函數(shù)方程思想的應(yīng)用舉例

函數(shù)方程思想的應(yīng)用舉例函數(shù)方程思想的應(yīng)用舉例 函數(shù)方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本 最重要的數(shù)學(xué)思想 也是歷年高考的重點(diǎn) 函數(shù)的思想就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn) 分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題 具體來(lái)說(shuō) 即先構(gòu)造函數(shù) 把給定問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)性 奇偶性 周期性 圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 最值 極值等 問(wèn)題 研究后 得出所需要的結(jié)論 函數(shù)方程思想就是將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問(wèn)題 通過(guò)解方程 或方程組 或者運(yùn)用方程的性質(zhì)來(lái)分析 轉(zhuǎn)化問(wèn)題 使問(wèn)題得以解決 函數(shù)與方程思想是密切相關(guān)的 函數(shù) 當(dāng)時(shí) 就轉(zhuǎn)化為方程或看作方程 而方程的解是函 數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化 對(duì)函數(shù) 當(dāng)時(shí) 就是不等式 而求的解則可比較函數(shù)圖象位置而得到 一 構(gòu)造函數(shù)思想 例 1 證明不等式 分析 由所證不等式很容易想到比商法 但 a b 的正負(fù)無(wú)法確定 即使分類后 當(dāng) a b 都為正數(shù)時(shí) 其商也無(wú)法與 1 比大小 思路受阻 再觀察不等式兩邊形式類似 稍加變形即為 即 可聯(lián)想到函數(shù) 就只需證了 利用函數(shù)單調(diào)性 問(wèn)題得以巧妙解決 解 令 在上 則在上為增函數(shù) 則 即 所以 點(diǎn)評(píng) 應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)證明不等式 關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) 且能方便地判斷函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 例 2 已知 對(duì)于值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù) m 不等式 恒成立 求 x 的范圍 分析 我們習(xí)慣上把 x 當(dāng)作自變量 構(gòu)造函數(shù) 于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 當(dāng) 時(shí) 恒成立 求 x 范圍 但要解決這個(gè)問(wèn)題要用到二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原 理 相當(dāng)復(fù)雜 而如果把 m 看作自變量 x 視為參數(shù) 原不等式化為 構(gòu)造函數(shù) 為 m 的一次函數(shù) 在上恒大于 0 這樣就非常簡(jiǎn)單 解 因?yàn)?所以 即 原不等式可化為恒成立 又 所以 令為 m 的一次函數(shù) 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒大于 0 的問(wèn)題 則只需 解得或 即 點(diǎn)評(píng) 注意到本題有兩個(gè)變量 x m 且 x 本來(lái)為主元 但為了解題方便 把原不等式看為 m 的一次函數(shù) 大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算 在多字母的關(guān)系式中 應(yīng)對(duì)參數(shù)的策略常常是 反客為主 變更主元 重新構(gòu)造函 數(shù) 二 構(gòu)造方程思想 例 3 已知 則有 A B C D 分析 原式變?yōu)?則是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根 故 故選 C 點(diǎn)評(píng) 通過(guò)簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化 敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn) 運(yùn)用方程思想使問(wèn)題迎刃而解 例 4 已知 且 則 a 的范圍為 解 由平方得 又 則 由此得到啟示與都可用 a 表示 故 b c 是關(guān)于 x 的一元二次方程的兩根 故 解得 點(diǎn)評(píng) 當(dāng)問(wèn)題出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時(shí) 是構(gòu)造一元二次方程的明顯信號(hào) 構(gòu)造方程后再用方程特點(diǎn)可 使問(wèn)題巧妙解決 三 函數(shù)方程統(tǒng)一思想 例 5 已知三次方程恰有三個(gè)相異實(shí)根 求實(shí)數(shù) m 的范圍方程的根 即函 數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)橫坐標(biāo) 由題意函數(shù)應(yīng)與 x 軸有三個(gè)不同產(chǎn)點(diǎn) 因三 次曲線連續(xù)且光滑 故只需函數(shù)極大值與極小值異號(hào)即可 解 令 則 令 得 為使與 x 軸交于不同的三個(gè)點(diǎn) 只須 即 點(diǎn)評(píng) 方程函數(shù)互相轉(zhuǎn)化 為得到方程根的情況 用函數(shù)圖象特點(diǎn) 特別用導(dǎo)數(shù)法求得極值 點(diǎn) 用限制極值的方法使圖象穿 x 軸三次 問(wèn)題解決 利