初中幾何輔助線(xiàn)大全(共56頁(yè)).doc

初中數(shù)學(xué)輔助線(xiàn)的添加淺談人們從來(lái)就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問(wèn)題的，當(dāng)問(wèn)題的條件不夠時(shí)，添加輔助線(xiàn)構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問(wèn)題，這是解決問(wèn)題常用的策略。一添輔助線(xiàn)有二種情況： 1按定義添輔助線(xiàn)： 如證明二直線(xiàn)垂直可延長(zhǎng)使它們,相交后證交角為90；證線(xiàn)段倍半關(guān)系可倍線(xiàn)段取中點(diǎn)或半線(xiàn)段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類(lèi)似添輔助線(xiàn)。2按基本圖形添輔助線(xiàn)： 每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線(xiàn)往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線(xiàn)”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線(xiàn)，添輔助線(xiàn)也有規(guī)律可循。舉例如下： （1）平行線(xiàn)是個(gè)基本圖形： 當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線(xiàn)時(shí)添輔助線(xiàn)的關(guān)鍵是添與二條平行線(xiàn)都相交的等第三條直線(xiàn) （2）等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形： 當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線(xiàn)段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線(xiàn)與角的二邊相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要線(xiàn)段是個(gè)重要的基本圖形： 出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線(xiàn)；出現(xiàn)角平分線(xiàn)與垂線(xiàn)組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線(xiàn)與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線(xiàn)段的基本圖形。 （4）直角三角形斜邊上中線(xiàn)基本圖形 出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線(xiàn)。出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)系且倍線(xiàn)段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線(xiàn)得直角三角形斜邊上中線(xiàn)基本圖形。 （5）三角形中位線(xiàn)基本圖形 幾何問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線(xiàn)基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒(méi)有中位線(xiàn)時(shí)則添中位線(xiàn)，當(dāng)有中位線(xiàn)三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)系且與倍線(xiàn)段有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線(xiàn)段的平行線(xiàn)得三角形中位線(xiàn)基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)系且與半線(xiàn)段的端點(diǎn)是某線(xiàn)段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線(xiàn)段的端點(diǎn)添半線(xiàn)段的平行線(xiàn)得三角形中位線(xiàn)基本圖形。 （6）全等三角形： 全等三角形有軸對(duì)稱(chēng)形，中心對(duì)稱(chēng)形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線(xiàn)段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)就可以添加軸對(duì)稱(chēng)形全等三角形：或添對(duì)稱(chēng)軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱(chēng)軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一組或兩組相等線(xiàn)段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線(xiàn)時(shí)可添加中心對(duì)稱(chēng)形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過(guò)二端點(diǎn)添平行線(xiàn) （7）相似三角形： 相似三角形有平行線(xiàn)型（帶平行線(xiàn)的相似三角形），相交線(xiàn)型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線(xiàn)段重疊在一直線(xiàn)上時(shí)（中點(diǎn)可看成比為1）可添加平行線(xiàn)得平行線(xiàn)型相似三角形。若平行線(xiàn)過(guò)端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線(xiàn)段為平行方向，這類(lèi)題目中往往有多種淺線(xiàn)方法。 （8）特殊角直角三角形 當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：2；30度角直角三角形三邊比為1：2：3進(jìn)行證明 （9）半圓上的圓周角 出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對(duì)弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二基本圖形的輔助線(xiàn)的畫(huà)法1.三角形問(wèn)題添加輔助線(xiàn)方法 方法1：有關(guān)三角形中線(xiàn)的題目，常將中線(xiàn)加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線(xiàn)，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問(wèn)題。 方法2：含有平分線(xiàn)的題目，常以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。 方法3：結(jié)論是兩線(xiàn)段相等的題目常畫(huà)輔助線(xiàn)構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線(xiàn)段的一些定理。 方法4：結(jié)論是一條線(xiàn)段與另一條線(xiàn)段之和等于第三條線(xiàn)段這類(lèi)題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線(xiàn)段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線(xiàn)段，而另一部分等于第二條線(xiàn)段。 2.平行四邊形中常用輔助線(xiàn)的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線(xiàn)都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線(xiàn)方法上也有共同之處，目的都是造就線(xiàn)段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線(xiàn)或平移對(duì)角線(xiàn)：（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)作一邊的平行線(xiàn)，構(gòu)造線(xiàn)段平行或中位線(xiàn)（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線(xiàn)段或延長(zhǎng)這條線(xiàn)段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，構(gòu)成線(xiàn)段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線(xiàn)的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線(xiàn)的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線(xiàn)有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長(zhǎng)兩腰（5）過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對(duì)角線(xiàn)（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（8）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線(xiàn)。（9）作中位線(xiàn)當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線(xiàn)并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線(xiàn)這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。4.圓中常用輔助線(xiàn)的添法在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線(xiàn)的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。（1）見(jiàn)弦作弦心距有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。（2）見(jiàn)直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角這一特征來(lái)證明問(wèn)題。（3）見(jiàn)切線(xiàn)作半徑命題的條件中含有圓的切線(xiàn)，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用切線(xiàn)與半徑垂直這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。（4）兩圓相切作公切線(xiàn)對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線(xiàn)或作它們的連心線(xiàn)，通過(guò)公切線(xiàn)可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。（5）兩圓相交作公共弦對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。作輔助線(xiàn)的方法一：中點(diǎn)、中位線(xiàn)，延線(xiàn)，平行線(xiàn)。如遇條件中有中點(diǎn)，中線(xiàn)、中位線(xiàn)等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)或中位線(xiàn)作輔助線(xiàn)，使延長(zhǎng)的某一段等于中線(xiàn)或中位線(xiàn)；另一種輔助線(xiàn)是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線(xiàn)段的平行線(xiàn)，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線(xiàn)、分角線(xiàn)，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線(xiàn)或角的平分線(xiàn)，可以把圖形按軸對(duì)稱(chēng)的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時(shí)輔助線(xiàn)的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)軸往往是垂線(xiàn)或角的平分線(xiàn)。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線(xiàn)的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)中心，因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見(jiàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線(xiàn)段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線(xiàn)段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見(jiàn)?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線(xiàn)分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線(xiàn)往往是連心線(xiàn)或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線(xiàn)。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線(xiàn)往往是連心線(xiàn)或內(nèi)外公切線(xiàn)。七：切線(xiàn)連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，那么輔助線(xiàn)是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線(xiàn)是過(guò)直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線(xiàn)。即切線(xiàn)與直徑互為輔助線(xiàn)。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線(xiàn)往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角直角為輔助線(xiàn)。即直角與半圓互為輔助線(xiàn)。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線(xiàn)；如遇弦，則弦心距為輔助線(xiàn)。如遇平行線(xiàn)，則平行線(xiàn)間的距離相等，距離為輔助線(xiàn)；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線(xiàn)間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線(xiàn)，反之，亦成立。有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線(xiàn)。九：面積找底高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬銮竺娣e，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線(xiàn)段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線(xiàn)，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線(xiàn)的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄Ｈ切沃凶鬏o助線(xiàn)的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1：已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:ABACBDDECE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC 于M、N，在AMN中，AMAN MDDENE;（1） 在BDM中，MBMDBD； （2） 在CEN中，CNNECE； （3） 由（1）（2）（3）得： AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC （法二：）如圖1-2， 延長(zhǎng)BD交 AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有： ABAF BDDGGF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1） GFFCGECE（同上）（2） DGGEDE（同上）（3） 由（1）（2）（3）得： ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：BDCBAC。分析：因?yàn)锽DC與BAC不在同一個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)BDC是EDC的外角， BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC證法二：連接AD，并延長(zhǎng)交BC于FBDF是ABD的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線(xiàn)時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線(xiàn)，且12,34,求證：BECFEF。分析：要證BECFEF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知12，34，可在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)三角形中。證明：在DA上截取DNDB，連接NE，NF，則DNDC，在DBE和DNE中：DBEDNE （SAS）BENE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CFNF在EFN中ENFNEF（三角形兩邊之和大于第三邊）BECFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線(xiàn)時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。四、有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1：AD為ABC的中線(xiàn)，且12，34，求證：BECFEF證明：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） 又12，34 （已知） 1234180（平角的定義） 32=90，即：EDF90 FDMEDF 90在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS） EFMF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在CMF中，CFCMMF（三角形兩邊之和大于第三邊） BECFEF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線(xiàn)時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1：AD為 ABC的中線(xiàn)，求證：ABAC2AD。分析：要證ABAC2AD，由圖想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左邊比要證結(jié)論多BDCD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線(xiàn)，把所要證的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。 證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE2AD AD為ABC的中線(xiàn) （已知） BDCD （中線(xiàn)定義） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS） BECA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在ABE中有：ABBEAE（三角形兩邊之和大于第三邊） ABAC2AD。（常延長(zhǎng)中線(xiàn)加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知ABC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證EF2AD。六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線(xiàn)。例如：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，12，P為AD上任一點(diǎn)。求證：ABACPBPC。分析：要證：ABACPBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線(xiàn)段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再連接PN，則PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取ANAC連接PN , 在APN和APC中 APNAPC （SAS） PCPN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在BPN中，有 PBPNBN （三角形兩邊之差小于第三邊） BPPCABAC證明：（補(bǔ)短法） 延長(zhǎng)AC至M，使AMAB，連接PM， 在ABP和AMP中 ABPAMP （SAS） PBPM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 又在PCM中有：CMPMPC(三角形兩邊之差小于第三邊) ABACPBPC。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B， 求證：ADBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD，AOD與BOC，ABD與BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)， ADAC BCBD （已知） CAEDBE 90 （垂直的定義） 在DBE與CAE中 DBECAE （AAS） EDEC EBEA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） EDEAECEB 即：ADBC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線(xiàn)得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對(duì)角線(xiàn)，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖8-1：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。證明：連接AC（或BD） ABCD ADBC （已知） 12，34 （兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在ABC與CDA中 ABCCDA （ASA） ABCD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有和角平分線(xiàn)垂直的線(xiàn)段時(shí)，通常把這條線(xiàn)段延長(zhǎng)。例如：如圖9-1：在RtABC中，ABAC，BAC90，12，CEBD的延長(zhǎng)于E 。求證：BD2CE 分析：要證BD2CE，想到要構(gòu)造線(xiàn)段2CE，同時(shí)CE與ABC的平分線(xiàn)垂直，想到要將其延長(zhǎng)。 證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F。 BECF （已知） BEFBEC90 （垂直的定義）在BEF與BEC中， BEFBEC（ASA）CE=FE=CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BAC=90 BECF （已知） BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC在ABD與ACF中 ABDACF （AAS）BDCF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BD2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且ABDC，ACBD，求證：AD。分析：要證AD，可證它們所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABDC和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由ABDC，ACBD，若連接BC，則ABC和DCB全等，所以，證得AD。證明：連接BC，在ABC和DCB中 ABCDCB (SSS) AD (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)十一、取線(xiàn)段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：ABDC，AD 求證：ABCDCB。分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BNCN，ABNDCN。下面只需證NBCNCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有NBMNCM，所以NBCNCB。問(wèn)題得證。證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中 ABNDCN （SAS） ABNDCN NBNC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在NBM與NCM中 NMBNCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）NBCABN NCBDCN 即ABCDCB。巧求三角形中線(xiàn)段的比值例1. 如圖1，在ABC中，BD：DC1：3，AE：ED2：3，求AF：FC。解：過(guò)點(diǎn)D作DG/AC，交BF于點(diǎn)G 所以DG：FCBD：BC因?yàn)锽D：DC1：3 所以BD：BC1：4 即DG：FC1：4，F(xiàn)C4DG因?yàn)镈G：AFDE：AE 又因?yàn)锳E：ED2：3 所以DG：AF3：2即 所以AF：FC：4DG1：6例2. 如圖2，BCCD，AFFC，求EF：FD解：過(guò)點(diǎn)C作CG/DE交AB于點(diǎn)G，則有EF：GCAF：AC因?yàn)锳FFC 所以AF：AC1：2 即EF：GC1：2， 因?yàn)镃G：DEBC：BD 又因?yàn)锽CCD所以BC：BD1：2 CG：DE1：2 即DE2GC因?yàn)镕DEDEF 所以EF：FD小結(jié)：以上兩例中，輔助線(xiàn)都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線(xiàn)段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線(xiàn)與結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧妙！例3. 如圖3，BD：DC1：3，AE：EB2：3，求AF：FD。解：過(guò)點(diǎn)B作BG/AD，交CE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G。 所以DF：BGCD：CB因?yàn)锽D：DC1：3 所以CD：CB3：4 即DF：BG3：4， 因?yàn)锳F：BGAE：EB 又因?yàn)锳E：EB2：3所以AF：BG2：3 即所以AF：DF例4. 如圖4，BD：DC1：3，AFFD，求EF：FC。解：過(guò)點(diǎn)D作DG/CE，交AB于點(diǎn)G所以EF：DGAF：AD因?yàn)锳FFD 所以AF：AD1：2 圖4即EF：DG1：2 因?yàn)镈G：CEBD：BC，又因?yàn)锽D：CD1：3， 所以BD：BC1：4即DG：CE1：4，CE4DG因?yàn)镕CCEEF所以EF：FC1：7練習(xí)：1. 如圖5，BDDC，AE：ED1：5，求AF：FB。2. 如圖6，AD：DB1：3，AE：EC3：1，求BF：FC。 答案：1、1：10； 2. 9：1初中幾何輔助線(xiàn)一 初中幾何常見(jiàn)輔助線(xiàn)口訣人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線(xiàn)。輔助線(xiàn)，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，常向兩端把線(xiàn)連。線(xiàn)段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線(xiàn)段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線(xiàn)。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線(xiàn)段，添線(xiàn)平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線(xiàn)段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線(xiàn)，比例中項(xiàng)一大片。圓形半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線(xiàn)，切點(diǎn)圓心半徑連。切線(xiàn)長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線(xiàn)，半徑垂線(xiàn)仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線(xiàn)弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線(xiàn)。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線(xiàn)夢(mèng)圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線(xiàn)。若是添上連心線(xiàn)，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。注意點(diǎn)輔助線(xiàn)，是虛線(xiàn)，畫(huà)圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。切勿盲目亂添線(xiàn)，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線(xiàn)。二 由角平分線(xiàn)想到的輔助線(xiàn) 口訣：圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。角平分線(xiàn)具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線(xiàn)的輔助線(xiàn)的作法，一般有兩種。從角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)；利用角平分線(xiàn)，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線(xiàn)；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線(xiàn)（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見(jiàn)的定理所涉及到的輔助線(xiàn)作以介紹。如圖1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OEDOFD，從而為我們證明線(xiàn)段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線(xiàn)，可以利用角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形，同時(shí)此題也是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題，在證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線(xiàn)段或在長(zhǎng)的線(xiàn)段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線(xiàn)段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線(xiàn)段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線(xiàn)段與某條線(xiàn)段相等，截取要證明截取后剩下的線(xiàn)段與某條線(xiàn)段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線(xiàn)段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。例2 已知：如圖1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證DCAC分析：此題還是利用角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線(xiàn)段相等。其它問(wèn)題自已證明。例3 已知：如圖1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線(xiàn)，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線(xiàn)段上截取短的線(xiàn)段，來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？練習(xí)1 已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求證：AB+BD=AC2 已知：在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3 已知：在ABC中，ABAC,AD為BAC的平分線(xiàn)，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CMAB-AC4 已知：D是ABC的BAC的外角的平分線(xiàn)AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CDAB+AC。（二）、角分線(xiàn)上點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)構(gòu)全等過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。例1 如圖2-1，已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180分析：可由C向BAD的兩邊作垂線(xiàn)。近而證ADC與B之和為平角。例2 如圖2-2，在ABC中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求證：BC=AB+AD分析：過(guò)D作DEBC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 已知如圖2-3，ABC的角平分線(xiàn)BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：BAC的平分線(xiàn)也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。分析：連接AP，證AP平分BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1如圖2-4AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC中，C=90，AD平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。3已知：如圖2-5, BAC=CAD,ABAD，CEAB，AE=（AB+AD）.求證：D+B=180。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD 的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC 上的點(diǎn)，F(xiàn)AE=DAE。求證：AF=AD+CF。5 已知：如圖2-7，在RtABC中，ACB=90,CDAB，垂足為D，AE平分CAB交CD于F，過(guò)F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH。（三）：作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線(xiàn)又成為底邊上的中線(xiàn)和高，以利用中位線(xiàn)的性質(zhì)與等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線(xiàn)的線(xiàn)段，則延長(zhǎng)該線(xiàn)段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC）分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。例2 已知：如圖3-2，AB=AC，BAC=90，AD為ABC的平分線(xiàn)，CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線(xiàn)給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，可延長(zhǎng)此垂線(xiàn)與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別BAC的內(nèi)、外角平分線(xiàn)，過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC內(nèi)外角平分線(xiàn)，可得EAAF，從而有BF/AE，所以想到利用比例線(xiàn)段證相等。例4 已知：如圖3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線(xiàn)AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱(chēng)變換，作ABD關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關(guān)于CM的對(duì)稱(chēng)FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1 已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是BAC的平分線(xiàn)，且CEAE于E，連接DE，求DE。2 已知BE、BF分別是ABC的ABC的內(nèi)角與外角的平分線(xiàn)，AFBF于F，AEBE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC（四）、以角分線(xiàn)上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線(xiàn)有角平分線(xiàn)時(shí)，常過(guò)角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線(xiàn)，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線(xiàn)的平行線(xiàn)與另外一邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12ACDB例4 如圖，ABAC, 1=2，求證：ABACBDCD。例5 如圖，BCBA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。BDCAABECD例6 如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。練習(xí)：1. 已知，如圖，C=2A，AC=2BC。求證：ABC是直角三角形。CAB2已知：如圖，AB=2AC，1=2，DA=DB，求證：DCACABDC12 3已知CE、AD是ABC的角平分線(xiàn)，B=60，求證：AC=AE+CDAEBDC4已知：如圖在ABC中，A=90，AB=AC，BD是ABC的平分線(xiàn)，求證：BC=AB+ADABCD三 由線(xiàn)段和差想到的輔助線(xiàn)口訣：線(xiàn)段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線(xiàn)段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線(xiàn)段等于另兩條線(xiàn)段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線(xiàn)段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線(xiàn)段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線(xiàn)段，然后證明新線(xiàn)段等于長(zhǎng)線(xiàn)段。對(duì)于證明有關(guān)線(xiàn)段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線(xiàn)段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，在AMN中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在BDM中，MB+MDBD；（2）在CEN中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（法二：圖1-2）延長(zhǎng)BD交AC于F，廷長(zhǎng)CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FCGE+CE（同上）（2）DG+GEDE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：BDCBAC。分析：因?yàn)锽DC與BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)BDC是EDC的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC證法二：連接AD，并廷長(zhǎng)交BC于F，這時(shí)BDF是ABD的外角，BDFBAD，同理，CDFCAD，BDF+CDFBAD+CAD，即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線(xiàn)時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線(xiàn)，且1=2,3=4,求證：BE+CFEF。分析：要證BE+CFEF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在DBE和NDE中：DN=DB（輔助線(xiàn)作法）1=2（已知）ED=ED（公共邊）DBENDE（SAS）BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在EFN中EN+FNEF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線(xiàn)時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、 截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線(xiàn)。例如：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-ACPB-PC。分析：要證：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線(xiàn)段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC連接PN,在APN和APC中AN=AC（輔助線(xiàn)作法）1=2（已知）AP=AP（公共邊）APNAPC（SAS）,PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在BPN中，有PB-PNBN（三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PCPM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)AB-ACPB-PC。DAECB例1如圖，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180，求證：AE=AD+BE。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，求證：ADC+B=180例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，已知RtABC中，ACB=90，AD是CAB的平分線(xiàn)，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。1如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。EDCBA2.如圖，ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線(xiàn)，且B，C在AE的異側(cè)，BDAE于D，CEAE于E。求證：BD=DE+CE四 由中點(diǎn)想到的輔助線(xiàn) 口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線(xiàn)、中位線(xiàn)、加倍延長(zhǎng)中線(xiàn)及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)、等腰三角形底邊中線(xiàn)性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（一）、中線(xiàn)把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線(xiàn)，則SABD=SACD=SABC（因?yàn)锳BD與ACD是等底同高的）。例1如圖2，ABC中，AD是中線(xiàn)，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線(xiàn)。已知ABC的面積為2，求：CDF的面積。解：因?yàn)锳D是ABC的中線(xiàn)，所以SACD=SABC=2=1，又因CD是ACE的中線(xiàn)，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中線(xiàn)，所以SCDF=SCDE=1=。CDF的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線(xiàn)例2如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交EF的延長(zhǎng)線(xiàn)G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，ME是BCD的中位線(xiàn)，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線(xiàn)，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而B(niǎo)GE=CHE。（三）、由中線(xiàn)應(yīng)想到延長(zhǎng)中線(xiàn)例3圖4，已知ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線(xiàn)AD=2，求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=22=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而B(niǎo)E=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90，BD=，故BC=2BD=2。例4如圖5，已知ABC中，AD是BAC的平分線(xiàn)，AD又是BC邊上的中線(xiàn)。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtABD，RtABC斜邊AB上的中線(xiàn)，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（五）、角平分線(xiàn)且垂直一線(xiàn)段，應(yīng)想到等腰三角形的中線(xiàn)例6如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BE