3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

微積分 微積分 Calculus 是研究函數(shù)的微分 積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué) 分支 微積分是建立在實(shí)數(shù) 函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的 微積分最重要的思想就 是用 微元 與 無(wú)限逼近 好像一個(gè)事物始終在變化你不好研究 但通過(guò)微元分割 成一小塊一小塊 那就可以認(rèn)為是常量處理 最終加起來(lái)就行 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱 它是一種數(shù)學(xué)思想 無(wú)限細(xì)分 就 是微分 無(wú)限求和 就是積分 無(wú)限就是極限 極限的思想是微積分的基礎(chǔ) 它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問(wèn)題 比如 子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的 概念 子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念 如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作 一棵大樹(shù) 那么初等數(shù)學(xué)是樹(shù)的根 名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹(shù)枝 而樹(shù)干的主 要部分就是微積分 微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一 極限和微積分的概念可以追溯到古代 到了十七世紀(jì)后半葉 牛頓和萊布 尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過(guò)準(zhǔn)備的工作 分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué) 他 們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量 理論基礎(chǔ)是不牢固的 直到十九世 紀(jì) 柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論 康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論 這門(mén)學(xué)科才得以嚴(yán)密化 微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的 它在天文學(xué) 力學(xué) 化學(xué) 生物 學(xué) 工程學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué) 社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中 有越來(lái) 越廣泛的應(yīng)用 特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展 客觀世界的一切事物 小至粒子 大至宇宙 始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著 因 此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后 就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述了 由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深 也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要 一門(mén)新 的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了 這就是微積分學(xué) 微積分學(xué)這門(mén)學(xué)科在 數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的 可以說(shuō)它是繼歐氏幾何后 全部數(shù)學(xué)中的最 大的一個(gè)創(chuàng)造 微積分學(xué)的建立 從微積分成為一門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō) 是在十七世紀(jì) 但是 微分和積分的思想在 古代就已經(jīng)產(chǎn)生了 公元前三世紀(jì) 古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積 球和球冠 面積 螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問(wèn)題中 就隱含著近代積分學(xué)的思想 作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來(lái)說(shuō) 早在古代以有比較清楚的論述 比如我國(guó)的 莊周所著的 莊子 一書(shū)的 天下篇 中 記有 一尺之棰 日取其半 萬(wàn)世 不竭 三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到 割之彌細(xì) 所失彌小 割之又 割 以至于不可割 則與圓周和體而無(wú)所失矣 這些都是樸素的 也是很典 型的極限概念 到了十七世紀(jì) 有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決 這些問(wèn)題也就成了促使微積分 產(chǎn)生的因素 歸結(jié)起來(lái) 大約有四種主要類型的問(wèn)題 第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí) 候直接出現(xiàn)的 也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題 第二類問(wèn)題是求曲線的切線的問(wèn)題 第三類問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題 第四類問(wèn)題是求曲線長(zhǎng) 曲線圍 成的面積 曲面圍成的體積 物體的重心 一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一 物體上的引力 十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家 天文學(xué)家 物理學(xué)家都為解決上述幾類問(wèn) 題作了大量的研究工作 如法國(guó)的費(fèi)爾瑪 笛卡爾 羅伯瓦 笛沙格 英國(guó)的 巴羅 瓦里士 德國(guó)的開(kāi)普勒 意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹(shù)的 理論 為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn) 十七世紀(jì)下半葉 在前人工作的基礎(chǔ)上 英國(guó)大科學(xué)家 牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué) 家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作 雖然這 只是十分初步的工作 他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一 起 一個(gè)是切線問(wèn)題 微分學(xué)的中心問(wèn)題 一個(gè)是求積問(wèn)題 積分學(xué)的中心問(wèn) 題 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量 因此這門(mén)學(xué)科 早期也稱為無(wú)窮小分析 這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源 牛 頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮 萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的 牛頓在 1671 年寫(xiě)了 流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù) 這本書(shū)直到 1736 年才出版 它 在這本書(shū)里指出 變量是由點(diǎn) 線 面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的 否定了以前自己認(rèn) 為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合 他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量 把這些流動(dòng)量 的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù) 牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是 已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑 求給定時(shí)刻的速度 微分法 已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程 積分 法 德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者 1684 年 他發(fā)表了現(xiàn)在世界上 認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn) 這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字 一種求極 大極小和切線的新方法 它也適用于分式和無(wú)理量 以及這種新方法的奇妙類 型的計(jì)算 就是這樣一片說(shuō)理也頗含糊的文章 卻有劃時(shí)代的意義 他以含 有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則 1686 年 萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的 文獻(xiàn) 他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一 他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào) 遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于 牛頓的符號(hào) 這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響 現(xiàn)在我們使用的微積分通用符 號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的 微積分學(xué)的創(chuàng)立 極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展 過(guò)去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策 的問(wèn)題 運(yùn)用微積分 往往迎刃而解 顯示出微積分學(xué)的非凡威力 前面已經(jīng)提到 一門(mén)科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī) 他必定是經(jīng)過(guò)多 少人的努力后 在積累了大量成果的基礎(chǔ)上 最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成 的 微積分也是這樣 不幸的事 由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余 在提出誰(shuí)是這門(mén)學(xué)科 的創(chuàng)立者的時(shí)候 竟然引起了一場(chǎng)悍然大波 造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó) 數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立 英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó) 囿于民族偏見(jiàn) 過(guò)于拘 泥在牛頓的 流數(shù)術(shù) 中停步不前 因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年 其實(shí) 牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究 在大體上相近的時(shí)間里先后完成的 比 較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早 10 年左右 但是整理公開(kāi)發(fā)表微 積分這一理論 萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年 他們的研究各有長(zhǎng)處 也都 各有短處 那時(shí)候 由于民族偏見(jiàn) 關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟從 1699 年始延 續(xù)了一百多年 應(yīng)該指出 這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣 牛 頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的 他們?cè)跓o(wú)窮和無(wú)窮小量這個(gè)問(wèn)題上 其說(shuō)不一 十分含糊 牛頓的無(wú)窮小量 有時(shí)候是零 有時(shí)候不是零而是有限 的小量 萊布尼茨的也不能自圓其說(shuō) 這些基礎(chǔ)方面的缺陷 最終導(dǎo)致了第二 次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生 直到 19 世紀(jì)初 法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首 對(duì) 微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究 建立了極限理論 后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾 斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化 使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ) 才使微積分 進(jìn)一步的發(fā)展開(kāi)來(lái) 任何新興的 具有無(wú)量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者 在微 積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星 瑞士的雅科