2016屆靜安區(qū)高三數(shù)學(xué)一模(理)

上海市靜安區(qū)上海市靜安區(qū) 2015 20162015 2016 學(xué)年高三年級(jí)第一學(xué)期期末教學(xué)學(xué)年高三年級(jí)第一學(xué)期期末教學(xué) 質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷 試卷滿(mǎn)分 150 分 考試時(shí)間 120 分鐘 2016 1 考生注意 考生注意 本試卷共有本試卷共有 23 道題 道題 答答題題前 請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上將學(xué)校 班級(jí) 姓名 檢測(cè)編號(hào)等填涂清楚前 請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上將學(xué)校 班級(jí) 姓名 檢測(cè)編號(hào)等填涂清楚 一 一 填空題 本大題滿(mǎn)分填空題 本大題滿(mǎn)分 56 分 本大題共有分 本大題共有 14 題 考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果 每個(gè)空題 考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果 每個(gè)空 格填對(duì)得格填對(duì)得 4 分 否則一律得零分 分 否則一律得零分 1 已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是 則 2 yax 1 4 y a 2 在等差數(shù)列 n a 中 已知公差2d 2007 2007a 則 nN 2016 a 3 設(shè) 且 則的取值范圍是 cosx 3 44 arcsin x 4 已知球的半徑為 24cm 一個(gè)圓錐的高等于這個(gè)球的直徑 而且球的表面積等于圓錐的表面積 則這個(gè)圓錐 的體積是 cm3 5 方程的解為 3 1 1 log 98 log 1 3 xx xxx 6 直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程是 20 xy 220 xy 7 已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足 其中為虛數(shù)單位 則 z28zzi z 8 的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)等于 用數(shù)值作答 8 xyz 34 x yz 9 在產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí) 常采用抽樣檢查的方法 現(xiàn)在從 100 件產(chǎn)品 已知其中有 3 件不合格品 中任意抽出 4 件檢查 恰好有 2 件是不合格品的抽法有 種 用數(shù)值作答 10 經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn) 且面積最小的圓的方程是 230 xy 22 2410 xyxy 11 在平面直角坐標(biāo)系中 坐標(biāo)原點(diǎn) 點(diǎn) 將向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得向xOy 0 0 O 1 2 PO 5 6 量 則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 Q 12 在 ABC 中 A B C 所對(duì)的邊分別為 a b c 若 ABC 的面積 則 222 2Sabcbc 用數(shù)值作答 sin A 13 已知各項(xiàng)皆為正數(shù)的等比數(shù)列 滿(mǎn)足 若存在兩項(xiàng) 使得 n anN 765 2aaa m a n a 則的最小值為 1 4 mn a aa 14 mn 14 在平面直角坐標(biāo)系中 將直線(xiàn)沿軸正方向平移 3 個(gè)單位 沿軸正方向平移 5 個(gè)單位 得到直線(xiàn) xOyxy 1 l 再將直線(xiàn)沿軸正方向平移 1 個(gè)單位 沿軸負(fù)方向平移 2 個(gè)單位 又與直線(xiàn)重合 若直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn) 1 lxy 1 l 對(duì)稱(chēng) 則直線(xiàn)的方程是 2 3 二 選擇題 本大題滿(mǎn)分二 選擇題 本大題滿(mǎn)分 2020 分 本大題共有分 本大題共有 4 4 題 每題有且只有一個(gè)正確答案 考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上 題 每題有且只有一個(gè)正確答案 考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上 填上正確的答案 選對(duì)得填上正確的答案 選對(duì)得 5 5 分 否則一律得零分分 否則一律得零分 15 組合數(shù)恒等于 1 r n Cnrn rN A B C D 1 1 1 1 r n r C n 1 1 1 1 r n n C r 1 1 r n r C n 1 1 r n n C r 16 函數(shù)的反函數(shù)是 2 1 3 10 x yx A B 3 1 1log 3 yx x 3 1 1 log 1 3 yxx C D 3 1 1log 1 3 yxx 3 1 1log 3 yx x 17 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 則 n a 2 4 4 4 n nn anN nnn n lim n n a A B 0 C 2 D 不存在2 18 下列四個(gè)命題中 真命題是 A 和兩條異面直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn) B 和兩條異面直線(xiàn)都垂直的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn) C 和兩條異面直線(xiàn)都相交于不同點(diǎn)的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn) D 若 a b 是異面直線(xiàn) b c 是異面直線(xiàn) 則 a c 是異面直線(xiàn) 三 解答題 本大題滿(mǎn)分三 解答題 本大題滿(mǎn)分 7474 分 本大題共分 本大題共 5 5 題 解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的題 解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的 步驟步驟 19 本題滿(mǎn)分本題滿(mǎn)分 12 分 本題共有分 本題共有 2 個(gè)小題 第個(gè)小題 第 1 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 6 分 第分 第 2 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 6 分 分 如圖 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體中 E 為 AB 的中點(diǎn) 求 1111 DCBAABCD 1 異面直線(xiàn) BD1與 CE 所成角的余弦值 2 點(diǎn) A 到平面的距離 1 AEC 20 本題滿(mǎn)分 本題滿(mǎn)分 14 分 本題共有分 本題共有 2 個(gè)小題 第個(gè)小題 第 1 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 10 分 第分 第 2 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 4 分分 李克強(qiáng)總理在很多重大場(chǎng)合都提出 大眾創(chuàng)業(yè) 萬(wàn)眾創(chuàng)新 某創(chuàng)客 白手起家 2015 年一月初向銀行貸款十萬(wàn) 元做創(chuàng)業(yè)資金 每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的 20 每月月底需要交納房租和所得稅共為該月全部金額 包 括本金和利潤(rùn) 的 10 每月的生活費(fèi)等開(kāi)支為 3000 元 余款全部投入創(chuàng)業(yè)再經(jīng)營(yíng) 如此每月循環(huán)繼續(xù) 1 問(wèn)到 2015 年年底 按照 12 個(gè)月計(jì)算 該創(chuàng)客有余款多少元 結(jié)果保留至整數(shù)元 2 如果銀行貸款的年利率為 5 問(wèn)該創(chuàng)客一年 12 個(gè)月 能否還清銀行貸款 21 本題滿(mǎn)分 本題滿(mǎn)分 14 分 本題共有分 本題共有 2 個(gè)小題 第個(gè)小題 第 1 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 6 分 第分 第 2 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 8 分分 設(shè) P1和 P2是雙曲線(xiàn)上的兩點(diǎn) 線(xiàn)段 P1P2的中點(diǎn)為 M 直線(xiàn) P1P2不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O 22 22 1 xy ab 1 若直線(xiàn) P1P2和直線(xiàn) OM 的斜率都存在且分別為 k1和 k2 求證 k1k2 2 2 a b 2 若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)分別為 點(diǎn) P1的坐標(biāo)為 2 1 直線(xiàn) OM 的斜率為 求由 1 3 0 F 2 3 0 F 3 2 四點(diǎn) P1 F1 P2 F2所圍成四邊形 P1 F1P2F2的面積 22 本題滿(mǎn)分 本題滿(mǎn)分 16 分 分 本題共有本題共有 2 個(gè)小題 第個(gè)小題 第 1 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 6 分 第分 第 2 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 10 分分 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)在軸正半軸上 點(diǎn)在軸上 其橫坐標(biāo)為 且是首項(xiàng)為 1 xOyAy n Px n x n x 公比為 2 的等比數(shù)列 記 1nnn P AP nN 1 若 求點(diǎn)的坐標(biāo) 3 1 arctan 3 A 2 若點(diǎn)的坐標(biāo)為 求的最大值及相應(yīng)的值 A 0 8 2 n n 23 本小題滿(mǎn)分本小題滿(mǎn)分 18 分分 本題共有本題共有 3 個(gè)小題 第個(gè)小題 第 1 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 4 分 第分 第 2 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 6 分 第分 第 3 小題滿(mǎn)分小題滿(mǎn)分 8 分分 已知定義在實(shí)數(shù)集 R R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿(mǎn)足 xf xg 1 2xf xg x 1 求與的解析式 f x g x 2 若定義在實(shí)數(shù)集 R R 上的以 2 為最小正周期的周期函數(shù) 當(dāng)時(shí) 試求 x 11x xf x 在閉區(qū)間上的表達(dá)式 并證明在閉區(qū)間上單調(diào)遞減 x 2015 2016 x 2015 2016 3 設(shè) 其中 m 為常數(shù) 若對(duì)于 1 2 x 恒成立 求 m 22 21h xxmxmm 2 1h g xmm 的取值范圍 靜安區(qū)靜安區(qū) 20152015 學(xué)年高三年級(jí)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)學(xué)年高三年級(jí)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè) 理科數(shù)學(xué)試卷理科數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2016 01 說(shuō)明說(shuō)明 P2 0 x y A P1P3 P4 1 本解答列出試題一種或幾種解法 如果考生的解法與所列解法不同 可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)本解答列出試題一種或幾種解法 如果考生的解法與所列解法不同 可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng) 分分 2 評(píng)閱試卷 應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底 不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱評(píng)閱試卷 應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底 不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱 當(dāng)考生的解答在當(dāng)考生的解答在 某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤 影響了后續(xù)部分 但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí) 可視影響程度決定后面某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤 影響了后續(xù)部分 但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí) 可視影響程度決定后面 部分的給分 但是原則上不應(yīng)超出后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半 如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤 就不給分部分的給分 但是原則上不應(yīng)超出后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半 如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤 就不給分 3 第第 19 題至第題至第 23 題中右端所注的分?jǐn)?shù) 表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題分?jǐn)?shù)題中右端所注的分?jǐn)?shù) 表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題分?jǐn)?shù) 4 給分或扣分均以給分或扣分均以 1 分為單位分為單位 一一 填空題 本大題滿(mǎn)分 填空題 本大題滿(mǎn)分 56 分 本大題共有分 本大題共有 14 題 考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果 每個(gè)空題 考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果 每個(gè)空 格填對(duì)得格填對(duì)得 4 分 否則一律得零分 分 否則一律得零分 1 1 2 2025 3 a 4 2 4 12288 5 6 3x 7220 xy 7 8 9 13968 17z 280 10 11 12 22 5561810 xyxy 3 1 2 8 17 13 14 14143 5 662 mnmn mnnm 6810lxy 二 選擇題 本大題滿(mǎn)分二 選擇題 本大題滿(mǎn)分 2020 分 本大題共有分 本大題共有 4 4 題 每題有且只有一個(gè)正確答案 考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上 題 每題有且只有一個(gè)正確答案 考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上 填上正確的答案 選對(duì)得填上正確的答案 選對(duì)得 5 5 分 否則一律得零分分 否則一律得零分 15 D 16 B 17 A 18 C 三 解答題 本大題滿(mǎn)分三 解答題 本大題滿(mǎn)分 7474 分 本大題共分 本大題共 5 5 題 解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的題 解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的 步驟步驟 19 如圖 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體中 E 為 AB 的中點(diǎn) 1111 DCBAABCD 1 求異面直線(xiàn) BD1與 CE 所成角的余弦值 2 求點(diǎn) A 到平面的距離 1 AEC 解 1 延長(zhǎng) DC 至 G 使 CG DC 連結(jié) BG GD1 四邊形 EBGC 是平行四邊形 BG EC 在 2 1 CGEB 11 D BGBDCE 就是異面直線(xiàn)與所成的角 中3 11 BDBGD 即異面直線(xiàn) 與 CE 所成角的余弦值是 2 過(guò) 作 交 CE 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 H 連結(jié) AH 底面 ABCD 如圖所示 由于 AHE B 90 AEH CEB 則 AHE CBE 設(shè)點(diǎn) A 到平面的距離為 則由三棱錐體積公式可得 即 1 AECd 1 1 11 33 ACEACE AA Sd S 所以 11 11116 111 32 23245 d 6 6 d 即點(diǎn) A 到平面的距離為 1 AEC 6 6 20 李克強(qiáng)總理在很多重大場(chǎng)合都提出 大眾創(chuàng)業(yè) 萬(wàn)眾創(chuàng)新 某創(chuàng)客 白手起家 2015 年一月初向銀行貸款十 萬(wàn)元做創(chuàng)業(yè)資金 每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的 20 每月月底需要交納房租和所得稅共為該月全部金額 包括本金和利潤(rùn) 的 10 每月的生活費(fèi)等開(kāi)支為 3000 元 余款全部投入創(chuàng)業(yè)再經(jīng)營(yíng) 如此每月循環(huán)繼續(xù) 1 問(wèn)到 2015 年年底 按照 12 個(gè)月計(jì)算 該創(chuàng)客有余款多少元 結(jié)果保留至整數(shù)元 2 如果銀行貸款的年利率為 5 問(wèn)該創(chuàng)客一年 12 個(gè)月 能否還清銀行貸款 解法 1 1 設(shè)個(gè)月的余款為 則n n a 1 100000 1 2 0 93000105000a 22 2 100000 1 20 93000 1 2 0 93000110400a 12121111 12 100000 1 20 93000 1 20 93000a 元 12 1212 1 1 2 0 9 100000 1 20 93000194890 1 1 2 0 9 法 2 1 100000 1 2 0 93000105000a 一般的 1 1 2 0 93000 nn aa 15 15 2 15 2 4 13 4 5 3 2 cos 2 13 2 3 1 2 5 1 2 1 22 1 1 22 1 BGBD GDBGBD BGD GDBG 1 BD 15 15 1 A CEHA 1 111 1 1 511 2 2255 2 16 1 55 AHAECB AE CEAEAH CBCECE Rt A AHA AAHAH 在中 構(gòu)造 9 02 1 1 caca nn 37500c 1 37500 10500037500 1 2 0 9 n n a 1 3750067500 1 08n n a 12 194890a 2 1 05 89890 元 能還清銀行貸款 21 設(shè) P1和 P2是雙曲線(xiàn)上的兩點(diǎn) 線(xiàn)段 P1P2的中點(diǎn)為 M 直線(xiàn) P1P2不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O 22 22 1 xy ab 1 若直線(xiàn) P1P2和直線(xiàn) OM 的斜率都存在且分別為 k1和 k2 求證 k1k2 2 2 a b 2 若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)分別為 點(diǎn) P1的坐標(biāo)為 2 1 直線(xiàn) OM 的斜率為 求由 1 3 0 F 2 3 0 F 3 2 四點(diǎn) P1 F1 P2 F2所圍成四邊形 P1 F1P2F2的面積 1 解法 1 設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn) O 的直線(xiàn)P1P2方程為 代入雙曲線(xiàn)方程得 1 yk xl 22 22 1 xy ab 22222222 2 11 20ba kxa k lxa ba l 設(shè) P1坐標(biāo)為 P2坐標(biāo)為 中點(diǎn)坐標(biāo)為 M x y 則 11 x y 22 xy 1212 22 xxyy xy 2 1 12 222 1 2a k l xx ba k 所以 k1k2 222 121 21 2 121 yyba k kk xxa k 222222 1211 a k ka kba k 2 2 b a 另解 設(shè) P1 x1 y1 P2 x2 y2 中點(diǎn) M x y 則 且 1212 22 xxyy xy 22 11 22 22 22 22 1 1 1 2 xy ab xy ab 1 2 得 12121212 22 0 xxxxyyyy ab 因?yàn)?直線(xiàn)P1P2和直線(xiàn) OM 的斜率都存在 所以 x1 x2 x1 x2 0 等式兩邊同除以 x1 x2 x1 x2 得 1212 22 1212 11 0 yyyy axxxxb 即k1k2 6 分 2 2 b a 2 由已知得 求得雙曲線(xiàn)方程為 2 22 22 21 1 3 ab ab 2 2 1 2 x y 直線(xiàn) P1 P2斜率為 2 2 b a 31 23 直線(xiàn) P1 P2方程為 1 1 2 3 yx 代入雙曲線(xiàn)方程可解得 中點(diǎn) M 坐標(biāo)為 2 101 77 P 2 3 7 7 面積 1212 188 3 3 277 FFyy 另解 線(xiàn)段 P1 P2中點(diǎn) M 在直線(xiàn)上 所以由中點(diǎn) M x y 可得點(diǎn) P2的坐標(biāo)為 代入雙 3 2 yx 2 2 2 31 Pxx 曲線(xiàn)方程可得 即 解得 所以 面積 2 2 22 31 1 2 x x 2 720 xx 2 7 x 3 7 y 2 101 77 P 1212 188 3 3 277 FFyy 22 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)在軸正半軸上 點(diǎn)在軸上 其橫坐標(biāo)為 且是首項(xiàng)為 1 公xOyAy n Px n x n x 比為 2 的等比數(shù)列 記 1nnn P AP nN 1 若 求點(diǎn)的坐標(biāo) 3 1 arctan 3 A 2 若點(diǎn)的坐標(biāo)為 求的最大值及相應(yīng)的值 A 0 8 2 n n 解 1 設(shè) 根據(jù)題意 0 At 1 2n n x 由 知 3 1 arctan 3 3 1 tan 3 而 34 43 343 22 34 43 4 tantan 32 1 xx t xxt tt OAPOAP xx txxt tt 所以 解得或 故點(diǎn)的坐標(biāo)為或 2 41 323 t t 4t 8t A 0 4 0 8 2 由題意 點(diǎn)的坐標(biāo)為 n P 1 2 0 n 1 2 tan 8 2 n n OAP P2 0 x y A P1P3 P4 1 1 1121 22 21 8 28 2 tantan 22216 22 18 2 8 2 8 28 228 2 nn n nnnnnn n n OAPOAP 因?yàn)?所以 16 22 2 2 28 2 n n 12 tan 42 2 n 當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)等號(hào)成立 16 22 28 2 n n 4n 易知在上為增函數(shù) 0 tan 2 n yx 0 2 因此 當(dāng)時(shí) 最大 其最大值為 4n n 2 arctan 4 23 已知定義在實(shí)數(shù)集 R R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿(mǎn)足 xf xg 1 2xf xg x 1 求與的解析式 f x g x 2 若定義在實(shí)數(shù)集 R R 上的以 2 為最小正周期的周期函數(shù) 當(dāng)時(shí) 試求在 x 11x xf x x 閉區(qū)間上的表達(dá)式 并證明在閉區(qū)間上單調(diào)遞減 2015 2016 x 2015 2016 3 設(shè) 其中 m 為常數(shù) 若對(duì)于 1 2 x 恒成立 求 22 21h xxmxmm 2 1h g xmm m 的取值范圍 解解 1 假設(shè) 因?yàn)槭桥己瘮?shù) 是奇函數(shù) 1 2xf xg x xf