暑期專題輔導(dǎo)材料六

暑期專題輔導(dǎo)材料六暑期專題輔導(dǎo)材料六 暑期專題輔導(dǎo)材料六 舊 一 教學(xué)進(jìn)度第一章集合與簡易邏輯1 6邏輯聯(lián)結(jié)詞1 7四種命題1 8 充分條件與必要條件 二 教學(xué)內(nèi)容 1 能用邏輯聯(lián)結(jié)詞和簡單命題構(gòu)成不同形式的復(fù)合命題 2 能識別復(fù)合命題中所用的邏輯聯(lián)結(jié)詞及其聯(lián)結(jié)的簡單命題 3 理解四種命題之間的相互關(guān)系 能由原命題寫出其他三種形式 4 通過對四種命題之間關(guān)系的學(xué)習(xí) 培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力 5 正確理解充分條件 必要條件和充要條件的概念 6 能正確判斷是充分條件 必要條件還是充要條件 三 重點(diǎn) 難點(diǎn)選講 1 命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞 1 所謂命題 是指能夠判斷其真假的語句 因此疑問句 祈使句 都不是命題 2 若一個命題是正確的 該命題叫真命題 若一個命題不正確 該命題叫假命題 由命題的概念 一個命題不是真命題就是假命題 3 由簡單命題用邏輯聯(lián)結(jié)詞 或 且 非 聯(lián)結(jié)起來組 成的命題叫復(fù)合命題 若用小寫字母p q表示命題 則復(fù)合命題的基 本形式是 p或q p且q 以及 非p 4 邏輯聯(lián)結(jié)詞 或 可以與集合中的 并 相聯(lián)系 A BxAxxB 或 邏輯聯(lián)結(jié)詞 且 可以與集合中的 交 相聯(lián)系 A BxAx xB 且 邏輯聯(lián)結(jié)詞 非 可以與集合中的 補(bǔ) 相聯(lián)系 u AxUxxA 且 例1判斷下列語句是否是命題 若是命題 請判斷其真假 1 臺灣是中國領(lǐng)土不可分割的一部分 2 05232 xx 3 證明平行四邊形的四邊平方和等于對角線的平方和 4 三角形兩邊之和等于第三邊 解 1 它是作出判斷的語句 所以是命題 且是真命題 2 因語句中字母x的值不確定 所以這個不等式不能判斷是否成 立 該語句不是命題 3 它是祈使句 沒有作出判斷 不是命題 4 它是作出判斷的語句 是命題 且是假命題 評析第 2 題的語句中含有變量x 當(dāng)x不確定時無法判斷這個命題的真假 這種語句也叫 開語句 如 0432 xx 也是開語句 例2指出 下列復(fù)合命題的形式以及構(gòu)成它們的簡單命題是什么 1 6是18和24的公因數(shù) 2 x A B 3 矩形的對角線相等且互相平分 4 方程 4 2086212 xxxx的解是解 1 該命題是 p且q 的形式 p6是18的因數(shù) q6是24的因數(shù) 2 該命題是 非p 的形式 p BAx 3 該命題是是 p且q 的形式 p矩形的對角線相等 q矩形的對 角線互相平分 4 該命題是 p或q 的形式 p x 086221的解是方程 xx q 086422的解是方程 xxx 2 真值表 1 一個簡單命題的真假易于判斷 但一個復(fù)合命題的真假不一定 容易判斷 真值表是判斷復(fù)合命題真假的有力工具 2 對一個復(fù)合命題 如果能把它分解成一個或幾個簡單命題及邏 輯聯(lián)結(jié)詞 只要逐一判斷簡單命題的真假 就可以很容易用真值表 判斷這個復(fù)合命題的真假 3 真值表中 非p 形式的復(fù)合命題的真假與p相反 p且q 形式的復(fù)合命題 當(dāng)且僅當(dāng)p q都為真時為真 其余情況均為假 p或q 形式的復(fù)合命題 當(dāng)且僅當(dāng)p q都為假時為假 其余情況 都為真 例3對于簡單命題p q的下列幾種情況列出 非p 非q p且q p或q 的真值表 1 p真 q真 2 p真 q假 3 p假 q真 4 p假 q假 解列表如下題號p q非p非q P且q P或q 1 真真假假真真 2 真假假真假真 3 假真真假假真 4 假假真真假假例4若用 1 表示 真 用 0 表示 假 對于命題p和q的下列幾種情況列出命題 p或q 非 p或q 非p 且 非q 非 非p 的真值表 1 p真 q真 2 p真 q假 3 p假 q真 4 p假 q假 題號p qp或q非 p或q 非p非q 非P 且 非q 非 非p 1 11100001 2 10100101 3 01101000 4 00011110評析由表中可以看出 非 p或q 與 非p 且 非q 的真值相同 非 非p 與 p 的真值相同 例5 1 如果命題 p且q 是真命題 判斷命題 非p 或 非q 的 真假 2 如果命題 p且q 是假命題 判斷命題 非p 或 非q 的真假 解 1 若命題 p且q 是真命題 由真值表知 命題p和q都是真命題 因此 非p 非q 都是假命題 所以命題 非p 或 非q 是假命題 2 若命題 p且q 是假命題 由真值表知有三種情況可能出現(xiàn) p真 q假 這時 非p 為假 非q 為真 因此 非p 或 非 q 為真 p假 q真 這時 非p 為真 非q 為假 因此 非p 或 非q 為真 p假 q假 這時 非p 為真 非q 為真 因此 非p 或 非q 為真 綜上可知 非p 或 非q 為真評析由本題可見 命題 非 p且q 與 非p 或 非q 的真值相同 3 四種命題 1 在初中學(xué)習(xí)原命題和逆命題的基礎(chǔ)上 引進(jìn)了否命題和逆命題 的概念 2 將一個命題采用 交換命題的條件和結(jié)論 同時否定命題的 條件和結(jié)論 同時否定和交換命題的條件和結(jié)論 分別產(chǎn)生了原 命題的逆命題 否命題和逆否命題 如果原命題為 若p則q 則逆命題為 若q則p 否命題為 若 p則 q 逆否命題為 若 q則 p 3 在四種命題之間關(guān)系的圖示中 要理解其中互逆 互否 互為 逆否的含意 原命題與逆否命題等價 逆命題與否命題等價 例6分別 寫出下列命題的否定形式及命題的否命題 并判斷它們的真假 1 如果兩個三角形全等 那么它們的面積相等 2 數(shù)字和能被3整除的整數(shù)能被3整除 3 自然數(shù)的平方不都是正數(shù) 解 1 否定形式如果兩個三角形全等 那么它們的面積不相等 是假 命題 否命題如果兩個三角形不全等 那么它們的面積不相等 是假 命題 2 否定形式 數(shù)字和能被3整除的整數(shù)不能被3整除 是假命題 否命題數(shù)字和不能被3整除的整數(shù)不能被3整除 是真命題 3 否定形式所有自然數(shù)的平方都是正數(shù) 假命題 否命題有些自 然數(shù)的平方是正數(shù) 真命題 評析 1 命題的否定形式與否命題是兩個不同的概念 若原命題為 p q 則命題的否定形式是 p q 而否命題是 p q 2 要熟悉一些常用語言的否定形式語言是都是相等大于 所 有至少有n個能一定 否定形式不是不都是不相等不大于 有些 至多有n 1個不能不一定 例7寫出命題 直角均相等 的逆命題 否命題 逆否命題 并判斷其真假 解原命題可改寫為 如果兩個角都是直角 那么這兩個角相等 是真命題 逆命題如果兩個角相等 那么這 兩個角都是直角 是假命題 否命題如果兩個角不都是直角 那么這 兩個角不相等 是假命題 逆否命題如果兩個角不相等 那么這兩個 角不都是直角 是真命題 評析有些命題不是很明顯的p q的形式 在寫它的逆命題 否命題 逆否命題之前 應(yīng)先將它改寫為條件 結(jié)論的形式 例8已知原命題如下 分別寫出它們的逆命題 否命題 和逆否命題 并判斷它們的真假 1 若 dbca 則 dcba 2 若 0 xyz則 0 x或 0 y或0 z 解 1 逆命題若 dcba 則 ca 且 db 是假命題 否命題若 ca 或dcb adb 則 是假命題 逆否命題若 dbcadcba 或則是真命題 2 逆命題若 0 0 0 0 xyzzyx則或或是真命題 否命題若 0 0 0 0 zyxxyz且且則是真命題 逆否命題 若 0 0 0 0 xyzzyx 則且且是真命題 評析 1 原命題的條件 dbca 的命題結(jié)構(gòu)是 p且q 的形式 它 的否定是 p或 q 而不是 p且 q 2 原命題的結(jié)論是 p或q或r 的形式 它的否定是 p且 q且 r 而不是 p或 q或 r 4 充分條件和必要條件 充分條件和 必要條件是十分重要的數(shù)學(xué)概念 必須準(zhǔn)確理解 充分 必要 的涵義 p與q之間的因果關(guān)系有四種情況 qp 且pq 稱p是q 的充分不必要條件 qp 且pq 稱p是q的必要不充分條件 q p 且pq 稱p是q的充分必要條件 qp 且pq 稱p是q的既不 充分又不必要條件 p是q的充分條件即qp 可以從字面上理解為 若p真則充分保證q也為真 p是q的必要條件即pq 可以從字面 上理解為 若要q真 必須要p真 當(dāng)qp 時 既可以稱p是q的充 分條件 也可說成 q的充分條件是p 當(dāng)pq 時 既可以稱p是q的 必要條件 也可說成 q的必要條件是p 例9指出下列各題中p是q 的什么條件 指 充分不必要條件 必要不充分條件 充 要條件 或 既不充分又不必要條件 1 p拋物線 0 2 acbxaxy經(jīng)過點(diǎn)A 1 0 q 0 0 acba 2 px為偶數(shù) 且y為偶數(shù) q yx 為偶數(shù) 3 p21 x q0322 xx 4 p0 a q 022Rbaba 5 p 2 x 或3 x q17 xx 解 1 若p真 即0 1102 cbacba 故qp 若q真 即 0 0 acba 則0112 cba 拋物線cbxaxy 2經(jīng)過點(diǎn)A 1 0 故pq p是q的充要條件 2 若p真 即x為偶 且y為偶數(shù) 則yx 為偶數(shù) 故qp 若q真 即 yx 為偶數(shù) 則x y可能都是奇數(shù) 因此qp p是q的充分不必要條 件 3 若p真 即21 x 則31 x q為1 x或3 x 故qp pq p 是q的既非充分又非必要條件 4 顯然qp 當(dāng)0 a 0 b時 022 ba 又若q真 即 022R baba 則0 a 且0 b 故p真 pq p是q的必要不充分條件 5 解方程2 32 06 127 1 722 xxxxxxxxxx 或是增 根 q3 x 若p真 即 2 x或3 x 不一定有3 x qp 若q真 即 3 x 則 2 x或3 x 必真 pq p是q的必要不充分條件 評 析判斷p是q的什么條件 應(yīng)從qp 和pq 能否成立兩個方面進(jìn)行考慮 例10指出下列各題中 p是q的什么條件 指 充分不必要條件 必要不充分條件 充要條件 或 既不充分又不必要條件 1 p2 x 且3 y q5 yx 2 a Rb p q sinsin 解 1 考慮 qp 的等價命題 q p q5 yx p2 x 或3 y 顯然有 q p 知qp 同樣 由 p q 知pq p是q的既不 充分又不必要條件 2 q sinsin p p q pq q p qp p是q的必要不充分條件 評析 1 在不易確定p與q的關(guān)系時 也可以分別用 qp 的等價命題 q p 和 pq 的等價命題 p q 來判斷 2 在判斷qp 時 也可以用舉反例的方法 如第 2 題可以用 2 但 2 sin sin sin 知qp 例11已 知p是q的充分不必要條件 s是q的必要不充分條件 t是s的充要條 件 t是r的必要不充分條件 1 p是t的什么條件 2 q是r的什么條件 3 s是r的什么條件 解由已知 可以將p q r s t之間的關(guān) 系表示為rtsqp 由此可知 p是t的充分不必要條件 q是r的既 不充分也不必要條件 s是r的必要不充分條件 評析只要用符號 或 分別表示已知條件中各個命題之間的關(guān)系 就可 以判斷其中兩個命題之間的關(guān)系 例12求證若a b Rc 則0 ac是關(guān) 于x的一元二次方程02 cbxax有兩個異號實(shí)根的充要條件 證充分 性若0 ac 則0 a 且0 ac 02 b 042 acb 故方程有兩 個相異實(shí)根 設(shè)兩根為1x 2x 021 acxx 兩根1x 2x異號 必要性若關(guān)于x的方程02 cbxax有兩個異號實(shí)根 設(shè)兩根為1x 2x 則021 acxx 0 ac 0 ac是關(guān)于x的一元二次方程02 cbxa x有兩個異號實(shí)根的充要條件 例13求證關(guān)于x的不等式012 axax對 一切實(shí)數(shù)x成立的充分條件是40 a 這個條件是必要條件嗎 請證 明之 解設(shè)p關(guān)于x的不等式012 axax對一切實(shí)數(shù)x成立 q40 a 要 證p的充分條件是q 即證q是p的充分條件 即證pq 當(dāng)q真 即40 a時 41 21 122axaaxax 40 a 041 a 0 21 2 xa 012 axax q是p的充分條件 即p的充分條件是q 當(dāng)0 a時 01 2 axax對一切實(shí)數(shù)x都成立 而 4 0 0 qp q不是p的必要條 件 即p的必要條件不是q 評析在證明 p的充分條件是q 時 一般 把問題改成證明 q是p的充分條件 即證明pq 在證明 p的必要 條件是q 時 一般把問題改成證明 q是p的必要條件 即證明qp 鞏固練習(xí) 一 選擇題1 如果命題p為真 命題q為假 則下列結(jié)論中錯誤的是 A 命題 p且q 為假B 命題 p或q 為真C 命題 非p 為 假D 命題 非q 為假2 命題p與命題 非p A 可能都是真 命題B 可能都是假命題C 有且只有一個是真命題D 以上情況都有 可能3 已知命題p若x y是實(shí)數(shù) 且022 yx 則0 yx 命題q若0 ab 則0 a 且0 b 下列說法中正確的是 A p真 q假 p且q假 B P真 q假 p或q假C P假 q假 p或q假D P真 q真 p且q真4 命題 若1 x 則12 x 的否命題是 A 若1 x 則12 x B 若1 x 則12 x C 若12 x 則1 x D 若1 x 則12 x5 已知p a Rb 且022 ba 命題 若p則a b全為0 若p則a b不全為0 若p則a b全不為0 若p則a b 至多有一個為0 若p則a b至少有一個為0 其中真命題有 A 1個B 2個C 3個D 4個6 與命題 能被5整除的整數(shù)的末位數(shù)是5 等價的命題是 A 能被5整除的整數(shù)的末位數(shù)不一定是5B 不 能被5整除的整數(shù)的末位數(shù)不是5C 末位數(shù)不是5的整數(shù)不能被5整除 D 末位數(shù)是5的整數(shù)能被5整除7 用反證法證明 方程02 cbxax 最多有兩個實(shí)根 應(yīng)假設(shè) A 方程至少有一個實(shí)根B 方程至 少有2個實(shí)根C 方程至少有3個實(shí)根D 方程有一個實(shí)根8 BA 是 BA 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充分必要條 件D 既不充分又不必要條件9 若a bR 則 0 ab 的一個必要非 充分條件是 A 0 a 且0 b B 0 a 且0 b C 0 ab D 0 ba10 用反證法證明 2不是有理數(shù) 應(yīng)假設(shè) A qp 2B qp 2 p q為整數(shù) C qp 2 p q為互質(zhì)整數(shù) D qp 2 p q 為正整數(shù) 11 已知a bR 則 ba11 是 ba 的 A 充分 不必要條件B 必要不充分條件C 充分必要D 既不充分又不必要條 件12 下列幾個說法 1 x 是 2 x 的必要條件 0 xy 是 0 x 的充分條件 022 yx 是 0 x 的充分條件 12 x 是 1 x 的充分條件 其中正確的命題是 A B C D 二 填空題1 若復(fù)合命題 p或q 是假命題 則命題p與命題q的真 假情況是 2 已知命題p 0是自然數(shù) 命題q 9是無理數(shù) 則命題 非p 非q p或q p且q 中 假命題是 3 命題 若012 1 2 xxx則 的否定命題是 否命題是 4 命題 未位數(shù)字是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除 的逆否命題是 5 用反證法證明命題 若關(guān)于x的整系數(shù)一元二次方程02 cbxax 有有理根 那么a b c中至少有一個是偶數(shù) 應(yīng)假設(shè) 6 若a b Rc 則 ba 是 22bcac 的條件 7 若a b Rc 則 0 a b 是 022 ba 的條件 8 042 acb是關(guān)于x的方程02 cbxax有 兩個實(shí)數(shù)根的條件 三 解答題1 已知命題p4是2的倍數(shù) 命題q 6是2的倍數(shù) 寫出命 題 p或q p且q 以及 非p 2 已知命題p 是無理數(shù) 命題q 2是有理數(shù) 寫出命題 非p 非q p或q p且q 并判斷它們的真假 2 寫出命題 若 則tan tan 的逆命題 否命題 逆否 命題 并判斷它們的真假 4 寫出命題 若1 x或 2 x則0232 xx 的逆命題 否命題 逆否 命題 并判斷它們的真假 5 用反證法證明3是無理數(shù) 6 已知A是D的充分條件 D是B的必要 條件又是C的充分條件 B是C的必要條件 問 1 A是C的什么條件 A是B的什么條件 2 A B C D 中有幾對互為充要條件 7 求關(guān)于x的二次方程 032 pxx有兩個大于1的根的充要條件 8 若x Ry 求證0982222 yxyx的充要條件是1 x 且2 y 答案與提示 一 1 D2 C3 A4 B5 B6 C7 C8 A9 D10 C11 D12 B 二 1 P假 q假2 非p p且q3 若012 1 012 1 22 xxxx xx則若則4 不能被2整除的整數(shù)的末位數(shù)字不是偶數(shù) 5 a b c都 是奇數(shù)6 必要不充分7 充分不必要8 充分不必要 三 1 P或q 4是2的倍數(shù)或