概率論公式總結

第一章第一章 P A B P A P B P AB 特別地 特別地 當當 A B 互斥時 互斥時 P A B P A P B 條件概率公式條件概率公式 概率的乘法公式概率的乘法公式 全概率公式 從原因計算結果全概率公式 從原因計算結果 Bayes 公式 從結果找原因公式 從結果找原因 第二章第二章 二項分布 二項分布 Bernoulli 分布 分布 X B n p BP ABP BAP BAPBPABP ABPAP n k kk BAPBPAP 1 n k kk ii k BAPBP BAPBP ABP 1 xk kXPxXPxF 1 0 yxF yYxXPyxF 泊松分布泊松分布 X P 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 怎樣計算概怎樣計算概率率 均勻分布均勻分布 X U a b 指數(shù)分布指數(shù)分布 X Exp 1 0 1 nkppCkXP knkk n 1 0 ke k kXP k 1 dxxf bXaP b a dxxfbXaP 0 1 xexf x 1 bxa ab xf xfxF 分布函數(shù)分布函數(shù) 對離散型隨機變量對離散型隨機變量 對連續(xù)型隨機對連續(xù)型隨機變量變量 分布函數(shù)與密度函數(shù)的重要關系 分布函數(shù)與密度函數(shù)的重要關系 二元隨機變量及其邊緣分布二元隨機變量及其邊緣分布 分布規(guī)律的描述方法分布規(guī)律的描述方法 聯(lián)合密度函數(shù) 聯(lián)合分布函數(shù) 聯(lián)合密度與邊緣密度聯(lián)合密度與邊緣密度 x dttfxXPxF x dttfxXPxF yxf yxF 0 yxf 1 dxdyyxf dyyxfxfX dxyxfyfY 離散型隨機變量的獨立性離散型隨機變量的獨立性 連續(xù)型隨機變量的獨立性連續(xù)型隨機變量的獨立性 第三章第三章 數(shù)學期望數(shù)學期望 離散型隨機變量 數(shù)離散型隨機變量 數(shù)學期望定義學期望定義 連續(xù)型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 數(shù)學期望定義數(shù)學期望定義 E a a 其中 其中 a 為常數(shù)為常數(shù) E a bX a bE X 其中 其中 a b 為常數(shù)為常數(shù) E X Y E X E Y X Y 為任意隨機變量為任意隨機變量 隨機變量隨機變量 g X 的數(shù)的數(shù)學期望學期望 常用公式常用公式 jYPiXPjYiXP yfxfyxf YX k kk PxXE dxxfxXE k kk pxgXgE ij ijip xXE dxdyyxxfXE 方差方差 定義式定義式 常用計算常用計算式式 常用公式常用公式 當當 X Y 相互獨立時 相互獨立時 YEXEYXE ij ijji pyxXYE dxdyyxxyfXYE YEXEXYEYX 獨立時與當 dxxfXExXD 2 2 2 XEXEXD 2 YEYXEXEYDXDYXD YDXDYXD 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) D a 0 其中 a 為常數(shù) D a bX b2D X 其中 a b 為常數(shù) 當 X Y 相互獨立時 D X Y D X D Y 協(xié)方差與相關系數(shù)協(xié)方差與相關系數(shù) 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì) 獨立與相關獨立與相關 獨立必定不相關 相關必定不獨立 不相關不一定獨立 YEXEXYEYXCov YDXD YXCov XY YEXEXYEYEYXEXE 2 2 XDXEXEXXCov YXabCovbYaXCov ZYCovZXCovZYXCov 第四章第四章 正態(tài)分正態(tài)分布布 標準正態(tài)分布的概率計算標準正態(tài)分布的概率計算 標準正態(tài)分布的概率計算公式標準正態(tài)分布的概率計算公式 aaZPaZP 1 aaZPaZP abbZaP 1 2 aaaaZaP 一般正態(tài)分布的概率計算一般正態(tài)分布的概率計算 一般正態(tài)分布的概率計算公式一般正態(tài)分布的概率計算公式 2 NX 2 2 2 2 1 x exf 2 XDXE 1 aa 1 0 2 N X ZNX a aXPaXP 1 a aXPaXP 第五章第五章 卡方分布卡方分布 t 分布分布 F 分布分布 正態(tài)總體條件下正態(tài)總體條件下 樣本均值的分布 樣本均值的分布 樣本方差的分布 樣本方差的分布 ab bXaP 1 0 2 1 2 nXNX n i i 則若 1 2 1 2 2 2 nYNY n i i 則若 21 2 1 2 2 1 2 nnF nV nU nVnU則若 2 n NX 1 0 N n X 1 1 2 2 2 n Sn 1 nt ns X 則若 1 0 2 nYNX nt nY X 兩個正態(tài)總體的方差之比兩個正態(tài)總體的方差之比 第六章第六章 點估計 參數(shù)的估計值為一個常數(shù)點估計 參數(shù)的估計值為一個常數(shù) 矩估計矩估計 最大似然估計最大似然估計 似然函數(shù)似然函數(shù) 均值的區(qū)間估計均值的區(qū)間估計 大樣本結果大樣本結果 1 1 21 2 2 2 1 2 2 2 1 nnF SS 1 i n i xfL 1 i n i xpL n zx 2 正態(tài)分布的分位點 大樣本要求樣本容量 代替準差通常未知 可用樣本標標準差 樣本均值 2 50 z nn s x n pp zp 1 2 正態(tài)分布的分位點 大樣本要求樣本容量 樣本比例 2 50 z nn p 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計正態(tài)總體方差的區(qū)間估計 兩個正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間兩個正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間 大樣本或正態(tài)小樣本且方差已知大樣本或正態(tài)小樣本且方差已知 兩個正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間兩個正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間 第七章第七章 已知準差小樣本 正態(tài)總體 標 n zx 2 未知準差小樣本 正態(tài)總體 標 n s ntx 1 2 分布的分位點的自由度為 tnnt1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 SnSn 卡方分布的分位點 樣本方差 2 2 2 S 2 2 2 1 2 1 2 21 nn zxx 1 1 1 1 212 2 2 2 1 212 2 2 2 1 nnF SS nnF SS 假設檢驗的步驟假設檢驗的步驟 根據(jù)具體問題提出原假設 H0 和備擇假設 H1 根據(jù)假設選擇檢驗統(tǒng)計量 并計算檢驗統(tǒng)計值 看檢驗統(tǒng)計值是否落在拒絕域 若落在拒絕域則拒絕原假設 否則就不拒絕 原假設 不可避免的兩類錯誤不可避免的兩類錯誤 第 1 類 棄真 錯誤 原假設為真 但拒絕了原假設 第 2 類 取偽 錯誤 原假設為假 但接受了原假設 單個正態(tài)總體的顯著性檢驗單個正態(tài)總體的顯著性檢驗 單正態(tài)總體均值的檢驗 大樣本情形 Z 檢驗 正態(tài)總體小樣本 方差已知 Z 檢驗 正態(tài)總體小樣本 方差未知 t 檢驗 單正態(tài)總體方差的檢驗 正態(tài)總體 均值未知 卡方檢驗 單正態(tài)總體均值的顯著性檢驗單正態(tài)總體均值的顯著性檢驗 統(tǒng)計假設的形式統(tǒng)計假設的形式 雙邊檢驗雙邊檢驗 左邊檢驗左邊檢驗 右邊檢驗右邊檢驗 0100 1 HH 0100 2 HH 0100 3 HH 單正態(tài)總體均值的單正態(tài)總體均值的 Z 檢驗檢驗 拒絕域拒絕域的代數(shù)表示的代數(shù)表示 雙邊檢雙邊檢驗驗 左邊檢左邊檢驗驗 右邊檢右邊檢驗驗 比例比例 特殊的均值的特殊的均值的 Z 檢驗檢驗 單正態(tài)總體均值的單正態(tài)總體均值的 t 檢驗檢驗 單正態(tài)總體方差的卡方檢驗單正態(tài)總體方差的卡