勾股定理知識點、經(jīng)典例題及練習(xí)題帶答案

1 趣味鏈接趣味鏈接 我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理 創(chuàng)制了一幅我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理 創(chuàng)制了一幅 弦圖弦圖 后人稱 后人稱 其為其為 趙爽弦圖趙爽弦圖 如圖 如圖 1 圖 圖 2 由弦圖變化得到 它是用八個全等的直角三角形拼由弦圖變化得到 它是用八個全等的直角三角形拼 接而成 記圖中正方形接而成 記圖中正方形 ABCD 正方形 正方形 EFGH 正方形 正方形 MNKT 的面積分別為的面積分別為 S1 S2 S3 若 若 S1 S2 S3 10 則 則 S2的值是多少呢 的值是多少呢 知識梳理知識梳理 1 勾股定理定義 如果直角三角形的兩直角邊長分別為 a b 斜邊長為 c 那么 a2 b2 c2 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 A A B B C C a b c 弦 股 勾 勾 直角三角形較短的直角邊 股 直角三角形較長的直角邊 弦 斜邊 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長 a b c 有下面關(guān)系 a2 b2 c2 那么這 個三角形是直角三角形 2 勾股數(shù) 滿足 a2 b2 c2的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù) 注意 若 a b c 為勾股數(shù) 那么 ka kb kc 同樣也是勾股數(shù)組 附 常見勾股數(shù) 3 4 5 6 8 10 9 12 15 5 12 13 3 判斷直角三角形 如果三角形的三邊長 a b c 滿足 a2 b2 c2 那么這個三角形 是直角三角形 2 經(jīng)典直角三角形 勾三 股四 弦五 其他方法 1 有一個角為 90 的三角形是直角三角形 2 有兩個角互余的三角形是直角三角形 用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是 1 確定最大邊 不妨設(shè)為 c 2 若 c2 a2 b2 則 ABC 是以 C 為直角的三角形 若 a2 b2 c2 則此三角形為鈍角三角形 其中 c 為最大邊 若 a2 b2 c2 則此三角形為銳角三角形 其中 c 為最大邊 4 注意 1 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 2 在直角三角形中 如果一個銳角等于 30 那么它所對的直角邊等于斜 邊的一半 3 在直角三角形中 如果一條直角邊等于斜邊的一半 那么這條直角邊 所對的角等于 30 5 勾股定理的作用 1 已知直角三角形的兩邊求第三邊 2 已知直角三角形的一邊 求另兩邊的關(guān)系 3 用于證明線段平方關(guān)系的問題 4 利用勾股定理 作出長為的線段n 3 經(jīng)典例題經(jīng)典例題 例 1 2016 山東煙臺 如圖是油路管道的一部分 延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個直角三 角形 兩直角邊分別為 6m 和 8m 按照輸油中心 O 到三條支路的距離相等來連接管道 則 O 到三條支路的管道 總長 計算時視管道為線 中心 O 為點 是 A 2m B 3m C 6m D 9m 例 2 2016 貴州貴陽 如圖 ABC 中 C 90 AC 3 B 30 點 P 是 BC 邊上的動點 則 AP 長不 可能是 A 3 5 B 4 2 C 5 8 D 7 例 3 2016 河北 如圖 在 ABC 中 C 90 BC 6 D E 分別在 AB AC 上 將 ABC 沿 DE 折疊 使點 A 落在點 A 處 若 A 為 CE 的中點 則折痕 DE 的長為 A 0 5 B 2 C 3 D 4 例 4 2016 重慶綦江 一個正方體物體沿斜坡向下滑動 其截面如圖所示 正方形 DEFH 的邊長為 2 米 坡 角 A 30 B 90 BC 6 米 當(dāng)正方形 DEFH 運(yùn)動到什么位置 即當(dāng) AE 米時 有 DC AE BC 222 例 5 2016 廣東肇慶 在直角三角形 ABC 中 C 90 BC 12 AC 9 則 AB 例6 2016貴州安順 如圖 在Rt ABC中 C 90 BC 6cm AC 8cm 按圖中所示方法將 BCD沿BD 折疊 使點C落在AB邊的C 點 那么 ADC 的面積是 4 例7 2016四川廣安 某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造 測得兩直角邊長為6m 8m 現(xiàn)要將其 擴(kuò)建成等腰三角形 且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形 求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長 例 8 2016 四川樂山 如圖 在直角 ABC 中 C 90 CAB 的平分線 AD 交 BC 于 D 若 DE 垂直平 分 AB 求 B 的度數(shù) 例 9 2016 山東棗莊 如圖 在邊長為 1 的小正方形組成的網(wǎng)格中 ABC 的三個頂點均在格點上 請按 要求完成下列各題 1 畫線段 AD BC 且使 AD BC 連接 CD 2 線段 AC 的長為 CD 的長為 AD 的長為 3 ACD 為 三角形 四邊形 ABCD 的面積為 例 10 如圖 AB 為一棵大樹 在樹上距地面 10m 的 D 處有兩只猴子 它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的 C 處有一筐水 果 一只猴子從 D 處上爬到樹頂 A 處 利用拉在 A 處的滑繩 AC 滑到 C 處 另一只猴子從 D 處滑到地面 B 再由 B 跑到 C 已知兩猴子所經(jīng)路程都是 15m 求樹高 AB 5 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1 2016 湖北黃石 將一個有 45 度角的三角板的直角頂點放在一張寬為 3cm 的紙帶邊沿 上 另一個頂點在紙帶的另一邊沿上 測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成 30 度角 如圖 則三角板 的最大邊的長 A 3cm B 6cm C 3cm D 6cm22 2 2016 江蘇無錫 如圖 在 Rt ABC 中 ACB 90 D E F 分別是 AB BC CA 的中點 若 CD 5cm 則 EF cm 3 2016 山東棗莊 將一副三角尺如圖所示疊放在一起 若 14cm 則陰影部分的面積是 cm2 AB 4 王偉準(zhǔn)備用一段長 30 米的籬笆圍成一個三角形形狀的小圈 用于飼養(yǎng)家兔 已知第一條邊長為 a 米 由于受 地勢限制 第二條邊長只能是第一條邊長的 2 倍多 2 米 1 請用 a 表示第三條邊長 2 問第一條邊長可以為 7 米嗎 為什么 請說明理由 并求出 a 的取值范圍 3 能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀 且各邊長均為整數(shù) 若能 說明你的圍法 若不能 請說明理由 5 一個零件的形狀如圖 按規(guī)定這個零件中 A 與 BDC 都應(yīng)為直角 工人師傅量得零件各邊尺寸 AD 4 AB 3 BD 5 DC 12 BC 13 這個零件符合要求嗎 6 課后作業(yè)課后作業(yè) 1 下列各組數(shù)據(jù)中 不能作為直角三角形三邊長的是 A 9 12 15 B C 0 2 0 3 0 4 D 40 41 9 53 1 44 2 滿足下列條件的三角形中 不是直角三角形的是 A 三個內(nèi)角比為 1 2 1 B 三邊之比為 1 2 5 C 三邊之比為 2 D 三個內(nèi)角比為 1 2 335 3 如圖 以 Rt ABC 的三邊為邊向外作正方形 其面積分別為 S1 S2 S3 且 S1 4 S2 8 則 AB 的長為 4 如圖 E F 分別是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 邊上的點 且 AB 4 CE 4 1 BC F 為 CD 的中點 連接 AF AE 問 AEF 是什么三角形 請說明理由 5 題圖題圖 6 題圖 題圖 5 如圖 如上圖 今年的冰雪災(zāi)害中 一棵大樹在離地面 3 米處折斷 樹的頂端落在離樹桿底部 4 米處 那么 這棵樹折斷之前的高度是 米 6 一個零件的形狀如圖所示 已知 AC 3 AB 4 BD 12 求 CD 的長 cmcmcm 7 如圖 某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高 5m 長 13m 寬 2m 的樓道上鋪地毯 已知地毯平方米 18 元 請你幫 助計算一下 鋪完這個樓道至少需要多少元錢 F E A C B D 7 8 如圖 一架長 2 5 m 的梯子 斜靠在一豎直的墻上 這時 梯底距墻底端 0 7 m 如果梯子的頂端沿墻下滑 0 4 m 則梯子的底端將滑出多少米 經(jīng)典例題經(jīng)典例題 1 C 2 D 3 B 4 5 15 6 6cm2 7 由題意可得 花圃的周長 8 8 16 3 14 8 28 2 8 解 AD 平分 CAD CAD BAD DE 垂直平分 AB AD BD B BAD CAD BAD B 在 Rt ABC 中 C 90 CAD DAE B 90 B 30 9 解 1 如圖 2 2 5 5 5 3 直角 10 4 1 2 10 設(shè) AD x 米 則 AB 為 10 x 米 AC 為 15 x 米 BC 為 5 米 x 10 2 52 15 x 2 解得 x 2 10 x 12 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1 D 2 5 3 49 2 4 1 第一條邊為 a 第二條邊為 2a 2 第三條邊為 30 a 2a 2 28 3a 2 不可以是 7 第一條邊為 7 第二條邊為 16 第三條邊為 7 不滿足三邊之間的關(guān)系 不可以構(gòu)成三角形 a 5 13 2 3 5 12 13 可以圍成一個滿足條件的直角三角形 5 解 在 ABD 中 AB2 AD2 32 42 9 16 25 BD2 所以 ABD 為直角三角形 A 90 在 BDC 中 BD2 DC2 52 122 25 144 169 132 BC2 所以 BDC 是直角三角形 CDB 90 因此這個零件符合要求 8 課后作業(yè)課后作業(yè) 1 C 2 C 3 32 4 解 由勾股定理得 AE2 25 EF2 5 AF2 20 AE2 EF2 AF2 AE