5-8-1_數(shù)字迷與算式迷綜合.題庫教師版.doc

題庫 教師版 4 數(shù)字迷從形式上可以分為橫式數(shù)字迷與豎式數(shù)字迷，從運算法則上可以分為加減乘除四種形式的數(shù)字迷。橫式與豎式亦可以互相轉(zhuǎn)換，本講中將主要介紹數(shù)字迷的一般解題技巧。主要涉及小數(shù)、分?jǐn)?shù)、循環(huán)小數(shù)的數(shù)字迷問題，因此，會需要利用數(shù)論的知識解決數(shù)字迷問題 一、數(shù)字迷加減法 二、數(shù)字 迷乘除法 數(shù)字乘法個位數(shù)字的規(guī)律 三、數(shù)陣圖 和與總和 方格），和關(guān)鍵點（方格） 般是交叉點）上設(shè)置未知數(shù)，計算這些關(guān)鍵點與相關(guān)點的數(shù)量關(guān)系， 得到關(guān)鍵點上所填數(shù)的范圍 數(shù)） 四、數(shù)字謎問題解題技巧 如首位、個位以及位數(shù)的差異； 步縮小范圍，并進行適當(dāng)?shù)墓浪悖?注意 用不同符號表示不同數(shù)字這一條件來排除若干可能性； 模塊一、 數(shù)字迷 【例 1】 下面算式 (1)是一個殘缺的乘法豎式，其中 2，那么乘積是 例題精講 知識點撥 教學(xué)目標(biāo) 5字迷 與算式迷綜合 題庫 教師版 4 【 解解 析析 】 如式 (2)，由題意 a 2，所以 b 6，從而 d 6由 22 c 60和 c 2知 c=3，所以 22是 225或 228， 75或 76因為 75 399 30 000，所以 76再由乘積不小于 30000 和所有的 2，推出唯一的解 76 396=30096 【 鞏鞏 固固 】 每個方框內(nèi)填入一個數(shù)字，要求所填數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，并使豎式成立 ？ 解解 析析 】 一位質(zhì)數(shù)只有 2、 3、 5、 7，且兩位數(shù)乘以三位數(shù)都需要進位，相乘個位為質(zhì)數(shù)的只有 3步遞推，答案 775 【 鞏鞏 固固 】 下面殘缺的算式中，只寫出了 3個數(shù)字 1，其余的數(shù)字都不是 1，那么這個算式的乘積是 ？ 【 解解 析析 】 為了說 明的方便，這個算式中的關(guān)鍵數(shù)字用英文字母表示很明顯 e= 0從 c 的個位數(shù)是 1， 7， 9三數(shù)之一，兩位數(shù) 是（ 100+f）的因數(shù) 101， 103， 107， 109 是質(zhì)數(shù)， f=0或 5 也明顯不行 102=17 6，則 17， C 只能取 3， 3 17c ，不是三位數(shù)； 104=13 8,則 13， ， c 7 13，仍不是三位數(shù)； 108=27 4，則 27， 3 27c ，還不是三位數(shù)只有 106=53 2， 53， c=7， 7 53c 是三位數(shù) 因此這個乘法算式是故這個算式的乘積是 3816。 【例 2】 在右邊的算式中，相同的 符號代表相同的數(shù)字，不 同的符號代表不同的數(shù)字，根據(jù)這個算式，可以推算出： = _. 【 解解 析析 】 比較豎式中百位與十位的加法，如果十位上沒有進位，那么百位上兩個“”相加等于一個“”，得到“” 0 ，這與“”在首位不能為 0 矛盾，所以十位上的“ ”肯定進位，那么百位上有“ 1 10 ”，從而“” 9 ，“” 8 。再由個位的加法，推知“ 8 ”從而“ 9 8 8 25 ” 【 鞏鞏 固固 】 在右邊的豎式中，相同字母代表相同數(shù)字 ，不同字母代表不同數(shù)字，則四位數(shù) _？ s t v av t s tt t v t t 【 解解 析析 】 兩個四位數(shù)相加得到一個五位數(shù)，顯然這個五位數(shù)的首位只能為 1，所以可以確定 1t ，那么百位不可能向千位進位，所以 11 ，十位向百位進了 1 位，所以 13v t t ，題庫 教師版 4 11 3 8s 又因為 a t t ，所以 0a ，四位數(shù) 1038。 【 鞏鞏 固固 】 下圖 是一個正確的加法算式，其中相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字已知 是 3 的倍數(shù)， 是 8 的倍數(shù)，那么 表的四位數(shù)是多少 B A O D【 解解 析析 】 首先可以確定 D 的值一定是 0 ， G 的值一定是 1 ，所以 G O O A，可見 偶數(shù)，只能是 122 、 144 、 166 、 188 ，由于 是 3 的倍數(shù)， 是 8 的倍數(shù)， 所以 是 3 的倍數(shù)，也不是 4 的倍數(shù)，可以排除 144 和 188，再檢驗 122 和 166 可知只有 166 符合，此時 830， 所以 值為 3810 。 【例 3】 下面算式中，相同漢字代表相同數(shù)字，不同漢字代表不同數(shù)字 愛 好 真 知數(shù) 學(xué) 更 好數(shù) 學(xué) 真 好 玩【 解解 析析 】 題中豎式為兩個四位數(shù)相加得到一個 五位數(shù)，這個五位數(shù)的首位只能為 1，所以“數(shù)” 1 。再看千位，由于百位至多進 1 位，而“愛” “數(shù)” 1 最大為 9 1 1 11 ，所以“學(xué)”不超過 1，而“數(shù)”為 1，所以“學(xué)”只能為 0豎式變?yōu)?1010愛 好 真 知更 好真 好 玩。 那么“真”至少為 2，所以百位不可能進位，故“愛” 10 1 9 。由于“好”和“真”不同，所以“真” “好” 1 ，十位向百位進 1 位。如果個位不向十位進位，則“真” “更” “好”10 ，得到“更” 9 ，不合題意，所以個位必定向十位進 1 位，則“真” “更” 1 “好” 10 ，得到“更” 8 ?，F(xiàn)在，“真” “好” 1 ，“知” “好” 10“玩”“真”、“好”、“知”、“玩”為 2， 3， 4， 5， 6， 7 中的數(shù)。由于“玩”至少為 2，而“知” “好”最大為 6 7 13 ，所以“玩”為 2 或 3。 若“玩”為 3，則“知”與“好”分別為 6 和 7，此時無論“好”為 6 還是 7，“真”都會與已有的數(shù)字重復(fù)，不合題意。若“玩”為 2，則“知”與“好”分別為 5 和 7，只能是“知” 7 ，“好” 5 ，“真” 6 。此時“數(shù)學(xué)真好玩”代表的數(shù)是 10652。 【 鞏鞏 固固 】 (2009 年清華附中入學(xué)測試題 )如圖，在加法算式中，八個字母“ 分別代表 0 到 9中的某個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，使得算式成立，那么四位數(shù)“ 的最大值是多少？ 2 0 0 91Q H F L D X【 解解 析析 】 原式為 2 0 0 9 1Q H F Z Q H L B Q H D X ，即 1 2 0 0 9 7 9 9 1Q H F Z Q H D X Q H L B D X L B 為了使 大，則前兩位 盡量大，由于 B 小于 100，所以 大可能為 80若80，則繼續(xù)化簡為 9F Z D X L B 現(xiàn)在要使 量大由于 8 和 0 已經(jīng)出現(xiàn)，題庫 教師版 4 此時 9B最大為 97 12 9 76 ，此時出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字，可見 于 76而 96 12 9 75 符合題意，所以此時 大為 75， 最大值為 8075 【 鞏鞏 固固 】 (2008 年 “迎春杯”高年級組復(fù)賽 )將數(shù)字 1 至 9 分別填入右邊豎式的方格內(nèi)使算式成 立 (每個數(shù)字恰好使用一次 )，那么加數(shù)中的四位數(shù)最 小是多少？ 12 0 0 8 【 解解 析析 】 9個方框中的數(shù)之和為 45三個加數(shù)的個位數(shù)字之和可能是 8， 18；十位數(shù)字之和可能是 9， 10，19， 20；百位數(shù)字之和可能是 8， 9， 10，其中只有 18 19 8 45 所以三個加數(shù)的個位數(shù)字之和為 18，十位數(shù)字之和為 19，百位數(shù)字之和為 8要使加數(shù)中的四位數(shù)最小，嘗試在它的百位填1，十位填 2，此 時另兩個加數(shù)的百位只能填 3， 4；則四位數(shù)的加數(shù)個位可填 5，另兩個加數(shù)的十位可填 8， 9，個位可填 6， 7，符合條件，所以加數(shù)中的四位數(shù)最小是 1125 【例 4】 如圖所示的算式中，不同的漢字表示不同的數(shù)字，相同的漢字表示相同的數(shù)字求使算式成立的漢字所表示的數(shù)字 . 2 0 0 8學(xué)數(shù) 學(xué)愛 數(shù) 學(xué)喜 愛 數(shù) 學(xué)【解析】 將豎式化為橫式就是： 1 0 0 0 2 0 0 3 0 4 喜 愛 數(shù) 學(xué) =2008，從“ 喜 ”到“ 學(xué) ”依次考 慮，并注意到“喜”、“愛”、“數(shù)”都不能等于 0，可以得到： 1喜 ， 4愛 ， 6數(shù) ， 7學(xué) 。 【 鞏鞏 固固 】 下面的算式中，同一個漢字代表同一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字團團 圓圓 大熊貓 . 則“大熊貓”代表的三位數(shù)是 【解析】 由于團團 團 11 ，圓圓 圓 11 ，所以大熊貓 團團 圓圓 團 圓 121 ，也就是說“大熊貓”這個三位數(shù)是 121 的倍數(shù)，那么“團 圓”應(yīng)小于 9（否則團 圓 121 為四位數(shù)），所以“團 圓”最大為 8 圓”為一位數(shù)，如果該數(shù)為質(zhì)數(shù)，即 2 、 3 、 5 、 7 ，則“團 圓”中必有一個數(shù)為 1 ，則會使“貓”和“團”或“圓”中的一個數(shù)字相同，與題意不符，所以“團 圓”為合數(shù)，即 4 、 6 、 8 ，如果團 圓 4 ，則只有 22 ，與題意不符，所以“團 圓”只能為 6 或 8 ，如果團 圓 6 ，則“團”和“圓”一個為 2 ，一個為 3 ，而 22 33 726 ，與題意不符，則團 圓8 ，因 此“團”和“圓”一個為 2 ，一個為 4 ， 22 44 968 ，符合題意，因此“大熊貓”為 968 。 . 【例 5】 將 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 這七個數(shù)字填在圓圈和方格內(nèi)，每個數(shù)字恰好出現(xiàn)一次，組成只有一位數(shù)和兩位數(shù)的整數(shù)算式問填在方格內(nèi)的數(shù)是多少 ？ d d d d 【解析】 題目要求用七個數(shù)字組成 5 個數(shù)，說明有 3 個數(shù)是一位數(shù)，有 2 個數(shù)是兩位數(shù)很明顯，方框里的數(shù)和被除數(shù)是兩位數(shù)，其余的被乘數(shù)、乘數(shù)和除數(shù)是 1 位數(shù)看得出來， 0 不能做被乘數(shù)和乘數(shù) ，更不能做除數(shù)，因而 0 是兩位數(shù)的個位數(shù)字，但不能是商的個位數(shù)字，即不能是方框里的兩位數(shù)的個位數(shù)字，否則會使除數(shù)的個位也為 0，從而只能是被除數(shù)的個位數(shù)字；乘數(shù)如果是 1 ，不論被乘數(shù)是幾，都將在算式出現(xiàn)兩次，與題意不符，所以，乘數(shù)不是 1 同樣乘數(shù)也不能是 5 乘數(shù)如果有 2，則被乘數(shù)只能是 6，才能保證方格里的數(shù)是不含偶的兩位數(shù)，但此時 2 出現(xiàn)重復(fù)，所以乘數(shù)里面也沒有 2被除數(shù)是 3 個一位數(shù)的乘積，其中一個是 5 ，另兩個中沒有 1 ，也不能有2 ，因而被除數(shù)至少是 3 4 5 60 由于沒有比 6 大的數(shù)字，所以被除數(shù)就是 60 ，題庫 教師版 4 3 4 1 2 6 0 5 于是方格中的數(shù)是 12 【 鞏鞏 固固 】 在算式： 2 的六個方框中，分別填入 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 這六個數(shù)字，使算式成立，并且算式的積能被 13整除，那么這個乘積是 ？ 【解析】 先從個位數(shù)考慮，有 2 2 4 、 2 3 6 、 2 6 12 、 2 7 14 四種可能；再考慮 乘數(shù)的百位只能是 2 或 3 ，因此只有三種可能的填法： 2 273 546， 2 327 654， 2 267 534，其中只有 546能被 13整除，所以這個積是 546 。 【例 6】 如圖所示的乘法豎式中，“學(xué)而思杯”分別代表 0 9 中的一個數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，那么“學(xué)而思杯”代表的數(shù)字分別為 _（ 學(xué) 而 思 杯學(xué) 而 思 杯【解析】 首先從式子中可以看出“思” 0 ，另外第三個部分積的首位只能為 9，所以“學(xué)”只能為 3由于 3 個部分積都是四位數(shù)，而且第三個部分積的首位為 9，所以它比其它兩個部分積要大，從而“學(xué)”比“而”和“杯”都大，所以“而”和“杯”只能分別為 1 和 2，這樣“學(xué)而思杯”就可能為 3102 或 3201 分別進行檢驗，發(fā)現(xiàn) 3 1 0 2 3 1 0 2 9 6 2 2 4 0 4 ，與算式不相符，而3 2 0 1 3 2 0 1 1 0 2 4 6 4 0 1 符合，所以“學(xué)而思杯”代表的數(shù)字分別為 3、 2、 0、 1 【 鞏鞏 固固 】 在右邊的乘法算式中，字母 A 、 B 和 C 分別代表一個不同的數(shù)字，每個空格代表一個非零數(shù)字求A 、 B 和 C 分別代表什么數(shù)字 ？ 941A B C【解析】 第一個部分積中的 9 是 的個位數(shù)字，所以 C 要么是 3 ，要么是 7 如果 3C ，第二個部分積中的 4 是積 3B 的個位數(shù)字，所以 8B 同理，第三個部分積中的 1 是積 3B 的個位數(shù)字，因此 7A 檢驗可知 7A ， 8B ， 3C 滿足題意如果 7C ，類似地可知 2B ， 3A ，但這時第二個部分積 327 2 不是四位數(shù)，不合題意 所以 A 、 B 和 C 代表的數(shù)字分別是 7、 8、3. 【例 7】 在如圖所示的乘法算式中，漢字代表 1 至 9 這 9 個數(shù)字，不同漢字代表不同的數(shù)字若 “ 祝 ”字和 “ 賀 ” 字分別代表數(shù)字 “ 4” 和 “ 8” ，求出 “ 華杯賽 ” 所代表的整數(shù) 祝 賀 華 杯 賽 第 十 四 屆 【解析】 根據(jù)題意可知“?！?、“賀”、“華”、“杯”、“賽”、“第”、“十”、“四”、“屆”這 9 個漢字恰好代表1 9 這 9 個數(shù)字，那么它們的和為 45由于“?！?、“賀”分別代表 4 和 8， 那么“祝賀” 48 是3 的倍數(shù)，則“第十四屆”也是 3 的倍數(shù)，這樣它的各位數(shù)字之和之和也是 3 的倍數(shù)，可知“?！?、“賀”與“第”、“十”、“四”、“屆”這 6 個數(shù)的和也是 3 的倍數(shù)，那么“華”、“杯”、“賽”這 3個數(shù)和也是 3 的倍數(shù)，從而“華杯賽”這個三位數(shù)是 3 的倍數(shù)由于“第十四屆”等于 48 與“華杯賽”這兩個 3 的倍數(shù)的乘積，所以它是 9 的倍數(shù)從而“第”、“十”、“四”、“屆”這 4 個數(shù)的和是 9 的倍數(shù)由于“華”、“杯”、“賽”、“第”、“十”、“四”、“屆”的總和為 45 4 8 33 ，題庫 教師版 4 以“第”、“十”、“四”、“屆”這 4 個數(shù)的和可能為 27 或 18(它們的和顯然大于 9)，對應(yīng)的“華”、“杯”、“賽”這 3 個數(shù)和是 6 或 15如果“華”、“杯”、“賽”這 3 個數(shù)和是 6，則“華”、“杯”、“賽”分別為 1、 2、 3，如果“華”為 2，則“華杯賽”至少為 213，則 48 213 10224 ，不是四位數(shù)，所以“華”只能為 1，這樣“華杯賽”可能為 123 和 132，分別有 48 123 5904 ，48 132 6336 ，都不符合；如果“華”、“杯”、“賽”這 3 個數(shù)和是 15，根據(jù)上面的分析可知“華”只能為 1，這樣“杯”、“賽”之和為 14，可能為 95 或 86 ，由于“賀”為 8，所以“杯”、“賽”分別為 5 和 9，顯然“賽”不能為 5，則“華杯賽”為 159。 【 鞏鞏 固固 】 右邊算式中， A 表示同一個數(shù)字，在各個中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式完整那么兩個乘數(shù) 的差(大數(shù)減小數(shù) )是 ？ 11解析】 由 11被 11整除及只有 11 ， 37 ， 99 的個位是 1 ，所以 A 可能為 1， 3， 7 或 9，而且 111 與 1 個一位數(shù)和一個兩位數(shù)的乘積分別檢驗 1111、 1331、 1771、 1991，只有 1771滿足： 1771 11 7 23 ，可知原式是 77 23 1771 所以兩個乘數(shù)的差是 77 23 54 。 【例 8】 “ 迎杯春杯 =好好好 ” 在上面的乘法算式中 ,不同的漢字表示不同的數(shù)字 ,相同的漢字表示相同的數(shù)字。那么“迎 +春 +杯 +好”之和等于多少 ? 【解析】 好好好 =好 111=好 3 37， 100以內(nèi) 37 的倍數(shù)只有 37和 74，所以“迎杯”或“春杯”中必有1 個是 37 或 74，判斷出“杯”是 7 或 4。 若 杯 =7，則好 =9， 999/37=27，所以，迎 +春 +杯 +好=3+2+7+9=21 若 杯 =4，則好 =6， 666/74=9，不是兩位數(shù)，不符合題意 。迎 +春 +杯 +好 =3+2+7+9=21。 【例 9】 電子數(shù)字 09 如圖所示，右圖是由電子數(shù)字組成的乘法算式，但有一些模糊不清，請將右圖的電子數(shù)字恢復(fù)，并將它寫成橫式形式： 【解析】 可以看出乘積的百位可能是 2 或 8，由于被乘數(shù)的十位和乘數(shù)都不能是 9，最大可能為 8，所以它們的乘積不超過 89 8 712 ，故乘積的首位不能為 8，只能為 2 ；被乘數(shù)的十位和乘數(shù)要與圖中相符，只能是 0 、 2 、 6 或 8 ， 0 首先可以排除，所以可能為 2、 6 或 8；如果被乘數(shù)的十位是 6 或 8 ，那么乘數(shù)無論是 2 、 6 或 8 ，都不可能乘出百位是 2 的三位數(shù) 所以 被乘數(shù)的十位是2 ，相應(yīng)得出乘數(shù)是 8 ；被乘數(shù)應(yīng)大于 200 8 25 ，可能為 27、 28 或 29，檢驗得到符合條件的答案： 28 8 224 【 鞏鞏 固固 】 電子數(shù)字 0 9 如圖 1 所示，圖 2 是由電子數(shù)字組成的乘法算式，但有一些已經(jīng)模糊不清請將圖 2的電子數(shù)字恢復(fù)，并將它寫成橫式： ： 題庫 教師版 4 【解析】 設(shè)豎式如a b i gh j kl m n o，那么各個字母可以代表的數(shù)如 下 表 a 13456789 b 268 c 0268 d 268 e 2356789 f 68 i 01234789 g 08 h 268 j 45689 k 0489 l 23489 m 0235689 n 2345689 o 013456789 6 4 1 0 1 2h 或者 8h ； 若 8h ，那么 9l ，并且 一定是 18 、16 或 42 ，如果是 18 ，那么由于 2b ，所以 進位，導(dǎo)致 8h ，產(chǎn)生矛盾 ； 如果是 16 ，那么 2b 時 位小于 8， 6b 時 位大于 8，也產(chǎn)生矛盾； 所以只有可能 4a ， 2d ，并可以得到 2b ，考慮到 三位數(shù)，所以 2e ，再根據(jù) 0g 或 8 ，得到 0c ，所得到的數(shù)式為4 2 0228 4 08 4 09 2 4 0 若 2h ，則可 以 得到 3l ， 1a ， 2d ， 2b (因為 10 )； 由于6f 或 8 ， 所以 5e 或者 7e 當(dāng) 5e 時，豎式1 2 2256 1 02443 0 5 0成立；當(dāng) 7e 時，豎式1 2 0278 4 02 4 03 2 4 0成立 。 【例 10】 在方框中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得除法豎式成立已知商為奇數(shù)，那么除數(shù)為 ： 題庫 教師版 4 09002d 22 解解 析析 】 先看除式的第二、三行，一個三位數(shù)減去一個兩位數(shù)，得到一個一位數(shù)，可 得這個三位數(shù)的前兩位為 1、 0，這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為 9，個位不能為 0除數(shù)是一個三位數(shù)，它與商的百位和個位相乘，所得的兩個三位數(shù)的百位都是 9，那么可得商的百位和個位相同先將已得出的信息填入方框中，并用字母來表示一些方框中的數(shù)，如右圖所示由于商為奇數(shù)，所以 e 是奇數(shù)，可能為 1、 3、 7、 9(不可能為 5)若為 1，則 92d ，而 92a b c f d f 為三位數(shù)，于是 1f ，又這個乘積的十位數(shù)字為 0，而 d 不能為 0，矛盾所以 e 不為 1；若為 3，則 9 2 3d， d 可能為 1、 4、 7， 應(yīng)的為 304、 314、 324當(dāng) 314 和 324 時 f 所的結(jié)果的十位數(shù)字不可能為 0，不合題意；若 304，則 f 可能為 1 或 2，經(jīng)檢驗 f 為 1 和 2 時都與豎式不符，所以 e 也不能為 3；若為 7，則 9 2 7d，只有 5d 時滿足，此時 136，那么 3f 經(jīng)檢驗滿足題意；若為 9，則 9 2 9d， d 只能為 7，此時 108， f 則只能為 1經(jīng)檢驗也不合題意所以只有除數(shù)為 136 時豎式成立，所以所求的除數(shù)即為 136 模塊二、數(shù)陣圖數(shù)表 【例 11】 將 19 填 入 下圖的 中，使得任意兩個相鄰的數(shù)之和 都不是 3 ， 5 ， 7 的倍數(shù) 【 解解 析析 】 根據(jù)題意可知 1 的兩邊只能是 3 與 7 ； 2 的兩邊只能是 6 與 9 ； 3 的兩邊只能是 1、 5 或 8； 4 的兩邊只能是 7 與 9 可以先將 3 1 7下來 7 的后面只能是 4， 4 的后面只能是 9， 9的后面只能是 2， 2 的后面只能是 6，可得： 3 1 7 4 9 2 6剩下 5 和 8 兩個數(shù)由于 6 8 14 是 7 的倍數(shù)，所以接下來應(yīng)該是 5，這樣可得： 3 1 7 4 9 2 6 5 8 3檢驗可知這樣的填法符合題意 【例 12】 將正整數(shù)從 1 開始依次按如圖所示的規(guī)律排成一個“數(shù)陣”，其中 2 在第 1 個拐角處， 3 在第 2 個拐角處， 5 在第 3 個拐角處， 7 在第 4 個拐角處，那么在第 100 個拐角處的數(shù)是 題庫 教師版 4 2220211918171614 1513121110 9 8 765432 1【 解解 析析 】 我們可列表觀察拐角處的數(shù)有什么特征 第 0 個拐角： 1 第 1 個拐角： 2 1 1 第 2 個拐角： 3 2 1 1 1 1 第 3 個拐角： 5 3 2 1 1 1 2 第 4 個拐角： 7 5 2 1 1 1 2 2 第 5 個拐角： 1 0 7 3 1 1 1 2 2 3 第 6 個拐角： 1 3 1 0 3 1 1 1 2 2 3 3 第 7 個拐角： 1 7 1 3 4 1 1 1 2 2 3 3 4 第 8 個拐角： 2 1 1 7 4 1 1 1 2 2 3 3 4 4 由此可知，第 n 個拐角處的數(shù)等于 1 1 11 1 1 2 22 2 2 L（ n 為奇數(shù)時） 1 1 1 2 222 L（ n 為偶數(shù)時） 所以第 100個拐角處的數(shù)為 1 1 1 2 2 5 0 5 0 1 2 1 2 3 5 0 2 5 5 1 【例 13】 一列自然數(shù) ： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 2024 ， 第一個數(shù)是 0 ，從第二個數(shù)開始，每一個都比它前一個大 1 ，最后 一個是 2024 現(xiàn)在將這列自然數(shù)排成以下數(shù)表 規(guī)定橫排為行，豎排為列，則 2005在數(shù)表中位于第 _行 第 _列 。 【 解解 析析 】 觀 察 可 知 第 n 行的第 1 個數(shù)是 21n ，第 n 列的第 1 個數(shù)是 21n 由 于224 4 1 9 3 6 2 0 0 5 2 0 2 5 4 5 ，所以第 45 行的第 1 個數(shù)是 1936 ，第 45 列的第 1 個數(shù)是2025 1 2024 由于 2 0 2 4 2 0 0 5 1 2 0 ，所以 2005 在第 20 行第 45 列 【例 14】 下表一共有六行七列，第一行與第一列上的數(shù)都已填好，其他位置上的每個數(shù)都是它所在行的第一列上的數(shù)與所在列的第一行上的數(shù)的積，如 A 格應(yīng)填的數(shù)是 10 13 130 ，求表中除第一行和第一列外其它各個格上的數(shù)之和 ？ 【 解解 析析 】 第二行上除去第一列的數(shù)的和為 8 9 1 1 1 3 1 5 3 1 9 題庫 教師版 0 4 第三行上除去第一列的數(shù)的和為 1 2 9 1 1 1 3 1 5 3 1 9 ， 最后一行除去第一列后所有數(shù)的和為 1 6 9 1 1 1 3 1 5 3 1 9 將這些式子相加可得到所有要求的格子上的數(shù)的和為： 8 1 2 1 4 1 0 1 6 9 1 1 1 3 1 5 3 1 9 4 2 0 0 【 鞏鞏 固固 】 將最小的 10個合數(shù)填到圖中所示表格的 10個空格中，要求滿足以下條件： （ 1）入的數(shù)能被它所在列的第一個數(shù)整除 （ 2）最后一行中每個數(shù)都比它上面那一格中的數(shù)大。 那么，最后一行中 5 個數(shù)的和最小是 【 解解 析析 】 最小的 10個合數(shù)分別是 4 ， 6 ， 8 ， 9 ， 10， 12， 14， 15， 16， 18 這 10個合數(shù)當(dāng)中 10和 15一定是在 5 的下面，其中 15 在最后一行； 4 、 8 、 14、 16一定是在 2 和 4 下面，其中 14 一定在 2的下面；剩下的 6 、 9 、 12、 18在 3 或 6 下面，其中 9 一定在 3 的下面，對 2 和 4 所在的列和 3 和6 所在的列分別討論 4 、 8 、 14、 16，這四個數(shù)中最大的數(shù) 16一定在最后一行，最小的數(shù) 4 一定在第二行，所以 2 和 4 所在的列中最后一行的數(shù)的和最小是 16 8 24 ，當(dāng) 14、 16在 2 下面， 4和 8 在 4 下面時成立； 6 、 9 、 12、 18，這四個數(shù)中最大的數(shù) 18一定在最后一行，最小的數(shù) 6 一定在第二行，所以 3 和 6 所在的列中最后一行的數(shù)的和最小是 18 9 27 ，當(dāng) 12和 18在 6 下面， 6和 9 在 3 下面時成立所以最后一行的 5 個數(shù)的和最小是 24 15 27 66 。 【例 15】 如圖 ， 大、中、小三個正方形組成了 8個三角形，現(xiàn)在把 2、 4、 6、 8四個數(shù)分別填在大正方形的四個頂點；再把 2、 4、 6、 8分別填在中正方形的四個頂點上；最后把 2、 4、 6、 8分別填在小正方形 的 四個頂點上 能 不能使 8 個三角形頂點上數(shù)字之和都相 等 ？ 能不能使 8個三角形頂點上數(shù)字之和各不相同？如果能，請畫圖填 上滿足要求的數(shù)；如果不能，請說明理由 46824688 642【 解解 析析 】 不能如果這 8個三角形頂點上數(shù)字之和都相等，設(shè)它們都等于 S 考察外面的 4個三角形，每個三角形頂點上的數(shù)的和是 S ，在它們的和 4S 中，大正方形的 2、 4、6、 8 各出現(xiàn)一次，中正方形的 2、 4、 6、 8 各出現(xiàn)二 次，即 4 2 4 6 8 3 6 0S 得到60 4 15S ，但是三角形每個頂點上的數(shù)都是偶數(shù)，和不可能是奇數(shù) 15，因此這 8 個三角形頂點上的數(shù)字之和不可能都相等 由于三角形 3 個頂點上的數(shù)字之和最小為 2 2 2 6 ，最大為 8 8 8 24 ，可能為 6、 8、10、 22、 24，共有 10 個可能的值，而三角形只有 8 個，所以是有可能做到 8 個三角形的頂點上數(shù)字之和互不相同的 根 據(jù)對稱性，不妨舍去這 10 個可能值的首尾兩個，把剩下 8個值 (8、 10、 12、 14、 16、 18、 20、22)作為 8 個三角形的頂點上數(shù)字之和進行嘗試，可以得到滿足條件的填法，右上圖就是一種填法 題庫 教師版 1 4 模塊三、 數(shù)字迷競賽選題 【例 16】 請將 1 12這 12 個自然數(shù)分別填入到右圖的方框中，每個數(shù)只出現(xiàn) 1次，使得每個等式都成立 ( ) 2008| | | | | |1 2 6 【 解解 析析 】 我們先從第三列入手，設(shè)這四個數(shù)從上到下依次為 a ， b ， c ， d ， 6a b c d ，故 6 ，而 12a ，若 2b ，則 不可能大于 6 ，所以 b 只能為 1 ； 6a b c d a c d ，由于 ，故 2 ，所以 62a ，即 8a ； 分析第三行，設(shè)第三行的前兩個數(shù)分別為 x ，y ，則 0x y c 2x ，而 2y （ 1 已經(jīng)被 b 占用），故 6c ，而 2d ，則 3 ，所以 6 3 9a ，結(jié)合可知 a 只能為 8 或 9 ; 若 9a ，則 9 6 3 ，有 6c ， 2d ，而此時 3y （ 1 ， 2 已經(jīng)分別被 b ， d 占用），則 3 6 1 8x y c ，和題目條件矛盾； 若 8a ，則 8 6 2 ，有 6c ， 3d 或 4c ， 2d c ， 3d ，則 y 只能為 2 ，6 2 1 2x y c ，則第四行中的被除數(shù)只能為 9 （ 3 的倍數(shù)只剩下 9 ），第四行算式為5 9 3 8 ，此時還余下 4 ， 7 ， 10， 11這四個數(shù)，而第一行中的兩個加數(shù)的和為 2 16a ，不在這四個數(shù)當(dāng)中，所以這種情況不成立，因此 4c ， 2d ，可得 y 只能為 3 ， x 為 12，此時第四行中的被除數(shù)為偶數(shù)，只有 6 和 10，經(jīng)試驗只能為 6 ，則第四行算式為 5 6 2 8 （如被除數(shù)為 10則第四行算式為 3 10 2 8 ，而 3 已被占用） 剩下的 4 個數(shù)為 7 ， 9 ， 10， 11中只有 7 和9 能滿足第一行 7 9 8 2 最終的結(jié)果如下圖所示 . ( 7 9 ) 8 21 1 1 0 1 01 2 3 4 05 6 2 8| | | | | |1 2 6 【例 17】 將 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 這八個數(shù)字分別填入右圖的八個中，使得圖中的六個等式都成立則 V _ + +=+ +=+1287546213 + =+ + +【 解解 析析 】 如圖，用字母表示中 的數(shù)字，那么第三行的兩個中的數(shù)分別為 和 ，第三列的兩個中的數(shù)分別為 和 ，那么 V 中的數(shù)為 a b c d 由于八個題庫 教師版 2 4 3( )a b c d ， 而 這 八 個 數(shù) 分 別 為 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 所 以( 1 2 3 8 ) 3 1 2a b c d L，故 V 中的數(shù)為 12可見，不用知道每個中的數(shù)具體是多少就可以求出 V 中的數(shù)，但是我們還是應(yīng)該求出八個中的數(shù)具體是多少因為 12 只能等于48 或者 57 ，所以第三行的兩個加數(shù)和第 3 列的兩個加數(shù)應(yīng)分別為 48， 或 57， ，而 4 又只能等于 13 ，相應(yīng)地， 8 只能分解為 26 ，即第一行和第二行的兩個加數(shù)應(yīng)分別為 1， 或 2， ，具體排列如右上圖所示（填法不唯一） 。 【 鞏鞏 固固 】 下圖中有五個正方形和 12個圓圈，將 112 填入圓圈中，使得每個正方形四角上圓圈中的數(shù)字之和都相等那么這個和是多少 ? 8 61 10 2 912 3 11 45 7【 解解 析析 】 設(shè)每個正方形四角上圓圈中的數(shù)字之和為 x ，則由 5 個正方形四角的數(shù)字之和，相當(dāng)于將 1 12相加，再將中間四個圓圈中的數(shù)加兩遍，可得 ： 1 2 1 2 2 5 L ，解得 26x ，即這個和為 26具體填法如右上圖 。 【例 18】 請將 1， 2， 3， ， 10 這 10 個自然數(shù)填入圖中的 10 個小圓圈內(nèi)，使得圖中的 10 條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等 那么乘積 A B C ？ 解解 析析 】 對于本題，可以通過“ 10 條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等” (實際上是 11 條 )這一等量關(guān)系，將每一個小圓圈中的數(shù)表示出來由于每一條直線上的數(shù)之和都為 A B C ，可得圖中每一個小圓圈中的數(shù)如下圖 。 2 A + 2 2 出發(fā)的只有兩個數(shù)字的那條線段，它們的數(shù)字和都是 A B C ， 可以 得到 ， 3 3 2A B C B C A C ， 可得 2A B C ， 代入 得2 3 3 3B C B C ，即 6， 只 能 是 1C ， 6B ， 28A B