高中數學《生活中的優(yōu)化問題舉例》學案1 新人教A版選修1-1

用心 愛心 專心1 3 4 3 4 生活中的優(yōu)化問題舉例生活中的優(yōu)化問題舉例 成功細節(jié)成功細節(jié) 本節(jié)主要研究導數在實際生活中的應用 在學習時 我認為應該注意以下幾個方面的細節(jié) 1 要 細致分析實際問題中各個量之間的關系 正確設定所求最大值或最小值的變量y與自變量x 把實際問 題轉化為數學問題 即列出函數解析式 yf x 根據實際問題確定函數 yf x 的定義域 2 要熟 練掌握應用導數法求函數最值的步驟 細心運算 正確合理地做答 3 求實際問題的最值時 一定要 從問題的實際意義去考察 不符合實際意義的理論值應予舍去 4 在實際問題中 有 0fx 常常 僅解到一個根 若能判斷函數的最大 小 值在x的變化區(qū)間內部得到 則這個根處的函數值就是所求 的最大 小 值 如 本題主要考查長方體體積的計算以及用導數解決最值問題 可設長方體的寬為x m 則長為 2x m 高為 2 3 0 m 35 4 4 1218 xx x h 故長 方體的體 積為 2 3 0 m69 35 4 2 3322 xxxxxxV 從而 1 18 35 4 1818 2 xxxxxxV 令V x 0 解得x 0 舍去 或x 1 因此x 1 當 0 x 1 時 V x 0 當 1 x 3 2 時 V x 0 故在x 1 處V x 取得極大值 并且這個極大值就是V x 的最大值 從而最大體積V V x 9 12 6 13 m3 此時長方體的長為 2 m 高為 1 5 m 答 當長方體的長為 2 m 時 寬為 1 m 高為 1 5 m 時 體積最大 最大體積為 3 m3 高效預習高效預習 核心欄目 核心欄目 學習細節(jié)學習細節(jié) 核心欄目 核心欄目 A A 基礎知識 基礎知識 一 利用導數解決生活中的優(yōu)化問題利用導數解決生活中的優(yōu)化問題 情景引入情景引入 生活中經常遇到求利潤最大 用料最省 效率最高等問題 這些問題通常稱為優(yōu)化問 關注 思考 1 了解優(yōu)化問題的類型 2 實際問題中為什么極值點 一般就是最值點 粗讀 概括 1 認真閱讀教材中的例題 從中提 煉解答優(yōu)化問題的解題步驟 2007 年重慶市文科 20 題 用長為 18 cm 的鋼條圍成一個長方體形狀的框架 要求長方體的長與寬 之比為 2 1 問該長方體的長 寬 高各為多少時 其體積最大 最大體積是多少 用心 愛心 專心2 題 通過前面的學習 我們知道 導數是求函數最大 小 值的有力工具 這一節(jié) 我們利用導數 解 決一些生活中的優(yōu)化問題 例題 1 海報版面尺寸的設計 學?；虬嗉壟e行活動 通常需要張貼海報進行宣傳 現讓你設計一張如圖 所示的豎向張貼的海報 要求版心面積為 128dm2 上 下兩邊各空 2dm 左 右兩 邊各空 1dm 如何設計海報的尺寸 才能使四周空心面積最小 引導引導 先建立目標函數 然后利用導數求最值 解 設版心的高為 xdm 則版心的寬為 128 x dm 此時四周空白面積為 128512 4 2 12828 0S xxxx xx 求導數 得 2 512 2S x x 令 2 512 20S x x 解得16 16xx 舍去 于是寬為 128128 8 16x 當 0 16 x 時 S x0 因此 16x 是函數 S x的極小值 也是最小值點 所以 當版心高為 16dm 寬為 8dm 時 能使四周 空白面積最小 答 當版心高為 16dm 寬為 8dm 時 海報四周空白面積最小 思考思考 在課本例 1 中 16x 是函數 S x的極小值點 也是最小值點 為什么 是否還有別的解法 探究探究 在實際問題中 由于 fx 0 常常只有一個根 因此若能判斷該函數的最大 小 值在x的變 化區(qū)間內部得到 則這個根處的極大 小 值就是所求函數的最大 小 值 由課本例 1 可得 256256 482 48S xxx xx 2 32872 256 4 8 0 xxxS x 當且僅當即時取最小值 16 128 此時y 8 例題 2 飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 1 你是否注意過 市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些 2 是不是飲料瓶越大 飲料公司的利潤越大 背景知識 某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料 瓶子的制造成本是 2 0 8 r 分 其中 r 是瓶子的半徑 單位是厘米 已知每出售 1 mL 的飲料 制造商可獲利 0 2 分 且制造商能制作 的瓶子的最大半徑為 6cm 問題 瓶子的半徑多大時 能使每瓶飲料的利潤最大 瓶子的半徑多大時 每瓶的利潤最小 引導引導 先建立目標函數 轉化為函數的最值問題 然后利用導數求最值 解 由于瓶子的半徑為r 所以每瓶飲料的利潤是 用心 愛心 專心3 3 322 4 0 20 80 8 06 33 r yf rrrrr 令 2 0 8 2 0frrr 解得 2r 0r 舍去 當 0 2r 時 0fr 當 2 6r 時 0fr 當半徑2r 時 0fr 它表示 f r單調遞增 即半徑越大 利潤越高 當半徑2r 時 0fr 它表示 f r單調遞減 即半徑越大 利潤越低 1 半徑為2cm 時 利潤最小 這時 20f 表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本 此 時利潤是負值 2 半徑為6cm 時 利潤最大 引導引導 我們已經求出利潤和瓶子半徑之間的關系式 2 2 0 8 06 3 r f rrr 圖象如圖 能否根據它的圖象說出其實際意義 探究探究 當 0 2r 時 f r為減函數 其實際意義為 瓶子的半 徑小于 2cm 時 瓶子的半徑越大 利潤越小 半徑為2cm 時 利潤最小 當 2 6r 時 f r為增函 數 其實際意義為 瓶子的半徑大于 2cm 時 瓶子的半徑越大 利潤越大 特別的 當3r 時 30f 即瓶子的半徑為 3cm 時 飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等 3r 時 利潤才為正值 當2r 時 20f 即瓶子的半徑為 2cm 時 飲料的利潤最小 飲料利 潤還不夠飲料瓶子的成本 此時利潤是負值 例題 2 磁盤的最大存儲量問題 計算機把數據存儲在磁盤上 磁盤是帶有磁性介質的圓盤 并有操作系統將其格式化成磁道和扇區(qū) 磁道是指不同半徑所構成的同心軌道 扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域 磁道上的定長弧段可作 為基本存儲單元 根據其磁化與否可分別記錄數據 0 或 1 這個基本單元通常被稱為比特 bit 為了保障磁盤的分辨率 磁道之間的寬度必需大于m 每比特所占用的磁道長度不得小于n 為了 數據檢索便利 磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數 問題 現有一張半徑為R的磁盤 它的存儲區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域 1 是不是r越小 磁盤的存儲量越大 2 r為多少時 磁盤具有最大存儲量 最外面的磁道不存儲任何信息 解 由題意知 存儲量 磁道數 每磁道的比特數 設存儲區(qū)的半徑介于r與 R 之間 由于磁道之間的寬度必需大于m 且最外面的磁道不存儲任何信 息 故磁道數最多可達 Rr m 由于每條磁道上的比特數相同 為獲得最大存儲量 最內一條磁道必須裝 滿 即每條磁道上的比特數可達 2 r n 所以 磁盤總存儲量 用心 愛心 專心4 f r Rr m 2 r n 2 r Rr mn 1 它是一個關于r的二次函數 從函數解析式上可以判斷 不是r越小 磁盤的存儲量越大 2 為求 f r的最大值 計算 0fr 2 2frRr mn 令 0fr 解得 2 R r 當 2 R r 時 0fr 當 2 R r 時 0fr 因此 2 R r 時 磁盤具有最大存儲量 此時最大存儲量為 2 2 4 R mn 思考思考 根據以上三個例題 總結用導數求解優(yōu)化問題的基本步驟 總結總結 1 認真分析問題中各個變量之間的關系 正確設定最值變量y與自變量x 把實際問題轉化 為數學問題 列出適當的函數關系式 yf x 并確定函數的定義區(qū)間 2 求 fx 解方程 0fx 得出所有實數根 3 比較函數在各個根和端點處的函數值的大小 根據問題的實際意義確定函數的最大值或最小值 關鍵細節(jié) 由問題的實際意義來判 斷函數最值時 如果函數在此區(qū)間 上只有一個極值點 那么這個極值 就是所求最值 不必再與端點值比 較 用心 愛心 專心5 例 4 10 某旅行社在暑假期間推出如下旅游團組團辦法 達到 100 人的團體 每人收費 1000 元 如果 團體的人數超過 100 人 那么每超過 1 人 每人平均收費降低 5 元 但團體人數不能超過 180 人 如何 組團可使旅行社的收費最多 不到 100 人不組團 解析 先列出問題的文字模型 標準收費數 降低的收費數 再轉化為數學模型 答案 設參加旅游的人數為 x 旅游團收費為 y 則依題意有 f x 1000 x 5 x 100 x 100 x 180 令 1500 100fxx 得x 150 又 100 100000f 150 112500f 180 108000f 所以當參加人數為 150 人時 旅游團的收費最高 可達 112500 元 B B 綜合拓展 綜合拓展 例 1 某工廠生產某種產品 已知該產品的月生產量x t 與每噸產品的價格p 元 t 之間的關系式為 p 24200 5 1 x2 且生產x t 的成本為 R 50000 200 x 元 問該產品每月生產多少噸才能使利潤達到最大 最大利潤是多少 解析 利潤 收入 成本 列出利潤的函數關系式 利用導數解決優(yōu)化問題 答案 每月生產x噸時的利潤為 20050000 5 1 24200 2 xxxxf 3 1 2400050000 0 5 xxx 由 2 3 240000 5 fxx 解得 200 x 或200 x 舍去 因為 f x在 0 內只有一個點 200 x 使得 0fx 故它就是最大值點 且最大值為 0 200 0 xfxxf使內只有一個點在因 故它就是最大值點 且最大值為 3 1 200 200 24000 200500003150000 5 f 元 思維拓展 1 導數在實際生活中的應用主要是解決有關函數最大值 最小值的實際問題 主要有以下幾種類型 1 與幾何 長度 面積 體積等 有關的最值問題 2 與物理學有關的最值問題 3 與利潤及其成本 效益最大 費用最小等 有關的最值問題 4 效率最值問題 2 利用導數解決優(yōu)化問題的基本思路 優(yōu)優(yōu)化化問問題題 用用函函數數表表示示數數學學問問題題 用導數解決數學問題優(yōu)化問題的答案 建建立立數數學學模模型型 解解決決數數學學模模型型 作作答答 用心 愛心 專心6 答 每月生產 200 噸產品時利潤達到最大 最大利潤為 315 萬元 例 2 已知某商品生產成本C與產量q的函數關系式為C 100 4q 價格p與產量q的函數關系式為 qp 8 1 25 求產量q為何值時 利潤L最大 分析 利潤L等于收入R減去成本C 而收入R等于產量乘價格 由此可得出利潤L與產量q的函數 關系式 再用導數求最大利潤 解 收入 2 11 2525 88 Rq pqqqq 利潤 22 11 25 1004 21100 88 LRCqqqqq 0100 q 1 21 4 Lq 令0L 即 1 210 4 q 求得唯一的極值點84q 答 產量為 84 時 利潤 L 最大 例 3 甲 乙兩個工廠 甲廠位于一直線河岸的岸邊A處 乙廠與甲廠在河的同側 乙廠位于離河岸 40 km 的B處 乙廠到河岸的垂足D與A相距 50 km 兩廠要在此岸邊合建一個供水站C 從供水站到甲 廠和乙廠的水管費用分別為每千米 3a元和 5a元 問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省 解析 根據題設條件作出圖形 分析各已知條件之間的關系 借助圖形的特征 合理選擇這些條件 間的聯系方式 適當選定變元 構造相應的函數關系 通過求導的方法 或其他方法求出函數的最小值 可確定點C的位置 答案 解法一 根據題意知 只有點C在線段AD上某一適當位置 才能使總運費最省 設C點距D點x km 則 BD 40 AC 50 x BC 2222 40 xCDBD 又設總的水管費用為y元 依題意有 y 3a 50 x 5a 22 40 x 050 x y 3a 22 40 5 x ax 令y 0 解得x 30 在 0 50 上 y只有一個極值點 根據實際問題的意義 函數在x 30 km 處取得最小值 此時AC 50 x 20 km 供水站建在A D之間距甲廠 20 km 處 可使水管費用最省 解法二 設 BCD 則BC sin 40 CD 2 0 cot40 cot4050 AC 設總的水管費用為f 依題意 有 f 3a 50 40 cot 5 40 sin a 150a 40a sin cos35 f 40a 22 53cos sin 53cos sin 35cos 40 sinsin a 令 f 0 得 cos 5 3 C C D D B B A A 用心 愛心 專心7 根據問題的實際意義 當 cos 5 3 時 函數取得最小值 此時 sin 5 4 cot 4 3 AC 50 40cot 20 km 即供水站建在A D之間距甲廠 20 km 處 可使水管費用最省 例 4 在邊長為 60 cm 的正方形鐵片的四角切去相等的正方形 再把它的邊沿虛線折起 如圖 做成一個無蓋的方底箱子 箱底的邊長是多 少時 箱底的容積最大 最大容積是多少 解析 先建立起目標函數 再求最值 答案 解法一 設箱底邊長為xcm 則 箱高 60 2 x h cm 得箱子容積 2 60 32 2 xx hxxV 600 x 2 3 60 2 x V xx 600 x 令 2 3 60 2 x V xx 0 解得 x 0 舍去 x 40 并求得 V 40 16 000 由題意可知 當 x 過小 接近 0 或過大 接近 60 時 箱子容積很小 因此 16 000 是最大值 答 當 x 40cm 時 箱子容積最大 最大容積是 16 000cm3 解法二 設箱高為xcm 則箱底長為 60 2x cm 則得 箱子容積 xxxV 2 260 300 x 后面同解法一 略 由題意可知 當x過小或過大時箱子容積很小 所以最大值出現在極值點處 事實上 可導函數 2 60 32 2 xx hxxV xxxV 2 260 在各自的定義域中都只有一個極 值點 從圖象角度理解即只有一個波峰 是單峰的 因而這個極值點就是最值點 不必考慮端點的函數 值 例 5 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時 它的高與底與半徑應怎樣選取 才能使所用的材料最省 解析 轉化為數學問題就是 圓柱的體積是一個定值時 求表面積最小時 高與半徑的比值 答案 設圓柱的高為 h 底半徑為 R 則表面積 S 2 Rh 2 R2 由 V R2h 得 2 V h R 則 x 60 2x 60 2x 60 2x x 60 2x60 60 x x 60 60 x x 用心 愛心 專心8 S R 2 R 2 V R 2 R2 2V R 2 R2 令 2 2 V s R R 4 R 0 解得 R 3 2 V 從而 h 2 V R 2 3 2 V V 3 4V 23 V 即 h 2R 因為 S R 只有一個極值 所以它是最小值 答 當罐的高與底直徑相等時 所用材料最省 思考 思考 當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時 它的高與底面半徑應怎樣選取 才能使所用材料 最省 提示 S 2Rh 2 2 R h R RS 2 2 2 V R R RS 2 2 2 R 2 32 2 1 2 2 1 RSRRRS RV 0 2 6 RS RhRRhR2226 22 例 6 已知矩形的兩個頂點位于x軸上 另兩個頂點位于拋物線y 4 x2在x軸上方的曲線上 求 這種矩形中面積最大者的邊長 解 設位于拋物線上的矩形的一個頂點為 x y 且x 0 y 0 則另一個在拋物線上的頂點為 x y 在x軸上的兩個頂點為 x 0 x 0 其中 0 x 2 設矩形的面積為S 則S 2 x 4 x2 0 x 2 由S x 8 6 x2 0 得x 3 3 2 易知 x 3 4 是S在 0 2 上的極值點 即是最大值點 所以這種矩形中面積最大者的邊長為3 3 2 和 3 8 例 7 要建一個圓柱形無蓋的糧倉 要求它的容積為 3 500m 問如何選擇它的直徑和高 才能使所用 材料最省 解析 欲使材料最省 實際上是使表面積最小 答案 設直徑為d 高為h 表面積為S 由 2 500 2 d h 得 2 2000 h d 又 2 2 2000 24 dd Sd h d 而 2 2000 2 d S d 令0S 即 2 2000 0 2 d d 得 3500 2 d 此時 3500 h 用心 愛心 專心9 3500 02 d 時 0S 3500 2 d 時 0S 所以 當 3500 2 d 3500 d 用料最省 點評 用料最省 造價最低一般都是與表面積有關 此類問題的求解思路是找到變量之間的關系 再借助關系列出函數式 然后通過導數予以求解 例 8 用寬為a 長為b的三塊木板 做成一個斷面為梯形的水槽 如圖 2 問斜角 多大時 槽的流量最大 最大流量是多少 解析 槽的流量與槽的橫截面面積有關 橫截面面積越大 槽的流量就 越大 因此 求槽的流量最大 其實就是求橫截面面積的最大值 設橫截面 面積為S 則 1 2 SABED CD 答案 由于2 cosABaa sinCDa 因此 1 2 cos sin 2 Saaaa 2 sin 1cos 0 2 a 又 22 2coscos1 Sa 令0S 即 22 2coscos1 0a 得 1 cos 2 或cos1 由于 0 2 得cos1 那么 1 cos 2 此時 3 當 0 3 時 0S 當 32 時 0S 所以 當 3 時 橫截面的面積最大 此時 槽的流量最大 點評 流量最大 橫梁的強度最大等都與橫截面的面積有關 而面積又往往與三角聯系在一起 根 據題目條件找出各量之間的關系是求解此類問題的關鍵 例 9 一書店預計一年內要銷售某種書 15 萬冊 欲分幾次訂貨 如果每次訂貨要付手續(xù)費 30 元 每 千冊書存放一年要耗庫費 40 元 并假設該書均勻投放市場 問此書店分幾次進貨 每次進多少冊 可使 所付的手續(xù)費與庫存費之和最少 解 設每次進書x千冊 0150 x 手續(xù)費與庫存費之和為y元 由于該書均勻投放市場 則平均庫存量為批量之半 即2 x 故有 x 0 15 15 15 150 y y A極小值A 用心 愛心 專心10 150 y x 30 2 x 40 22 450020 15 15 20 xx y xx 令y 0 得x 15 列表如右 所以當x 15 時 y取得極小值 且極小值唯一 故當 x 15 時 y 取得最小值 此時進貨次數為 150 10 15 次 即該書店分 10 次進貨 每次進 15000 冊書 所付手續(xù)費與庫存費之和最少 作業(yè)作業(yè) 課堂作業(yè)課堂作業(yè) 1 知識點 1 一質點做直線運動 由始點起經過 ts 后的距離為 s 432 15 3 43 ttt 則速度為零的時刻是 A 0s 與 2s 末 B 3s 末 C 0s 與 3s 末 D 0s 2s 3s 末 2 知識點 1 用邊長為 48cm 的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時 在鐵皮的四角各截去一個面積相等的 小正方形 然后把四邊折起 就能焊接成鐵盒 所做鐵盒容積最大時 在四角截去的正方形的邊長為 A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm 3 知識點 1 要做一個圓錐形漏斗 其母線長為 20cm 要使其體積最大 則其高應為 A cm 3 320 B 100cm C 20cm D 4 若一球的半徑為r 作內接于球的圓柱 則其側面積最大為 A 2 r2B r2C 4 r2D 2 1 r2 5 以長為 10 的線段AB為直徑作半圓 則它的內接矩形面積的最大值為 A 10B 15 C 25D 50 6 知識點 1 如圖 將邊長為 1 的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形 再沿虛線折起 做成 一個無蓋的正六棱柱容器 當這個正六棱柱容器的底面邊長為 時 其容積最大 7 知識點 1 一面靠墻三面用欄桿 圍成一個矩形場地 如果欄桿長 40cm 要使圍成的場地面積最大 靠墻的邊應該為 cm 8 知識點 1 某商場從生產廠家以每件 20 元購進一批商品 若該商品的零售價定為p元 則銷售量 Q 單位 件 與零售價p 單位 元 有如下關系 2 8300170Qpp 問該商品零售價定為多少元時 毛利潤L最大 并求出最大毛利潤 課后作業(yè)課后作業(yè) 9 當室內的有毒細菌開始增加時 就要使用殺菌劑 剛開始使用的時候 細菌數量還會繼續(xù)增加 隨著時間 的增加 它增加幅度逐漸變小 到一定時間 細菌數量開始減少 如果使用殺菌劑 t 小時后的細菌數量為 b t cm 3 20 用心 愛心 專心11 105 104t 103t2 1 求細菌在 t 5 與 t 10 時的瞬時速度 2 細菌在哪段時間增加 在哪段時間減少 為什么 10 一條水渠 斷面為等腰梯形 如圖所示 在確定斷面尺寸時 希望在 斷面ABCD的面積為定值S時 使得濕周l AB BC CD最小 這樣可使水 流阻力小 滲透少 求此時的高h和下底邊長b 11 有甲 乙兩城 甲城位于一直線形河岸 乙城離岸 40 千米 乙城到 岸的垂足與甲城相距 50 千米 兩城在此河邊合設一水廠取水 從水廠到 甲城和乙城的水管費用分別為每千米 500 元和 700 元 問水廠應設在河邊的何處 才能使水管費用最省 家庭作業(yè)家庭作業(yè) 12 請你的父母與你一起圍建一個面積為 512 平方米的矩形堆料場 為充分利用已有資源 可以利用 原有的墻壁作為一邊 其他三邊需要砌新的墻壁 如何設才能使砌壁所用的材料最省 作業(yè)參考答案作業(yè)參考答案 課堂作業(yè)課堂作業(yè) 1 D 32 56 2 3 stttt tt 令0s 得0 2 3t 2 A 設箱底邊長為xcm 則箱高 48 2 x h cm 得箱子容積 23 2 48 2 xx V xx h 048 x 則 2 3 48 2 x V xx 048 x 令 0V x 解得32x 0 x 刪掉 所以當32x 即 4832 6 2 hcm 時 體積取得最大值 3 A 設母線和底面所成的角等于 0 2 則20cosr 20sinh 22