2012年高考數(shù)學(xué) 沖刺60天解題策略 專題八 運用數(shù)學(xué)思想方法解題的策略 第三節(jié)運用分類討論思想解題的策略

用心 愛心 專心1 運用數(shù)學(xué)思想方法解題的策略運用數(shù)學(xué)思想方法解題的策略 分類討論是解決問題的一種邏輯方法 也是一種數(shù)學(xué)思想 這種思想對于簡化研究對 象 發(fā)展人的思維有著重要幫助 因此 有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要 位置 在選擇題 填空題 解答題中都會涉及到分類討論的思想方法 其難度在 0 4 0 6 之間 考試要求 考試說明 強調(diào) 對于數(shù)學(xué)思想和方法的考查要與數(shù)學(xué)知識的考查結(jié)合 進行 通過數(shù)學(xué)知識的考查 反映考生對數(shù)學(xué)思想和方法理解和掌握的程度 考查時 要 從學(xué)科整體意識和思想含義上立意 注意通性通法 淡化特殊技巧 有效地檢測考生對中 學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度 題型一題型一 由概念引起的分類討論由概念引起的分類討論 例例 1 1 平面直角坐標(biāo)系中 直線 與拋物線相交于 兩點 xoyl 2 2yx AB 求證 如果直線 過點 那么 是真命題 l 3 0 T3OA OB 點撥 點撥 1 聯(lián)立直線和拋物線 根據(jù)向量數(shù)量積定義 利用根與系數(shù)的關(guān)系 可求得 2 設(shè)直線方程時須考慮直線斜率是否存在 3OA OB 證明 證明 設(shè)過點的直線 交拋物線于點 3 0 Tl 2 2yx 1122 A x yB xy 1 當(dāng)直線的鈄率不存在時 直線 的方程為 此時 直線 與拋物線相交于ll3x l 3 6 3 6 AB 3OA OB 2 當(dāng)直線 的斜率存在時 設(shè)過點的直線 的方程為 l 3 0 Tl 3 yk x 由得 2 2 3 yx yk x 2 12 2606kyyky y 又 22 1122 11 22 xyxy 2 12121212 1 3 4 OA OBx xy yy yy y 綜上所述 命題 如果直線 過點 那么 是真命題 l 3 0 T3OA OB 易錯點 易錯點 1 在本例中 非常容易遺漏當(dāng)直線 的斜率不存在時對命題的論證 習(xí)慣性l 地設(shè)直線 的方程為 直接求得 從而證明命題是真命題 顯然這l 3 yk x 3OA OB 種證法是不嚴(yán)密的 2 此題是由概念引起的分類討論 相關(guān)的題目很多 如集合是否為 空集的討論 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)底數(shù)的討論 公比 斜率的討論等 qk 變式與引申變式與引申 1 1 已知集合 若 2 9180 12Ax xxBx axa 時 則實數(shù)的取值范圍是 BA a 題型二題型二 由參數(shù)引起的分類討論由參數(shù)引起的分類討論 用心 愛心 專心2 例例 2 2 2011 全國課標(biāo)卷理科第 21 題 已知函數(shù) 曲線在點 ln 1 axb f x xx yf x 處的切線方程為 1 1 f230 xy 求 的值 ab 如果當(dāng) 且時 求的取值范圍 0 x 1x ln 1 xk f x xx k 點撥 點撥 1 此題是與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的一類問題 思路為 求導(dǎo)函數(shù) 再利用 f x 和求出的值 2 由于該題存在參數(shù) 因此應(yīng)對參數(shù)進行分 1 1f 1 1 2 f a bkk 類討論 解解 22 1 ln 1 x x b x fx xx 由于直線的斜率為 且過點 故即230 xy 1 2 1 1 1 1 1 1 2 f f 解得 1 1 22 b a b 1a 1b 由 知 所以 ln1 1 x f x xx 2 2 ln1 1 1 2ln 11 xkkx f xx xxxx 考慮函數(shù) 則 2lnh xx 2 1 1 kx x 0 x 2 2 1 1 2 kxx h x x i 設(shè) 由知 當(dāng)時 而 故0k 22 2 1 1 k xx h x x 1x 0h x 1 0h 當(dāng)時 可得 0 1 x 0h x 2 1 0 1 h x x 當(dāng)x 1 時 h x 0 2 1 1 x 從而當(dāng)x 0 且x1 時 f x 0 即f x 1 ln x x x k 1 ln x x x k 用心 愛心 專心3 ii 設(shè) 由于當(dāng)x 1 時 k 1 x2 1 2x 0 故 而01k k 1 1 0h x h 1 0 故當(dāng)x 1 時 可得 與題設(shè)矛盾 k 1 1 0h x 2 1 1 x 0h x iii 設(shè) 此時 而h 1 0 故當(dāng)x 1 時 可得1k 0h x 0h x 與題設(shè)矛盾 2 1 1 x 0h x 綜合得 k的取值范圍為 0 變式與引申變式與引申 2 2 1 解關(guān)于的不等式 x 2 10axxa 2 設(shè)為實常數(shù) 問方程表示的曲線是何種曲k 4 8 4 8 22 kkykxk 線 題型三題型三 由自變量引起的分類討論由自變量引起的分類討論 例例 3 3 若不等式在內(nèi)恒成立 求實數(shù)的取值范圍 2 1 1a xx 2 1 x a 點撥 點撥 該題是恒成立問題 其實就是求最值問題 由于 的符號不確定 2 1 x 1x 因此在參變量分離時應(yīng)對范圍進行分類討論 x 解 解 令 則 2 1 1 x f x x 2 1 2 1 22 1 2 11 xx f xx xx 1 當(dāng)時 則 而此時 11x 012x af x 2 22f x 2 22a 2 當(dāng)時 則 而此時 21x 110 x af x 5f x 5a 3 當(dāng)時 原不等式化為恒成立 1x 02 綜上所述 的取值范圍是 a 5 2 22 易錯點 易錯點 1 該題在參變量分離時經(jīng)常會不考慮自變量的取值范圍 直接化為x 求得 2 在分類討論后 往往沒有把最后結(jié)果取交集 審題時 2 1 1 x a x 2 22a 一定要分清討論的目標(biāo)是自變量還是參數(shù) 當(dāng)討論自變量時結(jié)果取交集 當(dāng)討論參數(shù)時注 意分情況寫出 用心 愛心 專心4 變式與引申變式與引申 3 3 1 設(shè) 則不等式的解集為 f x 1 2 3 2 2 log 1 2 x ex xx 2f x A B C D 1 2 3 10 1 2 10 1 2 2 已知是不為零的實數(shù) 則 x nN 23 23 n xxxn x 題型四題型四 由運算引起的分類討論由運算引起的分類討論 例例 4 4 已知函數(shù) 32 3 36 124f xxaxa xaaR 證明 曲線 0yf xx 在處的切線過點 2 2 若求a的取值范圍 00 f xxxx 在處取得最小值 1 3 點撥點撥 第 I 問直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義 求出切線的斜率 然后易寫出直接方程 II 第 II 問是含參問題 關(guān)鍵是抓住方程的判別式進行分類討論 0fx 解 I 2 3636fxxaxa 由得曲線在 x 0 處的切線方程為 0 124 0 36fafa yf x 36 124ya xa 由此知曲線在 x 0處的切線過點 2 2 yf x II 由得 0fx 2 21 20 xaxa i 當(dāng)時 沒有極小值 2121a f x ii 當(dāng)或時 由得21a 21a 0fx 22 12 21 21xaaaxaaa 故 由題設(shè)知 02 xx 2 1213aaa 當(dāng)時 不等式無解 21a 2 1213aaa 當(dāng)時 解不等式得21a 2 1213aaa 5 21 2 a 綜合 i ii 得的取值范圍是 a 5 21 2 用心 愛心 專心5 易錯點 易錯點 1 首先該題不知道對方程的判別式進行分類討論 2 其次 0fx 解不等式運算出錯 變式與引申變式與引申 4 4 1 若 求數(shù)列的前項和 34 1 1 na n n n an n S 2 已知等差數(shù)列的前n項和 2 12nnSn 求數(shù)列的前項和 n a n an n T 本節(jié)主要考查 本節(jié)主要考查 1 本節(jié)考查的是分類討論的數(shù)學(xué)思想方法 高中數(shù)學(xué)的每一個知 識點都可能成為分類討論考查的對象 因此牢固掌握各章的基本知識點和基本原理是分類 討論的基礎(chǔ) 2 分類討論的原則有 同一性原則 互斥性原則 層次性原則 同一性原 則簡言之即 不遺漏 互斥性原則強調(diào)的是 避免重復(fù) 層次性原則是指分類討論必須 按同一標(biāo)準(zhǔn)的層次進行 不同標(biāo)準(zhǔn)的不同層次的討論不能混淆 3 分類討論的思想方法是 把要解決的數(shù)學(xué)問題 分解成可能的各個部分 從而使復(fù)雜問題簡單化 使 大 問題轉(zhuǎn)化為 小 問題 便于求解 它的思維策略是 化整為零 各個擊破 點評點評 1 分類討論思想是數(shù)學(xué)思想方法中最基本 最常見的一種思想方法 在近 幾年的高考試題中都把分類討論思想方法列為重要的思想方法來考查 體現(xiàn)出其重要的位 置 分類討論的思想方法不僅具有明顯的邏輯性 題型覆蓋知識點較多 綜合性強等特點 而且還有利于對學(xué)生知識面的考查 需要學(xué)生有一定的分析能力 一定分類技巧 對學(xué)生 能力的考查有著重要的作用 2 引入分類討論的主要原因 由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論 如絕對值的定義 直線的斜率等 由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類討論 如除法運算中除數(shù)不為零 對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求 等 由函數(shù)的性質(zhì) 定理 公式的限制引起的分類討論 由圖形的不確定引起的分類討論 由參數(shù)的變化引起的分類討論 按實際問題的情 況而分類討論 3 分類討論的思想方法的步驟 1 確定標(biāo)準(zhǔn) 2 合理分類 3 逐類討論 4 歸納總 結(jié) 4 解題時把好 四關(guān) 要深刻理解基本知識與基本原理 把好 基礎(chǔ)關(guān) 要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn) 把好 分類關(guān) 要保證條理分明 層次清晰 把好 邏輯關(guān) 要注意對照題中的限制條件或隱含信息 合理取舍 把好 檢驗關(guān) 習(xí)題習(xí)題 8 38 3 1 已知函數(shù) 下列結(jié)論正確的是 3 0 f xaxaxa A 當(dāng)時 有最小值 0 B 當(dāng)時 有最大值 0 2xa 3xa C 無最大值和最小值 D 有最小值無最大值 用心 愛心 專心6 2 數(shù)列 n a的通項 222 cossin 33 n nn an 其前n項和為 n S 則 30 S 3 已知集合 若 求的取值 2 40 Ax xaxxR aR 1 2 4 B AB a 范圍 4 已知直角坐標(biāo)平面上點Q 2 0 和圓C 動點M到圓C的切線長1 22 yx 與 MQ 的比等于常數(shù) 求動點M的軌跡方程 并說明它表示什么曲線 0 5 2011 湖南文科 設(shè)函數(shù) 1 ln f xxax aR x I 討論 f x的單調(diào)性 II 若 f x有兩個極值點 12 xx和 記過點 1122 A xf xB xf x的直線的斜率為 k 問 是否存在a 使得2 ka 若存在 求出a的值 若不存在 請說明理由 答案答案 變式與引申變式與引申 1 1 222 11 n nn n n n S aTa P 2 n n n n S T P 2 當(dāng)時 1q 1 1 1 2 1 1 1 1 1 n nnn n nnn n aqqq STa qP qa qq 2 1 22 1 11 n n nn nnn n n n S aqTaq P 2 n n n n S T P 綜上 在等比數(shù)列中 成立 n a 2 n n n n S T P 變式與引申變式與引申 2 2 解 1 1 1 0 xaxa 當(dāng)時 0a 1 1 a x a 用心 愛心 專心7 當(dāng)時 1 0 2 a 1 1 a x a 當(dāng)時 1 2 a 1 1 a x a 當(dāng)時 0a 1 x 當(dāng)時 1 2 a 1 1 x 2 當(dāng)時 方程變?yōu)?即 表示直線 k4 2 40 x 0 x 當(dāng)時 方程變?yōu)?即 表示直線 k8 2 40y 0y 當(dāng)且時 方程變?yōu)?又有以下五種情形討論 4k 8k 1 84 22 k y k x 當(dāng)時 方程表示中心在原點 焦點在軸上的雙曲線 4 ky 當(dāng)時 方程表示中心在原點 焦點在軸上的橢圓 64 ky 當(dāng)時 方程表示圓心在圓點的圓 6 k 當(dāng)時 方程表示中心在原點 焦點在軸上的橢圓 86 kx 當(dāng)時 方程表示中心在原點 焦點在軸上的雙曲線 8 kx 變式與引申變式與引申 3 3 解 1 當(dāng)時 解得 2x 1 22 x e 12x 當(dāng)時 解得 2x 2 3 log 1 2x 10 x 綜上所述 可得不等式的解集為 故選 C 2f x 1 2 10 2 23 23 n xxxn x 1 2 1 1 1 1 1 1 2 nn xxnx x xx n n x 變式與引申變式與引申 4 4 1 當(dāng)為偶數(shù)時 n42 2 n n Sn 當(dāng)為奇數(shù)時 n 1 44321 2 n n Snn 綜上 2 2 21 21 n nnk kN S nnkkN 用心 愛心 專心8 2 當(dāng)時 6n 2 12 nn TSnn 當(dāng)時 7n 2 66 1272 nn TSSSnn 綜上 2 2 12 6 1272 7 n nnn T nnn 習(xí)題習(xí)題 8 38 3 1 C 2 470 提示 由于 22 cossin 33 nn 以 3 為周期 故 222222 222 30 12452829 3 6 30 222 S 22 1010 2 11 32 31 59 10 11 3 9 25470 222 kk kk kk 3 解 由于 且 則集合可能是空集 單元素集合和兩個元素集合 1 2 4 B AB A 1 當(dāng) 即時 因為 滿足 所以 2 160a 44a A AB 4 4a 2 當(dāng) 即時 由得 2 160a 4a AB 4a 3 當(dāng) 即或時 2 160a 4a 4a AB 綜上可得 當(dāng)時 4 4a AB 4 解 如圖解 8 2 9 設(shè)MN切圓C于N 則動點M組成的集合是 0 PM MNMQ ON MN ON