第五章 相交線和平行線分析總結(jié).doc

第五章 相交線和平行線5.1相交線1、 基礎(chǔ)知識(shí)1、 鄰補(bǔ)角：具有一條公共邊，另一邊互為反向延長線這種關(guān)系的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。2、 對(duì)頂角：具有有一個(gè)公共頂點(diǎn)，一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線這種關(guān)系的兩個(gè)角互為對(duì)頂角。3、 垂直：當(dāng)兩條相交線所形成角為90時(shí)，兩條線互相垂直。4、 垂線：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線。5、 垂足：兩條垂線的交點(diǎn)。6、 點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線垂線段的長度。7、 同位角：具有分別在兩條被截直線的同一方，并且都在截線的同側(cè)這種關(guān)系的一對(duì)角。8、 內(nèi)錯(cuò)角：具有都在兩條被截直線之間，并且分別在截線兩側(cè)這種關(guān)系的一對(duì)角。9、 同旁內(nèi)角：具有都在兩條被截直線之間，并且都在截線同一旁這種關(guān)系的一對(duì)角。2、 應(yīng)知應(yīng)會(huì)1、 找出兩條相交線的鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角，并根據(jù)其中一個(gè)角的度數(shù)確定其它三個(gè)角的度數(shù)。2、 過一點(diǎn)畫一條直線的垂線。3、 能找出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。3、 方法規(guī)律1、 對(duì)頂角相等。2、 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。3、 連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。4、 n條直線兩兩相交共有n(n-1)組對(duì)頂角。5、 n條直線將平面最多分成塊。6、 n條直線相交于一點(diǎn)共有n(n-1)組對(duì)頂角。7、 n條直線相交于一點(diǎn)共有2n(n-1)組鄰補(bǔ)角。4、 拓展應(yīng)用1、下列說法正確的是( ) A有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角 B兩條直線相交所成的角是鄰補(bǔ)角 C兩條直線相交所成的無公共邊的兩個(gè)角是對(duì)頂角 D有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角2、若直線a與直線b相交于點(diǎn)A，則直線b上到直線a距離等于2cm的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ) 3、已知，如圖5-1-11所示，三條直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)0，且若OG平分BOF，則DOG= 4、已知，OC把AOB分成兩部分，且有下列兩個(gè)等式成立：直角平角問：(1)OA與OB的位置關(guān)系如何？并說明理由(2)OC是否為AOB的平分線？請(qǐng)寫出判斷的理由5.2平行線一、基礎(chǔ)知識(shí)1、平行：在同一平面內(nèi)，一條直線和另一條直線不相交的位置，兩條直線互相平行。2、經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。3、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。二、應(yīng)知應(yīng)會(huì)1、過一點(diǎn)畫已知直線的平行線。2、通過已知條件證明結(jié)論。三、方法規(guī)律1、兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。2、兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。3、兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。四、拓展應(yīng)用1、 如圖，lm，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C在直線m上，若=20，則的度數(shù)為（ ）。2、 如圖，已知直線ab,1=40,2=60,則3等于3、 如圖是由五個(gè)同樣的三角形組成的圖案，三角形的三個(gè)角分別為36，72，72，則圖中共有_對(duì)平行線。4、 如圖，已知1+2=180，3=B，試判斷AED與ACB的大小關(guān)系，并說明理由 5、 已知ABCD，分別探討下列四個(gè)圖形中APC和PAB、PCD的關(guān)系（只要求直接寫出），并請(qǐng)你從所得四個(gè)關(guān)系中任意選出一個(gè)說明理由5.3平行線的性質(zhì)1、 基礎(chǔ)知識(shí)1、 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。2、 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。3、 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。4、 命題：判斷一件事情的語句。5、 真命題：正確的命題。6、 假命題：錯(cuò)誤的命題。7、 定理：經(jīng)過推理證實(shí)得到的真命題。2、 應(yīng)知應(yīng)會(huì)1、 利用已知條件，根據(jù)相關(guān)定理，推理結(jié)論的正確性。2、 依據(jù)平行線的性質(zhì)，確定同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的度數(shù)。3、 分辨命題的題設(shè)和結(jié)論。4、 判斷命題的真假性。四、拓展應(yīng)用1、 如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，且其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少30，那么這兩個(gè)角分別是（ ） A30和150 B42和138 C都等于10 D42和138或都等于102、 、一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來方向上平行行駛，則這兩次拐彎的角度應(yīng)為（ ） A第一次向右拐38，第二次向左拐142 B第一次向左拐38，第二次向右拐38 C第一次向左拐38，第二次向左拐142 D第一次向右拐38，第二次向右拐40 3、 如圖，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D、C的位置若EFB=65，則 AED等于_度。4、 已知直線MNBC，點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)D在線段BC上，AB平分MAD，AC平分NAD （1）如圖1，若DEAC于E，求證：1=2（2）若點(diǎn)F為線段AB上不與A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H在AC上，F(xiàn)Q平分AFD交AC于Q，設(shè)HFQ=x，MAB=，BDF=，點(diǎn)D在線段BC上（不與點(diǎn)B、C重合），問當(dāng)、x之間滿足怎樣的等量關(guān)系時(shí)，F(xiàn)HMN（如圖2），試寫出、x之間滿足的某種等量關(guān)系，并以此為條件證明FHMN。5.4平移1、 基礎(chǔ)知識(shí)1、 平移：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，得到一個(gè)新的圖形。2、 應(yīng)知應(yīng)會(huì)1、 分辨平移后的圖形。2、 畫出平移后的圖形。3、 方法規(guī)律1、 平移后的圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。2、 連接各組對(duì)應(yīng)的的線段平行且相等。4、 拓展應(yīng)用1、如圖所示是重疊的兩個(gè)直角三角形，將其中一個(gè)直角三角形沿BC方向平移得到DEF。如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，則圖中線段CF為_cm，陰影部分面積為_cm2。2、如圖在方格紙中，線段a、b、c、d的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，通過平移其中兩條線段，使得和第三條線段首尾相接組成三角形，則能組成三角形的不同平移方法（）。A、3種 B、6種 C、8種 D、12種3、某賓館在重新裝修后考慮在大廳內(nèi)的主樓梯上鋪設(shè)地毯，已知主其剖面如圖所示，請(qǐng)你計(jì)算一下：鋪此樓梯，需要購買地毯的長是多少米？4、如圖在長為50m，寬為22m的長方形地面上修筑寬度都為2m的道路，其他部分均種植花草,求出種值花草的面積是多少。5、如圖是一塊從邊長為50cm的正方形材料中截出的墊片，現(xiàn)測(cè)得FG=8cm求這個(gè)墊片的周長。6、 如圖已知三角形ABC的面積為16，BC=8，現(xiàn)將三角形ABC沿直線BC向右平移a個(gè)單位到DEF的位置。當(dāng)ABC所掃過的面積為32時(shí)，求a的值。7、如圖所示矩形ABCD中，AB=6，第一次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5個(gè)單位，得到矩形得到矩形A1B1C1D1，第2次平移將矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個(gè)單位，得到矩形A2B2C2D2，第n次平移將矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向平移5個(gè)單位，得到矩形AnBnCnDn，若ABn的長為56，求n5.5小結(jié)1、 知識(shí)梳理線的位置關(guān)系與所形成角的數(shù)量關(guān)系之間的邏輯聯(lián)系。相交：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，特例：垂線 平移：特征平行：內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角 命題：結(jié)構(gòu)、分類2、 思想歸納1、 逆向分析思想：通過對(duì)結(jié)論及其反面的分析，從未知條件尋找與已知條件的聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)解題的途徑，這就是逆向分析思想。常有逆推法，反證法等。 逆向思維法與順向思維法是并立的。當(dāng)順推法不易處理，陷入困境時(shí)，逆向思維會(huì)使“茅塞頓開”。2、 轉(zhuǎn)換替代思想：將一個(gè)未知量用與其相等的其它量進(jìn)行等量替換，再通過對(duì)替換后的量重新組合，得到可用已知量表示的量。3、 特殊一般思想：先代入一些簡(jiǎn)單的數(shù)值，后分析它們共同具有的特征，抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，然作出一般的結(jié)論。4、 聯(lián)系轉(zhuǎn)移思想：一些問題無法直接求出，需要運(yùn)用相關(guān)方法將其與已學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化為與學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的問題。三、方法規(guī)律1、 角度的有關(guān)計(jì)算1.1利用三線八角的數(shù)量關(guān)系，尋找所求量與已知量的關(guān)系。例：已知L1L2，則1+2-3的度數(shù)為。1.2根據(jù)圖形及已知條件，利用解方程的方法求解。例：如圖，已知ABEFCD，EG平分BEF，B+BED+D =192， B-D=24，求GEF的度數(shù)。2、 直線、角度關(guān)系的有關(guān)證明 每一道證明題都是由已知的條件和求證的結(jié)論兩部分組成的。我們的任務(wù)就是根據(jù)題目中的已知條件，運(yùn)用有關(guān)的概念、公理、定理，進(jìn)行邏輯推理，逐步地推出求證的結(jié)論來。2.1做證明題的基本能力：2.1.1看清題目意思:分清什么是已知條件，什么是求證結(jié)論。2.1.2熟悉證明依據(jù):能熟練運(yùn)用與題意有關(guān)的概念、公理和定理。2.1.3掌握推理格式:能正確地運(yùn)用合乎邏輯的推理、證明。2.1.4積累解題思路:通過“學(xué)”、“練”結(jié)合，拓展解題思路。2.2審題的一般步驟：審題是能否看清題意的基礎(chǔ)。2.2.1一題到手，首先弄清題目中出現(xiàn)了哪幾個(gè)主要的概念，并回憶出它們的定義來。2.2.2根據(jù)題意分清什么是已知條件，什么要求證的結(jié)論。2.2.3有的題目還需要根據(jù)題意作圖，或者運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)字術(shù)語，寫出已知與求證，即把普通語言“轉(zhuǎn)譯”成數(shù)學(xué)語言表達(dá)的題目，以使題目內(nèi)容更加明確，證明過程更加清楚。2.3推理格式： 證明的依據(jù)是概念、公理、定理，它們都是基礎(chǔ)知識(shí)。我們不但要正確地理解它們，還要牢固地記憶它們與靈活地運(yùn)用它們。為了正確地進(jìn)行推理、證明，我們僅僅會(huì)“看清題意”和熟悉依據(jù)還不夠。也就是說，我們雖然對(duì)于要證明的題目已知，會(huì)用已知條件和有關(guān)概念、公理、定理來逐步地推出求證結(jié)論來，還是不夠的。還需要掌握一些基本的證明方法與推理格式，善于用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)自己的思維過程。2.3.1綜合法順證格式：從已知條件出發(fā)，順著推證：由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求證的結(jié)論，這就是順推法的格式。綜合法是最常見的推理證明方法，它的書面表達(dá)常用“ ”。2.3.2分析法逆推格式：分析法證明的思路與綜合法正好相反，它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知（已知條件、已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等等）。這種證明方法的關(guān)鍵在于要保證分析過程的每一步都是可以逆推的。 在通常做數(shù)學(xué)證明題時(shí)，我們一般不用分析法逆推格式來書寫表達(dá)證明的過程，而是常常采用綜合法順證格式。用綜合法順著證明（即由已知到求證）有時(shí)思路不一定好想，因此，常在草稿紙上用分析法逆推來“想”，等找到證明的思路之后，再用綜合法順證格式來寫。通常稱為“逆推順證”的方法。2.4積累證題思路所謂“解題思路”就是能夠溝通要被證明的命題中的已知條件與求證結(jié)論之間的邏輯“通道”。實(shí)現(xiàn)數(shù)證明的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確、迅速地探求出已知條件到達(dá)求證結(jié)論的一條邏輯“路徑”。2.4.1兩頭擠法2.4.1.1分析綜合法：從求證的結(jié)論出發(fā)，反推分析、又從已知條件出發(fā)，綜合證明，從而在某個(gè)中間環(huán)節(jié)達(dá)到同一。例：如圖134所示已知CD平分ACB，且DEAC，CDEF求證：EF平分DEB。2.4.1.2左右同一法：恒等式的證明一般都是由繁到簡(jiǎn)，如果原式的左邊和右邊都比較繁，則可分別從左與右化簡(jiǎn)，在中間環(huán)節(jié)達(dá)到同一。2.4.2輔助元素法 有的證明題，用兩頭擠法分析之后，發(fā)現(xiàn)原有的已知條件與求證結(jié)論之間難以找到直接的邏輯通道，它們之間的聯(lián)系是間接的。這樣一來，問題的關(guān)鍵就在于：引進(jìn)某一個(gè)或某幾個(gè)起連接作用的輔助元素，怎樣尋找這種輔助元素，沒有一成不變的辦法，只有靠具體問題具體分析，與多多積累解題經(jīng)驗(yàn)。2.4.2.1添輔助線法：這是平面幾何中常采用的方法，正確添加的輔助線，在題目中一般都起著某種“橋梁”作用，將已知條件與求證結(jié)論溝通起來，形成一條邏輯通道。例：如圖13-23，已知ABCD，EAF=EAB，ECF=ECD，那么AEC與AFC的大小關(guān)系可用等式表示為。2.4.2.2設(shè)輔助未知數(shù)法（換元法或變量替換法），使用輔助元素法，多稱為換元法?！皳Q元”通?？梢允乖羞\(yùn)算關(guān)系大大簡(jiǎn)化，邏輯層次脈絡(luò)分明，有利于問題的解決。2.4.3計(jì)算證明法2.4.3.1利用方程的方法，運(yùn)用方程的方法來證明幾何問題，從而將幾何圖形數(shù)量化，然后進(jìn)行計(jì)算型的證明推理。2.4.3.2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，運(yùn)用數(shù)軸方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。把與幾何圖形的性質(zhì)有關(guān)的問題，化為有關(guān)角的數(shù)量關(guān)系問題。2.4.4等量替換 同一量往往可以表示為不同的幾個(gè)量的組合，而每一種組合往往能夠比較準(zhǔn)確、比較明顯地反映該量的某種特殊性質(zhì)。在不同的問題中，根據(jù)具體問題的需要，恰到好處地選用合適的一種組合形式，從而比較順利地解決問題。例：如圖，已知ABCD，且B=40，D=70，求DEB的度數(shù)。2.4.5反證法 當(dāng)論題從正面不容易或不能得到證明時(shí)，就需要運(yùn)用反證法，此即所謂正難則反。它首先假設(shè)某命題不成立（即在原命題的題設(shè)下，結(jié)論不成立），然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說假設(shè)不成立，原命題得證。 證明步驟： （1）反設(shè)：假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。 （2）歸謬：從這個(gè)命題出發(fā)，經(jīng)過推理證明得出矛盾。 （3）結(jié)論：由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確。例1：如圖，直線AB與CD相交于O，EFAB于F，GHCD于H， 求證EF與GH必相交。 分析：欲證EF與GH相交，直接證很困難，可考慮用反證法。 證明：假設(shè)EF與GH不相交。 EF、GH是兩條不同的直線 EFGH EFAB GHAB 又因GHCD 故ABCD (垂直于同一直線的兩直線平行) 這與已知AB和CD相交矛盾。 所以EF與GH不平行，即EF與GH必相交 例2：平面上n條直線兩兩相交，求證所成得的角中至少有一個(gè)角不大于。證明：平面上n條直線兩兩相交最多得對(duì)頂角n(n-1)對(duì)，即2n(n-1)個(gè)角。平面上任取一點(diǎn)O，將這n條直線均平行移動(dòng)過點(diǎn)O，成為交于一點(diǎn)O的n條直線， 這n條直線將以O(shè)為頂點(diǎn)的圓周角分為2n個(gè)（共n對(duì)）互不重疊的角：1、2、3、2n ，由平行線的性質(zhì)知，這2n個(gè)角中每一個(gè)都和原來n條直線中的某兩條直線的交角中的一個(gè)角相等，即這2n個(gè)角均是原2n(n-1)個(gè)角中的角。由平行線的性質(zhì)知，這2n個(gè)角中每一個(gè)都和原來n條直線中的某兩條直線的交角中的一個(gè)角相等，即這2n個(gè)角均是原2n(n-1)個(gè)角中的角。若這2n個(gè)角均大于，則1+2+3+2n 2n=360而1+2+3+2n =360評(píng)注：通過平移，可以把原來分散的直線集中交于同一點(diǎn)，從而解決問題。例3：能否在平面上畫出7條直線（任意3條都不共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，如果能請(qǐng)畫出一例，如果不能請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。在平面上不能畫出沒有3線共點(diǎn)的7條直線，使得中每條直線都恰與另外3條直線相交。 理由如下： 假設(shè)平面上可以畫出7條直線，其中每一條都恰與其它3條相交，因兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)，又沒有3條直線共點(diǎn)，所以每條直線上恰有與另3條直線交