橢圓各類題型分類匯總

1 橢圓經(jīng)典例題分類匯總橢圓經(jīng)典例題分類匯總 1 橢圓第一定義的應用橢圓第一定義的應用 例例 1 橢圓的一個頂點為橢圓的一個頂點為 其長軸長是短軸長的 其長軸長是短軸長的 2 倍 求橢圓的標準方程 倍 求橢圓的標準方程 02 A 例例 2已知橢圓已知橢圓的離心率的離心率 求 求的值 的值 1 98 22 y k x 2 1 ek 例例 3 已知方程已知方程表示橢圓 求表示橢圓 求的取值范圍的取值范圍 1 35 22 k y k x k 例例 4 已知已知表示焦點在表示焦點在軸上的橢圓 求軸上的橢圓 求的取值范的取值范1cossin 22 yx 0 y 圍 圍 例例 5 已知動圓已知動圓過定點過定點 且在定圓 且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切 求動的內(nèi)部與其相內(nèi)切 求動P 03 A 643 2 2 yxB 圓圓心圓圓心的軌跡方程 的軌跡方程 P 2 2 焦半徑及焦三角的應用焦半徑及焦三角的應用 例例 1 已知橢圓已知橢圓 為兩焦點 問能否在橢圓上找一點為兩焦點 問能否在橢圓上找一點 使 使到左準到左準1 34 2 2 yx 1 F 2 FMM 線線 的距離的距離是是與與的等比中項 若存在 則求出點的等比中項 若存在 則求出點的坐標 若不存在 的坐標 若不存在 lMN 1 MF 2 MFM 請說明理由 請說明理由 例例 2 已知橢圓方程已知橢圓方程 長軸端點為 長軸端點為 焦點為 焦點為 是是 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 A 2 A 1 F 2 FP 橢圓上一點 橢圓上一點 求 求 的面積 用的面積 用 表示 表示 21PA A 21PF F 21PF F ab 3 第二定義應用第二定義應用 例例 1 橢圓橢圓的右焦點為的右焦點為 過點 過點 點 點在橢圓上 當在橢圓上 當為為1 1216 22 yx F 31 AMMFAM2 最小值時 求點最小值時 求點的坐標 的坐標 M 3 例例 2 已知橢圓已知橢圓上一點上一點到右焦點到右焦點的距離為的距離為 求 求到左準線的距到左準線的距1 4 2 2 2 2 b y b x P 2 Fb 1 bP 離 離 例例 3 已知橢圓已知橢圓內(nèi)有一點內(nèi)有一點 分別是橢圓的左 右焦點 點分別是橢圓的左 右焦點 點是是1 59 22 yx 1 1 A 1 F 2 FP 橢圓上一點 橢圓上一點 1 求求的最大值 最小值及對應的點的最大值 最小值及對應的點坐標 坐標 1 PFPA P 2 求求的最小值及對應的點的最小值及對應的點的坐標 的坐標 2 2 3 PFPA P 4 參數(shù)方程應用參數(shù)方程應用 例例 1 求橢圓求橢圓上的點到直線上的點到直線的距離的最小值 的距離的最小值 1 3 2 2 y x 06 yx 4 例例 2 1 寫出橢圓寫出橢圓的參數(shù)方程 的參數(shù)方程 2 求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積 求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積 1 49 22 yx 例例 3 橢圓橢圓與與軸正向交于點軸正向交于點 若這個橢圓上總存在點 若這個橢圓上總存在點 使 使1 2 2 2 2 b y a x 0 baxAP 為坐標原點為坐標原點 求其離心率 求其離心率的取值范圍 的取值范圍 APOP Oe 5 相交情況下相交情況下 弦長公式的應用弦長公式的應用 例例 1 已知橢圓已知橢圓及直線及直線 14 22 yxmxy 1 當 當為何值時 直線與橢圓有公共點 為何值時 直線與橢圓有公共點 m 2 若直線被橢圓截得的弦長為 若直線被橢圓截得的弦長為 求直線的方程 求直線的方程 5 102 例例 2 已知長軸為已知長軸為 12 短軸長為 短軸長為 6 焦點在 焦點在軸上的橢圓 過它對的左焦點軸上的橢圓 過它對的左焦點作傾斜解為作傾斜解為x 1 F 5 的直線交橢圓于的直線交橢圓于 兩點 求弦兩點 求弦的長 的長 3 ABAB 6 相交情況下相交情況下 點差法的應用點差法的應用 例例 1 已知中心在原點 焦點在已知中心在原點 焦點在軸上的橢圓與直線軸上的橢圓與直線交于交于 兩點 兩點 為為x01 yxABM 中點 中點 的斜率為的斜率為 0 25 橢圓的短軸長為 橢圓的短軸長為 2 求橢圓的方程 求橢圓的方程 ABOM 例例 2 已知橢圓已知橢圓 求過點 求過點且被且被平分的弦所在的直線方程 平分的弦所在的直線方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 例例 3 已知橢圓已知橢圓 1 求過點 求過點且被且被平分的弦所在直線的方程 平分的弦所在直線的方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 6 2 求斜率為 求斜率為 2 的平行弦的中點軌跡方程 的平行弦的中點軌跡方程 3 過 過引橢圓的割線 求截得的弦的中點的軌跡方程 引橢圓的割線 求截得的弦的中點的軌跡方程 12 A 4 橢圓上有兩點 橢圓上有兩點 為原點 且有直線為原點 且有直線 斜率滿足斜率滿足 PQOOPOQ 2 1 OQOP kk 求線段求線段中點中點的軌跡方程 的軌跡方程 PQM 例例 4 已知橢圓已知橢圓 試確定 試確定的取值范圍 使得對于直線的取值范圍 使得對于直線 橢 橢1 34 22 yx C mmxyl 4 圓圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱 上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱 C 例例 5 已知已知是直線是直線 被橢圓被橢圓所截得的線段的中點 求直線所截得的線段的中點 求直線 的方程 的方程 2 4 Pl1 936 22 yx l 橢圓經(jīng)典例題分類匯總橢圓經(jīng)典例題分類匯總 1 橢圓第一定義的應用橢圓第一定義的應用 7 例例 1 橢圓的一個頂點為橢圓的一個頂點為 其長軸長是短軸長的 其長軸長是短軸長的 2 倍 求橢圓的標準方程 倍 求橢圓的標準方程 02 A 分析 分析 題目沒有指出焦點的位置 要考慮兩種位置 解 解 1 當為長軸端點時 02 A2 a1 b 橢圓的標準方程為 1 14 22 yx 2 當為短軸端點時 02 A2 b4 a 橢圓的標準方程為 1 164 22 yx 說明 說明 橢圓的標準方程有兩個 給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置 是不能確定橢 圓的橫豎的 因而要考慮兩種情況 例例 2 已知橢圓已知橢圓的離心率的離心率 求 求的值 的值 1 98 22 y k x 2 1 ek 分析 分析 分兩種情況進行討論 解 解 當橢圓的焦點在軸上時 得 由 得x8 2 ka9 2 b1 2 kc 2 1 e 4 k 當橢圓的焦點在軸上時 得 y9 2 a8 2 kbkc 1 2 由 得 即 2 1 e 4 1 9 1 k 4 5 k 滿足條件的或 4 k 4 5 k 說明 說明 本題易出現(xiàn)漏解 排除錯誤的辦法是 因為與 9 的大小關(guān)系不定 所以橢8 k 圓的焦點可能在軸上 也可能在軸上 故必須進行討論 xy 例例 5 已知方程已知方程表示橢圓 求表示橢圓 求的取值范圍的取值范圍 1 35 22 k y k x k 解 解 由得 且 35 03 05 kk k k 53 k4 k 滿足條件的的取值范圍是 且 k53 k4 k 說明 說明 本題易出現(xiàn)如下錯解 由得 故的取值范圍是 03 05 k k 53 kk53 k 出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件 當時 并不表0 baba 示橢圓 8 例例 6 已知已知表示焦點在表示焦點在軸上的橢圓 求軸上的橢圓 求的取值范的取值范1cossin 22 yx 0 y 圍 圍 分析 分析 依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系 再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性 求出的 取值范圍 解 解 方程可化為 因為焦點在軸上 所以 1 cos 1 sin 1 22 yx y0 sin 1 cos 1 因此且從而 0sin 1tan 4 3 2 說明 說明 1 由橢圓的標準方程知 這是容易忽視的地方 0 sin 1 0 cos 1 2 由焦點在軸上 知 3 求的取值范圍時 應注意題目y cos 1 2 a sin 1 2 b 中的條件 0 例例 5 已知動圓已知動圓過定點過定點 且在定圓 且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切 求動的內(nèi)部與其相內(nèi)切 求動P 03 A 643 2 2 yxB 圓圓心圓圓心的軌跡方程 的軌跡方程 P 分析 分析 關(guān)鍵是根據(jù)題意 列出點 P 滿足的關(guān)系式 解 解 如圖所示 設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點 動點到兩定點 PBMP 即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑 03 A 03 B 即 點的軌跡是以 為兩焦點 8 BMPBPMPBPAPAB 半長軸為 4 半短軸長為的橢圓的方程 734 22 b1 716 22 yx 說明 說明 本題是先根據(jù)橢圓的定義 判定軌跡是橢圓 然后根據(jù)橢圓的標準方程 求軌跡的 方程 這是求軌跡方程的一種重要思想方法 2 焦半徑及焦三角的應用焦半徑及焦三角的應用 例例 1 已知橢圓已知橢圓 為兩焦點 問能否在橢圓上找一點為兩焦點 問能否在橢圓上找一點 使 使到左準到左準1 34 2 2 yx 1 F 2 FMM 線線 的距離的距離是是與與的等比中項 若存在 則求出點的等比中項 若存在 則求出點的坐標 若不存在 的坐標 若不存在 lMN 1 MF 2 MFM 請說明理由 請說明理由 解 解 假設(shè)存在 設(shè) 由已知條件M 11 yxM 得 2 a3 b1 c 2 1 e 9 左準線 的方程是 l4 x 1 4xMN 又由焦半徑公式知 111 2 1 2xexaMF 112 2 1 2xexaMF 21 2 MFMFMN 11 2 1 2 1 2 2 1 24xxx 整理得 048325 1 2 1 xx 解之得或 4 1 x 5 12 1 x 另一方面 22 1 x 則 與 矛盾 所以滿足條件的點不存在 M 例例 2 已知橢圓方程已知橢圓方程 長軸端點為 長軸端點為 焦點為 焦點為 是是 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 A 2 A 1 F 2 FP 橢圓上一點 橢圓上一點 求 求 的面積 用的面積 用 表示 表示 21PA A 21PF F 21PF F ab 分析 分析 求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊 從而利用求面 CabSsin 2 1 積 解 解 如圖 設(shè) 由橢圓的對稱性 不妨設(shè) 由橢圓的對稱性 不妨設(shè) yxP yxP 在第一象限 由余弦定理知 P 2 21F F 2 2 2 1 PFPF 1 2PF 2 2 4coscPF 由橢圓定義知 則得 aPFPF2 21 2 cos1 2 2 21 b PFPF 故 sin 2 1 21 21 PFPFS PFF sin cos1 2 2 1 2 b 2 tan 2 b 3 第二定義應用第二定義應用 例例 1 橢圓橢圓的右焦點為的右焦點為 過點 過點 點 點在橢圓上 當在橢圓上 當為為1 1216 22 yx F 31 AMMFAM2 最小值時 求點最小值時 求點的坐標 的坐標 M 分析 分析 本題的關(guān)鍵是求出離心率 把轉(zhuǎn) 2 1 eMF2 化為到右準線的距離 從而得最小值 一般地 求M 10 均可用此法 MF e AM 1 解 解 由已知 所以 右準線 4 a2 c 2 1 e8 xl 過作 垂足為 交橢圓于 故 顯然的AlAQ QMMFMQ2 MFAM2 最小值為 即為所求點 因此 且在橢圓上 故 所以AQM3 M yM32 M x 332 M 說明 說明 本題關(guān)鍵在于未知式中的 2 的處理 事實上 如圖 MFAM2 2 1 e 即是到右準線的距離的一半 即圖中的 問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點 使MFMMQM 到的距離與到右準線距離之和取最小值 MA 例例 2 已知橢圓已知橢圓上一點上一點到右焦點到右焦點的距離為的距離為 求 求到左準線的距到左準線的距1 4 2 2 2 2 b y b x P 2 Fb 1 bP 離 離 分析 分析 利用橢圓的兩個定義 或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解 解法一 解法一 由 得 1 4 2 2 2 2 b y b x ba2 bc3 2 3 e 由橢圓定義 得baPFPF42 21 bbbPFbPF344 21 由橢圓第二定義 為到左準線的距離 e d PF 1 1 1 dP b e PF d32 1 1 即到左準線的距離為 Pb32 解法二 解法二 為到右準線的距離 e d PF 2 2 2 dP 2 3 a c e 又橢圓兩準線的距離為 b e PF d 3 32 2 2 b c a 3 38 2 2 到左準線的距離為 Pbbb32 3 32 3 38 11 說明 說明 運用橢圓的第二定義時 要注意焦點和準線的同側(cè)性 否則就會產(chǎn)生誤解 橢圓有兩個定義 是從不同的角度反映橢圓的特征 解題時要靈活選擇 運用自如 一般 地 如遇到動點到兩個定點的問題 用橢圓第一定義 如果遇到動點到定直線的距離問題 則用橢圓的第二定義 例例 3 已知橢圓已知橢圓內(nèi)有一點內(nèi)有一點 分別是橢圓的左 右焦點 點分別是橢圓的左 右焦點 點是是1 59 22 yx 1 1 A 1 F 2 FP 橢圓上一點 橢圓上一點 1 求求的最大值 最小值及對應的點的最大值 最小值及對應的點坐標 坐標 1 PFPA P 2 求求的最小值及對應的點的最小值及對應的點的坐標 的坐標 2 2 3 PFPA P 分析 分析 本題考查橢圓中的最值問題 通常探求變量的最值有兩種方法 一是目標函數(shù) 當 即代數(shù)方法 二是數(shù)形結(jié)合 即幾何方法 本題若按先建立目標函數(shù) 再求最值 則 不易解決 若抓住橢圓的定義 轉(zhuǎn)化目標 運用數(shù)形結(jié)合 就能簡捷求解 解 解 1 如上圖 設(shè)是橢圓上任一點 由62 a 0 2 2 F2 2 AFP 62 21 aPFPF 22 AFPFPA 等號僅當時262 22211 AFaAFPFPFPFPA 22 AFPFPA 成立 此時 共線 PA 2 F 由 22 AFPFPA 262 22211 AFaAFPFPFPFPA 等號僅當時成立 此時 共線 22 AFPFPA PA 2 F 建立 的直線方程 解方程組得兩交點A 2 F02 yx 4595 02 22 yx yx 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 1 P 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 2 P 綜上所述 點與重合時 取最小值 點與重合時 P 1 P 1 PFPA 26 P 2 P 12 取最大值 2 PFPA 26 2 如下圖 設(shè)是橢圓上任一點 作垂直橢圓右準線 為垂足 由 PPQQ3 a 由橢圓第二定義知 2 c 3 2 e 3 2 2 e PQ PF 2 2 3 PFPQ 要使其和最小需有 共線 即求到右準線距PQPAPFPA 2 2 3 APQA 離 右準線方程為 2 9 x 到右準線距離為 此時點縱坐標與點縱坐標相同為 1 代入橢圓得滿足條A 2 7 PA 件的點坐標 P 1 5 56 說明 說明 求的最小值 就是用第二定義轉(zhuǎn)化后 過向相應準線作垂線 2 1 PF e PA A 段 巧用焦點半徑與點準距互化是解決有關(guān)問題的重要手段 2 PFPQ 4 參數(shù)方程應用參數(shù)方程應用 例例 1 求橢圓求橢圓上的點到直線上的點到直線的距離的最小值 的距離的最小值 1 3 2 2 y x 06 yx 分析 分析 先寫出橢圓的參數(shù)方程 由點到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式 求出距離的 最小值 解 解 橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點的坐標為 則點 sin cos3 y x sincos3 到直線的距離為 2 6 3 sin2 2 6sincos3 d 13 當時 1 3 sin 22 最小值 d 說明 說明 當直接設(shè)點的坐標不易解決問題時 可建立曲線的參數(shù)方程 例例 2 1 寫出橢圓寫出橢圓的參數(shù)方程 的參數(shù)方程 2 求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積 求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積 1 49 22 yx 分析 分析 本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應用 為簡化運算和減少未知數(shù)的個數(shù) 常用橢 圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標 所求問題便化歸為三角問題 解 解 1 sin2 cos3 y x R 2 設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為 由對稱性知 矩形的鄰邊分別平行于軸和軸 設(shè)Sxy 為矩形在第一象限的頂點 sin2 cos3 2 0 則122sin12sin2cos34 S 故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為 12 說明 說明 通過橢圓參數(shù)方程 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題 一般地 與圓錐曲線有關(guān)的 最值問題 用參數(shù)方程形式較簡便 例例 3 橢圓橢圓與與軸正向交于點軸正向交于點 若這個橢圓上總存在點 若這個橢圓上總存在點 使 使1 2 2 2 2 b y a x 0 baxAP 為坐標原點為坐標原點 求其離心率 求其離心率的取值范圍 的取值范圍 APOP Oe 分析 分析 為定點 為動點 可以點坐標作為參數(shù) 把 轉(zhuǎn)化為OAPPAPOP 點坐標的一個等量關(guān)系 再利用坐標的范圍建立關(guān)于 的一個不等式 轉(zhuǎn)化為Pabc 關(guān)于的不等式 為減少參數(shù) 易考慮運用橢圓參數(shù)方程 e 解 解 設(shè)橢圓的參數(shù)方程是 sin cos by ax 0 ba 則橢圓上的點 sin cos baP 0 aA APOP 1 cos sin cos sin aa b a b 即 解得或 0coscos 22222 baba 1cos 22 2 cos ba b 舍去 又1cos1 1cos 11 22 2 ba b 222 cab 又 20 2 2 c a 2 2 e10 e1 2 2 e 14 說明 說明 若已知橢圓離心率范圍 求證在橢圓上總存在點使 如 1 2 2 PAPOP 何證明 5 相交情況下相交情況下 弦長公式的應用弦長公式的應用 例例 1 已知橢圓已知橢圓及直線及直線 14 22 yxmxy 1 當 當為何值時 直線與橢圓有公共點 為何值時 直線與橢圓有公共點 m 2 若直線被橢圓截得的弦長為 若直線被橢圓截得的弦長為 求直線的方程 求直線的方程 5 102 解 解 1 把直線方程代入橢圓方程得 mxy 14 22 yx 14 2 2 mxx 即 解得0125 22 mmxx 020161542 22 2 mmm 2 5 2 5 m 2 設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為 由 1 得 1 x 2 x 5 2 21 m xx 5 1 2 21 m xx 根據(jù)弦長公式得 解得 方程為 5 102 5 1 4 5 2 11 2 2 2 mm 0 m xy 說明 說明 處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題 采用的方法與處理直線和圓 的有所區(qū)別 這里解決直線與橢圓的交點問題 一般考慮判別式 解決弦長問題 一般應用弦 長公式 用弦長公式 若能合理運用韋達定理 即根與系數(shù)的關(guān)系 可大大簡化運算過程 例例 2 已知長軸為已知長軸為 12 短軸長為 短軸長為 6 焦點在 焦點在軸上的橢圓 過它對的左焦點軸上的橢圓 過它對的左焦點作傾斜解為作傾斜解為x 1 F 的直線交橢圓于的直線交橢圓于 兩點 求弦兩點 求弦的長 的長 3 ABAB 分析 分析 可以利用弦長公式求得 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 也可以利用橢圓定義及余弦定理 還可以利用焦點半徑來求 解 解 法法 1 利用直線與橢圓相交的弦長公式求解 利用直線與橢圓相交的弦長公式求解 15 因為 所 21 2 1xxkAB 4 1 21 2 21 2 xxxxk 6 a3 b 以 因為焦點在軸上 33 cx 所以橢圓方程為 左焦點 從而直線方程為 1 936 22 yx 0 33 F93 xy 由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得 設(shè) 為方程兩根 所以083637213 2 xx 1 x 2 x 從而 13 372 21 xx 13 836 21 xx3 k 13 48 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 法法 2 利用橢圓的定義及余弦定理求解利用橢圓的定義及余弦定理求解 由題意可知橢圓方程為 設(shè) 則 1 936 22 yx mAF 1 nBF 1 mAF 12 2 nBF 12 2 在中 即 21F AF 3 cos2 211 2 21 2 1 2 2 FFAFFFAFAF 2 1 362336 12 22 mmm 所以 同理在中 用余弦定理得 所 34 6 m 21F BF 34 6 n 以 13 48 nmAB 法法 3 利用焦半徑求解 利用焦半徑求解 先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根 它們分083637213 2 xx 1 x 2 x 別是 的橫坐標 AB 再根據(jù)焦半徑 從而求出 11 exaAF 21 exaBF 11 BFAFAB 6 相交情況下相交情況下 點差法的應用點差法的應用 例例 1 已知中心在原點 焦點在已知中心在原點 焦點在軸上的橢圓與直線軸上的橢圓與直線交于交于 兩點 兩點 為為x01 yxABM 中點 中點 的斜率為的斜率為 0 25 橢圓的短軸長為 橢圓的短軸長為 2 求橢圓的方程 求橢圓的方程 ABOM 解 解 由題意 設(shè)橢圓方程為 1 2 2 2 y a x 16 由 得 1 01 2 2 2 y a x yx 021 22 2 xaxa 2 2 21 1 2a axx xM 2 1 1 1 a xy MM 4 11 2 ax y k M M OM 4 2 a 為所求 1 4 2 2 y x 說明 說明 1 此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法 2 直線與曲線的綜合問題 經(jīng) 常要借用根與系數(shù)的關(guān)系 來解決弦長 弦中點 弦斜率問題 例例 2 已知橢圓已知橢圓 求過點 求過點且被且被平分的弦所在的直線方程 平分的弦所在的直線方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 分析一 分析一 已知一點求直線 關(guān)鍵是求斜率 故設(shè)斜率為 利用條件求 kk 解法一 解法一 設(shè)所求直線的斜率為 則直線方程為 代入橢圓方程 k 2 1 2 1 xky 并整理得 0 2 3 2 1 2221 2222 kkxkkxk 由韋達定理得 2 2 21 21 22 k kk xx 是弦中點 故得 P1 21 xx 2 1 k 所以所求直線方程為 0342 yx 分析二 分析二 設(shè)弦兩端坐標為 列關(guān)于 的方程組 11 yx 22 yx 1 x 2 x 1 y 2 y 從而求斜率 21 21 xx yy 解法二 解法二 設(shè)過的直線與橢圓交于 則由題意得 2 1 2 1 P 11 yxA 22 yxB 17 1 1 1 2 1 2 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 yy xx y x y x 得 0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 將 代入 得 即直線的斜率為 2 1 21 21 xx yy 2 1 所求直線方程為 0342 yx 說明 說明 1 有關(guān)弦中點的問題 主要有三種類型 過定點且被定點平分的弦 平行弦的中點 軌跡 過定點的弦中點軌跡 2 解法二是 點差法 解決有關(guān)弦中點問題的題較方便 要點是巧代斜率 3 有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是 韋達定理應用 及 點差法 有關(guān)二次 曲線問題也適用 例例 3 已知橢圓已知橢圓 1 求過點 求過點且被且被平分的弦所在直線的方程 平分的弦所在直線的方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 2 求斜率為 求斜率為 2 的平行弦的中點軌跡方程 的平行弦的中點軌跡方程 3 過 過引橢圓的割線 求截得的弦的中點的軌跡方程 引橢圓的割線 求截得的弦的中點的軌跡方程 12 A 4 橢圓上有兩點 橢圓上有兩點 為原點 且有直線為原點 且有直線 斜率滿足斜率滿足 PQOOPOQ 2 1 OQOP kk 求線段求線段中點中點的軌跡方程 的軌跡方程 PQM 分析 分析 此題中四問都跟弦中點有關(guān) 因此可考慮設(shè)弦端坐標的方法 解 解 設(shè)弦兩端點分別為 線段的中點 則 11 yxM 22 yxN MN yxR yyy xxx yx yx 2 2 22 22 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 得 02 21212121 yyyyxxxx 由題意知 則上式兩端同除以 有 21 xx 21 xx 02 21 21 2121 xx yy yyxx 將 代入得 02 21 21 xx yy yx 18 1 將 代入 得 故所求直線方程為 2 1 x 2 1 y 2 1 21 21 xx yy 0342 yx 將 代入橢圓方程得 符合題意 22 22 yx0 4 1 66 2 yy0 4 1 6436 為所求 0342 yx 2 將代入 得所求軌跡方程為 橢圓內(nèi)部分 2 21 21 xx yy 04 yx 3 將代入 得所求軌跡方程為 橢圓 2 1 21 21 x y xx yy 0222 22 yxyx 內(nèi)部分 4 由 得 將 平方并整理得 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 21 22 2 2 1 24xxxxx 21 22 2 2 1 24yyyyy 將 代入 得 224 4 24 21 2 21 2 yyy xxx 再將代入 式得 即 2121 2 1 xxyy 2 2 1 242 21 2 21 2 xxyxxx 1 2 1 2 2 y x 此即為所求軌跡方程 當然 此題除了設(shè)弦端坐標的方法 還可用其它方法解決 例例 4 已知橢圓已知橢圓 試確定 試確定的取值范圍 使得對于直線的取值范圍 使得對于直線 橢 橢1 34 22 yx C mmxyl 4 圓圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱 上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱 C 分析 分析 若設(shè)橢圓上 兩點關(guān)于直線 對稱 則已知條件等價于 1 直線 2 ABllAB 弦的中點在 上 ABMl 利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍 mm 解 解 法法 1 設(shè)橢圓上 兩點關(guān)于直線 對稱 直線與 交于 11 yxA 22 yxBlABl 點 00 yxM 19 的斜率 設(shè)直線的方程為 由方程組消去l4 l kABnxy 4 1 1 34 4 1 22 yx nxy 得y 于是 04816813 22 nnxx 13 8 21 n xx 13 4 2 21 0 nxx x 13 12 4 1 00 n nxy 即點的坐標為 點在直線上 解得M 13 12 13 4 nn Mmxy 4m n n 13 4 4 mn 4 13 將式 代入式 得 0481692613 22 mmxx 是橢圓上的兩點 解得AB0 48169 134 26 22 mm 13 132 13 132 m 法法 2 同解法 1 得出 mn 4 13 mmx 4 13 13 4 0 即點坐標為 mmmmxy3 4 13 4 1 4 13 4 1 00 M 3 mm 為橢圓上的兩點 點在橢圓的內(nèi)部 解得ABM1 3 3 4 22 mm 13 132 13 132 m 法法 3 設(shè) 是橢圓上關(guān)于 對稱的兩點 直線與 的交點的坐標 11 yxA 22 yxBlABlM 為 00 yx 在