第3章隨機信號

第三章隨機過程 review 提要 隨機過程的一般概念通信系統(tǒng)中涉及的隨機信號與噪聲的特征表述平穩(wěn)隨機過程 相關函數(shù) 功率譜密度 Gauss過程窄帶過程正弦波加窄帶Gauss過程隨機過程通過線性系統(tǒng)的基本分析法 1 引言 通信 保證消息的傳遞 消息 信號 消息中的有用部分 噪聲 無用部分 信號 隨機性 某個或某幾個參數(shù)不能或不能完全預知 隨機信號噪聲 隨機性隨機過程 隨機信號與噪聲的統(tǒng)稱分析工具 概率論與隨機過程為了方便 人為地對通信系統(tǒng)所涉及的隨機過程進行了限制 平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機過程窄帶Gauss過程對噪聲的描述十分理想 2 隨機過程的一般表述 隨機過程 時間t的函數(shù) 在任一時刻上觀察到的值是不確定的 即一隨機變量 隨機過程就是由全部可能實現(xiàn)構成的總體 每個實現(xiàn)都是一個確定的時間函數(shù) 隨機性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個實現(xiàn)是不確定的 t n t t n t t n t 實現(xiàn)1 實現(xiàn)2 實現(xiàn)n t1 隨機變量 n臺相同的收音機 用n臺相同的記錄儀記錄各自在同一頻道的輸出 噪聲 波形 結果 N條不同的曲線 噪聲隨機過程記錄隨機過程的實現(xiàn)所有記錄的集合隨機過程的描述隨機過程的規(guī)律性 統(tǒng)計特性概率分布函數(shù)或數(shù)字特征確定設 t 為一隨機過程 則在任一時刻t1上 t1 是一隨機變量 那么隨機變量的統(tǒng)計特性可用概率分布密度或概率密度函數(shù)來描述 F1 x1 t1 P t1 x1 t 的一維分布函數(shù)如果F1 x1 t1 對x1的偏導數(shù)f1 x1 t1 存在一維概率密度函數(shù) 示例 一般情況下 t 的一維分布函數(shù)不能充分地描述隨機過程的完整統(tǒng)計特性 通常需要在足夠多的時刻上考慮隨機過程的多維分布函數(shù) t 的n維分布函數(shù) Fn x1 x2 xn t1 t2 tn P t1 x1 t2 x2 tn xn 及n維概率密度函數(shù)fn x1 x2 xn t1 t2 tn 因此 n越大 用分布函數(shù)描述的 t 的統(tǒng)計特性就越充分可以說分布函數(shù)完全描述了隨機過程的統(tǒng)計特征 而 t 的數(shù)字特征則簡化了我們對隨機過程的分析 通過數(shù)字特征我們能較好地理解和掌握隨機過程的規(guī)律 多維分布函數(shù) 我們所關心的是隨機過程的低階數(shù)字特征 如數(shù)學期望 方差 相關函數(shù)等 t 的數(shù)學期望 E t xf1 x1 t dx a t 或E X XkPka t t 的統(tǒng)計平均值 時間的函數(shù) t 在t時刻的平均值 t 的方差 D t E t E t 2 2 t x2f1 x1 t dx a t 2 t 在t時刻與平均值a t 之間的絕對偏差的大小 隨機過程的數(shù)字特征 兩個時刻上 t 的統(tǒng)計相關特性協(xié)方差函數(shù) B t1 t2 E t1 a t1 t2 a t2 x1 a t1 x2 a t2 f2 x1 t1 x2 t2 dx1dx2相關函數(shù) R t1 t2 E t1 t2 x1x2f2 x1 t1 x2 t2 dx1dx2因此 B t1 t2 R t1 t2 E t1 E t2 一般情況下 協(xié)方差函數(shù)和相關函數(shù)與時間起點有關 歸一化協(xié)方差函數(shù) 相關系數(shù) 協(xié)方差函數(shù)和相關函數(shù) 通信中涉及的隨機過程 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)過程 n維分布函數(shù)與時間起點無關 即給定n和 t 的n維分布函數(shù)滿足 狹義平穩(wěn)隨機過程 fn x1 x2 xn t1 t2 tn fn x1 x2 xn t1 t2 tn 因此 當n 1時 F1 x1 t1 與時間t無關當n 2時 F2 x1 x2 t1 t2 只與時間間隔 t2 t1有關數(shù)字特征 平穩(wěn)過程的數(shù)學期望及方差與t無關 自相關函數(shù)只與時間間隔 有關 即 E t xf1 x1 t dx aD t E t E t 2 2R t1 t2 E t1 t2 R 3 平穩(wěn)隨機過程 若一 t 的數(shù)學期望 方差與t無關 自相關函數(shù)只與 有關 則 t 為廣義平穩(wěn)隨機過程 平穩(wěn)隨機過程的特性 各態(tài)歷經(jīng)性 平穩(wěn)隨機過程 數(shù)字特征完全由隨機過程中任一實現(xiàn)的數(shù)字特征來決定 即 t t為任意時刻 的數(shù)字特征 t1 的數(shù)字特征 t 的數(shù)學期望 統(tǒng)計平均值 任一實現(xiàn)的時間平均值 方差 自相關函數(shù)也可以用 時間平均 來代替 統(tǒng)計平均 也就是說 從隨機過程中得到的任一實現(xiàn) 好象它經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài) 廣義平穩(wěn)隨機過程 x t 是平穩(wěn)隨機過程中的任一實現(xiàn) 則 時間平均 為 a lim1 T T 2 T 2x t dt 2 lim1 T T 2 T 2 x t a 2dtR lim1 T T 2 T 2x t x t dt往往有 a a 2 2 R R 滿足以上三個條件的平穩(wěn)隨機過程稱為具有 各態(tài)歷經(jīng)性 結論 只有平穩(wěn)隨機過程才可能具有各態(tài)歷經(jīng)性 判斷方法 當 時 a和R 的均方差0 則認為該隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)的 統(tǒng)計平均與時間平均 相關函數(shù)可以描述 1 平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性2 平穩(wěn)隨機過程的頻譜特性相關函數(shù) R 性質(zhì) t 為平穩(wěn)隨機過程 則 R 0 E 2 t S t 的歸一化平均功率 R R 偶函數(shù) R R 0 R E2 t t 的直流功率 R 0 R 2方差 t 的交流功率以上性質(zhì)表明 利用R 可表示 t 幾乎所有的數(shù)字特征 4 平穩(wěn)隨機過程的相關函數(shù)與功率譜密度 功率譜密度的定義 任意確知功率函數(shù)f t 的功率譜定義為 ps f lim FT f 2 TFT f 是f t 的截短函數(shù)fT t 的Fourier變換功率型平穩(wěn)隨機過程的每一實現(xiàn)也是功率信號 但一個實現(xiàn)的功率譜不能代表整個隨機過程的功率譜 而過程的功率譜是每一可能實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均 頻譜特性 T 2 T 2 f t fT t 設 t 的功率譜密度為p f T t FT f 則 p f E ps f limE FT f 2 T t 的平均功率S為 S p f df limE FT f 2 Tdf而 E FT f 2 T E 1 T T 2 T 2 T t e j tdt T 2 T 2 T t ej t dt E 1 T T 2 T 2 t e j tdt T 2 T 2 t ej t dt 1 T T 2 T 2 T 2 T 2R t t e j t t dtdt 令 t t k t t 則有 E FT f 2 T T T 1 T R e j d 因此 p f limE FT f 2 Tdf R e j2 f d t 的功率譜 FT p f R ex 隨機過程 t sin 0t 0 2 的隨機變量 并滿足均勻分布 計算 t 的自相關函數(shù)和功率譜密度函數(shù) 解 t 是否廣義平穩(wěn) a t 0 R t1 t2 1 2cos 0t R 因此 t 廣義平穩(wěn) 則 p f R e j d 1 4 f f0 f f0 t 的平均功率S 1 2 FT Gauss過程 正態(tài)隨機過程信道噪聲的數(shù)學模型n維概率密度函數(shù)為 見書p44特性 n維概率密度函數(shù)由數(shù)學期望 方差和歸一化協(xié)方差函數(shù)確定重要結論 1 Gauss過程若是廣義平穩(wěn) 則它也是狹義平穩(wěn) 2 Gauss過程中的隨機變量互不相關 則它們又是統(tǒng)計獨立的 即 fn x1 x2 xn t1 t2 tn f1 x1 t1 f2 x2 t2 fn xn tn 一維Gauss過程 分布函數(shù)f x 1 2 2 1 2exp x a 2 2 2 a為數(shù)學期望 或隨機過程的時間平均值 2為方差 5 Gauss過程 f x 對稱于x a f a x f a x f x 遞增for a anddecreasedfor a f a maximumvaluex f x 0 f x dx 1 且 af x dx a f x dx 1 2 af x 在x方向的移動 f x 的高窄a 0 1 一維Gauss分布概率密度函數(shù)的標準形式f x 1 2 1 2exp x2 2 分布函數(shù) F x P t x x a 數(shù)學手冊 一維Gauss過程的特性 a x f x 1 2 2 1 2 x 概率積分函數(shù)erf x 誤差函數(shù)erfc x 互補誤差函數(shù)F x 可用誤差函數(shù)或互補誤差函數(shù)表示 見P46 特殊函數(shù) 通信系統(tǒng)中大多數(shù)信號和噪聲是所謂 窄帶 的 窄帶波形 帶通信號包絡和相位相對載波fc緩慢變化 t a t cos ct t a t 0a t t 窄帶隨機過程 t c t cos ct s t sin ct c t a t cos t s t a t sin t 6 窄帶隨機過程 fc f f fc 同相分量 正交分量 窄帶過程 t 的統(tǒng)計特性是由 c t s t 確定的 問題 已知 t 的統(tǒng)計特性 則 c t s t a t t 統(tǒng)計特性 Ex 平穩(wěn)窄帶Gauss過程 均值為0 的 c t s t a t t E t E c t cos ct E s t sin ct 0則 E c t E s t 0 t 的自相關函數(shù) R t t R c t t cos ctcos c t R s t t sin ctsin c t t 平穩(wěn)過程 故自相關函數(shù)與t無關 結論 c t s t 廣義平穩(wěn) 窄帶過程的統(tǒng)計特性 經(jīng)計算 我們有 R 0 R c 0 R s 0 即 2 c2 s2推導可知 t Gauss過程 c t s t 也是Gauss過程結論 一個均值為0的窄帶Gauss過程 其同相和正交分量也為平穩(wěn)Gauss過程 且均值為0 方差相同 此外 在同一時刻得到的 c和 s互不相關 a t t 的統(tǒng)計特性 經(jīng)計算 有 a t 服從Rayleigh分布 t 服從均勻分布 f a a 2exp a 2 2 2 a 0f 1 2 0 2 就一維分布而言a t t 是統(tǒng)計獨立的 即 f a f a f 統(tǒng)計特性 續(xù) 白噪聲 功率譜密度函數(shù)在整個頻域內(nèi)為常數(shù)的噪聲 即 p f n0 2Watt Hz則自相關函數(shù) R n0 2 白噪聲只有在 0時才相關 而在任意兩個時刻上的隨機變量都是相互獨立的 理想寬帶過程 白噪聲 R n0 2 n0 2 p f f 限制在 f0 f0 內(nèi)的白噪聲R f0n0sin 0 0 因此 只有在 k 2f0 k 1 2 3 上得到的隨機變量才是不相關的 推理 在這些點上進行抽樣而得到的隨機變量是獨立的 帶限白噪聲 n0 2 p f f f0 f0 R f0n0 1 2f0 通信系統(tǒng)中常見的信號 正弦波加窄帶Gauss過程r t Acos ct n t n t x t cos ct y t sin ct 窄帶Gauss過程 均值為0 在 0 2 上服從均勻分布 a與 c是已知常數(shù) r t 的包絡z t 及相應的概率密度函數(shù) f z z 2exp 1 2 2 z2 A2 I0 Az 2 z 0f z 廣義Rayleigh分布 或Rice密度函數(shù) r t 的相位 的概率密度函數(shù) f 0 2 f f d 7 正弦波加窄帶Gauss過程 原理 信號通過線性系統(tǒng)的分析原理v0 t vi h t d V0 f H f Vi f 因果關系 v0 t tvi h t d 隨機過程通過線性系統(tǒng) 0 t t i h t d 0 h i t d i 是平穩(wěn)的 0 t 統(tǒng)計特性 8 隨機過程與線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)h t vi t vo t 0 t 的數(shù)學期望E 0 t E 0 h i t d 0 h E i t d E i t 0 h d 既 E 0 t E i t H 0 0 t 的自相關函數(shù)R0 t t R0 t t R0 廣義平穩(wěn) 0 t 的功率譜密度p 0 f p