數(shù)字信號(hào)處理高西全課后答案ppt課件.ppt

1 4習(xí)題與上機(jī)題解答 n 及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列 題1圖 解 x n n 4 2 n 2 n 1 2 n n 1 2 n 2 4 n 3 0 5 n 4 2 n 6 2 給定信號(hào) 2n 5 4 n 1 60 n 4 0其它 1 畫(huà)出x n 序列的波形 標(biāo)上各序列值 2 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x n 序列 x n 3 令x1 n 2x n 2 試畫(huà)出x1 n 波形 4 令x2 n 2x n 2 試畫(huà)出x2 n 波形 5 令x3 n x 2 n 試畫(huà)出x3 n 波形 解 1 x n 序列的波形如題2解圖 一 所示 2 x n 3 n 4 n 3 n 2 3 n 1 6 n 6 n 1 6 n 2 6 n 3 6 n 4 3 x1 n 的波形是x n 的波形右移2位 再乘以2 畫(huà)出圖形如題2解圖 二 所示 4 x2 n 的波形是x n 的波形左移2位 再乘以2 畫(huà)出圖形如題2解圖 三 所示 5 畫(huà)x3 n 時(shí) 先畫(huà)x n 的波形 即將x n 的波形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180 然后再右移2位 x3 n 波形如題2解圖 四 所示 題2解圖 一 題2解圖 二 題2解圖 三 題2解圖 四 3 判斷下面的序列是否是周期的 若是周期的 確定其周期 1 2 解 1 因?yàn)?所以 這是有理數(shù) 因此是周期序列 周期T 14 2 因?yàn)?所以 16 這是無(wú)理數(shù) 因此是非周期序列 4 對(duì)題1圖給出的x n 要求 1 畫(huà)出x n 的波形 2 計(jì)算xe n x n x n 并畫(huà)出xe n 波形 3 計(jì)算xo n x n x n 并畫(huà)出xo n 波形 4 令x1 n xe n xo n 將x1 n 與x n 進(jìn)行比較 你能得到什么結(jié)論 解 1 x n 的波形如題4解圖 一 所示 2 將x n 與x n 的波形對(duì)應(yīng)相加 再除以2 得到xe n 毫無(wú)疑問(wèn) 這是一個(gè)偶對(duì)稱(chēng)序列 xe n 的波形如題4解圖 二 所示 3 畫(huà)出xo n 的波形如題4解圖 三 所示 題4解圖 一 題4解圖 二 題4解圖 三 4 很容易證明 x n x1 n xe n xo n 上面等式說(shuō)明實(shí)序列可以分解成偶對(duì)稱(chēng)序列和奇對(duì)稱(chēng)序列 偶對(duì)稱(chēng)序列可以用題中 2 的公式計(jì)算 奇對(duì)稱(chēng)序列可以用題中 3 的公式計(jì)算 5 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述 x n 與y n 分別表示系統(tǒng)輸入和輸出 判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的 1 y n x n 2x n 1 3x n 2 2 y n 2x n 3 3 y n x n n0 n0為整常數(shù) 4 y n x n 5 y n x2 n 6 y n x n2 7 y n 8 y n x n sin n 解 1 令輸入為x n n0 輸出為y n x n n0 2x n n0 1 3x n n0 2 y n n0 x n n0 2x n n0 1 3 n n0 2 y n 故該系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng) 因?yàn)閥 n T ax1 n bx2 n ax1 n bx2 n 2 ax1 n 1 bx2 n 1 3 ax1 n 2 bx2 n 2 T ax1 n ax1 n 2ax1 n 1 3ax1 n 2 T bx2 n bx2 n 2bx2 n 1 3bx2 n 2 所以T ax1 n bx2 n aT x1 n bT x2 n 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng) 2 令輸入為x n n0 輸出為y n 2x n n0 3 y n n0 2x n n0 3 y n 故該系統(tǒng)是非時(shí)變的 由于T ax1 n bx2 n 2ax1 n 2bx2 n 3T ax1 n 2ax1 n 3T bx2 n 2bx2 n 3T ax1 n bx2 n aT x1 n bT x2 n 故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng) 3 這是一個(gè)延時(shí)器 延時(shí)器是線性非時(shí)變系統(tǒng) 下面證明 令輸入為x n n1 輸出為y n x n n1 n0 y n n1 x n n1 n0 y n 故延時(shí)器是非時(shí)變系統(tǒng) 由于T ax1 n bx2 n ax1 n n0 bx2 n n0 aT x1 n bT x2 n 故延時(shí)器是線性系統(tǒng) 4 y n x n 令輸入為x n n0 輸出為y n x n n0 y n n0 x n n0 y n 因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng) 由于T ax1 n bx2 n ax1 n bx2 n aT x1 n bT x2 n 因此系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng) 5 y n x2 n 令輸入為x n n0 輸出為y n x2 n n0 y n n0 x2 n n0 y n 故系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng) 由于T ax1 n bx2 n ax1 n bx2 n 2 aT x1 n bT x2 n ax21 n bx22 n 因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng) 6 y n x n2 令輸入為x n n0 輸出為y n x n n0 2 y n n0 x n n0 2 y n 故系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng) 由于T ax1 n bx2 n ax1 n2 bx2 n2 aT x1 n bT x2 n 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng) 7 y n x m 令輸入為x n n0 輸出為y n 0 DD x m n0 y n n0 x m y n 故系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng) 由于T ax1 n bx2 n ax1 m bx2 m aT x1 n bT x2 n 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng) 8 y n x n sin n 令輸入為x n n0 輸出為y n x n n0 sin n y n n0 x n n0 sin n n0 y n 故系統(tǒng)不是非時(shí)變系統(tǒng) 由于T ax1 n bx2 n ax1 n sin n bx2 n sin n aT x1 n bT x2 n 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng) 6 給定下述系統(tǒng)的差分方程 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng) 并說(shuō)明理由 1 y n x n k 2 y n x n x n 1 3 y n x k 4 y n x n n0 5 y n ex n 解 1 只要N 1 該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng) 因?yàn)檩敵鲋慌cn時(shí)刻的和n時(shí)刻以前的輸入有關(guān) 如果 x n M 則 y n M 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng) 2 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng) 因?yàn)閚時(shí)間的輸出還和n時(shí)間以后 n 1 時(shí)間 的輸入有關(guān) 如果 x n M 則 y n x n x n 1 2M 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng) 3 如果 x n M 則 y n x k 2n0 1 M 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的 假設(shè)n0 0 系統(tǒng)是非因果的 因?yàn)檩敵鲞€和x n 的將來(lái)值有關(guān) 4 假設(shè)n0 0 系統(tǒng)是因果系統(tǒng) 因?yàn)閚時(shí)刻輸出只和n時(shí)刻以后的輸入有關(guān) 如果 x n M 則 y n M 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的 5 系統(tǒng)是因果系統(tǒng) 因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出不取決于x n 的未來(lái)值 如果 x n M 則 y n ex n e x n eM 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的 7 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h n 和輸入序列x n 如題7圖所示 要求畫(huà)出y n 輸出的波形 解 解法 一 采用列表法 y n x n h n x m h n m 題7圖 y n 2 1 0 5 2 1 4 5 2 1 n 2 1 0 1 2 3 4 5 解法 二 采用解析法 按照題7圖寫(xiě)出x n 和h n 的表達(dá)式分別為x n n 2 n 1 2 n 3 h n 2 n n 1 n 2 由于x n n x n x n A n k Ax n k 故 y n x n h n x n 2 n n 1 n 2 2x n x n 1 x n 2 將x n 的表示式代入上式 得到y(tǒng) n 2 n 2 n 1 0 5 n 2 n 1 n 2 4 5 n 3 2 n 4 n 5 8 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h n 和輸入x n 分別有以下三種情況 分別求出輸出y n 1 h n R4 n x n R5 n 2 h n 2R4 n x n n n 2 3 h n 0 5nu n xn R5 n 解 1 y n x n h n R4 m R5 n m 先確定求和域 由R4 m 和R5 n m 確定y n 對(duì)于m的非零區(qū)間如下 0 m 3 4 m n 根據(jù)非零區(qū)間 將n分成四種情況求解 n7時(shí) y n 0 最后結(jié)果為0n7 n 10 n 3 8 n4 n 7y n 的波形如題8解圖 一 所示 2 y n 2R4 n n n 2 2R4 n 2R4 n 2 2 n n 1 n 4 n 5 y n 的波形如題8解圖 二 所示 y n 題8解圖 一 題8解圖 二 3 y n x n h n R5 m 0 5n mu n m 0 5nR5 m 0 5 mu n m y n 對(duì)于m的非零區(qū)間為0 m 4 m n n 0時(shí) y n 0 0 n 4時(shí) 1 0 5 n 1 0 5n 2 0 5n n 5時(shí) 最后寫(xiě)成統(tǒng)一表達(dá)式 y n 2 0 5n R5 n 31 0 5nu n 5 9 證明線性卷積服從交換律 結(jié)合律和分配律 即證明下面等式成立 1 x n h n h n x n 2 x n h1 n h2 n x n h1 n h2 n 3 x n h1 n h2 n x n h1 n x n h2 n 證明 1 因?yàn)榱頼 n m 則 2 利用上面已證明的結(jié)果 得到 交換求和號(hào)的次序 得到 10 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h n 3 8 0 5nu n 系統(tǒng)的輸入x n 是一些觀測(cè)數(shù)據(jù) 設(shè)x n x0 x1 x2 xk 試?yán)眠f推法求系統(tǒng)的輸出y n 遞推時(shí)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài) 解 n 0時(shí) n 0 n 1時(shí) n 2時(shí) 最后得到 11 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述 設(shè)系統(tǒng)是因果的 利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 解 令x n n 則 n 0時(shí) n 1時(shí) n 2時(shí) n 3時(shí) 歸納起來(lái) 結(jié)果為 12 設(shè)系統(tǒng)用一階差分方程y n ay n 1 x n 描述 初始條件y 1 0 試分析該系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變系統(tǒng) 解 分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為 n n 1 n n 1 時(shí) 求它的輸出 再檢查是否滿(mǎn)足線性疊加原理和非時(shí)變性 1 令x n n 這時(shí)系統(tǒng)的輸出用y1 n 表示 該情況在教材例1 4 1中已求出 系統(tǒng)的輸出為 y1 n anu n 2 令x n n 1 這時(shí)系統(tǒng)的輸出用y2 n 表示 n 0時(shí) n 1時(shí) n 2時(shí) 任意n時(shí) 最后得到 3 令x n n n 1 系統(tǒng)的輸出用y3 n 表示 n 0時(shí) n 1時(shí) n 2時(shí) n 3時(shí) 任意n時(shí) 最后得到 由 1 和 2 得到y(tǒng)1 n T n y2 n T n 1 y1 n y2 n 1 因此可斷言這是一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng) 情況 3 的輸入信號(hào)是情況 1 和情況 2 輸入信號(hào)的相加信號(hào) 因此y3 n T n n 1 觀察y1 n y2 n y3 n 得到y(tǒng)3 n y1 n y2 n 因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng) 最后得到結(jié)論 用差分方程y n ay n 1 x n 0 a 1描寫(xiě)的系統(tǒng) 當(dāng)初始條件為零時(shí) 是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng) 13 有一連續(xù)信號(hào)xa t cos 2 ft j 式中 f 20Hz j 2 1 求出xa t 的周期 2 用采樣間隔T 0 02s對(duì)xa t 進(jìn)行采樣 試寫(xiě)出采樣信號(hào)的表達(dá)式 3 畫(huà)出對(duì)應(yīng)的時(shí)域離散信號(hào) 序列 x n 的波形 并求出x n 的周期 解 1 xa t 的周期為 2 3 x n 的數(shù)字頻率 0 8 故 因而周期N 5 所以x n cos 0 8 n 2 畫(huà)出其波形如題13解圖所示 題13解圖 14 已知滑動(dòng)平均濾波器的差分方程為 1 求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng) 2 如果輸入信號(hào)波形如前面例1 3 4的圖1 3 1所示 試求出y n 并畫(huà)出它的波形 解 1 將題中差分方程中的x n 用 n 代替 得到該濾波器的單位脈沖響應(yīng) 即 2 已知輸入信號(hào) 用卷積法求輸出 輸出信號(hào)y n 為 表1 4 1表示了用列表法解卷積的過(guò)程 計(jì)算時(shí) 表中x k 不動(dòng) h k 反轉(zhuǎn)后變成h k h n k 則隨著n的加大向右滑動(dòng) 每滑動(dòng)一次 將h n k 和x k 對(duì)應(yīng)相乘 再相加和平均 得到相應(yīng)的y n 滑動(dòng)平均 清楚地表明了這種計(jì)算過(guò)程 最后得到的輸出波形如前面圖1 3 2所示 該圖清楚地說(shuō)明滑動(dòng)平均濾波器可以消除信號(hào)中的快速變化 使波形變化緩慢 15 已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號(hào)分別為 用遞推法計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 解 求解程序ex115 m如下 程序ex115 m 調(diào)用filter解差分方程y n 0 5y n 1 x n 2x n 2 xn 1 2 3 4 2 1 zeros 1 10 x n 單位脈沖序列 長(zhǎng)度N 31 B 1 0 2 A 1 0 5 差分方程系數(shù) yn filter B A xn 調(diào)用filter解差分方程 求系統(tǒng)輸出信號(hào)y n n 0 length yn 1 subplot 3 2 1 stem n yn axis 1 15 2 8 title 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) xlabel n ylabel y n 程序運(yùn)行結(jié)果 yn 1 00001 50004 25005 87505 06256 46880 76561 6172 0 80860 4043 0 20210 1011 0 05050 0253 0 01260 0063 0 00320 0016 0 00080 0004 0 00020 0001 0 00000 0000 0 00000 0000 程序運(yùn)行結(jié)果的y n 波形圖如題15 解圖所示 題15 解圖 16 已知兩個(gè)系統(tǒng)的差分方程分別為 1 y n 0 6y n 1 0 08y n 2 x n 2 y n 0 7y n 1 0 1y n 2 2x n x n 2 分別求出所描述的系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng) 解 1 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為 B1 1 A1 1 0 6 0 08 2 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為 B2 2 0 1 A2 1 0 7 0 1 2 5習(xí)題與上機(jī)題解答 1 設(shè)X ej 和Y ej 分別是x n 和y n 的傅里葉變換 試求下面序列的傅里葉變換 1 x n n0 2 x n 3 x n 4 x n y n 5 x n y n 6 nx n 7 x 2n 8 x2 n 9 解 1 令n n n0 即n n n0 則 2 3 令n n 則 4 FT x n y n X ej Y ej 下面證明上式成立 令k n m 則 5 或者 6 因?yàn)?對(duì)該式兩邊 求導(dǎo) 得到 因此 7 令n 2n 則 或者 8 利用 5 題結(jié)果 令x n y n 則 9 令n n 2 則 2 已知 求X ej 的傅里葉反變換x n 解 3 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 頻率響應(yīng)函數(shù) H ej H ej ej 如果單位脈沖響應(yīng)h n 為實(shí)序列 試證明輸入x n Acos 0n j 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 解 假設(shè)輸入信號(hào)x n ej 0n 系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h n 則系統(tǒng)輸出為 上式說(shuō)明當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí) 輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列 且頻率相同 但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù) 利用該性質(zhì)解此題 上式中 H ej 是 的偶函數(shù) 相位函數(shù)是 的奇函數(shù) H ej H e j 故 4 設(shè) 將x n 以4為周期進(jìn)行周期延拓 形成周期序列 畫(huà)出x n 和的波形 求出的離散傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換 解 畫(huà)出x n 和的波形如題4解圖所示 題4解圖 或者 5 設(shè)題5圖所示的序列x n 的FT用X ej 表示 不直接求出X ej 完成下列運(yùn)算或工作 題5圖 1 2 3 4 確定并畫(huà)出傅里葉變換實(shí)部Re X ej 的時(shí)間序列xa n 5 6 解 1 2 3 4 因?yàn)楦道锶~變換的實(shí)部對(duì)應(yīng)序列的共軛對(duì)稱(chēng)部分 即 按照上式畫(huà)出xe n 的波形如題5解圖所示 題5解圖 5 6 因?yàn)?因此 6 試求如下序列的傅里葉變換 1 x1 n n 3 2 3 x3 n anu n 0 a 1 4 x4 n u n 3 u n 4 解 1 2 3 4 或者 7 設(shè) 1 x n 是實(shí)偶函數(shù) 2 x n 是實(shí)奇函數(shù) 分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下 其x n 的傅里葉變換性質(zhì) 解 令 1 因?yàn)閤 n 是實(shí)偶函數(shù) 對(duì)上式兩邊取共軛 得到 因此X ej X e j 上式說(shuō)明x n 是實(shí)序列 X ej 具有共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì) 由于x n 是偶函數(shù) x n sin 是奇函數(shù) 那么 因此 該式說(shuō)明X ej 是實(shí)函數(shù) 且是 的偶函數(shù) 總結(jié)以上 x n 是實(shí)偶函數(shù)時(shí) 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換X ej 是實(shí)函數(shù) 是 的偶函數(shù) 2 x n 是實(shí)奇函數(shù) 上面已推出 由于x n 是實(shí)序列 X ej 具有共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì) 即X ej X e j 由于x n 是奇函數(shù) 上式中x n cos 是奇函數(shù) 那么 因此 這說(shuō)明X ej 是純虛數(shù) 且是 的奇函數(shù) 8 設(shè)x n R4 n 試求x n 的共軛對(duì)稱(chēng)序列xe n 和共軛反對(duì)稱(chēng)序列xo n 并分別用圖表示 解 xe n 和xo n 的波形如題8解圖所示 題8解圖 9 已知x n anu n 0 a 1 分別求出其偶函數(shù)xe n 和奇函數(shù)xo n 的傅里葉變換 解 因?yàn)閤e n 的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X ej 的實(shí)部 xo n 的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X ej 的虛部乘以j 因此 10 若序列h n 是實(shí)因果序列 其傅里葉變換的實(shí)部如下式 HR ej 1 cos 求序列h n 及其傅里葉變換H ej 解 11 若序列h n 是實(shí)因果序列 h 0 1 其傅里葉變換的虛部為HI ej sin 求序列h n 及其傅里葉變換H ej 解 12 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h n anu n 0 a 1 輸入序列為x n n 2 n 2 完成下面各題 1 求出系統(tǒng)輸出序列y n 2 分別求出x n h n 和y n 的傅里葉變換 解 1 2 13 已知xa t 2cos 2 f0t 式中f0 100Hz 以采樣頻率fs 400Hz對(duì)xa t 進(jìn)行采樣 得到采樣信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)x n 試完成下面各題 1 寫(xiě)出的傅里葉變換表示式Xa j 2 寫(xiě)出和x n 的表達(dá)式 3 分別求出的傅里葉變換和x n 序列的傅里葉變換 解 上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在 引入奇異函數(shù) 函數(shù) 它的傅里葉變換可以表示成 2 3 式中 式中 0 0T 0 5 rad上式推導(dǎo)過(guò)程中 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在 只有引入奇異函數(shù) 函數(shù)才能寫(xiě)出它的傅里葉變換表示式 14 求出以下序列的Z變換及收斂域 1 2 nu n 2 2 nu n 1 3 2 nu n 4 n 5 n 1 6 2 n u n u n 10 解 1 2 3 4 ZT n 10 z 5 ZT n 1 z 10 z 6 15 求以下序列的Z變換及其收斂域 并在z平面上畫(huà)出極零點(diǎn)分布圖 1 x n RN n N 4 2 x n Arncos 0n j u n r 0 9 0 0 5 rad j 0 25 rad 3 式中 N 4 解 1 由z4 1 0 得零點(diǎn)為 由z3 z 1 0 得極點(diǎn)為z1 2 0 1零極點(diǎn)圖和收斂域如題15解圖 a 所示 圖中 z 1處的零極點(diǎn)相互對(duì)消 題15解圖 2 零點(diǎn)為 極點(diǎn)為 極零點(diǎn)分布圖如題15解圖 b 所示 3 令y n R4 n 則x n 1 y n y n zX z Y z 2 X z z 1 Y z 2 因?yàn)?因此 極點(diǎn)為z1 0 z2 1 零點(diǎn)為 在z 1處的極零點(diǎn)相互對(duì)消 收斂域?yàn)? z 極零點(diǎn)分布圖如題15解圖 c 所示 16 已知 求出對(duì)應(yīng)X z 的各種可能的序列表達(dá)式 解 X z 有兩個(gè)極點(diǎn) z1 0 5 z2 2 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界 因此收斂域有三種情況 z 0 5 0 5 z 2 2 z 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列 1 收斂域 z 0 5 令 n 0時(shí) 因?yàn)閏內(nèi)無(wú)極點(diǎn) x n 0 n 1時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)0 但z 0是一個(gè)n階極點(diǎn) 改為求圓外極點(diǎn)留數(shù) 圓外極點(diǎn)有z1 0 5 z2 2 那么 2 收斂域0 5 z 2 n 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)0 5 n 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)0 5 0 但0是一個(gè)n階極點(diǎn) 改成求c外極點(diǎn)留數(shù) c外極點(diǎn)只有一個(gè) 即2 x n Res F z 2 2 2nu n 1 最后得到 3 收斂域 z 2 n 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)0 5 2 n 0時(shí) 由收斂域判斷 這是一個(gè)因果序列 因此x n 0 或者這樣分析 c內(nèi)有極點(diǎn)0 5 2 0 但0是一個(gè)n階極點(diǎn) 改求c外極點(diǎn)留數(shù) c外無(wú)極點(diǎn) 所以x n 0 最后得到 17 已知x n anu n 0 a 1 分別求 1 x n 的Z變換 2 nx n 的Z變換 3 a nu n 的Z變換 解 1 2 3 18 已知 分別求 1 收斂域0 52對(duì)應(yīng)的原序列x n 解 1 收斂域0 5 z 2 n 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)0 5 x n Res F z 0 5 0 5n 2 nn 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)0 5 0 但0是一個(gè)n階極點(diǎn) 改求c外極點(diǎn)留數(shù) c外極點(diǎn)只有2 x n Res F z 2 2n 最后得到x n 2 nu n 2nu n 1 2 n 2 n 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)0 5 2 n 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)0 5 2 0 但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn) 改成求c外極點(diǎn)留數(shù) 可是c外沒(méi)有極點(diǎn) 因此 x n 0 最后得到 x n 0 5n 2n u n 19 用部分分式法求以下X z 的反變換 1 2 解 1 2 20 設(shè)確定性序列x n 的自相關(guān)函數(shù)用下式表示 試用x n 的Z變換X z 和x n 的傅里葉變換X ej 分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx z 和傅里葉變換Rxx ej 解 解法一 令m n m 則 解法二 因?yàn)閤 n 是實(shí)序列 X e j X ej 因此 21 用Z變換法解下列差分方程 1 y n 0 9y n 1 0 05u n y n 0n 1 2 y n 0 9y n 1 0 05u n y 1 1 y n 0n 1 3 y n 0 8y n 1 0 15y n 2 n y 1 0 2 y 2 0 5 y n 0 當(dāng)n 3時(shí) 解 1 y n 0 9y n 1 0 05u n y n 0n 1 n 0時(shí) n 0時(shí) y n 0最后得到y(tǒng) n 0 5 0 9 n 1 0 5 u n 2 y n 0 9y n 1 0 05u n y 1 1 y n 0n 1 n 0時(shí) n 0時(shí) y n 0最后得到y(tǒng) n 0 45 0 9 n 0 5 u n 3 y n 0 8y n 1 0 15y n 2 n y 1 0 2 y 2 0 5 y n 0 當(dāng)n 2時(shí) Y z 0 8z 1 Y z y 1 z 0 15z 2 Y z y 1 z y 2 z2 1 n 0時(shí) y n 4 365 0 3n 6 375 0 5nn 0時(shí) y n 0最后得到y(tǒng) n 4 365 0 3n 6 375 0 5n u n 22 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H z 為 1 在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò) 即 H ej 常數(shù) 2 參數(shù)a如何取值 才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定 畫(huà)出其極零點(diǎn)分布及收斂域 解 1 極點(diǎn)為a 零點(diǎn)為a 1 設(shè)a 0 6 極零點(diǎn)分布圖如題22解圖 a 所示 我們知道 H ej 等于極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度除以零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度 按照題22解圖 a 得到 因?yàn)榻?公用 且 AOB AOC 故 即 故H z 是一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò) 或者按照余弦定理證明 題22解圖 2 只有選擇 a 1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定 設(shè)a 0 6 極零點(diǎn)分布圖及收斂域如題22解圖 b 所示 23 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述 y n y n 1 y n 2 x n 1 1 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H z 并畫(huà)出極零點(diǎn)分布圖 2 限定系統(tǒng)是因果的 寫(xiě)出H z 的收斂域 并求出其單位脈沖響應(yīng)h n 3 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的 寫(xiě)出H z 的收斂域 并求出其單位脈沖響應(yīng)h n 解 1 y n y n 1 y n 2 x n 1 將上式進(jìn)行Z變換 得到Y(jié) z Y z z 1 Y z z 2 X z z 1 因此 零點(diǎn)為z 0 令z2 z 1 0 求出極點(diǎn) 極零點(diǎn)分布圖如題23解圖所示 題23解圖 2 由于限定系統(tǒng)是因果的 收斂域需選包含 點(diǎn)在內(nèi)的收斂域 即 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法 一種是令輸入等于單位脈沖序列 通過(guò)解差分方程 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 另一種方法是求H z 的逆Z變換 我們采用第二種方法 式中 令 n 0時(shí) h n Res F z z1 Res F z z2 因?yàn)閔 n 是因果序列 n 0時(shí) h n 0 故 3 由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域 即 z2 z z1 n 0時(shí) c內(nèi)只有極點(diǎn)z2 只需求z2點(diǎn)的留數(shù) n 0時(shí) c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn) z2和z 0 因?yàn)閦 0是一個(gè)n階極點(diǎn) 改成求圓外極點(diǎn)留數(shù) 圓外極點(diǎn)只有一個(gè) 即z1 那么 最后得到 24 已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述 y n 0 9y n 1 x n 0 9x n 1 1 求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H z 及單位脈沖響應(yīng)h n 2 寫(xiě)出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H ej 的表達(dá)式 并定性畫(huà)出其幅頻特性曲線 3 設(shè)輸入x n ej 0n 求輸出y n 解 1 y n 0 9y n 1 x n 0 9x n 1 Y z 0 9Y z z 1 X z 0 9X z z 1 令 n 1時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)0 9 n 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)0 9 0 最后得到h n 2 0 9nu n 1 n 2 極點(diǎn)為z1 0 9 零點(diǎn)為z2 0 9 極零點(diǎn)圖如題24解圖 a 所示 按照極零點(diǎn)圖定性畫(huà)出的幅度特性如題24解圖 b 所示 3 題24解圖 25 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x n anu n h n bnu n 0 a 1 0 b 1 1 試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y n 2 試用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y n 解 1 用卷積法求y n n 0時(shí) n 0時(shí) y n 0最后得到 2 用ZT法求y n 令 n 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn) a b 因此 因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng) 所以n 0時(shí) y n 0 最后得到 26 線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述 y n 2ry n 1 cos r2y n 2 x n 式中 x n anu n 0 a 1 0 r 1 常數(shù) 試求系統(tǒng)的響應(yīng)y n 解 將題中給出的差分方程進(jìn)行Z變換 式中 因?yàn)槭且蚬到y(tǒng) 收斂域?yàn)?z max r a 且n 0時(shí) y n 0 故 c包含三個(gè)極點(diǎn) 即a z1 z2 27 如果x1 n 和x2 n 是兩個(gè)不同的因果穩(wěn)定實(shí)序列 求證 式中 X1 ej 和X2 ej 分別表示x1 n 和x2 n 的傅里葉變換 解 FT x1 n x2 n X1 ej X2 ej 進(jìn)行IFT 得到 令n 0 則 由于x1 n 和x2 n 是實(shí)穩(wěn)定因果序列 因此 1 2 3 由 1 2 3 式 得到 28 若序列h n 是因果序列 其傅里葉變換的實(shí)部如下式 求序列h n 及其傅里葉變換H ej 解 求上式的Z的反變換 得到序列h n 的共軛對(duì)稱(chēng)序列he n 為 因?yàn)閔 n 是因果序列 he n 必定是雙邊序列 收斂域取 a z a 1 n 1時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn) a n 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn) a 0 因?yàn)閔e n he n 所以 29 若序列h n 是因果序列 h 0 1 其傅里葉變換的虛部為 求序列h n 及其傅里葉變換H ej 解 令z ej 有 jHI ej 對(duì)應(yīng)h n 的共軛反對(duì)稱(chēng)序列ho n 因此jHI z 的反變換就是ho n 因?yàn)閔 n 是因果序列 ho n 是雙邊序列 收斂域取 a z a 1 n 1時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn) a n 0時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn) a 0 因?yàn)閔I n h n 所以 教材第3章習(xí)題與上機(jī)題解答 1 計(jì)算以下序列的N點(diǎn)DFT 在變換區(qū)間0 n N 1內(nèi) 序列定義為 1 x n 1 2 x n n 3 x n n n0 0 n0 N 4 x n Rm n 0 m N 5 6 7 x n ej 0nRN n 8 x n sin 0n RN n 9 x n cos 0n RN N 10 x n nRN n 解 1 2 3 4 5 0 k N 1 6 0 k N 1 7 或 8 解法一直接計(jì)算 解法二由DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性求解 因?yàn)?所以 所以 即 結(jié)果與解法一所得結(jié)果相同 此題驗(yàn)證了共軛對(duì)稱(chēng)性 9 解法一直接計(jì)算 解法二由DFT共軛對(duì)稱(chēng)性可得同樣結(jié)果 因?yàn)?10 解法一 上式直接計(jì)算較難 可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來(lái)求解X k 因?yàn)閤 n nRN n 所以x n x n 1 NRN n N n RN n 等式兩邊進(jìn)行DFT 得到X k X k WkN N N k 故 當(dāng)k 0時(shí) 可直接計(jì)算得出X 0 為 這樣 X k 可寫(xiě)成如下形式 解法二k 0時(shí) k 0時(shí) 所以 即 2 已知下列X k 求x n IDFT X k 1 2 其中 m為正整數(shù) 0 m N 2 N為變換區(qū)間長(zhǎng)度 解 1 n 0 1 N 1 2 n 0 1 N 1 3 已知長(zhǎng)度為N 10的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列 做圖表示x1 n x2 n 和y n x1 n x2 n 循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度L 10 解 x1 n x2 n 和y n x1 n x2 n 分別如題3解圖 a b c 所示 題3解圖 4 證明DFT的對(duì)稱(chēng)定理 即假設(shè)X k DFT x n 證明DFT X n Nx N k 證 因?yàn)?所以 由于 所以DFT X n Nx N k k 0 1 N 15 如果X k DFT x n 證明DFT的初值定理 證 由IDFT定義式 可知 6 設(shè)x n 的長(zhǎng)度為N 且X k DFT x n 0 k N 1令h n x n NRmN n m為自然數(shù) H k DFT h n mN0 k mN 1求H k 與X k 的關(guān)系式 解 H k DFT h n 0 k mN 1 令n n lN l 0 1 m 1 n 0 1 N 1 則 因?yàn)?所以 7 證明 若x n 為實(shí)序列 X k DFT x n N 則X k 為共軛對(duì)稱(chēng)序列 即X k X N k 若x n 實(shí)偶對(duì)稱(chēng) 即x n x N n 則X k 也實(shí)偶對(duì)稱(chēng) 若x n 實(shí)奇對(duì)稱(chēng) 即x n x N n 則X k 為純虛函數(shù)并奇對(duì)稱(chēng) 證 1 由教材 3 2 17 3 2 20 式知道 如果將x n 表示為x n xr n jxi n 則X k DFT x n Xep k Xop k 其中 Xep k DFT xr n 是X k 的共軛對(duì)稱(chēng)分量 Xop k DFT jxi n 是X k 的共軛反對(duì)稱(chēng)分量 所以 如果x n 為實(shí)序列 則Xop k DFT jxi n 0 故X k DFT x n Xep k 即X k X N k 2 由DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性可知 如果x n xep n xop n 且X k Re X k jIm X k 則Re X k DFT xep n jIm X k DFT xop n 所以 當(dāng)x n x N n 時(shí) 等價(jià)于上式中xop n 0 x n 中只有xep n 成分 所以X k 只有實(shí)部 即X k 為實(shí)函數(shù) 又由 1 證明結(jié)果知道 實(shí)序列的DFT必然為共軛對(duì)稱(chēng)函數(shù) 即X k X N k X N k 所以X k 實(shí)偶對(duì)稱(chēng) 同理 當(dāng)x n x N n 時(shí) 等價(jià)于x n 只有xop n 成分 即xep n 0 故X k 只有純虛部 且由于x n 為實(shí)序列 即X k 共軛對(duì)稱(chēng) X k X N k X N k 為純虛奇函數(shù) 8 證明頻域循環(huán)移位性質(zhì) 設(shè)X k DFT x n Y k DFT y n 如果Y k X k l NRN k 則 證 令m k l 則 9 已知x n 長(zhǎng)度為N X k DFT x n 求Y k 與X k 的關(guān)系式 解 10 證明離散相關(guān)定理 若X k X1 k 2 k 則 證 根據(jù)DFT的惟一性 只要證明 即可 令m l n 則 所以 當(dāng)然也可以直接計(jì)算X k X1 k X2 k 的IDFT 0 n N 1 由于 0 n N 1 所以 11 證明離散帕塞瓦爾定理 若X k DFT x n 則 證 12 已知f n x n jy n x n 與y n 均為長(zhǎng)度為N的實(shí)序列 設(shè)F k DFT f n N0 k N 1 1 2 F k 1 jN 試求X k DFT x n N Y k DFT y n N以及x n 和y n 解 由DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性可知x n X k Fep k jy n jY k Fop k 方法一 1 0 n N 1 由于 0 n m N 1 所以x n an0 n N 1同理y n bn0 n N 1 2 F k 1 jN 方法二令 只要證明A k 為共軛對(duì)稱(chēng)的 B k 為共軛反對(duì)稱(chēng) 則就會(huì)有A k Fep k X k B k Fop k jY k 因?yàn)?共軛對(duì)稱(chēng) 共軛反對(duì)稱(chēng) 所以 由方法一知x n IDFT X k anRN n y n IDFT Y k bnRN n 13 已知序列x n anu n 0 a 1 對(duì)x n 的Z變換X z 在單位圓上等間隔采樣N點(diǎn) 采樣序列為 求有限長(zhǎng)序列IDFT X k N 解 我們知道 是以2 為周期的周期函數(shù) 所以 以N為周期 將看作一周期序列的DFS系數(shù) 則 由式 知為 將式 代入式 得到 由于 所以 由題意知 所以根據(jù)有關(guān)X k 與xN n 的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系有 由于0 n N 1 所以 因此 說(shuō)明 平時(shí)解題時(shí) 本題推導(dǎo) 的過(guò)程可省去 直接引用頻域采樣理論給出的結(jié)論 教材中式 3 3 2 和 3 3 3 即可 14 兩個(gè)有限長(zhǎng)序列x n 和y n 的零值區(qū)間為x n 0n 0 8 n y n 0n 0 20 n對(duì)每個(gè)序列作20點(diǎn)DFT 即X k DFT x n k 0 1 19 Y k DFT y n k 0 1 19試問(wèn)在哪些點(diǎn)上f n 與x n y n 值相等 為什么 解 如前所述 記fl n x n y n 而f n IDFT F k x n 20y n fl n 長(zhǎng)度為27 f n 長(zhǎng)度為20 由教材中式 3 4 3 知道f n 與fl n 的關(guān)系為 只有在如上周期延拓序列中無(wú)混疊的點(diǎn)上 才滿(mǎn)足f n fl n 所以f n fl n x n y n 7 n 19 15 已知實(shí)序列x n 的8點(diǎn)DFT的前5個(gè)值為0 25 0 125 j0 3018 0 0 125 j0 0518 0 1 求X k 的其余3點(diǎn)的值 2 求X1 k DFT x1 n 8 3 求 解 1 因?yàn)閤 n 是實(shí)序列 由第7題證明結(jié)果有X k X N k 即X N k X k 所以 X k 的其余3點(diǎn)值為 X 5 X 6 X 7 0 125 j0 0518 0 0 125 j0 3018 2 根據(jù)DFT的時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì) 3 16 x n x1 n 和x2 n 分別如題16圖 a b 和 c 所示 已知X k DFT x n 8 求 和 注 用X k 表示X1 k 和X2 k 解 因?yàn)閤1 n x n 3 8R8 n x2 n x n 2 8R8 n 所以根據(jù)DFT的時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)得到 17 設(shè)x n 是長(zhǎng)度為N的因果序列 且 試確定Y k 與X ej 的關(guān)系式 解 y n 是x n 以M為周期的周期延拓序列的主值序列 根據(jù)頻域采樣理論得到 18 用微處理機(jī)對(duì)實(shí)數(shù)序列作譜分析 要求譜分辨率F 50Hz 信號(hào)最高頻率為1kHz 試確定以下各參數(shù) 1 最小記錄時(shí)間Tpmin 2 最大取樣間隔Tmax 3 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin 4 在頻帶寬度不變的情況下 使頻率分辨率提高1倍 即F縮小一半 的N值 解 1 已知F 50Hz 因而 2 3 4 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變 應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大1倍 即為0 04s 實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高1倍 F變?yōu)樵瓉?lái)的1 2 19 已知調(diào)幅信號(hào)的載波頻率fc 1kHz 調(diào)制信號(hào)頻率fm 100Hz 用FFT對(duì)其進(jìn)行譜分析 試求 1 最小記錄時(shí)間Tpmin 2 最低采樣頻率fsmin 3 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin 解 調(diào)制信號(hào)為單一頻率正弦波時(shí) 已調(diào)AM信號(hào)為x t cos 2 fct jc 1 cos 2 fmt jm 所以 已調(diào)AM信號(hào)x t 只有3個(gè)頻率 fc fc fm fc fm x t 的最高頻率fmax 1 1kHz 頻率分辨率F 100Hz 對(duì)本題所給單頻AM調(diào)制信號(hào)應(yīng)滿(mǎn)足100 F 整數(shù) 以便能采樣到這三個(gè)頻率成分 故 1 2 3 注意 對(duì)窄帶已調(diào)信號(hào)可以采用亞奈奎斯特采樣速率采樣 壓縮碼率 而在本題的解答中 我們僅按基帶信號(hào)的采樣定理來(lái)求解 20 在下列說(shuō)法中選擇正確的結(jié)論 線性調(diào)頻Z變換可以用來(lái)計(jì)算一個(gè)有限長(zhǎng)序列h n 在z平面實(shí)軸上諸點(diǎn) zk 的Z變換H zk 使 1 zk ak k 0 1 N 1 a為實(shí)數(shù) a 1 2 zk ak k 0 1 N 1 a為實(shí)數(shù) a 1 3 1 和 2 都不行 即線性調(diào)頻Z變換不能計(jì)算H z 在z平面實(shí)軸上的取樣值 解 在chirp Z變換中 在z平面上分析的N點(diǎn)為zk AW kk 0 1 N 1其中所以當(dāng)A0 1 0 0 W0 a 1 j 0時(shí) zk ak 故說(shuō)法 1 正確 說(shuō)法 2 3 不正確 21 我們希望利用h n 長(zhǎng)度為N 50的FIR濾波器對(duì)一段很長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行濾波處理 要求采用重疊保留法通過(guò)DFT 即FFT 來(lái)實(shí)現(xiàn) 所謂重疊保留法 就是對(duì)輸入序列進(jìn)行分段 本題設(shè)每段長(zhǎng)度為M 100個(gè)采樣點(diǎn) 但相鄰兩段必須重疊V個(gè)點(diǎn) 然后計(jì)算各段與h n 的L點(diǎn) 本題取L 128 循環(huán)卷積 得到輸出序列ym n m表示第m段循環(huán)卷積計(jì)算輸出 最后 從ym n 中選取B個(gè)樣值 使每段選取的B個(gè)樣值連接得到濾波輸出y n 1 求V 2 求B 3 確定取出的B個(gè)采樣應(yīng)為ym n 中的哪些樣點(diǎn) 解 為了便于敘述 規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列ym n 的序列標(biāo)號(hào)為n 0 1 2 127 先以h n 與各段輸入的線性卷積ylm n 分析問(wèn)題 因?yàn)楫?dāng)h n 的50個(gè)樣值點(diǎn)完全與第m段輸入序列xm n 重疊后 ylm n 才與真正的濾波輸出y n 相等 所以 ylm n 中第0點(diǎn)到第48點(diǎn) 共49個(gè)點(diǎn) 不正確 不能作為濾波輸出 第49點(diǎn)到第99點(diǎn) 共51個(gè)點(diǎn) 為正確的濾波輸出序列y n 的第m段 即B 51 所以 為了去除前面49個(gè)不正確點(diǎn) 取出51個(gè)正確的點(diǎn)連接 得到不間斷又無(wú)多余點(diǎn)的y n 必須重疊100 51 49個(gè)點(diǎn) 即V 49 下面說(shuō)明 對(duì)128點(diǎn)的循環(huán)卷積ym n 上述結(jié)果也是正確的 我們知道 因?yàn)閥lm n 長(zhǎng)度為 N M 1 50 100 1 149 所以n從21到127區(qū)域無(wú)時(shí)域混疊 ym n ylm n 當(dāng)然 第49點(diǎn)到第99點(diǎn)二者亦相等 所以 所取出的51點(diǎn)為從第49點(diǎn)到第99點(diǎn)的ym n 綜上所述 總結(jié)所得結(jié)論 V 49 B 51選取ym n 中第49 99點(diǎn)作為濾波輸出 讀者可以通過(guò)作圖來(lái)理解重疊保留法的原理和本題的解答 22 證明DFT的頻域循環(huán)卷積定理 證 DFT的頻域循環(huán)卷積定理重寫(xiě)如下 設(shè)h n 和x n 的長(zhǎng)度分別為N和M ym n h n x n H k DFT h n L X k DFT X n L則 LX k 其中 L max N M 根據(jù)DFT的惟一性 只要證明ym n IDFT Ym k h n x n 就證明了DFT的頻域循環(huán)卷積定理 教材第4章習(xí)題與上機(jī)題解答 快速傅里葉變換 FFT 是DFT的快速算法 沒(méi)有新的物理概念 FFT的基本思想和方法教材中都有詳細(xì)的敘述 所以只給出教材第4章的習(xí)題與上機(jī)題解答 1 如果某通用單片計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘需要4 s 每次復(fù)數(shù)加需要1 s 用來(lái)計(jì)算N 1024點(diǎn)DFT 問(wèn)直接計(jì)算需要多少時(shí)間 用FFT計(jì)算呢 照這樣計(jì)算 用FFT進(jìn)行快速卷積對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí) 估計(jì)可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率 解 當(dāng)N 1024 210時(shí) 直接計(jì)算DFT的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次數(shù)為N2 1024 1024 1048576次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算次數(shù)為N N 1 1024 1023 1047552次直接計(jì)算所用計(jì)算時(shí)間TD為T(mén)D 4 10 6 10242 1047552 10 6 5 241856s用FFT計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間TF為 快速卷積時(shí) 需要計(jì)算一次N點(diǎn)FFT 考慮到H k DFT h n 已計(jì)算好存入內(nèi)存 N次頻域復(fù)數(shù)乘法和一次N點(diǎn)IFFT 所以 計(jì)算1024點(diǎn)快速卷積的計(jì)算時(shí)間Tc約為 所以 每秒鐘處理的采樣點(diǎn)數(shù) 即采樣速率 由采樣定理知 可實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率為 應(yīng)當(dāng)說(shuō)明 實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí) fmax還要小一些 這是由于實(shí)際中要求采樣頻率高于奈奎斯特速率 而且在采用重疊相加法時(shí) 重疊部分要計(jì)算兩次 重疊部分長(zhǎng)度與h n 長(zhǎng)度有關(guān) 而且還有存取數(shù)據(jù)和指令周期等消耗的時(shí)間 2 如果將通用單片機(jī)換成數(shù)字信號(hào)處理專(zhuān)用單片機(jī)TMS320系列 計(jì)算復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加各需要10ns 請(qǐng)重復(fù)做上題 解 與第1題同理 直接計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間TD為T(mén)D 10 10 9 10242 10 10 9 1047552 20 96128ms 用FFT計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間TF為 快速卷積計(jì)算時(shí)間Tc約為 可實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率fmax為 由此可見(jiàn) 用DSP專(zhuān)用單片機(jī)可大大提高信號(hào)處理速度 所以 DSP在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用 機(jī)器周期小于1ns的DSP產(chǎn)品已上市 其處理速度更高 3 已知X k 和Y k 是兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列x n 和y n 的DFT 希望從X k 和Y k 求x n 和y n 為提高運(yùn)算效率 試設(shè)計(jì)用一次N點(diǎn)IFFT來(lái)完成的算法 解 因?yàn)閤 n 和y n 均為實(shí)序列 所以 X k 和Y n 為共軛對(duì)稱(chēng)序列 jY k 為共軛反對(duì)稱(chēng)序列 可令X k 和jY k 分別作為復(fù)序列F k 的共軛對(duì)稱(chēng)分量和共軛反對(duì)稱(chēng)分量 即F k X k jY k Fep k Fop k 計(jì)算一次N點(diǎn)IFFT得到f n IFFT F k Re f n jIm f n 由DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性可知Re f n IDFT Fep k IDFT X k x n jIm f n IDFT Fop k IDFT jY k jy n 故 4 設(shè)x n 是長(zhǎng)度為2N的有限長(zhǎng)實(shí)序列 X k 為x n 的2N點(diǎn)DFT 1 試設(shè)計(jì)用一次N點(diǎn)FFT完成計(jì)算X k 的高效算法 2 若已知X k 試設(shè)計(jì)用一次N點(diǎn)IFFT實(shí)現(xiàn)求X k 的2N點(diǎn)IDFT運(yùn)算 解 本題的解題思路就是DIT FFT思想 1 在時(shí)域分別抽取偶數(shù)和奇數(shù)點(diǎn)x n 得到兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列x1 n 和x2 n x1 n x 2n n 0 1 N 1 x2 n x 2n 1 n 0 1 N 1根據(jù)DIT FFT的思想 只要求得x1 n 和x2 n 的N點(diǎn)DFT 再經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的一級(jí)蝶形運(yùn)算就可得到x n 的2N點(diǎn)DFT 因?yàn)閤1 n 和x2 n 均為實(shí)序列 所以根據(jù)DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性 可用一次N點(diǎn)FFT求得X1 k 和X2 k 具體方法如下 令y n x1 n jx2 n Y k DFT y n k 0 1 N 1則 2N點(diǎn)DFT x n X k 可由X1 k 和X2 k 得到 這樣 通過(guò)一次N點(diǎn)IFFT計(jì)算就完成了計(jì)算2N點(diǎn)DFT 當(dāng)然還要進(jìn)行由Y k 求X1 k X2 k 和X k 的運(yùn)算 運(yùn)算量相對(duì)很少 2 與 1 相同 設(shè)x1 n x 2n n 0 1 N 1 x2 n x 2n 1 n 0 1 N 1 X1 k DFT x1 n k 0 1 N 1 X2 k DFT x2 n k 0 1 N 1則應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式 由上式可解出 由以上分析可得出運(yùn)算過(guò)程如下 由X k 計(jì)算出X1 k 和X2 k 由X1 k 和X2 k 構(gòu)成N點(diǎn)頻域序列Y k Y k X1 k jX2 k Yep k Yop k 其中 Yep k X1 k Yop k jX2 k 進(jìn)行N點(diǎn)IFFT