2011高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練系列 空間向量教案（上冊(cè)）

用心 愛心 專心 空間向量空間向量 1 1 理解空間向量的概念 掌握空間向量的加法 減法和數(shù)乘 2 2 了解空間向量的基本定理 理解空間向量坐標(biāo)的概念 掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 3 3 掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì) 掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式 掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式 理解空間向量的夾角的概念 掌握空間向量的數(shù)量積的概念 性質(zhì)和運(yùn)算律 了解空 間向量的數(shù)量積的幾何意義 掌握空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式 能用向量的數(shù)量積判斷向 量的共線與垂直 第第 1 1 課時(shí)課時(shí) 空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算 空間向量是平面向量的推廣 在空間 任意兩個(gè)向量都可以通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為平面向 量 因此 空間向量的加減 數(shù)乘向量運(yùn)算也是平面向量對(duì)應(yīng)運(yùn)算的推廣 本節(jié)知識(shí)點(diǎn)是 1 1 空間向量的概念 空間向量的加法 減法 數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積 1 向量 具有 和 的量 2 向量相等 方向 且長(zhǎng)度 3 向量加法法則 4 向量減法法則 5 數(shù)乘向量法則 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 考綱導(dǎo)讀考綱導(dǎo)讀 高考導(dǎo)航高考導(dǎo)航 空間向量 定義 加法 減法 數(shù)乘運(yùn)算 數(shù)量積 坐標(biāo)表示 夾角和距離公式 求距離 求空間角 證明平行與垂直 用心 愛心 專心 2 2 線性運(yùn)算律 1 加法交換律 a b 2 加法結(jié)合律 a b c 3 數(shù)乘分配律 a b 3 3 共線向量 1 共線向量 表示空間向量的有向線段所在的直線互相 或 2 共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a b b 0 a b等價(jià)于存在實(shí)數(shù) 使 3 直線的向量參數(shù)方程 設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn) A 且平行于非零向量a 則對(duì)于空間中任意一點(diǎn) O 點(diǎn) P 在l上等價(jià)于存在 Rt 使 4 4 共面向量 1 共面向量 平行于 的向量 2 共面向量定理 兩個(gè)向量a b不共線 則向量 P 與向量a b共面的充要條件是存在實(shí) 數(shù)對(duì) yx 使 P 共面向量定理的推論 5 5 空間向量基本定理 1 空間向量的基底 的三個(gè)向量 2 空間向量基本定理 如果a b c三個(gè)向量不共面 那么對(duì)空間中任意一個(gè)向量 p 存 在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 zyx 使 空間向量基本定理的推論 設(shè) O A B C 是不共面的的四點(diǎn) 則對(duì)空間中任意一點(diǎn) P 都存 在唯一的有序?qū)崝?shù)組 zyx 使 6 6 空間向量的數(shù)量積 1 空間向量的夾角 2 空間向量的長(zhǎng)度或模 3 空間向量的數(shù)量積 已知空間中任意兩個(gè)向量a b 則a b 空間向量的數(shù)量積的常用結(jié)論 a cos a b b a 2 c a b 4 空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 a 交換律a b b 分配律a b c 典型例題典型例題 用心 愛心 專心 例例 1 1 已知正方體 ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn) F 是側(cè)面 CDD1C1的中心 若 1 AAyABxADAF 求 x y的值 解 解 易求得0 2 1 yxyx 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 1 在平行六面體 1111 DCBAABCD 中 M 為 AC 與 BD 的交點(diǎn) 若 11B A a 11D A b AA1 c 則下列向量中與 MB1 相等的向量是 A 2 1 a 2 1 b c B 2 1 a 2 1 b c C 2 1 a 2 1 b cD 2 1 a 2 1 b c 解 解 A 例例 2 2 底面為正三角形的斜棱柱 ABC A1B1C1中 D 為 AC 的中點(diǎn) 求證 AB1 平面 C1BD 證明 證明 記 1 cAAbACaAB 則cbCCDCDCbaADABDBcaAB 2 1 2 1 111 11 ABcaDCDB 11 DCDBAB共面 B1 平面 C1BD AB1 平面 C1BD 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 2 2 正方體 ABCD EFGH 中 M N 分別是對(duì)角線 AC 和 BE 上的點(diǎn) 且 AM EN 1 求證 MN 平面 FC 2 求證 MN AB 3 當(dāng) MA 為何值時(shí) MN 取最小值 最小值是多少 解 解 1 設(shè) 1 BFkBCkMNk AC MC EB NB 則 2 0 1 ABBFkABBCkABMN 3 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a 2 1 122 22 kakkMN則則 也即則ACAM 2 1 aMN 2 2 min 例例 3 3 已知四面體 ABCD 中 AB CD AC BD G H 分別是 ABC 和 ACD 的重心 求證 1 AD BC 2 GH BD 證明 證明 1 AD BC 0 BCAD 因?yàn)?AB CD0 CDAB 0 BDACBDAC 而 0 DCBDBDABBCAD 所以 AD BC A B C D A 1 C1 B1 用心 愛心 專心 2 設(shè) E F 各為 BC 和 CD 的中點(diǎn) 欲證 GH BD 只需證 GH EF AHGAGH 3 2 AFEA 3 2 EF 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 3 3 已知平行六面體 1111 DCBAABCD E F G H 分別為棱 ABCCCDDA和 11111 的中 點(diǎn) 求證 E F G H 四點(diǎn)共面 解 解 CGHCHG 1 GCHC 1 FCGFHC GFFCFA 11 GFEF 2 所以EHEGEF 共面 即點(diǎn) E F G H 共面 例例 4 4 如圖 平行六面體 AC1中 AE 3EA1 AF FD AG GB 2 1 過(guò) E F G 的平面與對(duì)角 線 AC1交于點(diǎn) P 求 AP PC1的值 解 解 設(shè) 1 ACmAP AFAEAG ADAAABCBBBABAC 2 3 4 3 11111 AFmAEmAGmAP2 3 4 3 又 E F G P 四點(diǎn)共面 12 3 4 3 mmm 19 3 m AP PC1 3 16 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 4 4 已知空間四邊形 OABC 中 M 為 BC 的中點(diǎn) N 為 AC 的中點(diǎn) P 為 OA 的中點(diǎn) Q 為 OB 的中點(diǎn) 若 AB OC 求證 QNPM 證明 證明 法一 2 1 OCOBOM 2 1 OCOAON 2 1 OCABOMPOPM D FA G B B1 C1 D1 A1 CE P 用心 愛心 專心 2 1 ABOCONQOQN 0 4 1 22 ABOCQNPM 故QNPM 法二 PM QN PQ QM QM MN 2 1 OCAB 2 1 BAOC 4 1 22 ABOC 0 1 立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題 可通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)證明 對(duì)于垂直 一般是利 用a b a b 0 進(jìn)行證明 對(duì)于平行 一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明 2 運(yùn)用向量求解距離問題 其一般方法是找出代表相應(yīng)距離的線段所對(duì)向量 然后計(jì)算這 個(gè)向量對(duì)應(yīng)的模 而計(jì)算過(guò)程中只要運(yùn)用好加法法則 就總能利用一個(gè)一個(gè)的向量三角形 將所求向量用有模和夾角的已知向量表示出來(lái) 從而求得結(jié)果 3 利用向量求夾角 線線夾角 線面夾角 面面夾角 有時(shí)也很方便 其一般方法是將所求 的角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角 而求兩個(gè)向量的夾角則可以利用公式cos ba ba 4 異面直線間的距離的向量求法 已知異面直線l1 l2 AB 為其公垂線段 C D 分別為 l1 l2上的任意一點(diǎn) n為與AB共線的向量 則 AB n nCD 5 設(shè)平面 的一個(gè)法向量為n 點(diǎn) P 是平面 外一點(diǎn) 且 Po 則點(diǎn) P 到平面 的距 離是d n nPPo 第第 2 2 課時(shí)課時(shí) 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)a 321 aaa b 321 bbb 1 a b 2 a 3 a b 4 a b a b 小結(jié)歸納小結(jié)歸納 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 用心 愛心 專心 5 設(shè) 222111 zyxBzyxA 則AB AB AB 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 例例 1 1 若a 1 5 1 b 2 3 5 1 若 ka b a 3b 求實(shí)數(shù)k的值 2 若 ka b a 3b 求實(shí)數(shù)k的值 3 若bak 取得最小值 求實(shí)數(shù)k的值 解 解 1 3 1 k 2 3 106 k 3 27 8 k 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 1 已知O為原點(diǎn) 向量 3 0 1 1 1 2 OAOBOCOA BC OA 求 AC 解 解 設(shè) 1 1 2OCx y zBCxyz OCOA BC OA 0OC OA BCOAR 30 1 1 23 0 1 xz xyz 即 30 13 10 2 xz x y z 解此方程組 得 7211 1 101010 xyz 721 1 1010 OC 3711 1 1010 ACOCOA 例例 2 2 如圖 直三棱柱 111 CBAABC 底面 ABC 中 CA CB 1 90 BCA 棱 2 1 AA M N 分別 A1B1 A1A 是的中點(diǎn) 1 求 BM 的長(zhǎng) 2 求 11 cosCBBA 的值 典型例題典型例題 x y z B1 C1 A1 C B A M N 用心 愛心 專心 3 求證 NCBA 11 解 解 以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系xyzO 1 依題意得 B 0 1 0 M 1 0 1 3 01 10 01 222 BM 2 依題意得 A1 1 0 2 B 0 1 0 C 0 0 0 B1 0 1 2 5 6 3 2 1 0 2 1 1 11 1111 CBBA CBBACBBA 10 30 cos 11 11 11 CBBA CBBA CBBA 3 證明 依題意得 C1 0 0 2 N 0 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 11 NCBA NCBANCBA 1111 00 2 1 2 1 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 2 2 在四棱錐 P ABCD 中 底面 ABCD 為矩形 側(cè)棱 PA 底面 ABCD AB 3 BC 1 PA 2 E 為 PD 的中點(diǎn) 1 在側(cè)面 PAB 內(nèi)找一點(diǎn) N 使 NE 面 PAC 并求出 N 點(diǎn)到 AB 和 AP 的距離 2 求 1 中的點(diǎn) N 到平面 PAC 的距離 解 解 1 建立空間直角坐標(biāo)系 A BDP 則 A B C D P E 的坐標(biāo)分別是 A 0 0 0 B 3 0 0 C 3 1 0 D 0 1 0 P 0 0 2 E 0 2 1 1 依題設(shè) N x 0 z 則NE x 2 1 1 z 由于 NE 平面 PAC 0 0 ACNE APNE AB C P E D 用心 愛心 專心 即 0 2 1 3 01 0 0 1 3 1 2 1 0 2 0 0 1 2 1 x z zx zx 1 6 3 z x 即點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 6 3 0 1 從而 N 到 AB AP 的距離分別為 1 6 3 2 設(shè) N 到平面 PAC 的距離為d 則d NE NENA 12 3 3 12 1 0 2 1 6 3 0 2 1 6 3 1 0 6 3 例例 3 3 如圖 在底面是棱形的四棱錐 ABCDP 中 60aACPAABC aPDPB2 點(diǎn)E 在PD上 且PE ED 2 1 1 證明 PA平面ABCD 2 求以 AC 為棱 EAC與DAC為面的二面角 的大小 3 在棱 PC 上是否存在一點(diǎn) F 使BF 平面AEC 證明你的結(jié)論 解 解 1 證明略 2 易解得 30 3 解 以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn) 直線APAD 分別為y軸 z軸 過(guò) A 點(diǎn)垂直于平面 PAD 的直線為 x軸 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 由題設(shè)條件 相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 2 1 2 3 0 2 1 2 3 0 0 0 aaCaaBA 3 1 3 2 0 0 0 0 0 aaEaPaD 所以 AE 3 1 3 2 0 aa AC 0 2 1 2 3 aa AP 0 0 a PC 2 1 2 3 aaa BP 2 1 2 3 aaa 設(shè)點(diǎn) F 是棱PC上的點(diǎn) PCPF 2 1 2 3 aaa 其中10 則 1 1 2 1 1 2 3 aaaPFBPBF 令A(yù)EACBF 21 得 2 21 1 3 1 1 3 2 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 aa aaa aa 解得 2 3 2 1 2 1 21 即 2 1 時(shí) AEACBF 2 3 2 1 亦即 F 是 PC 的中點(diǎn)時(shí) C D B A P E 用心 愛心 專心 AEACBF 共面 又 BF平面AEC 所以當(dāng) F 是 PC 的中點(diǎn)時(shí) BF 平面AEC 例例 4 4 如圖 多面體是由底面為 ABCD 的長(zhǎng)方體被截面 AEFG 所截而得 其中 AB 4 BC 1 BE 3 CF 4 1 求EF和點(diǎn) G 的坐標(biāo) 2 求 GE 與平面 ABCD 所成的角 3 求點(diǎn) C 到截面 AEFG 的距離 解 解 1 由圖可知 A 1 0 0 B 1 4 0 E 1 4 3 F 0 4 4 1 0 1 EF 又 EFAG 設(shè) G 0 0 z 則 1 0 z 1 0 1 z 1 G 0 0 1 2 平面 ABCD 的法向量 1 0 0 DG 2 4 1 GE 設(shè) GE 與平面 ABCD 成角為 則 21 212 2 cos GEDG GEDG 21 212 arcsin 3 設(shè) 0 n 面 AEFG 0 n x0 y0 z0 0 n AG 0 n AE 而AG 1 0 1 AE 0 4 3 4 3 4 3 034 0 0000 00 00 00 00 zzzn zy zx zy zx 取z0 4 則 0 n 4 3 4 41 4116 4 0 0 0 0 n nCF dCF 即點(diǎn) C 到截面 AEFG 的距離為 41 4116 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 4 4 如圖四棱錐P ABCD中 底面ABCD是平行四邊形 PG 平面ABCD 垂足為 G G在AD上 且PG 4 GDAG 3 1 BG GC GB GC 2 E是BC的中點(diǎn) 1 求異面直線GE與PC所成的角的余弦值 2 求點(diǎn)D到平面PBG的距離 3 若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn) 且DF GC 求 FC PF 的值 Z A D GE F C B x y P A G BC D F E 用心 愛心 專心 解 解 1 以G點(diǎn)為原點(diǎn) GPGCGB 為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則B 2 0 0 C 0 2 0 P 0 0 4 故E 1 1 0 GE 1 1 0 PC 0 2 4 10 10 202 2 cos PCGE PCGE PCGE GE與PC所成的余弦值為 10 10 2 平面PBG的單位法向量n 0 1 0 0 2 3 2 3 4 3 4 3 BCADGD 點(diǎn)D到平面PBG的距離為 GD n 2 3 3 設(shè)F 0 y z 則 2 3 2 3 0 2 3 2 3 0 zyzyDF GCDF 0 GCDF 即032 020 2 3 2 3 yzy 2 3 y 又PCPF 即 0 2 3 z 4 0 2 4 z 1 故F 0 2 3 1 1 2 1 0 3 2 3 0 FCPF 3 5 2 3 5 2 PF PC 對(duì)于以下幾類立體幾何問題 1 共線與共面問題 2 平行與垂直問題 3 夾角問 題 4 距離問題 5 探索性問題 運(yùn)用向量來(lái)解決它們有時(shí)會(huì)體現(xiàn)出一定的優(yōu)勢(shì) 用空間向量解題的關(guān)鍵步驟是把所求向量用 某個(gè)合適的基底表示 本節(jié)主要是用單位正交基底表示 就是適當(dāng)?shù)亟⑵鹂臻g直角坐標(biāo)系 把向量用坐標(biāo)表示 然后進(jìn)行向量與向量的坐標(biāo)運(yùn)算 最后通過(guò)向量在數(shù)量上的關(guān)系反映出 向量的空間位置關(guān)系 從而使問題得到解決 在尋求向量間的數(shù)量關(guān)系時(shí) 一個(gè)基本的思路 是列方程 解方程 小結(jié)歸納小結(jié)歸納 用心 愛心 專心 空間向量章節(jié)測(cè)試題空間向量章節(jié)測(cè)試題 1 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 AB 2 A A1 1 則點(diǎn) A 到平面 A1BC 的距離為 A 4 3 B 2 3 C 4 33 D 3 2 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 AB BB1 則 AB1與 C1B 所成的角的大小為 2 A 60 B 90 C 105 D 75 3 正方體 ABCD A1B1C1D1中 E F 分別是 AA1與 CC1的中點(diǎn) 則直線 ED 與 D1F 所成角的大小 是 A 1 5 B 1 3 C 1 2 D 3 2 4 設(shè)E F是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點(diǎn) 在正方體的 12 條面對(duì)角線中 與截面 A1ECF成 60 角的對(duì)角線的數(shù)目是 A 0 B 2 C 4 D 6 5 棱長(zhǎng)都為 2 的直平行六面體 ABCD A1B1C1D1中 BAD 60 則對(duì)角線 A1C 與側(cè)面 DCC1D1 所成角的正弦值為 A 2 2 B 2 1 C 4 3 D 8 3 6 在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 1111 DCBAABCD 中 O 是底面 ABCD 的中心 E F 分別是 1 CC AD 的中點(diǎn) 那么異面直線 OE 和 1 FD所成的角的余弦值等于 A 5 10 B 3 2 C 5 5 D 5 15 7 棱長(zhǎng)為a的正四面體中 高為 H 斜高為h 相對(duì)棱間的距離為d 則a H h d的大 小關(guān)系正確的是 A a H h dB a d h H C a h d H D a h H d 8 將正方形 ABCD 沿對(duì)角線 BD 折起 使平面 ABD 平面 CBD E 是 CD 中點(diǎn) 則AED 的大 小為 A 45 B 30 C 60 D 90 9 三棱錐 A BCD 的高 AH 3a3 H 是底面 BCD 的重心 若 AB AC 二面角 A BC D 為 60 G 是 ABC 的重心 則 HG 的長(zhǎng)為 A a5 B a6 C a7 D a10 10 PA PB PC 是從 P 引出的三條射線 每?jī)蓷l的夾角都是 60 則直線 PC 與平面 PAB 所 用心 愛心 專心 A B C D P 成的角的余弦值為 A 1 2 B 3 2 C 3 3 D 6 3 11 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等 D 是 A1C1的中點(diǎn) 則直線 AD 與平面 B1DC 所成角的正弦值為 12 如圖 正方體的棱長(zhǎng)為 1 C D 分別是兩條棱的中點(diǎn) A B M 是頂點(diǎn) 那么點(diǎn) M 到截 面 ABCD 的距離是 13 正四棱錐P ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等 E為PC中點(diǎn) 則直線AC與截面BDE所成的角為 14 已知邊長(zhǎng)為4 2的正三角形 ABC 中 E F 分別為 BC 和 AC 的中點(diǎn) PA 面 ABC 且 PA 2 設(shè)平面 過(guò) PF 且與 AE 平行 則 AE 與平面 間的距離為 15 如右下圖 在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 已知AB 4 AD 3 AA1 2 E F分別是線 段AB BC上的點(diǎn) 且EB FB 1 1 求二面角C DE C1的正切值 2 求直線EC1與FD1所成的余弦值 16 如圖 三棱錐 P ABC 中 PC 平面 ABC PC AC 2 AB BC D 是 PB 上一點(diǎn) 且 CD 平面 PAB I 求證 AB 平面 PCB II 求異面直線 AP 與 BC 所成角的大小 III 求二面角 C PA B 的大小的余弦值 A B M D C AE D C B A1 F D1 C1 B1 用心 愛心 專心 17 如圖所示 已知在矩形ABCD中 AB 1 BC a a 0 PA 平面AC 且PA 1 1 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 并寫出點(diǎn)P B D的坐標(biāo) 2 問當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍時(shí) BC邊上能存在點(diǎn)Q 使得PQ QD 3 當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q使得PQ QD時(shí) 求二面角Q PD A的大小 Q P D C B A 用心 愛心 專心 空間向量章節(jié)測(cè)試題答案空間向量章節(jié)測(cè)試題答案 1 B 2 B 3 A 4 C 提示 以D為原點(diǎn) DA為x軸 DC為y軸 DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系 并設(shè) 正方體的棱長(zhǎng)為 1 則A1 1 0 0 E 1 1 2 0 C 0 1 0 設(shè)平面A1ECF的法向量為 n x y z 則由 1 AE An 0 及EC An 0 可得x z 1 2 y 于是可取n 1 1 2 1 11 0 1 1 ABDC 11 1 1 0 D BDB 而且可計(jì)算得到這四個(gè)向量與向量n所成的角為 30 于是這四個(gè)向量與平面A1ECF所成的角為 60 而其它的面對(duì)角線所在的向量均不滿 足條件 5 D 6 C 7 C 8 A 9 D 10 D 11 4 5 12 2 3 13 設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O 則OE 與OC 所成的角即 EOC為所求 易得大小為 45 14 3 32 15 1 如圖 以A為原點(diǎn) 1 AAADAB分別為x軸 y軸 z軸的正向建立空間直角坐 標(biāo)系A(chǔ) xyz 則有D 0 3 0 D1 0 3 2 E 3 0 0 F 4 1 0 C1 4 3 2 于是 1 3 3 0 1 3 2 DEEC 1 4 2 2 FD 設(shè)向量 x y z n與平面C1DE垂直 則有 1 3301 3202 DExy xyz xyz EC n n 1 1 2 222 zzz z n其中z 0 取n0 1 1 2 則n0是一個(gè)與平面C1DE垂直的向量 用心 愛心 專心 A B C D P x y z 向量 1 AA 0 0 2 與平面CDE垂直 n0與 1 AA 所成的角 為二面角C DE C1的平面角 01 01 1 01 0226 cos 3 1 14004 AA AA A n n 2 tan 2 2 設(shè)EC1與FD1所成角為 則 11 222222 11 1 4 3 22221 cos 14 132 4 22 EC FD ECFD A 16 1 PC 平面 ABC AB平面 ABC PC AB CD 平面 PAB AB平面 PAB