第五章 相交線和平行線分析總結(jié).doc

第五章 相交線和平行線5.1相交線1、 基礎知識1、 鄰補角：具有一條公共邊，另一邊互為反向延長線這種關系的兩個角互為鄰補角。2、 對頂角：具有有一個公共頂點，一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線這種關系的兩個角互為對頂角。3、 垂直：當兩條相交線所形成角為90時，兩條線互相垂直。4、 垂線：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線。5、 垂足：兩條垂線的交點。6、 點到直線的距離：直線外一點到這條直線垂線段的長度。7、 同位角：具有分別在兩條被截直線的同一方，并且都在截線的同側(cè)這種關系的一對角。8、 內(nèi)錯角：具有都在兩條被截直線之間，并且分別在截線兩側(cè)這種關系的一對角。9、 同旁內(nèi)角：具有都在兩條被截直線之間，并且都在截線同一旁這種關系的一對角。2、 應知應會1、 找出兩條相交線的鄰補角和對頂角，并根據(jù)其中一個角的度數(shù)確定其它三個角的度數(shù)。2、 過一點畫一條直線的垂線。3、 能找出同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。3、 方法規(guī)律1、 對頂角相等。2、 過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。3、 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。4、 n條直線兩兩相交共有n(n-1)組對頂角。5、 n條直線將平面最多分成塊。6、 n條直線相交于一點共有n(n-1)組對頂角。7、 n條直線相交于一點共有2n(n-1)組鄰補角。4、 拓展應用1、下列說法正確的是( ) A有公共頂點的兩個角是對頂角 B兩條直線相交所成的角是鄰補角 C兩條直線相交所成的無公共邊的兩個角是對頂角 D有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角2、若直線a與直線b相交于點A，則直線b上到直線a距離等于2cm的點的個數(shù)是( ) 3、已知，如圖5-1-11所示，三條直線AB、CD、EF相交于點0，且若OG平分BOF，則DOG= 4、已知，OC把AOB分成兩部分，且有下列兩個等式成立：直角平角問：(1)OA與OB的位置關系如何？并說明理由(2)OC是否為AOB的平分線？請寫出判斷的理由5.2平行線一、基礎知識1、平行：在同一平面內(nèi)，一條直線和另一條直線不相交的位置，兩條直線互相平行。2、經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。3、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。二、應知應會1、過一點畫已知直線的平行線。2、通過已知條件證明結(jié)論。三、方法規(guī)律1、兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。2、兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。3、兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。四、拓展應用1、 如圖，lm，等腰直角三角形ABC的直角頂點C在直線m上，若=20，則的度數(shù)為（ ）。2、 如圖，已知直線ab,1=40,2=60,則3等于3、 如圖是由五個同樣的三角形組成的圖案，三角形的三個角分別為36，72，72，則圖中共有_對平行線。4、 如圖，已知1+2=180，3=B，試判斷AED與ACB的大小關系，并說明理由 5、 已知ABCD，分別探討下列四個圖形中APC和PAB、PCD的關系（只要求直接寫出），并請你從所得四個關系中任意選出一個說明理由5.3平行線的性質(zhì)1、 基礎知識1、 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。2、 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。3、 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。4、 命題：判斷一件事情的語句。5、 真命題：正確的命題。6、 假命題：錯誤的命題。7、 定理：經(jīng)過推理證實得到的真命題。2、 應知應會1、 利用已知條件，根據(jù)相關定理，推理結(jié)論的正確性。2、 依據(jù)平行線的性質(zhì)，確定同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的度數(shù)。3、 分辨命題的題設和結(jié)論。4、 判斷命題的真假性。四、拓展應用1、 如果兩個角的兩邊分別平行，且其中一個角比另一個角的4倍少30，那么這兩個角分別是（ ） A30和150 B42和138 C都等于10 D42和138或都等于102、 、一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來方向上平行行駛，則這兩次拐彎的角度應為（ ） A第一次向右拐38，第二次向左拐142 B第一次向左拐38，第二次向右拐38 C第一次向左拐38，第二次向左拐142 D第一次向右拐38，第二次向右拐40 3、 如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D、C的位置若EFB=65，則 AED等于_度。4、 已知直線MNBC，點A在直線MN上，點D在線段BC上，AB平分MAD，AC平分NAD （1）如圖1，若DEAC于E，求證：1=2（2）若點F為線段AB上不與A、B重合的一動點，點H在AC上，F(xiàn)Q平分AFD交AC于Q，設HFQ=x，MAB=，BDF=，點D在線段BC上（不與點B、C重合），問當、x之間滿足怎樣的等量關系時，F(xiàn)HMN（如圖2），試寫出、x之間滿足的某種等量關系，并以此為條件證明FHMN。5.4平移1、 基礎知識1、 平移：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，得到一個新的圖形。2、 應知應會1、 分辨平移后的圖形。2、 畫出平移后的圖形。3、 方法規(guī)律1、 平移后的圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。2、 連接各組對應的的線段平行且相等。4、 拓展應用1、如圖所示是重疊的兩個直角三角形，將其中一個直角三角形沿BC方向平移得到DEF。如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，則圖中線段CF為_cm，陰影部分面積為_cm2。2、如圖在方格紙中，線段a、b、c、d的端點在格點上，通過平移其中兩條線段，使得和第三條線段首尾相接組成三角形，則能組成三角形的不同平移方法（）。A、3種 B、6種 C、8種 D、12種3、某賓館在重新裝修后考慮在大廳內(nèi)的主樓梯上鋪設地毯，已知主其剖面如圖所示，請你計算一下：鋪此樓梯，需要購買地毯的長是多少米？4、如圖在長為50m，寬為22m的長方形地面上修筑寬度都為2m的道路，其他部分均種植花草,求出種值花草的面積是多少。5、如圖是一塊從邊長為50cm的正方形材料中截出的墊片，現(xiàn)測得FG=8cm求這個墊片的周長。6、 如圖已知三角形ABC的面積為16，BC=8，現(xiàn)將三角形ABC沿直線BC向右平移a個單位到DEF的位置。當ABC所掃過的面積為32時，求a的值。7、如圖所示矩形ABCD中，AB=6，第一次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5個單位，得到矩形得到矩形A1B1C1D1，第2次平移將矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個單位，得到矩形A2B2C2D2，第n次平移將矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向平移5個單位，得到矩形AnBnCnDn，若ABn的長為56，求n5.5小結(jié)1、 知識梳理線的位置關系與所形成角的數(shù)量關系之間的邏輯聯(lián)系。相交：對頂角、鄰補角，特例：垂線 平移：特征平行：內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角 命題：結(jié)構(gòu)、分類2、 思想歸納1、 逆向分析思想：通過對結(jié)論及其反面的分析，從未知條件尋找與已知條件的聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)解題的途徑，這就是逆向分析思想。常有逆推法，反證法等。 逆向思維法與順向思維法是并立的。當順推法不易處理，陷入困境時，逆向思維會使“茅塞頓開”。2、 轉(zhuǎn)換替代思想：將一個未知量用與其相等的其它量進行等量替換，再通過對替換后的量重新組合，得到可用已知量表示的量。3、 特殊一般思想：先代入一些簡單的數(shù)值，后分析它們共同具有的特征，抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，然作出一般的結(jié)論。4、 聯(lián)系轉(zhuǎn)移思想：一些問題無法直接求出，需要運用相關方法將其與已學過的知識點聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化為與學過的知識點相關的問題。三、方法規(guī)律1、 角度的有關計算1.1利用三線八角的數(shù)量關系，尋找所求量與已知量的關系。例：已知L1L2，則1+2-3的度數(shù)為。1.2根據(jù)圖形及已知條件，利用解方程的方法求解。例：如圖，已知ABEFCD，EG平分BEF，B+BED+D =192， B-D=24，求GEF的度數(shù)。2、 直線、角度關系的有關證明 每一道證明題都是由已知的條件和求證的結(jié)論兩部分組成的。我們的任務就是根據(jù)題目中的已知條件，運用有關的概念、公理、定理，進行邏輯推理，逐步地推出求證的結(jié)論來。2.1做證明題的基本能力：2.1.1看清題目意思:分清什么是已知條件，什么是求證結(jié)論。2.1.2熟悉證明依據(jù):能熟練運用與題意有關的概念、公理和定理。2.1.3掌握推理格式:能正確地運用合乎邏輯的推理、證明。2.1.4積累解題思路:通過“學”、“練”結(jié)合，拓展解題思路。2.2審題的一般步驟：審題是能否看清題意的基礎。2.2.1一題到手，首先弄清題目中出現(xiàn)了哪幾個主要的概念，并回憶出它們的定義來。2.2.2根據(jù)題意分清什么是已知條件，什么要求證的結(jié)論。2.2.3有的題目還需要根據(jù)題意作圖，或者運用數(shù)學符號和數(shù)字術語，寫出已知與求證，即把普通語言“轉(zhuǎn)譯”成數(shù)學語言表達的題目，以使題目內(nèi)容更加明確，證明過程更加清楚。2.3推理格式： 證明的依據(jù)是概念、公理、定理，它們都是基礎知識。我們不但要正確地理解它們，還要牢固地記憶它們與靈活地運用它們。為了正確地進行推理、證明，我們僅僅會“看清題意”和熟悉依據(jù)還不夠。也就是說，我們雖然對于要證明的題目已知，會用已知條件和有關概念、公理、定理來逐步地推出求證結(jié)論來，還是不夠的。還需要掌握一些基本的證明方法與推理格式，善于用數(shù)學語言來表達自己的思維過程。2.3.1綜合法順證格式：從已知條件出發(fā)，順著推證：由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求證的結(jié)論，這就是順推法的格式。綜合法是最常見的推理證明方法，它的書面表達常用“ ”。2.3.2分析法逆推格式：分析法證明的思路與綜合法正好相反，它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知（已知條件、已經(jīng)學過的定義、定理、公理、公式、法則等等）。這種證明方法的關鍵在于要保證分析過程的每一步都是可以逆推的。 在通常做數(shù)學證明題時，我們一般不用分析法逆推格式來書寫表達證明的過程，而是常常采用綜合法順證格式。用綜合法順著證明（即由已知到求證）有時思路不一定好想，因此，常在草稿紙上用分析法逆推來“想”，等找到證明的思路之后，再用綜合法順證格式來寫。通常稱為“逆推順證”的方法。2.4積累證題思路所謂“解題思路”就是能夠溝通要被證明的命題中的已知條件與求證結(jié)論之間的邏輯“通道”。實現(xiàn)數(shù)證明的關鍵在于能夠準確、迅速地探求出已知條件到達求證結(jié)論的一條邏輯“路徑”。2.4.1兩頭擠法2.4.1.1分析綜合法：從求證的結(jié)論出發(fā)，反推分析、又從已知條件出發(fā)，綜合證明，從而在某個中間環(huán)節(jié)達到同一。例：如圖134所示已知CD平分ACB，且DEAC，CDEF求證：EF平分DEB。2.4.1.2左右同一法：恒等式的證明一般都是由繁到簡，如果原式的左邊和右邊都比較繁，則可分別從左與右化簡，在中間環(huán)節(jié)達到同一。2.4.2輔助元素法 有的證明題，用兩頭擠法分析之后，發(fā)現(xiàn)原有的已知條件與求證結(jié)論之間難以找到直接的邏輯通道，它們之間的聯(lián)系是間接的。這樣一來，問題的關鍵就在于：引進某一個或某幾個起連接作用的輔助元素，怎樣尋找這種輔助元素，沒有一成不變的辦法，只有靠具體問題具體分析，與多多積累解題經(jīng)驗。2.4.2.1添輔助線法：這是平面幾何中常采用的方法，正確添加的輔助線，在題目中一般都起著某種“橋梁”作用，將已知條件與求證結(jié)論溝通起來，形成一條邏輯通道。例：如圖13-23，已知ABCD，EAF=EAB，ECF=ECD，那么AEC與AFC的大小關系可用等式表示為。2.4.2.2設輔助未知數(shù)法（換元法或變量替換法），使用輔助元素法，多稱為換元法?！皳Q元”通?？梢允乖羞\算關系大大簡化，邏輯層次脈絡分明，有利于問題的解決。2.4.3計算證明法2.4.3.1利用方程的方法，運用方程的方法來證明幾何問題，從而將幾何圖形數(shù)量化，然后進行計算型的證明推理。2.4.3.2運用數(shù)形結(jié)合法，運用數(shù)軸方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。把與幾何圖形的性質(zhì)有關的問題，化為有關角的數(shù)量關系問題。2.4.4等量替換 同一量往往可以表示為不同的幾個量的組合，而每一種組合往往能夠比較準確、比較明顯地反映該量的某種特殊性質(zhì)。在不同的問題中，根據(jù)具體問題的需要，恰到好處地選用合適的一種組合形式，從而比較順利地解決問題。例：如圖，已知ABCD，且B=40，D=70，求DEB的度數(shù)。2.4.5反證法 當論題從正面不容易或不能得到證明時，就需要運用反證法，此即所謂正難則反。它首先假設某命題不成立（即在原命題的題設下，結(jié)論不成立），然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說假設不成立，原命題得證。 證明步驟： （1）反設：假設命題結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立。 （2）歸謬：從這個命題出發(fā)，經(jīng)過推理證明得出矛盾。 （3）結(jié)論：由矛盾判斷假設不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確。例1：如圖，直線AB與CD相交于O，EFAB于F，GHCD于H， 求證EF與GH必相交。 分析：欲證EF與GH相交，直接證很困難，可考慮用反證法。 證明：假設EF與GH不相交。 EF、GH是兩條不同的直線 EFGH EFAB GHAB 又因GHCD 故ABCD (垂直于同一直線的兩直線平行) 這與已知AB和CD相交矛盾。 所以EF與GH不平行，即EF與GH必相交 例2：平面上n條直線兩兩相交，求證所成得的角中至少有一個角不大于。證明：平面上n條直線兩兩相交最多得對頂角n(n-1)對，即2n(n-1)個角。平面上任取一點O，將這n條直線均平行移動過點O，成為交于一點O的n條直線， 這n條直線將以O為頂點的圓周角分為2n個（共n對）互不重疊的角：1、2、3、2n ，由平行線的性質(zhì)知，這2n個角中每一個都和原來n條直線中的某兩條直線的交角中的一個角相等，即這2n個角均是原2n(n-1)個角中的角。由平行線的性質(zhì)知，這2n個角中每一個都和原來n條直線中的某兩條直線的交角中的一個角相等，即這2n個角均是原2n(n-1)個角中的角。若這2n個角均大于，則1+2+3+2n 2n=360而1+2+3+2n =360評注：通過平移，可以把原來分散的直線集中交于同一點，從而解決問題。例3：能否在平面上畫出7條直線（任意3條都不共點），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，如果能請畫出一例，如果不能請簡述理由。在平面上不能畫出沒有3線共點的7條直線，使得中每條直線都恰與另外3條直線相交。 理由如下： 假設平面上可以畫出7條直線，其中每一條都恰與其它3條相交，因兩直線相交只有一個交點，又沒有3條直線共點，所以每條直線上恰有與另3條直線交