常微分方程試題庫(kù) - 邢臺(tái)學(xué)院

常微分方程試題庫(kù)常微分方程試題庫(kù) 一 填空題 每空 3 分 1 當(dāng) 時(shí) 方程稱為恰當(dāng)方程 0 dyyxNdxyxM 或稱全微分方程 其原函數(shù)為 2 形如 的方程 稱為齊次方程 3 求滿足的解等價(jià)于求積分方程 yxf dx dy 00 yx 的連續(xù)解 4 設(shè) xy 是一階非齊次線性方程于區(qū)間I上的任一解 x 是其對(duì)應(yīng)齊線性方程于區(qū)間I上的一個(gè)非零解 則一階非齊次線 性方程的全部解的共同表達(dá)式為 5 若為 n 階齊線性方程的 n 個(gè)解 則它們線性 21 txtxtx n 無關(guān)的充要條件是 6 方程組的 稱之為的XtA dt dX XtA dt dX 一個(gè)基本解組 7 若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣 則 t AX dt dX Atexp 8 方程 稱為一階線性方程 它 有積分因子 其通解為 9 設(shè) 21 xx 是與二階線性方程 21 xfyxayxay 對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的基本解組 則的二階線性方程全部解的共同 表達(dá)式為 10 形如 的方程稱為歐 拉方程 11 若和都是的基解矩陣 則和具 t t XtA dt dX t t 有的關(guān)系 12 若向量函數(shù)在域上 ytgR 則方程組的解 存在且惟一 0000 yyttytg dt dy 13 方程經(jīng)過變換 y 1 n n yyyxf 可化為含有 個(gè)未知函數(shù)的一階微分方程組 n 14 方程的基本解組是 04 yy 15 向量函數(shù)組在區(qū)間 I 上線性相關(guān)的 21 xxx n YYY 條件是在區(qū)間 I 上它們的朗斯基行列式 0 xW 16 若是常系數(shù)線性方程組的 基解矩陣 則該方 t XtA dt dX 程滿足初始條件的解 0 t t 17 階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè) 維線性空間 n 18 方程 稱為黎卡提方程 19 如果在上 則方程 yxfR 存在唯一的解定義于區(qū)間上 連續(xù)且滿 yxf dx dy xy hxx 0 足初始條件 其中 00 yx h M 20 若1 2 是 階齊線性方程的 個(gè)解 txi i nnn 為其伏朗斯基行列式 則滿足一階線性方程 tW tW 21 方程有只含 的積分因子的充要條件0 dyyxNdxyxMx 是 其積分因子為 有只含 的積分因子的充要條件是 y 其積分因子為 22 方程 稱為黎卡提 方程 若它有一個(gè)特解 則經(jīng)過變換 可化為 x 伯努利方程 23 若 而 x 且 dx d D nn nn aDaDaDDL 1 1 1 時(shí) 則 0 L x e DL 1 24 若是 階非齊線形方程的一個(gè)特解 t n t i ni 2 1 是其對(duì)應(yīng)齊線性方程的一個(gè)基本解組 則非齊線形方程的所有解可 表為 25 如果是 n n 矩陣 是 n 維列向量 則它們?cè)?tA tF a t b 上 時(shí) 方程組滿足初 tFXtA dt dX 始條件的解在 a t b 上存在唯一 0 tX 26 若 而 是關(guān)于 dx d D nn nn aDaDaDDL 1 1 1 xfk 的 次多項(xiàng)式 則當(dāng)時(shí) 有 其中xk0 0 n aL 1 xfDQxf DL kkk 是的 次多項(xiàng)式 它是將按的升冪排列后用通常的多項(xiàng) DQkDk DLD 式除法去除 1 在第 步上得到的商式 27 在用皮卡逐步逼近法求方程組 的 tFXtA dt dX 0 tX 近似解時(shí) 則 t k 28 若 y y1 x y y2 x 是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解 則用這兩個(gè)解可把其通解表示為 29 線性齊次微分方程組的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能YxA dx dY 多于 個(gè) 30 二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解 成為其基 1 xy 2 xy 本解組的充要條件是 31 方程的所有常數(shù)解是 yx x y tan d d 2 32 方程所有常數(shù)解是 0dcosdsin yxyxyx 33 線性齊次微分方程組的解組為基本解組 21 xxx n YYY 的 條件是它們的朗斯基行列式 0 xW 34 微分方程的階數(shù)是 0 22 xy dx dy dx dy n 35 對(duì)于任意的 為某一矩形區(qū)域 若存在常 1 yx 2 yxR R 數(shù)使 則稱在上關(guān)于 滿 0 NN yxfRy 足李普希茲條件 36 函數(shù)組的伏朗斯基行列式為 ttt eee 2 37 若矩陣具有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 它們對(duì)應(yīng)An n vvv 21 的特征值分別為 那么矩陣 線性 n 21 t 方程組的一個(gè)基解矩陣 AX dt dX 38 設(shè)是方程組的基本解矩陣 為 t XtA dt dX t 的某一解 則它的任一解都可表為 tFXtA dt dX 39 方程 稱為變量分離方程 它有積分因 子 40 若是的基解矩陣 則向量函數(shù) t XtA dt dX 是的滿足初始條件的解 t tFXtA dt dX 0 0 t 向量函數(shù) 是的 t tFXtA dt dX 滿足初始條件的解 0 t 41 方程是 階方程 2 2 3 1 ds rd ds dr 42 方程是 階方程 0 xxxx 43 函數(shù)滿足的一階方程是 44 函數(shù)滿足的一階方程是 45 方程的通解為 xdyydx 46 方程的通解為 0 yxp dx dy 47 齊次方程經(jīng)過變換 可化為變量分 x y g dx dy 離方程 48 設(shè) x 是一階線性齊次方程于區(qū)間I上的解 0 yxp dx dy 若存在某點(diǎn)Ix 0 有0 0 x 則 49 方程0 ydxxdy的通解為 50 方程0 2 x ydxxdy 的通解為 51 方程0 2 y ydxxdy 的通解為 52 方程0 xy ydxxdy 的通解為 53 方程0 22 yx ydxxdy 的通解為 54 方程的積分因子為 55 方程 yx e dx dy 的積分因子為 56 方程 的左端可以因式分解為 從而得到兩個(gè)方程 與 原方程的解有 和 57 方程 稱為克萊洛方程 它的通解為 58 設(shè)Ix 0 是區(qū)間I上 LH 的 n 個(gè)解 則 1 xYxY n 在區(qū)間I上線性相關(guān)的 條件是向量組 1 xYxY n 線性相關(guān) 001 xYxY n 59 設(shè) x 是 LH 的任一基本解矩陣 則 LH 的標(biāo)準(zhǔn)基本解 矩陣是 60 非齊線性次方程組 NH 的任意兩個(gè)解之差都 是 的解 填空題參考答案 每空 3 分 1 y y x x dttxNdsysMyxU 00 0 或 x N y M y y x x dttxNdsysMyxU 00 0 2 xgxf dx dy 3 4 xxCy x x dttytfyxy 0 0 5 它們的朗斯基行列式 W x 不為零 6 n 個(gè)線性無關(guān)解 7 0 exp 1 xAx 8 xfyxp dx dy dxxp e dxexfCey dxxpdxxp 9 dttf tttt txxt xCxCy x x 0 2121 2121 2211 10 0 1 11 1 yaxDyayDxayDx nn nnnn 11 存在非奇異矩陣 A 使得 IxAxx 21 12 連續(xù)且關(guān)于 滿足李氏條件 13 y 1 1 21 n n yyyyyy 14 15 充分 16 17 xx sin cos 0 1 tt n 18 2 xryxqyxpy 19 連續(xù)且關(guān)于 滿足李氏條件 y min 0 M b ah max yxfM Ryx 20 21 只與 x 有關(guān) 1 tWta dt tdW 只與 y 有關(guān) 22 23 2 xryxqyxpy zxy 1 L e e DL x x 24 25 連續(xù) 26 11 ttCtC nn 1 k 27 28 29 x x kk dttFttAYx 0 10 1 21 xCyxyC n 30 線性無關(guān) 31 2 1 0 kky 32 33 充要 34 一 2 1 0 2 kkxky 35 36 2121 yyNyxfyxf t ttt ttt ttt e eee eee eee 2 2 2 2 6 4 2 37 38 39 n ttt n eee 21 21 tCt ygxf dx dy 1 yg 40 t t dssFsttt 0 1 0 1 41 二 42 三 t t dssFst 0 1 43 44 45 46 xx dx d