于運(yùn)算和推理是數(shù)學(xué)活動(dòng)最重要的基本形式，所以標(biāo)準(zhǔn)的這一要求是希望在各學(xué)段學(xué)習(xí)中，都加強(qiáng)學(xué)生在邏輯法則下使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理的訓(xùn)練，這涉及到的類(lèi)型較多，如對(duì)具體問(wèn)題的符號(hào)表示、變量替換、關(guān)系轉(zhuǎn)換、等價(jià)推演、模型抽象及模型解決等等。3.使學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)必須采用的方式，數(shù)學(xué)表達(dá)實(shí)質(zhì)上就是以數(shù)學(xué)符號(hào)作為媒介的一種語(yǔ)言表達(dá)。通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力成為當(dāng)今課堂關(guān)注的目標(biāo)。比如這樣一個(gè)問(wèn)題：“某書(shū)定價(jià)8元，如果一次購(gòu)買(mǎi)10本以上，超過(guò)10本部分打八折。分析并表示購(gòu)書(shū)數(shù)量與付款金額之間的關(guān)系。”顯然，購(gòu)書(shū)數(shù)量與付款金額之間是呈函數(shù)關(guān)系（分段函數(shù)），為了解決問(wèn)題的方便，我們可以分別采用函數(shù)關(guān)系式、列表、作出圖象等多種符號(hào)表達(dá)方式來(lái)表示這一具體問(wèn)題。發(fā)展符號(hào)意識(shí)最重要的是運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，我們不妨把這種思考稱(chēng)為“符號(hào)思考”，這種思考是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型等基本數(shù)學(xué)思想的集中反映，是最具數(shù)學(xué)特色的思維方式。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：“房間里有4條腿的椅子和三條腿的凳子共16個(gè)，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來(lái)共有60個(gè)，那么有幾個(gè)椅子和幾個(gè)凳子？”如果學(xué)生沒(méi)有經(jīng)過(guò)專(zhuān)門(mén)的“雞兔同籠”解題模式的思維訓(xùn)練，他完全可以使用恰當(dāng)?shù)姆?hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，找到解題思路。如可以用表格分析椅子數(shù)的變化引起凳子數(shù)和腿總數(shù)的變化規(guī)律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程組的、關(guān)于字母的思考方式來(lái)加以解決。三、 關(guān)于學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)1.在各學(xué)段緊密結(jié)合概念、命題、公式的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)概念、命題公式等是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的重要組成部分，它們常常是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，而它們又和數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)和使用密切相關(guān)。正因?yàn)槿绱耍瑯?biāo)準(zhǔn)在學(xué)段目標(biāo)和各學(xué)段內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中都提出了具體要求。如：“理解符號(hào)、=、的含義，能使用符號(hào)和詞語(yǔ)描述萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的大小”，“認(rèn)識(shí)小括號(hào)”。（一學(xué)段）；“認(rèn)識(shí)中括號(hào)”“在具體情境中能用字母表示數(shù)”，“結(jié)合簡(jiǎn)單的時(shí)間情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”，“能用方程表示簡(jiǎn)單情境中的等量關(guān)系”（二學(xué)段）；“能分析簡(jiǎn)單問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示”，“通過(guò)用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)模型思想，建立符號(hào)意識(shí)”（三學(xué)段）。2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)一方面，盡可能通過(guò)實(shí)際問(wèn)題或現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)、幫助學(xué)生理解符號(hào)以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義，或引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題進(jìn)行符號(hào)的抽象和表達(dá)；另一方面，對(duì)某一特定的符號(hào)表達(dá)式啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行多樣化的現(xiàn)實(shí)意義的填充和解讀。這種建立在現(xiàn)實(shí)情境與符號(hào)化之間的雙向過(guò)程，有利于增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)符號(hào)思維的變通性、遷移性和靈活性。3.在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)符號(hào)意識(shí)更多地表現(xiàn)為以學(xué)生為主體的一種主動(dòng)用符號(hào)的意識(shí)，因此，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)僅靠一些單純的符號(hào)推演訓(xùn)練和模仿記憶是難以達(dá)到應(yīng)有的效果的。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題（這實(shí)際上需要運(yùn)用符號(hào)抽象和表達(dá)問(wèn)題）、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題（這實(shí)際上是使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理和數(shù)學(xué)思考）的全過(guò)程，在這一過(guò)程中積累運(yùn)用符號(hào)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更好地感悟符號(hào)所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。逐步促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)得到提高。第三節(jié) 空間觀念一、空間觀念的含義與意義幾何學(xué)是最早成為人們以課程的形式進(jìn)行學(xué)習(xí)的科目。19世紀(jì)以前的兩千多年里，歐氏幾何一直在課程中占有統(tǒng)治地位，然而，隨著幾何學(xué)自身的發(fā)展、數(shù)學(xué)在社會(huì)發(fā)展中的應(yīng)用，幾何作為課程的地位、價(jià)值的認(rèn)識(shí)也在發(fā)生著變化。二十世紀(jì)以來(lái)，關(guān)于歐氏幾何作為中小學(xué)課程內(nèi)容的有關(guān)爭(zhēng)論從未間斷過(guò)。但是，無(wú)論爭(zhēng)論如何，空間想象力卻是被較為一致的認(rèn)為是數(shù)學(xué)諸多能力中的重要組成部分。空間觀念作為空間想象力發(fā)展的基礎(chǔ)受到普遍的重視，也成為我國(guó)義務(wù)教育階段幾何課程的主要目標(biāo)之一。心理學(xué)把人對(duì)頭腦中已有表象進(jìn)行改造，創(chuàng)造出新形象的過(guò)程稱(chēng)作想象。關(guān)于空間想象力的含義，林崇德（1991）指出，中學(xué)生的空間想象包括對(duì)平面幾何圖形和立體幾何圖形的運(yùn)動(dòng)、變換和位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、代數(shù)問(wèn)題的幾何解釋等?？臻g想象能力主要體現(xiàn)在對(duì)諸如一維、二維、三維空間中方向、方位、形狀、大小等空間概念的理解水平及其幾何特征的內(nèi)化水平上，體現(xiàn)在對(duì)簡(jiǎn)單形體空間位置的想象和變換（平移、旋轉(zhuǎn)以及分割、割補(bǔ)和疊合等）上，以及對(duì)抽象的數(shù)學(xué)式子（算式或代數(shù)式等）給與具體幾何意義的想象解釋或表象能力上。曹才翰提出，空間想象能力就是以現(xiàn)實(shí)世界為背景，對(duì)幾何表象進(jìn)行加工改造，創(chuàng)造新的形象的能力。同時(shí)他指出，空間想象能力對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，這種要求太高了，所以義務(wù)教育階段教學(xué)大綱中只提出培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念?？臻g觀念至少反映了如下的5個(gè)方面的要求：（1）由形狀簡(jiǎn)單的實(shí)物抽取出空間圖形；（2）由空間圖形反映出實(shí)物；（3）由復(fù)雜圖形中分解出簡(jiǎn)單的、基本的圖形；（4）由基本的圖形中尋找出基本元素及其關(guān)系；（5）由文字或符號(hào)作出或畫(huà)出圖形。全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NCTM）指出，空間觀念是對(duì)一個(gè)人周?chē)h(huán)境和實(shí)物的直接感知；對(duì)于23維圖形及其性質(zhì)的領(lǐng)會(huì)和感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)著美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)M北京：人民教育出版社,1994。關(guān)于發(fā)展學(xué)生的空間觀念的意義，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育研究者都有相關(guān)的描述。數(shù)學(xué)家阿蒂亞（MAtiyah）認(rèn)為，幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個(gè)部分，其中視覺(jué)思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分。這種區(qū)分也許用另一對(duì)詞刻畫(huà)更好，即“洞察”對(duì)“嚴(yán)格”，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中都起著本質(zhì)的作用。它們?cè)诮逃械囊饬x也是清楚的。我們的目標(biāo)應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展這兩種思維模式，過(guò)分強(qiáng)調(diào)一種而損害另一種是錯(cuò)誤的 英MAtiyah著數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性M南京:江蘇教育出版社，199512。荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾（Freudenthal，1989）指出，幾何是對(duì)空間的把握這個(gè)空間是兒童生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)的空間。在這個(gè)空間里，兒童必須學(xué)會(huì)去了解、探索、征服，從而能更好地在其中生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)。全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)在美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)提到，幾何有助于我們用一種有序的方式表示和描述我們生活的現(xiàn)實(shí)世界，將幫助學(xué)生描述和弄清世界的意義。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，發(fā)展牢固的空間關(guān)系的觀念，掌握幾何的概念和語(yǔ)言，可以較好地為學(xué)習(xí)數(shù)和度量概念做準(zhǔn)備，還可以促進(jìn)其他數(shù)學(xué)課程的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。幾何的模型提供了一個(gè)透視圖，從中，學(xué)生可以分析和解決問(wèn)題，而且?guī)缀蔚慕忉屵€可以幫助學(xué)生形成一個(gè)抽象的（符號(hào)的）表示，使人更容易理解。的確，一方面，空間與人類(lèi)的生存密切相關(guān)，了解、探索和把握我們生活的空間能使人類(lèi)更好地生存、活動(dòng)和利用空間。另一方面，空間觀念是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒(méi)有空間觀念和空間想象力，幾乎很難談發(fā)明與創(chuàng)造，因?yàn)樵S許多多的發(fā)明創(chuàng)造都是以實(shí)物的形態(tài)呈現(xiàn)的，作為設(shè)計(jì)者要先要對(duì)自己的創(chuàng)造物進(jìn)行想象，然后可能是模型的構(gòu)建，這里的模型包括圖形和實(shí)物，再根據(jù)模型修改設(shè)計(jì)，直至最終完善成型。這是一個(gè)充滿(mǎn)豐富想象和創(chuàng)造的探求過(guò)程，也是人的思維不斷在二維和三維空間之間轉(zhuǎn)換，利用直觀進(jìn)行思考的過(guò)程?？臻g觀念和空間想象力在這個(gè)過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用?；谶@樣的分析與認(rèn)識(shí)，我們可以更好地理解標(biāo)準(zhǔn)把“空間觀念”作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心概念的緣由與意義。二、標(biāo)準(zhǔn)中空間觀念所包含的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有具體給出空間觀念的內(nèi)涵，而是從是否具有空間觀念的幾個(gè)表征出發(fā)對(duì)其進(jìn)行描述。標(biāo)準(zhǔn)是從四個(gè)方面加以刻畫(huà)描述的：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形等。標(biāo)準(zhǔn)對(duì)空間觀念的描述，是在義務(wù)教育階段通過(guò)圖形與幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生在這些方面的要求以及需要達(dá)成的目標(biāo)。這樣的目標(biāo)達(dá)成的過(guò)程是一個(gè)包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過(guò)程，它貫穿在圖形與幾何學(xué)習(xí)的全過(guò)程中，無(wú)論是圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的運(yùn)動(dòng)，圖形與坐標(biāo)等都承載著發(fā)展學(xué)生空間觀念的任務(wù)。1.根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體有研究表明，三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的主要途徑。“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體”的過(guò)程，是三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換的基本表現(xiàn)形式，這是一個(gè)充滿(mǎn)觀察、想象、比較、推理和抽象的過(guò)程，是建立在對(duì)周?chē)h(huán)境直接感知基礎(chǔ)上的、對(duì)空間與平面相互關(guān)系的理解與把握。由實(shí)物或幾何體再到視圖，經(jīng)歷了抽象以及從三維圖形到二維圖形轉(zhuǎn)化的過(guò)程，而由視圖到幾何體或?qū)嵨铮瑒t實(shí)現(xiàn)了從二維圖形到三維圖形的轉(zhuǎn)換。此外，幾何體與側(cè)面展開(kāi)圖、幾何體與用平面去截所得的截面等，都蘊(yùn)含著三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換。畫(huà)出物體的三視圖，就需要在頭腦加工的基礎(chǔ)上，把觀察到的經(jīng)過(guò)了想象、抽象后的再現(xiàn)出來(lái)的紀(jì)錄下來(lái)，使空間觀念從感知不斷發(fā)展上升為一種可以把握的能力。2. 想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系方位與現(xiàn)實(shí)生活是密切聯(lián)系的，也是個(gè)體對(duì)空間把握能力的一個(gè)具體的體現(xiàn)，對(duì)方位的感知和圖形相互之間位置關(guān)系的把握，是表現(xiàn)空間觀念的一個(gè)重要的方面?！跋胂笪矬w的方位和相互之間的位置關(guān)系”，在不同的問(wèn)題情境中有不同的想象的水平要求。在給出包含四個(gè)方向并注明中心點(diǎn)的方位結(jié)構(gòu)中判斷某一物體的相對(duì)于中心的方位，是最基本的層次；只給出一個(gè)方向（如北），判斷物體之間的位置關(guān)系，就需要學(xué)生更復(fù)雜一些的想象力了，同時(shí)推理也是必要的。例如，下圖是一張動(dòng)物園的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)的位置回答下列問(wèn)題： 海洋館 熊貓館 獅虎山 大象館 百鳥(niǎo)園 猴山東北 圖5（1）熊貓館在猴山的哪個(gè)方向上？ （2）大象館在海洋館的哪個(gè)方向上？進(jìn)一步可以再改變觀測(cè)點(diǎn)，描述與其他物體的相對(duì)方位。3.描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化圖形的運(yùn)動(dòng)既有形式上的（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、放大、縮小等），也有運(yùn)動(dòng)的方向上的。對(duì)圖形的運(yùn)動(dòng)和變化的描述，更具有綜合性，它要求對(duì)相關(guān)知識(shí)和內(nèi)容的理解，同時(shí)需要觀察、想象并再現(xiàn)圖形的運(yùn)動(dòng)和變化過(guò)程，無(wú)論是語(yǔ)言表述還是圖形刻畫(huà)這個(gè)過(guò)程，也同樣是把空間觀念從感知推向一種可以把握的能力。例如，描述從學(xué)校到家的路線(xiàn)示意圖，并注明方向及途中的主要參照物。學(xué)生需要回憶實(shí)際的路線(xiàn)，想象它經(jīng)過(guò)的各個(gè)環(huán)節(jié)的方向，學(xué)生也可以借助實(shí)物模擬路線(xiàn)，進(jìn)一步畫(huà)出路線(xiàn)的簡(jiǎn)單示意圖。這其中涉及到的方位實(shí)際上比單純描述物體的方位又復(fù)雜了一些，它是一種綜合的運(yùn)用。4.依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形這里所要求的想象空間是很開(kāi)放的，可以是具體的圖形，或具有某種大小或位置關(guān)系的一組圖形，等等。當(dāng)有人向你描述你看不到的情境時(shí)，你需要根據(jù)他人的描述構(gòu)建符合原形的直觀想象，闡述和傾聽(tīng)都需要在邏輯上對(duì)圖形關(guān)系進(jìn)行分析和操作，準(zhǔn)確地反映出描述的結(jié)果，體現(xiàn)了操作者對(duì)其中涉及的圖形的關(guān)系等的把握的能力，其核心也是空間觀念。三、空間觀念的培養(yǎng)空間觀念的培養(yǎng)，是一個(gè)長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程，因此對(duì)教學(xué)的要求有別于具體的幾何知識(shí)，但它又是在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)的。NCTM（全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)，1989）指出，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，兒童必須具有許多經(jīng)驗(yàn)。例如，幾何關(guān)系的要點(diǎn)，在空間中物體的方向、方位和透視觀點(diǎn)；相關(guān)的形狀和圖形與實(shí)物的大小，以及如何通過(guò)改變大小來(lái)改變形狀。這些經(jīng)驗(yàn)要依靠?jī)和韵聨讉€(gè)方面的能力，如會(huì)運(yùn)用象“上面”、“下面”和“后面”等一些詞語(yǔ)，畫(huà)出一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)900或1800以后的圖形，作圖、折疊，讓兒童想象、繪制和比較放在不同位置上的圖形，等等，這些活動(dòng)將有助于發(fā)展他們的空間觀念。事實(shí)上，在圖形與幾何課程的學(xué)習(xí)中，還是可以利用很多的素材和機(jī)會(huì)發(fā)展學(xué)生的空間觀念的，主要是我們?nèi)绾蝸?lái)認(rèn)識(shí)和利用這些素材和機(jī)會(huì)。1. 促進(jìn)空間觀念發(fā)展的課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中不僅將發(fā)展空間觀念作為核心概念和目標(biāo)，同時(shí)，在三個(gè)學(xué)段都重視了發(fā)展學(xué)生空間觀念的內(nèi)容的設(shè)置，這些在本書(shū)的內(nèi)容分析部分都有提及。例如，第一、二學(xué)段的“圖形與運(yùn)動(dòng)”、“圖形與位置”中的大部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，都是發(fā)展學(xué)生空間觀念的很好的素材；第一、二學(xué)段中的從不同方向觀察物體、運(yùn)用基本圖形拼圖，以及基本幾何體的展開(kāi)圖等，也都是旨在發(fā)展學(xué)生空間觀念的課程內(nèi)容。在第三學(xué)段，“圖形的變化”中的各種圖形的運(yùn)動(dòng)，尤其是“圖形的投影”內(nèi)容的安排，其核心目標(biāo)也是發(fā)展學(xué)生的空間觀念。事實(shí)上，空間觀念的培養(yǎng)在圖形的認(rèn)識(shí)以及圖形的證明過(guò)程中，都會(huì)有所體現(xiàn)，因?yàn)閷?duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)、證明中對(duì)圖形特點(diǎn)的觀察等，也需要想象，也有根據(jù)他人的描述畫(huà)出圖形的過(guò)程，因此，很好的認(rèn)識(shí)空間觀念的含義與意義，在圖形與幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)中抓住典型內(nèi)容，利用一切可以利用的學(xué)習(xí)材料，就可以將空間觀念的培養(yǎng)貫穿在這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中。2. 促進(jìn)空間觀念發(fā)展的教學(xué)策略（1）現(xiàn)實(shí)情境和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)是發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)空間觀念的形成基于對(duì)事物的觀察與想象，而現(xiàn)實(shí)世界中的物體及其關(guān)系是學(xué)生們觀察的最好材料，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)也是觀察、想象、分析的基礎(chǔ)，因此教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生們熟悉的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效策略。例如，繪制學(xué)生自己房間或?qū)W校的平面圖；描述從家到學(xué)校的路線(xiàn)圖；描述觀察到的情境的畫(huà)面；描述游樂(lè)園中各種運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象等等，這些問(wèn)題既是他們生活中熟悉的，又是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要重新審視和加工的。平時(shí)看到的東西，要進(jìn)行回憶，在頭腦中想象、加工之后的再現(xiàn)，已經(jīng)是數(shù)學(xué)的抽象了，這其中即滲透了空間觀念發(fā)展的元素了。無(wú)論是教材的開(kāi)發(fā)者還是教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，開(kāi)發(fā)和利用現(xiàn)實(shí)世界中豐富的資源，城市的建筑與立交橋，鄉(xiāng)村的院落與山水，我們生活的廣闊空間和其中的大量實(shí)物，為我們提供了一個(gè)鮮活的大課堂，供我們觀察、想象與描述。（2）利用多種途徑發(fā)展學(xué)生的空間觀念從標(biāo)準(zhǔn)對(duì)空間觀念的描述和有關(guān)的課程內(nèi)容的分析中，我們能夠感覺(jué)到，發(fā)展學(xué)生的空間觀念應(yīng)該是有多種途徑的。生活經(jīng)驗(yàn)的回憶與再現(xiàn)、實(shí)物觀察與描述、拼擺與畫(huà)圖、折紙與展開(kāi)、分析與推理等，都是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效途徑。教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)?shù)匕才艑W(xué)習(xí)的活動(dòng)，創(chuàng)造條件使學(xué)生有機(jī)會(huì)從事上述的活動(dòng)來(lái)發(fā)展空間觀念。例如，我們可以在小學(xué)高年級(jí)安排這樣的折紙活動(dòng)：將一張正方形的紙對(duì)折后，再對(duì)折一次，然后用剪刀剪出一個(gè)小洞。再把紙完全展開(kāi)。請(qǐng)畫(huà)出或從下面四個(gè)圖中選擇它的展開(kāi)圖。ABCD（3）在學(xué)生的思考、想象過(guò)程中發(fā)展空間觀念空間觀念的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它需要不斷的經(jīng)驗(yàn)的積累、想象力的豐富，因此教學(xué)中要為學(xué)生提供足夠的時(shí)間和空間去觀察和想象、操作和分析。這其中還有觀察與想象的相互關(guān)系問(wèn)題。觀察與描述往往是空間觀念發(fā)展的基礎(chǔ)，而想象與再現(xiàn)則是更高一層次的空間觀念的表現(xiàn)。 如果在教學(xué)中，我們提出這樣的問(wèn)題：如圖（1）所示，桌子上擺著三件物品，圖（2）是從上面看到的物品的圖片，其中的a、b、c、d和e五點(diǎn)表示從四周觀察三件物品的不同地點(diǎn)。請(qǐng)判斷下邊的一組圖分別是從a、b、c、d和e五點(diǎn)中的哪一點(diǎn)看到的。 對(duì)于學(xué)生來(lái)講，可能直接的觀察與想象是有些困難的，有的教師會(huì)模擬地創(chuàng)設(shè)這樣一個(gè)情景，讓學(xué)生直接去觀察具體物體的擺放場(chǎng)景，然后進(jìn)行判斷。這樣做確實(shí)能夠降低純粹靠想象做出判斷的難度，但同時(shí)也失去了學(xué)生想象的機(jī)會(huì)。因此，教師不妨讓學(xué)生先想一想，嘗試著做出判斷，然后再實(shí)際的看一看，在實(shí)際看到的和想像的之間進(jìn)行比較，這樣將由助于學(xué)生積累想象的經(jīng)驗(yàn)，提高對(duì)物體之間關(guān)系進(jìn)行把握的能力，發(fā)展學(xué)生空間觀念。第四節(jié) 幾何直觀一、對(duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)顧名思義，幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，在這里幾何是指圖形；一是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個(gè)層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進(jìn)行思考、想象，綜合起來(lái)幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考、想象。它在本質(zhì)上是一種通過(guò)圖形所展開(kāi)的想象能力。愛(ài)因斯坦（Einstein）曾說(shuō)過(guò)一句名言：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且它是進(jìn)化的源泉。嚴(yán)格地說(shuō)，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素?！保◥?ài)因斯坦文集，第一卷，許良英、范岱年譯，商務(wù)印書(shū)館，1976，284） “數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”空間形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，除了美術(shù)，只有數(shù)學(xué)把圖形作為基本、主要研究對(duì)象。在數(shù)學(xué)研究、學(xué)習(xí)、講授中，不僅需要關(guān)注如何研究圖形的方法、研究圖形的結(jié)果，還需要感悟圖形給我們帶來(lái)的好處，幾何直觀就是在數(shù)學(xué)幾何圖形這樣一個(gè)關(guān)系鏈中讓我們體會(huì)到它所帶來(lái)的最大好處。這正如20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）在其名著直觀幾何一書(shū)中所談到的，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問(wèn)題；可以幫助我們尋求解決問(wèn)題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的價(jià)值由此可見(jiàn)一般。從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)，幾何直觀是具體的，不是虛無(wú)的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相聯(lián)。事實(shí)上，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如，數(shù)，度量，函數(shù)，以至于高中的解析幾何，向量，等等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)它們，才能很好地理解它們，掌握它們的本質(zhì)意義。也只有這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動(dòng)起來(lái)，變得更容易使學(xué)生接受并運(yùn)用他們?nèi)ニ伎紗?wèn)題，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說(shuō)的“數(shù)形結(jié)合”。這次課程改革中，強(qiáng)調(diào)幾何變換不僅是內(nèi)容上的變化，也是設(shè)計(jì)幾何課程指導(dǎo)思想上變化，這將是幾何課程發(fā)展的方向。讓圖形“動(dòng)起來(lái)”，在“運(yùn)動(dòng)或變換”中研究、揭示、學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)，這樣，一方面加深了對(duì)圖形性質(zhì)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，另一方面對(duì)幾何直觀能力也是一種提升。由此也可以看到，在義務(wù)教育階段培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀是很重要的。 幾何直觀與“邏輯”、“推理”也是不可分的。幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。它不僅是看到了什么？而是通過(guò)看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數(shù)學(xué)非常重要而有價(jià)值的思維方式。幾何直觀會(huì)把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴(yán)格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。 有些數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是可以“看到的”，可以“觸摸的”，而很多數(shù)學(xué)研究對(duì)象是“看不見(jiàn)，摸不著”的，是抽象的，這是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特點(diǎn)。但是，數(shù)學(xué)中那些抽象的對(duì)象絕不是無(wú)根之木、無(wú)源之水，它的“根和源”一定是具體的。例如，我們看不到“七維空間”，但是，我們知道“顏色可以由七個(gè)基色組成：紅、澄、黃、綠、青、藍(lán)、紫”，由不同成分的七個(gè)基色組成一種顏色，這樣，“由七基色組成顏色”就是理解“七維空間”的“可以看到的源”，“紅、澄、黃、綠、青、藍(lán)、紫”七個(gè)數(shù)就可以決定一個(gè)顏色。當(dāng)然，在顏色中，不能取負(fù)值，顏色空間不是七維空間，它僅僅是幫助我們聯(lián)想的“實(shí)物”和基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)中，需要依托“一、二、三維空間”去想象和思考“高維空間”的問(wèn)題，這就是幾何直觀或幾何直觀能力。 幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力，希望數(shù)學(xué)教師重視它，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生不斷提升這種能力。二、標(biāo)準(zhǔn)中的幾何直觀在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿）中，也關(guān)注了幾何直觀：“三維空間是人類(lèi)生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求。”在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，把幾何直觀作為數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)10個(gè)核心概念之一，這是一個(gè)進(jìn)步。標(biāo)準(zhǔn)明確指出“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！?在數(shù)學(xué)課程中，幾何內(nèi)容是很重要的一部分。關(guān)于幾何課程的教育價(jià)值，最主要的應(yīng)該有兩個(gè)方面：一方面，幾何能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；另一個(gè)方面，它也能培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力。但目前，在部分教師中對(duì)此在認(rèn)識(shí)上存在著一定的局限性，在幾何教學(xué)中他們僅僅重視培養(yǎng)邏輯推理能力，忽視了對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。我們應(yīng)全面地理解幾何教育價(jià)值，重視幾何直觀。在教學(xué)和指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，認(rèn)識(shí)和理解“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用”這一點(diǎn)是非常重要的。它表明，我們不僅在幾何內(nèi)容教學(xué)中要重視幾何直觀，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀能力應(yīng)該貫穿義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的始終。正如前面所指出的，圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問(wèn)題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路，也有助于我們理解和記憶得到的結(jié)果?？傊瑘D形可以幫助我們把困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題變?nèi)菀?，把抽象的?shù)學(xué)問(wèn)題變簡(jiǎn)單，對(duì)于數(shù)學(xué)研究是這樣，對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是如此。學(xué)會(huì)用圖形思考、想象問(wèn)題是研究數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力。這種幾何直觀能力能使我們更好地感知數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)直觀對(duì)數(shù)學(xué)都是重要的，他們也是相互交織、關(guān)聯(lián)的，直觀中有邏輯，邏輯中有直觀。 在義務(wù)教育階段，許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念都具有“數(shù)”和“形”兩方面的本質(zhì)特征（如小學(xué)的分?jǐn)?shù)概念、路程問(wèn)題等），學(xué)會(huì)從兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的這些對(duì)象是非常重要的，即數(shù)形結(jié)合是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基本角度，與其說(shuō)是方法，不如說(shuō)這是基本要求。從這一點(diǎn)看，不注重?cái)?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)上就沒(méi)有學(xué)明白。三、幾何直觀的培養(yǎng)1.在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫(huà)圖習(xí)慣在日常教學(xué)中，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣是非常重要的?？梢酝ㄟ^(guò)多種途徑和方式使學(xué)生真正體會(huì)到畫(huà)圖對(duì)理解概念、尋求解題思路上帶來(lái)的便利。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫(huà)圖時(shí)盡量畫(huà)，其實(shí)質(zhì)是將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”，盡量把問(wèn)題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)的過(guò)程變得直觀，直觀了就容易展開(kāi)形象思維，無(wú)論計(jì)算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。 2.重視變換讓圖形動(dòng)起來(lái)幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何、也是整個(gè)數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。在數(shù)學(xué)中，我們接觸的最基本的圖形都是“對(duì)稱(chēng)”圖形，例如，球、圓錐、圓臺(tái)、正多面體、圓、正多邊形、長(zhǎng)方體、長(zhǎng)方形、菱形、平行四邊形等，都是“不同程度對(duì)稱(chēng)圖形”；另一方面，在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)、研究“不對(duì)稱(chēng)圖形”時(shí)，又往往是運(yùn)用這些“對(duì)稱(chēng)圖形”為工具的。變換又可以看作運(yùn)動(dòng)，讓圖形動(dòng)起來(lái)是指再認(rèn)識(shí)這些圖形時(shí)，在頭腦中讓圖形動(dòng)起來(lái)，例如，平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，可以把它看作一個(gè)剛體，通過(guò)圍繞中心（兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)180度，去認(rèn)識(shí)、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)。充分地利用變換去認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。3.學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué) 在前面的論述中，多次反復(fù)強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合首先是對(duì)知識(shí)、技能的貫通式認(rèn)識(shí)和理解。以后逐漸發(fā)展成一種對(duì)數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)，這種對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用的能力，應(yīng)該是形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度所必需要求的。4.掌握、運(yùn)用一些基本圖形解決問(wèn)題 把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終。例如，除了上面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙， 直角坐標(biāo)系等等。在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形的運(yùn)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問(wèn)題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注的目標(biāo)。 第五節(jié) 數(shù)據(jù)分析觀念一、數(shù)據(jù)分析觀念的意義及含義也許有人可能會(huì)提出這樣的問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)不就是計(jì)算平均數(shù)、畫(huà)統(tǒng)計(jì)圖嗎？這些事情計(jì)算器、計(jì)算機(jī)就能做得很好，還有必要花那么多精力學(xué)習(xí)嗎？確實(shí)，在信息技術(shù)