高二數(shù)學 上學期直線的方程定比分點知識的應用例題解析

用心 愛心 專心 定比分點知識的應用定比分點知識的應用 一 在幾何中的應用 1 求點的坐標 例 已知直線 l1過點 P1 0 1 P2 2 0 兩定點 直線 l2的方程是 求直線 l1與 l201 yx 的交點坐標 分析 l1與 l2的交點 Q 與 P1 P2兩點共線 可利用定比分點公式求出 Q 分所成的比 由此 21P P 求 得交點 Q 的坐標 解 設(shè) l1與 l2的交點為 Q x y Q 分所成的比為 則有 21P P 01 1 1 1 2 1 01 1 20 2 上在點lQ yx 解得 2 3 1 3 4 yx 即直線 l1與 l2的交點坐標為 3 1 3 4 2 求直線方程中參數(shù) 待定系數(shù) 的范圍 例 若直線的交點在第一象限內(nèi) 求 k 的取值范圍 42 2 21 xylkkxyl與 分析 注意到 l1過定點 M 1 2 及 l2與 x 軸 y 軸分別交于點 A 2 0 B 0 4 那么 l1與 l2 的交點 P 在第一象限的內(nèi)分點分線段所成的比 0 ABP為 P AB 解 如圖 l2與 x 軸 y 軸分別交于點 A 2 0 B 0 4 設(shè)直線 l1與 l2的交點 P 分所成的AB 比為 則 P 點的坐標為 1 4 1 2 0 0 y x 點 P 在 l1上 2 00 kkxy 即2 1 2 1 4 kk k k 2 23 點 P 在線段 AB 內(nèi) 點 P 內(nèi)分AB 用心 愛心 專心 2 3 2 0 2 23 0 k k k 即 二 在代數(shù)上的應用 1 用于不等式的證明 例 已知baRmba 且 求證 b a mb ma 分析 與定比分點坐標公式結(jié)構(gòu)相似 b m b m b a mb ma 1 1 1 21 xx x 證明 設(shè)數(shù)軸上三點 則 P 分所成的比 1 21 P b a P mb ma P 21P P b m 為的內(nèi)分點PRmb 0 21P P 又 b a mb ma b a 1 0 1 在等差數(shù)列問題上的應用 例 1 設(shè) Sn是等差數(shù)列 an 的前 n 項和 已知的等比中項為的等差中項為 43 4 1 3 1 SS 與 435 4 1 3 1 5 1 SSS與 1 求等差數(shù)列 an 的通項 an 分析 等差數(shù)列的前 n 項和 2 1 2 1 11 d na n S d nn naS n n 可看作是關(guān)于 n 的一次函數(shù) 其圖象為一條直線 n Sn 解 設(shè)共線三點所成的比 2154231 5 1 5 4 1 4 3 1 3 PPPSPSPSP分則2 54 35 532 21 4 1 2 3 1 5 1 534 43 5 SSS SS S 即 又 2 543 5 1 4 1 3 1 SSS 2 4 1 3 1 43 SS 聯(lián)立 得 5 20 5 8 5 24 5 4 3 543543 SSSSSS或 再由 4 4 4544455344 aanadnaaSSaSSa n 得naa nn 5 12 5 32 1 或 2 求含字母參數(shù)的范圍 用心 愛心 專心 例 已知 當 x 0 1 時 不等式恒成立 試求 的取值范圍 0sin 1 1 cos 22 xxxx 解 0cos 1 0sin 0 ff 為第一象限的角 設(shè)數(shù)軸上三點 且 P 為的內(nèi)分點 P 分所在的比為 則 0 1 0 21 PPxP 21P P 21P P 1 10 x 則原式變?yōu)?sin 1 1 1 1 1 cos 1 22 即0sincos 2 所以原問題變?yōu)闀r 使恒成立時 的范圍 0 0sincos 2 拋物線的對稱軸0sincos 2 f0 cos2 1 只須即可 即0cossin41 2 1 2sin 在一個周期內(nèi) 12 5 12 6 5 2 6 為第一象限的