專題七二次函數(shù)特殊四邊形的存在性問題

專題七二次函數(shù)綜合題 類型三特殊四邊形的存在性問題 遵義2014 27 3 銅仁2018 25 2 方法指導(dǎo) 平行四邊形的判定 矩形 菱形的判定方法參照 中平行四邊形的判定 典例精講 例已知拋物線y ax2 bx c經(jīng)過點(diǎn)A 1 0 B 3 0 C 0 3 三點(diǎn) 1 求拋物線的解析式 頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸 例題圖 思維教練 要求拋物線的解析式 需將A B C三點(diǎn)坐標(biāo)代入y ax2 bx c中 解方程組即可 把拋物線一般式化成頂點(diǎn)式 可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸 解 將點(diǎn)A 1 0 B 3 0 C 0 3 三點(diǎn)代入y ax2 bx c中 得 解得 拋物線的解析式為y x2 4x 3 把y x2 4x 3化成頂點(diǎn)式為y x 2 2 1 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2 1 對(duì)稱軸是直線x 2 2 過點(diǎn)C作CD平行于x軸 交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)D 試判斷四邊形ABDC的形狀 并說明理由 例題圖 思維教練 要判斷四邊形ABDC的形狀 觀察發(fā)現(xiàn) 四邊形ABDC為平行四邊形 結(jié)合已知條件有CD AB 再設(shè)法證明AB CD即可 解 四邊形ABDC是平行四邊形 理由如下 D點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上 CD x軸 D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2 即CD 2 A 1 0 B 3 0 AB 2 AB CD 又 CD AB 四邊形ABDC是平行四邊形 3 如果點(diǎn)G是直線BC上一點(diǎn) 點(diǎn)H是拋物線上一點(diǎn) 是否存在這樣的點(diǎn)G和H 使得以G H O C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 如果存在 請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo) 例題圖 思維教練 先假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G和H 由于OC的長(zhǎng)度和位置確定 所以點(diǎn)G H的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值與OC相等 據(jù)此可求出點(diǎn)H的坐標(biāo) 解 存在 如解圖 設(shè)直線BC的解析式為y kx b k 0 將點(diǎn)B 3 0 C 0 3 代入可得 解得 直線BC的解析式為y x 3 點(diǎn)G在直線BC上 點(diǎn)H在拋物線上 且以點(diǎn)G H O C構(gòu)成的四邊形是以O(shè)C為邊的平行四邊形 GH x軸 GH OC 設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為 n n 3 H點(diǎn)坐標(biāo)為 n n2 4n 3 例題解圖 GH OC 3 GH n2 4n 3 n 3 n2 3n 3 當(dāng)n2 3n 3時(shí) 解得n 當(dāng)n2 3n 3時(shí) 方程無解 當(dāng)n 時(shí) n2 4n 3 當(dāng)n 時(shí) n2 4n 3 綜上所述 存在這樣的點(diǎn)G和H 使得以G H O C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 點(diǎn)H的坐標(biāo)為 或 例題解圖 4 如果點(diǎn)M在直線BC上 點(diǎn)N在拋物線上 是否存在這樣的點(diǎn)M和N 使得以A B M N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 如果存在 請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo) 例題圖 思維教練 先假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M N 因?yàn)锳B長(zhǎng)度和位置確定 故需分AB作邊還是對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論 當(dāng)AB為邊時(shí) 則MN AB 且MN AB 據(jù)此可求出點(diǎn)N的坐標(biāo) 當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí) 則MN與AB互相平分 從而確定點(diǎn)N的坐標(biāo) 解 存在點(diǎn)M N 使得以A B M N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí) 需考慮點(diǎn)M和N的位置關(guān)系 即點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊還是右邊 如解圖 當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊時(shí) 設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為 m m2 4m 3 則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 m 2 m 5 四邊形ABNM是平行四邊形 m2 4m 3 m 5 解得m 當(dāng)m 時(shí) m2 4m 3 當(dāng)m 時(shí) m2 4m 3 點(diǎn)N的坐標(biāo)為 或 例題解圖 當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊時(shí) 設(shè)點(diǎn)N 的坐標(biāo)為 m m2 4m 3 則點(diǎn)M 的坐標(biāo)為 m 2 m 1 四邊形ABM N 是平行四邊形 m2 4m 3 m 1 解得m 1或2 當(dāng)m 1時(shí) 點(diǎn)N與點(diǎn)A重合 故舍去 當(dāng)m 2時(shí) m2 4m 3 1 點(diǎn)N的坐標(biāo)為 2 1 當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí) 則MN與AB互相平分 如解圖 AB與MN相交于點(diǎn)J 易得J 2 0 易得AJ NJ BJ MJ 設(shè)M m m 3 N n n2 4n 3 則有 2 m 3 n2 4n 3 0 整理 得n2 3n 2 0 解得n1 1 舍去 n2 2 N點(diǎn)坐標(biāo)為 2 1 綜上所述 點(diǎn)N的坐標(biāo)為 2 1 例題解圖 5 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)為K 點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn) 點(diǎn)Q為y軸上一點(diǎn) 是否存在這樣的點(diǎn)P和Q 使得四邊形CKPQ是菱形 如果存在 請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 例題圖 思維教練 先假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P 由于四邊形CKPQ四個(gè)頂點(diǎn)順序已確定 則CK為菱形的邊 故利用KP CK上下平移直線BC 與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P 解 存在 理由如下 K點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 1 CK 假如存在這樣的點(diǎn)P 使得四邊形CKPQ為菱形 則KP CK 2 如解圖 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)K的下方時(shí) 點(diǎn)P1的坐標(biāo)為 2 1 2 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)K的上方時(shí) 點(diǎn)P2的坐標(biāo)為 2 1 2 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 2 1 2 或 2 1 2 例題解圖 6 若點(diǎn)R是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn) 點(diǎn)S是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任一點(diǎn) 是否存在滿足條件的點(diǎn)R S 使得四邊形BCRS為矩形 若存在 求出點(diǎn)R S的坐標(biāo) 例題圖 思維教練 先假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)R S 要使四邊形BCRS為矩形 則點(diǎn)R在直線BC上方 且 BCR 90 可通過尋找相似三角形利用相似求出點(diǎn)R 再根據(jù)矩形性質(zhì)求出點(diǎn)S 解 存在 如解圖 要使四邊形BCRS為矩形 拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)T 則 BCR 90 CRK TBK 由 5 知 K 2 1 CK 2 T 2 0 TK 1 BK RK 4 R 2 5 CB RS CB RS 根據(jù)點(diǎn)平移及矩形性質(zhì)可得S 5 2 故存在滿足條件的點(diǎn)R S 使得四邊形BCRS為矩形 且點(diǎn)R S的坐標(biāo)分別為R 2 5 S 5 2 例題解圖 針對(duì)演練 解 1 設(shè)拋物線的解析式為y ax2 bx c 將對(duì)稱軸和A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式 得 解得 拋物線的解析式為y x2 x 4 配方 得y x 2 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2 設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為 x x2 x 4 S 2 OA yE 6 x2 x 4 即S 4x2 28x 24 3 平行四邊形OEAF的面積為24時(shí) 平行四邊形OEAF可能為菱形 理由如下 當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí) 即 4x2 28x 24 24 化簡(jiǎn) 得x2 7x 12 0 解得x 3或4 當(dāng)x 3時(shí) EO EA 則平行四邊形OEAF為菱形 當(dāng)x 4時(shí) EO EA 則平行四邊形OEAF不為菱形 平行四邊形OEAF的面積為24時(shí) 平行四邊形OEAF可能為菱形 解 1 C1與C2關(guān)于y軸對(duì)稱 C1與C2交點(diǎn)一定在y軸上 且C1與C2的形狀 大小均相同 a 1 n 3 C1的對(duì)稱軸為x 1 C2的對(duì)稱軸為x 1 m 2 C1 y x2 2x 3 C2 y x2 2x 3 2 令C2中y 0 則x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè) A 3 0 B 1 0 3 存在 如解圖 設(shè)P a b 第2題解圖 四邊形ABPQ是平行四邊形 PQ AB 4 Q a 4 b 或 a 4 b 當(dāng)Q a 4 b 時(shí) 得a2 2a 3 a 4 2 2 a 4 3 解得a 2 b a2 2a 3 4 4 3 5 P1 2 5 Q1 2 5 當(dāng)Q a 4 b 時(shí) 得a2 2a 3 a 4 2 2 a 4 3 解得a 2 b a2 2a 3 4 4 3 3 P2 2 3 Q2 2 3 綜上所述 所求點(diǎn)的坐標(biāo)為P1 2 5 Q1 2 5 或P2 2 3 Q2 2 3 類型四相似三角形的存在性問題 銅仁2018 25 3 方法指導(dǎo) ABC與 DEF相似 在沒指明對(duì)應(yīng)點(diǎn)的情況下 理論上應(yīng)分六種情況討論 但實(shí)際問題中通常不超過四種 常見有如下兩種類型 每類分兩種情況討論就可以了 另外 如果不滿足以上兩種情況 但可以確定已知三角形的形狀 特征 時(shí) 先確定動(dòng)態(tài)三角形中固定的因素 看是否與已知三角形中有相等的角 若存在 根據(jù)分類討論列比例關(guān)系式求解 已知條件中有一條對(duì)應(yīng)邊 只需要討論另外兩條邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系 列比例關(guān)系式求解 若可得相似三角形的某個(gè)對(duì)應(yīng)角的度數(shù)時(shí) 分類討論另外兩個(gè)角的對(duì)應(yīng)情況 列比例關(guān)系式求解 典例精講 例如圖 拋物線圖象交x軸于A B兩點(diǎn) 且點(diǎn)A位于x軸的正半軸 點(diǎn)B位于x軸的負(fù)半軸 且OA OB 3 拋物線交y軸于點(diǎn)C 0 3 1 求拋物線的解析式 例題圖 思維教練 要求拋物線的解析式 已知OA OB的長(zhǎng)度 可知點(diǎn)A B的坐標(biāo) 再結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo) 利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式 解 OA 點(diǎn)A在x軸的正半軸 A 0 OB 3 點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸 B 3 0 設(shè)拋物線的解析式為 y ax2 bx c 將點(diǎn)A 0 B 3 0 C 0 3 代入 得 解得 即此拋物線的解析式為y x2 x 3 2 連接AC BC 則在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)D 使得 ABC ACD 點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合 若存在 請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo) 例題圖 思維教練 要在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)D 使得 ABC ACD 由 1 知A B C三點(diǎn)坐標(biāo) 可判斷出 ABC為直角三角形 則可知 ACD必是直角三角形且點(diǎn)D對(duì)應(yīng)直角頂點(diǎn) 根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求得點(diǎn)D的坐標(biāo) 解 存在 如解圖 tan OCA OCA 30 tan BCO BCO 60 ACB 90 ABC為直角三角形 ABC ACD 且點(diǎn)D在坐標(biāo)軸上 由題易知 AB 4 AC 2 BC 6 即 CD 3 C 0 3 D 0 0 例題解圖 3 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸分別交拋物線 x軸于點(diǎn)E F 在x軸上是否存在一點(diǎn)G 不與點(diǎn)F重合 使得 AEF與 AEG相似 若存在 請(qǐng)求出點(diǎn)G坐標(biāo) 思維教練 要使 AEF與 AEG相似 因?yàn)?AEF為直角三角形 需考慮 AEG中哪個(gè)角為直角的情況 當(dāng)點(diǎn)G在x軸上時(shí) 分 AEF AGE和 AEF AEG兩種情況 例題圖 解 存在 AEF是直角三角形 且 AEF與 AEG相似 AEG也是直角三角形 點(diǎn)G在x軸上 分兩種情況討論 當(dāng) AGE AEF時(shí) 由 1 知A 0 E 4 EF 4 AF 2 根據(jù)勾股定理 得AE 2 AE2 AG AF 解得AG OG AG OA 即G 0 當(dāng) AEF AEG時(shí) 點(diǎn)F與點(diǎn)G重合 綜上所述 G點(diǎn)坐標(biāo)為 0 4 直線AC與拋物線的對(duì)稱軸交于M點(diǎn) 在y軸上是否存在一點(diǎn)N 使得 AOC與 MNC相似 若存在 請(qǐng)求出點(diǎn)N坐標(biāo) 例題圖 思維教練 要使 AOC與 MNC相似 因?yàn)?ACO MCN 則需考慮 AOC 90 這個(gè)直角與哪個(gè)角對(duì)應(yīng) 從而分以下兩種情況討論 AOC MNC AOC NMC 根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算出點(diǎn)N的坐標(biāo) 解 存在 設(shè)直線AC的解析式為y kx b 將A 0 C 0 3 代入 直線AC的解析式為y x 3 易知AC 2 又 拋物線對(duì)稱軸為x 將x 代入y x 3中 得y 6 M 6 又 C 0 3 MC 分以下兩種情況討論 如解圖 過點(diǎn)M作MN y軸于點(diǎn)N 此時(shí) AOC MNC 則此時(shí) 點(diǎn)N與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相等 N 0 6 例題解圖 如解圖 過點(diǎn)M作MN AC于點(diǎn)M 此時(shí) AOC NMC 即 NC 4 則ON OC NC 7 N 0 7 綜上所述 滿足要求的點(diǎn)N的坐標(biāo)為 0 6 或 0 7 例題解圖 5 在拋物線上是否存在點(diǎn)P 使 AOC與 ACP相似 若存在 請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 例題圖 思維教練 要使 AOC與 ACP相似 因?yàn)?AOC是直角三角形 而 ACP中三個(gè)內(nèi)角均可能為直角 故需分三種情況討論 在每種情況之下 求出對(duì)應(yīng)點(diǎn) 再看求出的點(diǎn)是否滿足三角形相似的條件 解 存在 AOC是直角三角形 AOC與 ACP相似 ACP也是直角三角形 分以下三種情況討論 如解圖 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合 即 ACP 90 時(shí) AOC ACB CAO BAC AOC ACB 此時(shí) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 3 0 例題解圖 如解圖 當(dāng) CAP 90 時(shí) AC2 AP2 CP2 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為 x x2 x 3 A 0 C 0 3 AC2 2 32 12 AP2 x 2 x2 x 3 2 CP2 x2 3 x2 x 3 2 即12 x 2 x2 x 3 2 x2 3 x2 x 3 2 解得x 或 4 當(dāng)x 時(shí)y 0 點(diǎn)P與點(diǎn)A重合 故舍去 P 4 5 例題解圖 AP 2 AOC與 ACP不相似 P 4 5 舍去 如解圖 當(dāng) CPA 90 時(shí) 以AC為直徑作圓 此圓過點(diǎn)O A C 不與拋物線有其他交點(diǎn) 則不存在符合要求的點(diǎn)P 綜上所述 滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為 3 0 例題解圖 針對(duì)演練 1 2018烏魯木齊 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 拋物線y x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)A 2 0 B 8 0 1 求拋物線的解析式 2 點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn) 連接BC 設(shè)點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn) PD BC 垂足為點(diǎn)D 是否存在點(diǎn)P 使線段PD的長(zhǎng)度最大 若存在 請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 當(dāng) PDC與 COA相似時(shí) 求點(diǎn)P的坐標(biāo) 第1題圖 解 1 將A 2 0 B 8 0 代入y x2 bx c得 拋物線解析式為 y x2 x 4 在Rt PDE中 PD PE sin PED PE sin OCB PE PE PE 當(dāng)線段PE最長(zhǎng)時(shí) PD的長(zhǎng)度最大 設(shè)P t t2 t 4 點(diǎn)E在直線BC上 且點(diǎn)E G的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相等 E t t 4 G t 0 即PG t2 t 4 EG t 4 PE PG EG t2 2t t 4 2 4 0 t 8 當(dāng)t 4時(shí) PE有最大值4 此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為 4 6 即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為 4 6 時(shí) PD的長(zhǎng)度最大 最大值為PE 4 由A 2 0 B 8 0 C 0 4 易知AB2 BC2 AC2 則 ACB 90 OCB OCA 90 OCB OBC 90 OCA OBC AOC COB 90 COA BOC 當(dāng)Rt PDC與Rt COA相似時(shí) 就有Rt PDC與Rt BOC相似 相似三角形對(duì)應(yīng)角相等 PCD CBO 或 PCD BCO 若 PCD CBO Rt PDC Rt COB Rt AOC 此時(shí)有CP OB C 0 4 P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4 x2 x 4 4 解得x1 6 或x2 0 舍 即Rt PDC Rt COB時(shí) P 6 4 若 PCD BCO Rt PDC Rt BOC Rt COA 如解圖 過點(diǎn)P作x軸的垂線 垂足為點(diǎn)G 與直線BC交于點(diǎn)F PF OC PFC BCO PCD PFC PF PC 設(shè)P n n2 n 4 由題意可得n 0 同 可知PF n2 2n 如解圖 過點(diǎn)P作y軸的垂線 垂足為點(diǎn)N 在Rt PNC中 PC2 PN2 NC2 n2 n2 n 4 4 2 n4 n3 n2 PF PC PF2 PC2 即 n2 2n 2 n4 n3 n2 解得n 3或n 0 舍去 即Rt PDC Rt BOC時(shí) P 3 當(dāng) PDC與 COA相似時(shí) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 6 4 或 3 第1題解圖 2 2018常德 如圖 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)O 0 0 A 8 4 與x軸交于另一點(diǎn)B 且對(duì)稱軸是直線x 3 1 求該二次函數(shù)的解析式 2 若M是OB上的一點(diǎn) 作MN AB交OA于N 當(dāng) ANM面積最大時(shí) 求M的坐標(biāo) 3 P是x軸上的點(diǎn) 過P作PQ x軸 與拋物線交于Q 過A作AC x軸于C 當(dāng)以O(shè) P Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè) A C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí) 求P點(diǎn)的坐標(biāo) 第2題圖 解 1 設(shè)二次函數(shù)的解析式為y a x 3 2 h a 0 將O 0 0 A 8 4 代入解析式 得 二次函數(shù)的解析式為y x 3 2 即y x2 x 2 O B兩點(diǎn)關(guān)于x 3對(duì)稱 B 6 0 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 m 0 0 m 6 設(shè)直線AB的解析式為y k1x b1 直線AB的解析式為y 2x 12 易得直線OA的解析式為y x MN AB 設(shè)MN的解析式為y 2x b2 把M m 0 代入得b2 2m 直線MN的解析式y(tǒng) 2x 2m S ANM S AOM S NOM S AOM m 4 S NOM m m S ANM m2 2m 0 m 6 當(dāng)m 3時(shí) S ANM有最大值為S ANM 32 2 3 3 當(dāng) ANM面積最大時(shí) 點(diǎn)M的坐標(biāo)為 3 0 3 設(shè)P t 0 則Q t t2 t OP t PQ t2 t A 8 4 AC x軸 OC 8 AC 4 OPQ OCA 90 以O(shè) P Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè) C A為頂點(diǎn)的三角形相似有如下兩種情況 當(dāng) OPQ OCA時(shí) 解得t1 8 t2 4 t3 0 舍去 當(dāng) OPQ ACO時(shí) 解得t1 14 t2 2 t3 0 舍去 綜上所述 P點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 0 或 4 0 或 8 0 或 14 0 類型五全等三角形的存在性問題 銅仁2017 25 2 方法指導(dǎo) 全等的兩個(gè)三角形 在沒指明對(duì)應(yīng)點(diǎn)的情況下 理論上應(yīng)分六種情況討論 但實(shí)際問題中通常不超過四種 常見有如下兩種類型 每類分兩種情況討論就可以了 典例精講 例 2017銅仁25 1 2 如圖 拋物線y x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)A 1 0 B 0 2 并與x軸交于點(diǎn)C 點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸l上任意一點(diǎn) 點(diǎn)M B C三點(diǎn)不在同一直線上 1 求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式 例題圖 思維教練 將點(diǎn)A B分別代入拋物線的表達(dá)式 通過解方程組 可得到b c的值 解 將點(diǎn)A 1 0 B 0 2 代入y x2 bx c中 得 解得 二次函數(shù)表達(dá)式為y x2 x 2 2 在拋物線上找出兩點(diǎn)P1 P2 使得 MP1P2與 MCB全等 并求出P1 P2的坐標(biāo) 思維教練 利用全等時(shí)對(duì)應(yīng)邊相等 結(jié)合拋物線的對(duì)稱性 分兩種情況 分別作B C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) 所作對(duì)稱點(diǎn)即為所求P1 P2點(diǎn) 作BC的平行線 與拋物線的交點(diǎn) 即為所求P點(diǎn) 例題圖 解 令y x2 x 2 0 得x1 1 x2 2 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為 2 0 易得拋物線對(duì)稱軸為x 如解圖 取點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)A 點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)為B 1 2 則當(dāng)點(diǎn)P1 P2與A B 重合時(shí) 有 MP1P2與 MBC全等 此時(shí) P1 1 0 P2 1 2 例題解圖 過點(diǎn)M作MP1 BC 交拋物線于點(diǎn)P1 如解圖 若 MP1 C CBM 則MP1 CB 四邊形MBCP1 為平行四邊形 xM xB xP1 xC xM xB xC 0 2 將x 代入y x2 x 2中 得y P1 此時(shí)P2 與C點(diǎn)重合 P1 P2 2 0 綜上所述 滿足條件的P1 P2點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1 1 0 P2 1 2 P1 P2 2 0 例題解圖 針對(duì)演練 1 2017包頭 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 已知拋物線y x2 bx c與x軸交于A 1 0 B 2 0 兩點(diǎn) 與y軸交于點(diǎn)C 1 求該拋物線的解析式 2 直線y x n與拋物線在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)D 與線段BC交于點(diǎn)E 與x軸交于點(diǎn)F 且BE 4EC 求n的值 連接AC CD 線段AC與線段DF交于點(diǎn)G AGF與 CGD是否全等 請(qǐng)說明理由 第1題圖 解 1 拋物線y x2 bx c與x軸交于A 1 0 B 2 0 兩點(diǎn) 將A 1 0 B 2 0 代入拋物線解析式可得 解得 該拋物線的解析式為y x2 x 3 2 如解圖 過點(diǎn)E作EE x軸于點(diǎn)E E E OC BE 4CE BE 4OE 設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為 x y OE x BE 4x 點(diǎn)B坐標(biāo)為 2 0 OB 2 x 4x 2 x 拋物線y x2 x 3與y軸交于點(diǎn)C 當(dāng)x 0時(shí) y 3 C 0 3 第1題解圖 設(shè)直線BC的解析式為y kx b1 B 2 0 C 0 3 將B C兩點(diǎn)代入解析式 得 解得k 直線BC的解析式為y x 3 當(dāng)x 時(shí) 代入直線BC的解析式 得y E 點(diǎn)E在直線y x n上 n n 2 全等 理由如下 直線EF的解析式為y x 2 當(dāng)y 0時(shí) x 2 F 2 0 OF 2 A 1 0 OA 1 AF 1 拋物線與直線y x 2相交于點(diǎn)D 聯(lián)立方程 得 解得或 點(diǎn)D在第四象限 點(diǎn)D的坐標(biāo)為 1 3 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0 3 CD x軸 CD 1 AFG CDG FAG DCG CD AF 1 AGF CGD ASA 2 如圖 一次函數(shù)y x 2與坐標(biāo)軸分別交于A B兩點(diǎn) 拋物線y x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)A B 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā) 以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BA運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā) 以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AO運(yùn)動(dòng) 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 1 求此拋物線的表達(dá)式 2 求當(dāng) APQ為等腰三角形時(shí) 所有滿足條件的t的值 3 點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng) 請(qǐng)直接寫出t為何值時(shí) APQ的面積達(dá)到最大 此時(shí) 在拋物線上是否存在一點(diǎn)T 使得 APT APO 若存在 請(qǐng)直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 第2題圖 解 1 把x 0代入y x 2中 得y 2 把y 0代入y x 2中 得x 2 A 2 0 B 0 2 把A 2 0 B 0 2 分別代入y x2 bx c中 得b c 2 拋物線的表達(dá)式為y x2 x 2 2 OA 2 OB 2 由勾股定理 得AB 4 BAO 30 運(yùn)動(dòng)t秒后 AQ t BP 2t 由 APQ為等腰三角形 有QA QP AP AQ PA PQ三種情況 當(dāng)QP QA時(shí) 如解圖 過點(diǎn)Q作QD AB于點(diǎn)D 則D為AP的中點(diǎn) 在Rt ADQ中 QD AQ t AD PD AQ t AP t BP AP AB 2t t 4 解得t 8 4 第2題解圖 當(dāng)AP AQ時(shí) 若點(diǎn)P在x軸上方的直線AB上 AP t BP 2t BP AP AB t 2t 4 解得t 若點(diǎn)P在x軸下方的直線AB上 AP BP AB AQ 2t 4 t 解得t 4 當(dāng)PA PQ時(shí) 如解圖 過點(diǎn)P作PE AO于點(diǎn)E 則AE AQ t 在Rt PEA中 PE AE t AP 2PE t BP AP AB 2t t 4 解得t 綜上所述 當(dāng) APQ為等腰三角形時(shí) t的值為8 4或或4或 第2題解圖 3 如解圖 過點(diǎn)P作PF AO于點(diǎn)F 延長(zhǎng)FP交拋物線于點(diǎn)T 連接AT PF為 APQ底邊AQ上的高 AP 4 2t BAO 30 PF AP 2 t S APQ AQ PF t 2 t t 1 2 當(dāng)t 1時(shí) APQ的面積最大 此時(shí)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn) 且P 1 連接OP 則OP AP BP 點(diǎn)P 1 點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為 第2題解圖 將x 代入拋物線的解析式 得y 3 TP OP 2 在Rt TFA中 由勾股定理可知 TA 2 AO TA APT APO 存在點(diǎn)T 使 APT APO 點(diǎn)T的坐標(biāo)為 3 類型六切線問題 遵義2015 27 3 銅仁2015 23 3 方法指導(dǎo) 拋物線中有關(guān)圓的切線的問題 一般為兩種類型 已知直線與圓相切的相關(guān)計(jì)算 已知直線與圓相切 求直線解析式 對(duì)這兩種問題 一般解題方法如下 已知圓與直線相切時(shí) 連接切點(diǎn)與圓心 得到垂直 再結(jié)合題干中的已知條件 利用直角三角形或相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算 若判斷拋物線對(duì)稱軸與圓的位置關(guān)系 只要根據(jù)圓心到對(duì)稱軸距離與圓半徑大小關(guān)系即可確定 若已知圓與直線相切 需根據(jù)題意分析 切線只存在一條 還是兩條 若為兩條 常要進(jìn)行分類討論計(jì)算 然后根據(jù)勾股定理或相似列方程求出點(diǎn)坐標(biāo) 得到直線解析式 典例精講 例如圖 拋物線與x軸交于點(diǎn)A 4 0 B 2 0 與y軸交于點(diǎn)C 0 2 1 求拋物線的解析式 思維教練 根據(jù)題意設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式 將C 0 2 代入即可得解 例題圖 解 拋物線過點(diǎn)A 4 0 B 2 0 設(shè)拋物線解析式為 y a x 4 x 2 把C 0 2 代入 得2 a 4 2 即a 所求拋物線的解析式為y x 4 x 2 x2 x 2 2 若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 且在直線AC上方 當(dāng)以A C D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí) 求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積 思維教練 求解此題 關(guān)鍵是用D的坐標(biāo)表示出 ACD的面積 且由題意知yD 0 將 ACD拆分成同底 且以點(diǎn)A C為頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形求解 例題圖 解 依題意可設(shè)D x x2 x 2 4 x 0 如解圖 連接AC 過點(diǎn)D作DF x軸交AC于點(diǎn)F 設(shè)直線AC的解析式為y kx b k 0 將點(diǎn)A 4 0 C 0 2 代入 得 解得 直線AC的解析式為y x 2 F x x 2 S ADC S ADF S CDF xD xA yD yF xC xD yD yF xC xA yD yF 4 x2 x 2 x 2 x2 2x x 2 2 2 0 4 x 0 當(dāng)x 2時(shí) S ADC有最大值 最大值為2 此時(shí)D 2 2 例題解圖 3 以AB為直徑作 M 直線l經(jīng)過點(diǎn)E 1 5 并且與 M相切 求直線l的解析式 思維教練 解此題的關(guān)鍵是確定切點(diǎn)坐標(biāo) 設(shè)切點(diǎn)為F 由題可得圓心點(diǎn)M坐標(biāo) 半徑長(zhǎng) 點(diǎn)M與E為平行于y軸的直線上的兩點(diǎn) 有切點(diǎn) 故構(gòu)造直角三角形是解題切入點(diǎn) 由于過圓外一點(diǎn)存在兩條圓的切線 故此題有兩種情況 例題圖 解 如解圖 以AB為直徑作 M 且由解圖易知 存在兩條過點(diǎn)E且與 M相切的直線l1 l2 切點(diǎn)分別為P Q 連接MP MQ AB 6 以AB為直徑的 M的半徑為3 即M 1 0 設(shè)切點(diǎn)Q坐標(biāo)為